辽宁省五校协作体高二数学上学期期中试题 文
【高二】辽宁省五校协作体高二上学期期中考试数学文试题
【高二】辽宁省五校协作体高二上学期期中考试数学文试题试卷说明：――学年度上学期五校联考高二期中考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合，，则（）A、B、 C、 D、2、以下有关命题的说法错误的是（） A、命题“若，则”的逆否命题为“若,则”B、若为假命题，则、均为假命题C、“”是“”的充分不必要条件D、对于命题，使得，则，则3、某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：零件数x（个）102030加工时间y（分钟）213039现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A、84分钟 B、94分钟 C、 102分钟 D、112分钟4、已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数y＝ln(x＋2)－x当x＝b时取到极大值c，则ad等于( )A－1 B、0 C1 D25、观察，，，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则＝( )A B、－ C D、－6、若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A B、5 C、 D、27、对任意非零实数，定义的算法原理如上右程序框图所示。
设为函数的最大值，为双曲线的离心率，则计算机执行该运算后输出结果是( )A、 B、 C、 D、8、已知曲线C：y＝2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A(4，＋∞) B、(－∞，4] C(10，＋∞) D(－∞，10]9、已知函数的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（） A、 B、 C、 D、10、已知可导函数，则当时，大小关系为（）A、 B、 C、 D、 11、已知椭圆的左、右顶点分别为A1和A2，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P1和P2，其中P1的纵坐标为正数，则直线A1P1与A2P2的交点M的轨迹方程（）A、 B、 C、 D、12、如图，过双曲线的左焦点F引圆x2+y2=16的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（）A、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共4小题，每小题分，共分13、有共同渐近线，且过点的双曲线方程是。
辽宁省协作校2022-2023学年高二上学期期中考试数学参考答案
2022—2023学年上学期期中考试高二数学答案一、单选题1---5. D 、B 、D 、D 、B 6---8. A 、B 、D 二、多选题9. ABC 10. BCD 11. BCD12. BCD 【详解】设()00,P x y ，则2200143x y +=1A 、2A 是椭圆22:143x y C +=长轴上的两个顶点．1(2A ∴-，20)(2,0)A 则202000220000134·22444PA PBx y y y k k x x x x -====-+---，故A 不正确． 由120·(2PA PA x =--，00)(2y x --，22200001)4104y x y x -=+-=-<，故B 正确． 当P 在短轴顶点时，124A A =，21PA PA ==12sin PA A ∠=122R =，可得△12PA A的外接圆半径的最大值R =C 正确． 点Q 与点P 关于x 轴对称，设0(Q x ，0)y -， 直线1PA 的方程为：()0022y y x x =++ 直线2QA 的方程为：()0022y y x x =-- ②两式相乘：可得222020(4)4y x y x -=-，由22001243y x -=代入化简可得22143x y -=，即直线1PA 与2QA 的交点M 在双曲线22143x y -=上；故D 正确． 三、填空题 13．5； 14．20x y -+= ； 15．2- ； 【详解】由抛物线方程知：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则可设:2p l x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2220y pty p --=，∴212y y p =-； ()()()()1212121222222212121222222222p y p p y p p y p p y p y p y p k k p p px p px p y p y p x x ------∴+=+=+=+++++++()()1212221122121212222p y p p y p y p y p p y y y y y y y y y y --⎛⎫--=+=- ⎪---⎝⎭()212121212222p y y pp y y y y y y -=⋅==--.故答案为：2-. 16．①③④ 【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，如图一所示：图一 图二 图三 因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =， 根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =， 故四边形HMBG 为平行四边形，则HG //MB ，又MB ⊂面,ABE HG ⊄面ABE ，故HG //面ABE ，故①正确； 对②：因为ED ⊥面,,ABCD DA DC ⊂面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥， 又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直， 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图二所示： 则()()()2,0,0,0,0,2,1,2,0A E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈， 若GH ⊥AE ，则()()1,2,2,0,20GH AE m ⋅=--⋅-=， 即220m +=，解得1m =-，不满足题意，故②错误； 对③：B GFH H BGF V V --=，因为,,B F G 均为定点，故BGFS为定值，又DE //,CF CF ⊂面,BGF DE ⊄面BGF ，故DE //面BGF ， 又点H 在DE 上运动，故点H 到面BGF 的距离是定值， 故三棱锥B GFH -的体积为定值，则③正确；对④：取△EFC 的外心为1O ，过1O 作平面EFC 的垂线1O N ， 则三棱锥B EFC -的外接球的球心O 一定在1O N 上因为1OO ⊥面EFC ，FC ⊥面,ABCD CB ⊂面ABCD ，则CF CB ⊥，又CB CD ⊥， ,,CF CD C CF CD ⋂=⊂面EFCD ，故CB ⊥面EFCD ,又BC ⊥面EFC ，则1OO //CB ，故1,OO BC 在同一个平面， 则过O 作OP BC ⊥，连接,OB OC 如图三所示.在△EFC 中，容易知1EF EC FC ==，则由余弦定理可得cosEFC ∠==sin EFC ∠=则由正弦定理可得12sin EC O C OP EFC ===∠；设三棱锥E FCB -的外接球半径为R ，则OC OB R ==， 在△OBP 中，OB R =，OP =又12222BP PC OO =-=-== 故由勾股定理可知：222OB OP BP =+，即2255422R R =++-- 解得：272R =，则该棱锥外接球的表面积2414S R ππ==，故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题17．解：（1）因为点B 为高BD 与中线BE 所在直线的交点，由20420x y x y -=--=⎧⎨⎩，解得21x y =-=-，，(21)B --，，………………………………………..…..2分（2）设(,)C m n ，因为AC 与高BD 垂直，所以1221AC BD n k k m -=-⇔=--， 即240m n +-=①……………………………………………………………………………………….4分 线段AC 中点12(,)22m n E ++在中线BE 上，所以14(2)2022m n ++--=， 即4110m n --=②………………………………………………………………………..……………..6分由①②可解得，3,2m n ==-，(3,2)C -， BC 边所在直线方程570x y ++=．………….....10分18．解：连结AC BD ，，使AC BD O =．因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，以O 为原点，OA OB 、的方向为x 轴、y 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设12AB AA ==，由60BAD ∠=︒，底面ABCD 是菱形，所以2BD =.（1）()()1101002022D C F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，， ()()1012301D E-，，，，，，………………….2分()()11312311DC D E ∴=-=-，，，，，，…..4分设异面直线1D E 和1DC所成角为θ，则11cos cos 5DC D E θ===， ∴异面直线1D E 和AF 所成角的余弦值为5．……………………………….………………..………..