三角函数(乌)

《三 角 函 数 的 定 义 与 基 本 公 式 》第一讲 任意角的三角函数（1课时）教学目标：1．理解任意角的概念，弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算； 2．理解任意三角函数 余弦 正切的定义，会判断三角函数值的符号。

教学重点：1．三角函数的定义；2．运用弧度制解决具体的问题．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系。

一、基础知识回顾 （一）角的概念的推广1、按逆时针方向旋转所得的角为 正角 ，按顺时针方向旋转所得的角为 负角 ；2、所有与角α终边相同的角所组成的集合为 ；3、各个象限的角的集合表示为： 第Ⅰ象限： ；第Ⅱ象限： ； 第Ⅲ象限： ； 第Ⅳ象限： 。

（二）弧度角的定义及转换公式：1、 叫1弧度的角；2、弧度与度的转化关系式： ；3、扇形的圆心角为rad θ,半径为R ,则弧长l = ；面积S ＝ ＝ ； （三）任意角的三角函数的定义1、在直角坐标系中：如图－2角α终边上一点P (,)x y 在单位圆上，则sin α= ；cos α= ；tan α= ；推广：角α终边上一点N 的坐标为(,)a b （令0r =>）， 则思考sin α= ；cos α= ；tan α= ； 2、注意联想定义而判断三角函数的符号与象限的关系；3、三角函数线：如图2所示，则α的正弦线为有向线段： ；α的余弦线为有向线段： ； α的正切线为有向线段： 。

二、典例分析1、下列命题：①小于900的角是锐角；②第一象限角是锐角；③锐角一定是第一象限角；④第二象限角一定大于第一象限角．其中正确的命题序号有 ． 2、若角α与角β的终边关于y 轴对称,则（其中Z k ∈）（ ）ππβαk A 2+=+、 ππβαk B +=+、ππβαk C 22+=+、 ππβαk D +=+2、3、(2008全国Ⅱ卷文)．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限4、已知α的终边经过点)2,93(+-a a ,且0sin ,0cos >≤αα，则a 的取值范围是 ．5、扇形圆心角为1弧度，弦长为2，则该扇形的弧长为 ．6、如果θ是第二象限的角，则)cos(cos)sin(cos θθ⋅的符号为 ． 7、0与)6sin 6lg(cos ︒+︒的大小关系为 ． 8、 (2008天津文)设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<三、学生练习1、已知扇形的周长为30cm ，当扇形的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大，最大面积为多少？2、已知sin 0cos cos x x x <=且则点P tan x 1（，）cosx一定在第 象限． 3、若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、若π<<x 0则x x x 10sin sin ,sin lg ,10的大小关系是 ．5、若)(3cos)(z x xx f ∈=π的值域为 ．6、若sin θcos θ＞0，则θ在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限 7、已知“α是第三象限角，则3α是第几象限角?第二讲 同角三角函数的关系和诱导公式（1课时）教学目标：掌握同角的三角函数的关系，掌握正弦、余弦及正切的诱导公式。

教学重点：同角的三角函数的关系及诱导公式的运用。

教学难点：通过观察自主发现角与角之间关系，适当的转化，化简。

教学过程： 一、基础知识回顾 1、同角的三角函数关系：（1）平方关系： ； （2）商数关系： 。

2、诱导公式：公式二公式三公式四 公式五 公式六【学生思考】sin()2α-= ； 3cos()2πα-= ；3sin()2πα+= ； 3cos()2πα+= ；二、典例分析1、tan300°+0405sin 405cos 的值是（ ）A ．1＋3B ．1－3C ．－1－3D ．－1＋32、已知()33,,tan 7224ππααπ⎛⎫∈-=-⎪⎝⎭，则sin cos αα+的值为（ ） A 15± B 15 C 15- D 75-3、化简： （1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-； （2）sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-4、已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A． BC ．45-D455、已知1tan ,022παα=<<． ①则tan()4πα+＝ ； ②212sin cos cos ααα+＝ ．6、ααcos sin 与是方程01322=++-m x x ）（的两根，则m ＝ ；sin cos 1tan 1tan αααα+--＝ ． 7、设α是第二象限的角，,252sin2cos -=+αα则2cos 2sin αα-＝ ．8、直角三角形三内角的正弦值成等比，则最小角正弦为 ．9、若)2,0(π∈x ，)cos(sin x 与)sin(cos x 的大小关系是 ．三、学生练习1、α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-2、已知tan α＝3，求下列各式的值： （1）ααααsin 4cos 3sin 3cos 2+-= ． （2） αααα22cos 4sin cos 3sin +-= ．3、=-<<=x x x x x sin cos )24(81cos .sin 则ππ ．4、已知)2,0(π∈x ，1sin cos 2x x =求xx cos 11sin 11+++的值为 ．5、+︒+︒+︒3sin 2sin 1sin 222…︒+︒+90sin 89sin 22= ．6、已知x a ),1,0(∈是三角形内角且12tan 2-=a ax 则=x cos （ ） A 、122+a a B 、2211a a +- C 、-2211a a +- D 、±2211a a +-7、若实数x 满足θsin 2log 2+=x ，则101--+x x 的值域是 ．第三讲 两角和与差、二倍角公式（3课时 ）教学目的：1．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