………….6分 OEF AA 1BCDB 1C 1D 1(2)()13331202DC DF ⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，………………………….……………………….…..……….8分设平面1DFC 的法向量为()n x y z =，，，则 133022320n DF x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-++=⎩，得()311n =，，，…………………………………………….…….….10分设直线1D E 与平面1DFC 所成角为ϕ，则13sin cos 5D E n ϕ===，．∴直线1D E 与平面1DFC 所成角的正弦值为35．……………….……………………………………..….….12分 19．解：（1）过点()22P ，与直线23100x y +-=垂直的直线m 的斜率为32k =， 所以直线m 的方程为()3222y x -=-，即3220x y --=．………………………..….……..2分 由322010x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得圆心()01C -，．所以半径()()22021213r =-+--=．故圆C 的方程为：()22113y x ++=．……………………………………………………..……..4分（2）①若斜率存在，设过点()23Q ，的直线l 斜率为k ，则直线l 方程为：()32y k x -=-，即230kx y k --+=，∴圆心()01C -，到直线l 的距离2241k d k -=+，又613AB r ==，，2222243131k k ⎛⎫-∴+= ⎪+⎝⎭，整理得 430k -=，解得34k =．此时直线l 的方程3460x y -+=．…………………………………...……………8分②若斜率不存在，直线方程为2x =，弦心距为2，半径r ，…………………...…………………10分弦长为6=，符合题意，综上，直线l 的方程为3460x y -+=或2x =．……………12分20．(1)证明见解析 (3)存在，13【分析】（1）先证得PO AD ⊥，再由侧面PAD ⊥底面ABCD 证得PO ⊥平面ABCD 即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PAD 以及平面PCD 的法向量，由向量夹角公式求得余弦，再计算正弦即可；（3）设出点()[]0,,0,1,1Q m m ∈-，由点面距离的向量求法解出m 即可求出AQQD的值. （1）PA PD =，O 为AD 的中点，PO AD ∴⊥，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ；………………………………………………………………………………4分（2）底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD ∥，AB AD ⊥，222AD AB BC ===，OC AD ∴⊥，又PO ⊥平面ABCD ，∴以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，易得平面PAD 的法向量()1,0,0m =，()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1C D P ，()()1,0,1,0,1,1PC PD =-=-，设平面PCD 的法向量(),,n x y z =，则00n PC x z n PD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1x =，得()1,1,1n =，………………………..….…6分设二面角C PD A --夹角为θ，则1cos 3m n m nθ⋅==⋅，则sin θ==∴二面角C PD A --；…………………………………………………………………….…………..8分设线段AD 上存在()[]0,,0,1,1Q m m ∈-，使得它到平面PCD ，()0,,1PQ m =-，Q ∴到平面PCD 的距离23PQ n m d n⋅-===12m =-或52m =(舍去)，……………………………………………...………..10分 （3）则10,,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则112332AQ QD ==． (12)分 21．解：（1）设(,)M x y ，|1|x =+，整理得24y x =， 曲线C 的方程为24y x =．……………………………..………..………..4分（2）显然直线斜率存在且不为0，设11()A x y ,，22()B x y ,，设直线AB 方程为(1)y k x =-，0k ≠，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得， 2440ky y k --=，12124,4y y y y k+==-， ……………………..……..6分设线段AB 中点00(,)N x y ，12022y y y k +==，0021211x y k k=+=+，002222122433NP y kk k k k x k k⋅=⋅===----，22k =．……………………………………………..8分12||||AB y y =-=6==．………..12分【或者利用焦半径公式】12121221114||2112()446AB x x y y y y k k k k=++=++++=++=+=）【消去y 求解也可以】 22．(1)2213y x -= (2)(],12-∞-【分析】（1）根据通径226b PQ a==，直接求得23b a =，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；（2）通过对MP NQ MQ NP ⋅⋅+转化为()2FP FQ MF NF ⋅+⋅，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；………..……………..…….…...………..4分（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=， 得：()22311290m y my -++=， 当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --， 12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，……..………….……..……..6分 当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅， 同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭， 代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，………………………….…….………….……..8分因为m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，…………………………….……………..………..10分 所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+， 综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.…………………………………………………..12分。
【高二】辽宁省省五校协作体2021 2021学年度上学期高二期中考试
【高二】辽宁省省五校协作体2021 2021学年度上学期高二期中考试【高二】辽宁省省五校协作体2021-2021学年度上学期高二期中考试2022 2022学年第一学期：全省五所高校合作办学高二阶段中考生物测试题1i37knq1一、多项选择题（1-40个子题，每题1.5分）1．关于内环境与稳态的叙述，正确的是()a、内部环境主要由血液、组织液和淋巴组成b．内环境中多余的h+主要从肺排出c、等离子体是内部环境中最活跃的部分d．na+、k+以重吸收方式从消化道进入内环境2.右图为人体内部环境。
如果有人长期营养不良，食物中缺乏蛋白质，那么图中哪部分液体会增加（）a．①b．②c．③d．④3.正常情况下，转氨酶主要分布在各种组织和细胞中，肝脏活性最高，血浆活性极低。
当细胞膜的通透性因某种原因增加或细胞因组织坏死而破裂时，大量转氨酶可进入血浆。
这一事实可以作为以下哪个结论的证据（）a．内环境是不稳定的，其稳态是不存在的b、内环境的生化指标能反映人体的健康状况，可作为疾病诊断的依据c．稳态的动态变化将不利于机体的正常代谢d、细胞的代谢过程和内部环境的稳态是相互因果的4．下图是某反射弧的模式图（a、b、c、d、e表示反射弧的组成部分，ⅰ、ⅱ表示突触的组成部分），有关说法正确的是（）a、 E代表受体b．a是肌肉或腺体c、切断刺激D和B，效应器仍具有抗刺激功能应，说明完成了反射d、 C代表寻找李子解渴的神经中枢5．右图为突触结构模式图，下列说法正确的是（）a、书中的内容① 被释放到② 主要通过突触前膜的被动运输b、液体在② 是组织液，含有能被③特异性识别的物质c、在a中，从电信号到化学信号再到电信号的转换发生，信息传输需要能量d．①中内容物一定使b兴奋6.下图显示了神经元及其连接，从树突到细胞体，再到轴突和终末，以研究神经元上的兴奋传导和神经元之间的传递方向。
关于这个实验的正确说法是（）a．图中共显示了四个完整的突触b、一个传感器可以连接到效应器c．a、c均可能与感受器相连d、两个神经元之间的兴奋传递是双向的7．个人的手掌触到裸露电线(110v)会立即反射性地握紧电线，被解救后他再次看到裸露的电线，会立即反射性地把手缩回，这两种反射的正确叙述是（）a、两个反射中心都位于脊髓内。
辽宁省沈阳市五校协作体2021-2022学年高二上学期期中数学试题(含答案解析)
（2）求 的面积.
21．如图，在三棱柱ABC− 中， 平面ABC，D，E，F，G分别为 ，AC， ， 的中点，AB=BC= ，AC= =2．
（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；
（3）证明：直线FG与平面BCD相交．
22．已知椭圆 的上顶点到左焦点 的距离为 .直线 与椭圆 交于不同两点 、 （ 、 都在 轴上方），且 .
17．
（1）
（2） 或
【分析】
（1）求得线段BC的中点坐标，再结合点A的坐标，由直线的点斜式写出直线方程；
（2）分两类：①当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，代入点B（－3，4），求出k的值；②当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为 1，代入点B（－3，4），求得m的值，得解.
．
在 中，由余弦定理知，
， ，
由于 ， ，
， 、 平面 ，
平面 ．
（2）解： ， ， ， 为直角三角形且 ，
， ．
以 为原点， 、 、 所在的直线分别为 、 、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，3， ， ，0， ， ，1， ，
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
15． ##
【分析】
作出坐标系和四面体，得到四面体和正方体的关系，利用正方体的外接球和正方体的关系求出外接球的半径，再利用分割法得到正四面体的体积，进而求出其内切球的半径，最后利用球的体积公式进行求解.
2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高二上学期期中考试数学试题
2023-2024学年辽宁省县级重点高中协作体高二上学期期中考试数学试题1. 已知直线l 经过点P(−1,3)，且与直线x −2y +3=0平行，则直线l 的方程为（ ）A ． x −2y −5=0B ． 2x +y −1=0C ． 2x +y −5=0D ． x −2y +7=02. 已知空间向量a ⃗=(1,2,3)，b ⃗⃗=(3,x,y)，且a ⃗//b⃗⃗，那么实数x +y 等于（ ） A ． −6B ．6C ． −15D ．153. 两个不重合的平面α与平面ABC ，若平面α的法向量为n ⃗⃗=(2,−3,1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,1)，则（ ） A ．平面 α/⁄ 平面 ABCB ．平面 α⟂ 平面 ABC C ．平面 α 、平面 ABC 相交但不垂直D ．以上均有可能4. 在四面体OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗，点M 在OA 上，且OM =2MA ,N 为BC 中点，则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A ． 12a ⃗−23b ⃗⃗+12c ⃗B ． −23a ⃗+12b ⃗⃗+12c ⃗C ． 12a ⃗+12b ⃗⃗−12c ⃗D ． 2a ⃗⃗3+2b ⃗⃗3+12c ⃗5. 设点M(2,−3)，N(−3,−2)，若直线l:y =kx +1−k 与线段MN 相交，则直线l 的斜率k的取值范围是（ ）A ． k ≥34 或 k ≤−4 B ． k ≥34 或 k ≤−14 C ． −4≤k ≤34D ． −34≤k ≤46. 已知圆O:x 2+y 2=4，过M(1,√3)作圆O 的切线l ，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7. 在平面直角坐标系中，A(0,−2)，B(0,2)，平面中动点P 满足条件|PA|+|PB|=m +4m （m 为常数，且m >2），则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．直线D ．椭圆或线段8. 已知椭圆C:x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，且|AF 1|=|3BF 1|，若∠F 1AF 2=90∘，则椭圆C 的离心率是（ ）A ． 716B ． √74C ． 58D ． √1049. 已知直线l:y =x −8，则下列结论正确的是（ ）A ．点 (2,6) 在直线 l 上B ．直线 l 的一个方向向量为 u ⃗⃗=(1,1)C ．直线 l 在 y 轴上的截距为8D ．直线 l 的一个法向量为 ν⃗=(1,−1)10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A ．若向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 与向量 a ⃗ ， m ⃗⃗⃗ ， c ⃗ 分别构成空间向量的一组基底，则 m ⃗⃗⃗//b ⃗⃗B ．若非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 满足 a ⃗⟂b ⃗⃗ ， b ⃗⃗⟂c ⃗ ，则有 a⃗//c ⃗ C ．若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是空间向量的一组基底，且 OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ，则 A ， B ， C ， D 四点共面D ．若向量 a ⃗+b ⃗⃗ ， b ⃗⃗+c ⃗ ， c⃗+a ⃗ 是空间向量的一组基底，则 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 也是空间向量的一组基底11. 已知曲线C 的方程为x 2+y 2+4x =0，给出下列四个结论中正确的是（ ）A ．曲线 C 为一个圆B ．曲线C 上存在点D ，使得 D 到点（1，1）的距离为6C ．直线 l:kx −y +2k +1=0 （ k 为常数），无论 k 为何值，直线 l 与曲线 C 恒有两个交点D ．曲线 C 上存在点 P ，使得 P 到点 B （2，0）与点 (−2,0) 的距离之和为8 12. 在四面体P －ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．若 Q 为 ΔABC 的重心，则 3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 D ．若四面体 P － ABC 的棱长都为 a ，点 M ， N 分别为 PA ， BC 的中点，则 |MN|=a2 13. 已知直线l 1：ax +y +1=0，l 2：x −2y +1=0，若l 1⟂l 2，则实数a =______14. 与向量a ⃗=(1,2,−2)方向相同的单位向量是______．15. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，CC 1=C 1D 1=2，C 1B 1=1，点P 为线段B 1C 上一点，则C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为______．16. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，O 为坐标原点，F 1，F 2为其左、右焦点，若左支上存在一点P ，使得F 2P 的中点M 满足|OM|=15c ，则双曲线的离心率e 的取值范围是______．17. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AD =AA 1=1，E 为AB 中点．(1)求直线A1E与AD1所成角的余弦值；(2)求点B到平面A1EC的距离．18.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60∘，设AC∩BD=O，若AB=AA1=2，(1)求AC1的长；(2)求二面角D−OB1−C1的余弦值．19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2．(1)求证：PB∥平面ACE；(2)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点M(−2,0)，N （1，0），若动点P 满足|PM||PN|=2．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若直线l 过点M ，且点N 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程，并判断直线l 与动点P 的轨迹方程所表示的曲线C 的位置关系．21. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±√3x ，右顶点为（1，0）．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过E(0,2)的直线l 与双曲线C 的一支交于M ，N 两点，求EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围．22. 已知焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为√22，且过点A(2,1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM⟂AN ，证明：直线MN 过定点．。
辽宁省重点联合体2021-2022高二数学上学期期中试题 文(含解析)