能正确运用三角公式进行简单的三角函数式化简、求值和恒等式证明；2．通过例题的讲解，使学生对两角和差公式的掌握更加牢固，并能逐渐熟悉一些解题的技巧用公式解决具体问题的灵活性。

教学重点： 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 二倍角公式。

教学难点： 进行角的变换，灵活应用基本公式。

教学过程： 一、基础知识回顾 1、和、差、倍半角公式2、辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩其中。

二、典例分析 （第1课时）题型一：求非特殊角的三角函数值(非特殊角求值注意利用相关的特殊角达到“消元”的目的)1、=70sin 50sin 30sin 10sin ．2、0203sin 702cos 10--=（ ）A.12B.2C. 2D.3、2sin 15sin 13cos 2sin 15cos 13sin -+＝ ．4、0000tan 20tan 4020tan 40++⋅＝ ． 5、求值：0tan 204sin 20+= 。

【学生练习】1、00tan151tan151+=- ． 2、cos43°cos77°+sin43°cos167°＝ ．3、)10tan 3(50cos-＝ ． 4、20cos 20sin 10cos 2-＝ 。

（第2课时）题型2：三角函数和、差、倍、半角公式 1、（1）已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)＝ ；（2）若πtan 34α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则tan α等于＝ ； 2、若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =（ ） （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 3、若==+θθπ2cos ,53)2sin(则 .4．若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭5、（1）已知,51cos sin ,0=+<<x x x 若π则=x 2cos ．（2）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于.6、已知21sin sin =+βα，23cos cos =+βα．则（1）=-)cos(βα ； （2）=+ααsin cos 3 ．7、 α、β)2,0(π∈，1sin 2sin 322=+βα，02sin 22sin 3=-βα，则2αβ+= ．8、226sin sin cos 2cos 0,[,)2παααααπ+-=∈，求sin(2)3πα+的值．9、已知⎪⎭⎫⎝⎛3∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4,2,1024cos πππx x .（Ⅰ）求x sin 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πx 的值. 10、已知3110,tan 4tan 3παπαα<<+=-，（1）求tan α的值； （2）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【学生练习】 1、已知135)4sin(=-απ，（40πα<<）则=+)4cos(2cos απα ．2、若）（则y x y x +=cos ,1sin sin = ．3、322cos =α，求：=+αα44cos sin ． 4、α为第四象限角，且sin 313sin 5αα=，则tan 2α＝ ． 5、已知1sin cos ,6αα+=则角α可在第 象限． 6、已知tan22α=，则sin α＝ ；tan()4πα+= ．7、αα2tan 1tan 2+=53，则 )4(sin 2απ+的值是 ． 8、已知),0(π∈x ，03cos )31(2cos 42=---x x 的两根为βα,，则=+βα ． 9、已知1sin cos(,),tan(),22522ααπαππβ-=-∈-=求tan(2)αβ-．（第3课时）题型三：凑角；关键1、关注角的关系； 2、学会利用三角函数值估计角的范围； 1、若13cos(),cos()55αβαβ+=-=，.则tan tan αβ=2、已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<,则α2tan ＝ ；β= .3、91)2cos(-=-βα，32)2sin(=-βα，)2,0(),,2(πβππα∈∈．则=+2cos βα ， =+)cos(βα ．4、（1）若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+＝ ．（2）02cos7)2cos(5=+-ββα，求=-2tan2tanαβα ．【学生练习】1、已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα= ________。