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2021-2022高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数3z i =-，则z 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】复数在复平面内对应的点是()3,1-，在第四象限，故选D. 2.计算1i1i-+的结果是 （ ） A. i B. i -C. 2D. 2-【答案】B 【解析】()()()21121112i i i i i i i ---===-++-,故选B.3.已知点(1,P ，则它的极坐标是（ ） A. 2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B. 42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭D. 42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由tan yxρθ==计算即可．【详解】在相应的极坐标系下2ρ==，由于点P 位于第四象限，且极角满足tan y xθ==3πθ=-.故选C.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题． 4.极坐标方程1ρ=和参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ）A. 圆、直线B. 直线、圆C. 圆、圆D. 直线、直线 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．【详解】解：极坐标方程1ρ=，转换为直角坐标方程为221x y +=.参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）转换为直角坐标方程为31y x =--.所以表示的为圆和直线. 故选：A.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.下列直线中，平行于极轴且与圆2cos ρθ=相切的是（ ） A. cos 1ρθ=B. sin 1ρθ=C. cos 2ρθ=D.sin 2ρθ=【答案】B 【解析】 【分析】 先利用222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，进行代换即得圆的直角坐标方程，然后根据直线与圆相切求出所求．【详解】解：22cos ρρθ=，圆2cos ρθ=的普通方程为：222x y x +=，即()2211x y -+=，又直线平行于极轴且与圆2cos ρθ=相切，所以1y =±， 即sin 1ρθ=或sin 1ρθ=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，同时考查了直线与圆的位置，属于基础题．6.设有一个回归方程为ˆ32yx =-，变量x 增加一个单位时（ ） A. y 平均增加2个单位 B. y 平均减少3个单位 C. y 平均减少2个单位 D. y 平均增加3个单位 【答案】C 【解析】试题分析：在线性回归方程中，斜率是y 随x 变化的变化率．由回归方程为ˆ32yx =-，得x 增加一个单位时y 平均减少2个单位． 考点：对回归方程的理解．点评：学生应正确理解回归方程中各量的实际含义并能加以应用． 7.否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的正确的反设为（ ） A. ,,a b c 都是奇数 B. ,,a b c 都是偶数C. ,,a b c 至少有两个偶数D. ,,a b c 中或都是奇数或至少有两个偶数 【答案】D 【解析】【详解】因为反证法中的反设就是原命题的否定，而“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的否定是“,,a b c 中或都是奇数或至少有两个偶数”， 所以否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的正确的反设为“,,a b c 中或都是奇数或至少有两个偶数”， 故选D.8. 下面几种推理过程是演绎推理的是( )A. 某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人B. 由三角形的性质,推测空间四面体的性质C. 平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D. 在数列{a n}中,a1=1,a n=12111nnaa--⎛⎫+⎪⎝⎭,由此归纳出{a n}的通项公式【答案】C【解析】【分析】推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．【详解】解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推理，属于合情推理．故选C．【点睛】本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题．9.对相关系数r，下列说法正确的是（）A. r越大，线性相关程度越大B. r越小，线性相关程度越大C. r越大，线性相关程度越小，r越接近0，线性相关程度越大D. 1r≤且r越接近1，线性相关程度越大，r越接近0，线性相关程度越小【答案】D【解析】【分析】两个变量之间的相关性和相关系数的大小有关，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，两个变量之间几乎不存在线性相关．【详解】解：两个变量之间的相关系数，r的绝对值越接近于1，表面两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故选：D.【点睛】本题考查相关系数，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断．相关系数大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系．10.按流程图的程序计算，若开始输入的值为3x =，则输出的x 的值是（ ）A. 231B. 21C. 156D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图，依次执行即可得出结果. 详解】输入3x =第一步：()161002x x x +==<，进入循环；第二步：()1211002x x x +==<，进入循环；第三步：()12311002x x x +==>，结束循环，输出231x =.故选A【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用即可求解，属于基础题型. 11.在极坐标系中，直线1cos 2=ρθ与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点，O 为极点，则AOB ∠的大小为 ( )A. 3π B.2π C. 23π D.56π 【答案】C 【解析】化极坐标方程为直角坐标方程: 直线12x =与圆()22222,11x y x x y +=-+= 相交于,A B 两点，所以1313,,,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即o o 260120AOB ∠=⨯=，选C. 12.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ） A. 82n - B. 62n - C. 82n + D. 62n +【答案】D 【解析】 【分析】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则火柴棒的个数组成了一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n 项的火柴根数即可．【详解】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推：组成n 个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n ﹣1）∴第n 个图中的火柴棒有6n+2． 故选D ．【点睛】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，属于基础题．二、填空题（共4道题，每题5分共20分，把正确答案填在答题纸的横线上） 13.若22(1)(32)x x x -+++是纯虚数，则实数x 的值是_____．【答案】1 【解析】 【分析】复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0，求解相应的方程与不等式，即可确定x 的值．【详解】因为22(1)(32)x x x -+++i 是纯虚数，x ∈R ，所以2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得：1x =.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念及其应用，其中解答中熟记复数概念与分类，准确列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 14.复数512z i =+的模为______. 【答案】13 【解析】 【分析】直接根据复数模的计算公式求解.【详解】解：∵512z i =+，∴2251213z =+=. 故答案为:13.【点睛】本题考查复数模的求法，是基础题.15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ与cos 1p θ=-的交点的极坐标为______．【答案】3(2,)4π【解析】 试题分析：=2sin θ与联立方程得32sin cos 1sin 214θθθθπ=-∴=-∴=32sin 24ρπ∴==3(2,)4π考点：极坐标方程点评：有关于极坐标的问题常考极坐标与直角坐标的互化：极坐标(),ρθ与直角坐标(),x y 的互化22,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==16.经过圆221x y +=上一点()00,x y 的切线方程为001x x y y +=，则由此类比可知：经过椭圆22221x y a b+=上一点()00,x y 的切线方程为______. 【答案】00221x x y ya b+= 【解析】根据圆的切线方程形式，类比推理出椭圆的切线方程．【详解】解：圆的性质中，经过圆上一点()00,M x y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 和y 分别用()00,M x y 的横坐标与纵坐标替换，故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b +=上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y ya b+=. 故答案为:00221x x y ya b+=.【点睛】考查了类比推理的数学思想，是基础题．三、解答题（共6道题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答题须写出演算步骤.） 17.已知复数z 满足()()222z i --=（i 为虚数单位），求z 的共轭复数z 和z z ⋅的值. 【答案】14255z i =-，8z z ⋅= 【解析】 【分析】由()()222z i --=求出z 的值，再计算它的共轭复数z 和z z ⋅的值． 【详解】解：由()()222z i --=， 得()()()2221422222255i z i i i i +=+=+=+--+， 所以z 的共轭复数为14255z i =-； 222142855z z z ⎛⎫⎛⎫⋅==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了复数的代数形式运算问题，也运算求解能力，是基础题．18.对某校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人.问：（1）由题意列出学生语文成绩与外语成绩关系的22⨯列联表：（2）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（保留三位小数）（附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++）【答案】（1）详见解析（2）能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系.【解析】【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）由表中数据计算2K，对照临界值得出结论．【详解】解：（1）由题意填写列联表如下，（2）由表中数据，计算()228006050010014016.66710.828160640200600K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19.已知直线L的参数方程是22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=-. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线L 的参数方程化为直角坐标方程； （2）求直线L 被曲线C 截得的弦长.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为()2211x y ++=，直线L 的直角坐标方程是20x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：（1）直线L的参数方程是22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），转换为直角坐标方程为20x y -+=.曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=-，转换为直角坐标方程为()2211x y ++=， （2）圆心()1,0-到直线L的距离2d ==.所以圆被直线所截的弦长l ==【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，垂径定理的应用，主要考查学生的运算能力，是基础题．20.设直线1L 过点()2,4A -，倾斜角为23π. （1）求1L 的参数方程；并指出参数的几何意义；（2）设直线2L ：10x y -+=，2L 与1L 的交点为B ，求点B 与点A 的距离.【答案】（1）1224x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），t 表示直线上任意点到定点()2,4A -的距离；（2）7【解析】【分析】（1）首先求出直线的方程，进一步直接利用转换关系式求出结果．（2）利用参数方程的几何意义的应用求出结果．【详解】解：（1）直线1L 过点()2,4A -，倾斜角为23π； 转换为参数方程为22cos 324sin 3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），整理得1224x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.t 表示直线上任意点到定点A 的距离；（2）将1L 的参数方程代入2L 的方程中，得1241022t t ⎛⎫⎛⎫---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7AB t ==.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，参数的几何意义的应用，主要考查学生的运算能力，是基础题．21.某种产品的广告费用支出x(百万)与销售额y(百万)之间有如下的对应数据:x 2 4 5 6 8y30 40 60 50 70(1)画出散点图;(2)求回归直线方程;(3)据此估计广告费用为10(百万)时,销售收入y的值.【答案】（1）散点图如图所示：（2）ˆy＝6.5x＋17.5（3）广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元【解析】【分析】试题分析：(1)散点图如图所示：（2）计算得ˆx＝255＝5，ˆy＝2505＝50，521i i x=∑＝145，51i i i x y =∑＝1 380. 6分 于是可得b ＝51522155i ii i i x y xy x x ==--∑∑＝21380555014555-⨯⨯-⨯＝6.5， a ＝ˆy －ˆbx ＝50－6.5×5＝17.5. 所以所求的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5.(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，y ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．考点：本小题主要考查散点图的画法和回归直线的求解及应用.点评：求回归直线时要先根据散点图判断是否线性相关，如果不线性相关，求出的回归方程没有意义.【详解】请在此输入详解！22.已知曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？（2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线270x y --=的距离的最小值.【答案】（1）1C ：()()22431x y ++-=，曲线1C 是圆；2C ：221649x y +=，曲线2C 是椭圆；（2【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式消去参数，得到曲线的普通方程；（2）根据椭圆参数方程设出椭圆上一点，求出点到直线距离后，研究其最小值，得到本题结论．【详解】解：（1）∵曲线1C ：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）， ∴1C ：()()22431x y ++-=.∴曲线1C 是圆. ∵曲线2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， ∴2C ：221649x y +=. ∴曲线2C 是椭圆.（2）∵1C 上的点P 对应的参数为2t π=， ∴()4,4P -.∵Q 为2C 上的动点，∴设()8cos ,3sin Q θθ，则PQ 的中点8cos 43sin 4,22M θθ-+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 点M 到直线270x y --=的距离d == 当()cos 1θφ-=时，min 5d == ∴PQ 的中点M 到直线270xy --=【点睛】本题考查的是曲线的参数方程和普通方程的互化，以及曲线参数方程的应用．本题难度不大，属于中档题．。
辽宁省五校协作体2014_2015学年高二数学上学期期中试卷文(含解析) (1)
辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤02．（5分）某高级中学有2014-2015学年高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中2015届高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从2015届高三年级学生中抽取的人数是（）A．40 B．30 C．20 D．103．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．0个4．（5分）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A．5 B．2 C．3 D．45．（5分）若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离等于它到直线x+4=0距离，则M点的轨迹方程是（）A．x+4=0 B．x﹣4=0 C．y2=8x D．y2=16x6．（5分）函数f（x）=x3﹣ax+1在区间[2，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤12B．a＜12 C．a≥12D．a＞127．（5分）与椭圆共焦点，且渐近线为y=±2x的双曲线方程是（）A．x2B．y2﹣C．D．8．（5分）已知a∈R，则“a2＞2a”是“a＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=1，则|AF1|﹣|B F2|=（）A．7 B．8 C．13 D．1610．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9 C．8 D．611．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（1，1+）D．（2，1+）12．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且=0，则||的最小值为（）A．B．3 C．D．1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线方程为．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2y﹣x的最小值为．15．（5分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）与圆（x+3）2+y2=1及圆（x﹣3）2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足≤0．（1）若a=1且p∨q为假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a、b、c，△ABC的外接圆半径且满足=．（1）求角B的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n．（1）求数列{a n的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点到点P（﹣3，1）的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）设f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）当x∈[0，2]时，求g（x）的最大值和最小值；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特此命题即可得到结论．解答：解：∵命题为全称命题，∴命题的否定是存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）某高级中学有2014-2015学年高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中2015届高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从2015届高三年级学生中抽取的人数是（）A．40 B．30 C．20 D．10考点：分层抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：设应当从2015届高三年级的学生中抽取的人数是x，则由分层抽样的定义可得，由此求出x的值．解答：解：设应当从2015届高三年级的学生中抽取的人数是x，则由分层抽样的定义可得，解得x=20，故选：C．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，各个部分的个体数之比等于各个部分对应的样本数之比，属于基础题．3．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2则a＞b”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．0个考点：四种命题的真假关系；四种命题．专题：简易逻辑．分析：先判断出原命题为真命题，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性知它的逆否命题为真命题．然后写出它的逆命题，否命题，根据c2≥0即可判断这两个命题的真假性，从而得出真命题的个数．解答：解：∵ac2＞bc2；∴c2＞0；∴a＞b；∴原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题；①它的逆命题为：设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2；该命题为假命题，∵c2=0时，ac2=bc2；②否命题为：设a，b，c∈R，若ac2≤bc2，则a≤b；该命题为假命题，∵c2=0时，就得不到a≤b；∴真命题个数是2．故选B．点评：考查原命题和它的逆否命题真假性的关系，原命题、逆命题、否命题、以及逆否命题的概念，注意c2=0的情况．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A．5 B．2 C．3 D．4考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，n的值，当有S=+++=0.9375，n=5，不满足条件S＜p，输出n的值为5．解答：解：执行程序框图，有p=0.8n=1，S=0满足条件S＜p，有S=，n=2；满足条件S＜p，有S=+，n=3；满足条件S＜p，有S=++，n=4；满足条件S＜p，有S=+++=0.9375，n=5；不满足条件S＜p，输出n的值为5．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5．（5分）若动点M（x，y）到点F（4，0）的距离等于它到直线x+4=0距离，则M点的轨迹方程是（）A．x+4=0 B．x﹣4=0 C．y2=8x D．y2=16x考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出关系式化简即可得出轨迹方程判断选项即可．解答：解：∵动点M到点F（4，0）的距离等于它到直线x+4=0的距离，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，设方程为y2=2px（p＞0），∵=4，∴p=8．∴方程为y2=16x．故选：D．点评：本题考查了轨迹方程的求法，抛物线的定义，属于基础题．6．（5分）函数f（x）=x3﹣ax+1在区间[2，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤12B．a＜12 C．a≥12D．a＞12考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：函数f（x）=x3﹣ax+1在区间[2，+∞）上单调递增⇔f′（x）≥0恒成立，x∈[2，+∞），再分离参数即可得出．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣ax+1在区间[2，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3x2﹣a≥0，即a≤3x2在区间[2，+∞）上恒成立，而3x2在区间[2，+∞）上的最小值为12．∴实数a的取值范围是（﹣∞，12]．故选A．点评：熟练掌握函数导数与单调性的关系及其分离参数法是解题的关键．7．（5分）与椭圆共焦点，且渐近线为y=±2x的双曲线方程是（）A．x2B．y2﹣C．D．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出椭圆的焦点，设出双曲线方程，利用待定系数法，即可得到结论．解答：解：椭圆的焦点为（，0），则设双曲线方程为．在双曲线中，，∴a2=1，b2=4∴双曲线方程为．故选A．点评：本题考查椭圆的性质，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）已知a∈R，则“a2＞2a”是“a＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：结合不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由a2＞2a得a＞2或a＜0，∴“a2＞2a”是“a＞2”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的解法是解决本题的关键．9．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=1，则|AF1|﹣|BF2|=（）A．7 B．8 C．13 D．16考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，由|AB|=5，可知|AF2|+|BF2|=5，从而可求|AF1|﹣|BF2|．解答：解：∵过F2的直线交椭圆+=1于点A，B，∴由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=8，∵|AB|=1，∴|AF2|+|BF2|=1∴|AF1|﹣|BF2|=|AF1|+|AF2|﹣（|AF2|+|BF2|）=8﹣1=7，故选A．点评：本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键．10．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9 C．8 D．6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．解答：解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选C．点评：本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．11．（5分）已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，2）C．（1，1+）D．（2，1+）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．解答：解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|==，|EF|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选：B点评：本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．12．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且=0，则||的最小值为（）A．B．3 C．D．1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，当PF最小时，切线长PM最小，作出图形，即可得到答案．解答：解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当PF最小时，切线长PM最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．此时|PM|==．故选：A．点评：本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查作图与分析问题解决问题的能力，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线方程为y2=﹣8x．考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的性质可知该抛物线的形式为：y2=﹣2px（p＞0），依题意可求p的值，从而可得答案．解答：解：依题意，设抛物线的方程为：y2=﹣2px（p＞0），∵准线方程为x=2，∴=2，∴p=4，∴抛物线的方程是y2=﹣8x．故答案为：y2=﹣8x．点评：本题考查抛物线的简单几何性质，设出方程y2=﹣2px（p＞0）是关键，属于中档题．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2y﹣x的最小值为﹣9．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2y﹣x得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（3，﹣3），代入目标函数z=2y﹣x得z=2×（﹣3）﹣3=﹣9．即目标函数z=2y﹣x的最小值为﹣9．故答案为：﹣9．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．15．（5分）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为a≤﹣2或a=1．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：根据命题“p且q”是真命题，得到两个命题都是真命题，当两个命题都是真命题时，第一个命题是一个恒成立问题，分离参数，根据x的范围，做出a的范围，第二个命题是一元二次方程有解问题，利用判别式得到结果．解答：解：∵“p且q”是真命题，∴命题p、q均为真命题，由于∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，∴a≤1；又因为∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，∴△=4a2+4a﹣8≥0，即（a﹣1）（a+2）≥0，∴a≤﹣2或a≥1，综上可知，a≤﹣2或a=1．故答案为：a≤﹣2或a=1点评：本题考查命题真假的判断与应用，是一个综合题，这种题目一般是以解答题目出现，是一个不错的题目，但解起来容易出错．16．（5分）与圆（x+3）2+y2=1及圆（x﹣3）2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为（x＜0）．考点：轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：设所求圆的圆心坐标P（x，y），半径为r，两圆的圆心分别是C1，C2，根据题意可知两圆心的坐标，根据所求圆与两个圆都外切进而可得PC1|和|PC2|的表达式，整理可得|PC2|﹣|PC1|=2，根据双曲线定义可知P点的轨迹为C1，C2为焦点的双曲线进而根据双曲线的性质可求得双曲线的方程．解答：解：设所求圆的圆心坐标P（x，y），半径为r，两圆的圆心分别是C1，C2，∵所求圆与两个圆都外切，∴|PC1|=r+1，|PC2|=r+3，即|PC2|﹣|PC1|=2，根据双曲线定义可知P点的轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线，2c=6，c=3；2a=2，a=1，b=2∴P点的轨迹方程为（x＜0）故答案为：为（x＜0）点评：本题主要考查点的轨迹方程及双曲线的性质．常用方法是直接法，定义法，代入转移法等．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足≤0．（1）若a=1且p∨q为假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）先求出命题p，q为真时的x的取值范围：命题p为真，a＜x＜3a；命题q 为真，2＜x≤3．而由a=1得到：命题p：1＜x＜3，根据p∨q为假知p，q都为假，所以求命题p，q为假时的x的取值范围再求交集即可；（2）由p是q的必要不充分条件，便可得到，解该不等式组即得a的取值范围．解答：解：（1）由（x﹣a）（x﹣3a）＜0，a＞0，得a＜x＜3a；∴a=1时，1＜x＜3，即：p为真时，1＜x＜3；由，得2＜x≤3，即：q为真时，2＜x≤3；若p∨q为假，则p假，q假，所以，∴x≤1，或x＞3；所以实数x的取值范围是：（﹣∞，1]∪（3，+∞）；（2）p是q的必要不充分条件，所以：由p得不到q，而由q能得到p；∴，∴1＜a≤2；因此，实数a的取值范围是（1，2]．点评：考查解一元二次不等式，分式不等式，以及p∨q真假和p，q真假的关系，以及必要条件、充分条件、必要不充分条件的概念．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a、b、c，△ABC的外接圆半径且满足=．（1）求角B的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由正弦定理可将已知化简为sinA=2sinAcosB，从而可求角B的大小；（2）由余弦定理知b2=a2+c2﹣2accosB≥2ac﹣2accosB，从而求得ac≤9，故可求△ABC的面积的最大值．解答：解：（1）由正弦定理得：=．∴sinBco sC+cosBsinC=2sinAcosB，∴sinA=2sinAcosB，∵sinA≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=．（2）∵b2=a2+c2﹣2accosB≥2ac﹣2accosB，∴ac≤==9，∴S△ABC=acsinB≤=．点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，考察了三角形面积公式的应用，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣2n．（1）求数列{a n的通项公式a n；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意得，当n=1时a1=s1=﹣1，当n≥2时a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣3，再验证n=1时是否成立即可；（2）由（1）和题意求出b n，利用错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n．解答：解：（1）当n=1时，a1=s1=1﹣2=﹣1…（2分）当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=n2﹣2n﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=2n﹣3…（4分）又a1=﹣1=2﹣3，也符合上式，…（5分）因此，a n=2n﹣3…（6分）（2）由（1）得，b n==，所以T n=①，T n=②，①﹣②得，T n=+2（）﹣=+2×﹣=所以T n=．点评：本题考查数列a n和S n的关系式的应用，以及错位相减法求数列的前n项和，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．21．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其右焦点到点P（﹣3，1）的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题：e=，=，由此能求出椭圆C的方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线l过定点（﹣，0）．解答：（1）解：由题：e=，①右焦点（c，0）到点P（﹣3，1）的距离为：=．②，由①②可解得：a2=4，b2=3，c2=1．…（2分）∴所求椭圆C的方程为：．…（4分）（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，3+4k2﹣m2＞0．x1+x2=﹣，，…（6分）+mk（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆过椭圆的左顶点D（﹣2，0），因此=0，即（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，展开得x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=0，=0，7m2﹣16mk+4k2=0，…（9分）解得 m=2k或m=，且满足3+4k2﹣m2＞0，…（10分）当m=2k时，l：y=k（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；…（11分）当m=时，l：y=k（x+），直线过定点（﹣，0）．综上可知，直线l过定点，定点坐标为（﹣，0）．…（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22．（12分）设f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）当x∈[0，2]时，求g（x）的最大值和最小值；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）求导，由导数确定函数在[0，2]上的单调性，由单调性求最值；（2）由（1）知，在区间[，2]上，g max（x）=g（2）=1；从而原问题等价于当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，用分离系数法可得a≥x﹣x2lnx恒成立，从而转化为求函数h（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上的最大值，利用求导求单调性，再求最值即可．解答：解：（1）对于函数g（x）=x3﹣x2﹣3，x∈[0，2]，g′（x）=3x2﹣2x，令g′（x）=0，得x=0或x=；当x变化时，g（x）、g′（x）变化情况如下表：x 0 （0，）（，2） 2g′（x）0 ﹣0 + +g（x）﹣3 递减极（最）小值﹣递增 1由上表可知：g min（x）=﹣，g max（x）=g（2）=1，（2）由（1）知，在区间[，2]上，g max（x）=g（2）=1．则原问题等价于当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立，记h（x）=x﹣x2lnx，h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′（1）=0；记m（x）=1﹣2xlnx﹣x，m′（x）=﹣3﹣2lnx，∵x∈[，2]，∴m′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，∴m（x）=1﹣2xlnx﹣x在[，2]上递减，且当x∈[，1）时，h′（x）＞0，x∈（1，2]时，h′（x）＜0，即函数h（x）=x﹣x2lnx在区间[，1）上递增，在区间（1，2]上递减，∴h max（x）=h（1）=1，∴a≥1．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题的处理方法，化简比较困难，属于难题．。
辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．111333a b c++ C ．111363a b c++ 5．直线l 过点()2,1M 且与椭圆则直线l 的斜率为（）A ．12-B ．6．已知F 为椭圆C ：22x a +二、多选题A．当P在平面11BCC B上运动时，四棱锥B．当P在线段AC上运动时，C．使直线AP与平面ABCDD．若F是11A B的中点，当长度的最小值是5三、填空题13．若坐标原点O在方程2x围为．14．已知直线l的倾斜角为3 4线l2:4x+by+1=0与直线l1平行，则15．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）示的曲池，它的高为2，1AA，两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为余弦值为．四、解答题(1)证明：CD ⊥面PAD ；(2)求点M 到平面PAC 的距离；18．已知圆E 经过点(0,0)(1)求圆E 的方程；(2)过点(3,0)P 的直线l 与圆19．在四棱锥P ABCD -中，底面底面,ABCD PA PB AD ==(1)证明：//DE 平面PAB ；(2)若直线PF 与平面PAB 所成的角为20．已知椭圆2222:x y C a b+=且点M 到右焦点距离的最大值为两点.(1)求C 的方程；(1)求证：PD BC ⊥；(2)在直线PD 上是否存在点M ，使得直线BM 与平面APD 所成角的余弦值为存在，求出PMDM的值；若不存在，说明理由.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，短轴的一个端点为12PF F △内切圆的半径为3b，设过点2F 的直线l 被椭圆C 截得的线段为3RS =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
辽宁省五校协作体2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“任意x R ∈,都有012>++x x ”的否定为( )A ．对任意x R ∈,都有012≤++x xB ．不存在x R ∈,都有012≤++x xC ．存在x R ∈,使得012>++x xD ．存在x R ∈,使得012≤++x x2. 某高级中学有高一、二、三三个年级的学生共1600名，其中高三学生400名，如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，则应从高三年级学生中抽取的人数是( )A ．40B ．30C ．20D ．10 3. 原命题：“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >则a b >”和它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 0个 4. 执行下边的程序框图,若0.8p =,则输出的n =( )A ．5B ．2C ．3D ．45. 若动点),(y x M 到点)0,4(F 的距离等于它到直线04=+x 距离，则M 点的轨迹方程是 ( )A ．04=+xB ．04=-xC ．28y x =D ．216y x =6.函数3()1f x x ax =-+在区间),2[+∞内是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A. 12a ≤ B. 12a < C. 12a ≥ D. 12a >7. 与椭圆 2216x y +=共焦点,且渐近线为2y x =±的双曲线方程是 ( )A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2214x y -= D ．2214y x -= 8. 已知a R ∈,则“22a a >”是“2a >”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知21,F F 是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点,A B ， 若5AB =，则12||||AF BF -=( )A.3B.8C.13D.1610.过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果21x x +=6，那么AB ＝( )A. 10B. 9C. 8D. 611. 已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点,点E 是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点,若ABE ∆是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 ( )A ．),1(+∞B ．)2,1(C ．)21,1(+D ．)21,2(+12. 已知动点()P x y ，在椭圆22:12516x y C +=上,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =u u u r 且0MP MF ⋅=u u u r u u u r,则||PM u u u u r 的最小值为( )A ．3B ．3C ．512 D ． 1二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =,则抛物线方程为__________.14. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥+-03005x y x y x ,则目标函数x y z -=2的最小值为________.15. 已知命题:p “0],2,1[2≥-∈∀a x x ”,命题:q “022,2=-++∈∃a ax x R x 使”,若命题“q p ∧”是真命题,则实数a 的取值范围是__________________ . 16. 与圆()221:31C x y ++=，圆()222:39C x y -+=同时外切的动圆圆心的 轨迹方程是__________________________.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）设命题p 实数x 满足0)3)((<--a x a x ,其中0a >, 命题:q 实数x 满足023≤--x x . (1)若1,a =且q p ∨为假,求实数x 的取值范围; (2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为a 、b 、c ，ABC ∆的外接圆半径且满足bca B C -=2cos cos .(1)求角B 的大小；(2)求ABC ∆的面积的最大值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 22-=.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=(1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程； (2)讨论函数)(x f 的单调性与极值．21.（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为12,其右焦点到点)1,3(-P的距离为17.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点(A B ，不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点.求证直线l 过定点,并求出该定点的坐标.22.（本小题满分12分）设()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--． (1)当]2,0[∈x 时，求)(x g 的最大值和最小值；(2)如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围．2014——2015学年度上学期省五校协作体高二期中考试数学（文科）参考答案一、选择题二、填空题13、x y 82-= 14、—9 15、}12|{=-≤a a a 或 16、()22108y x x -=< 三、解答题17、解：（1）由0)3)((<--a x a x ，0>a 得a x a 3<<当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的取值范围是31<<x …… 1分 由023≤--x x ，得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的取值范围是32≤<x ……3分若q p ∨为假，则p 假，q 假，所以⎩⎨⎧>≤≥≤3231x x x x 或或，…………… 4分所以实数x 的取值范围是：31>≤x x 或.…………… 5分 （2）Θp 是q 的必要不充分条件，q p p q /,⇒⇒∴设集合}3|{},32|{a x a x B x x A <<=≤<=，则B A ≠⊂…………… 6分⎪⎩⎪⎨⎧>≤>∴3320a a a ，…………… 8分解得，21≤<a因此，实数a 的取值范围是21≤<a .…………… 10分18、解：（1）[方法一]：由正弦定理得：BCA B C sin sin sin 2cos cos -=B AC B C B cos sin 2sin cos cos sin =+∴B AC B cos sin 2)sin(=+∴B A A cos sin 2sin =∴ 21cos 0sin =∴≠B A Θ…………… 4分 30ππ=∴<<B B Θ……………6分[方法二]：由余弦定理得：b ca b c a ac ab c b a -=-+⋅-+222222222 ac b c a =-+∴222212222=-+∴ac b c a 21cos =∴B ………… 4分 30ππ=∴<<B B Θ ………… 6分（2）[方法一]：B ac ac B ac c a b cos 22cos 2222-≥-+=Θ………… 8分921229cos 222=⨯-=-≤∴Bb ac ………… 10分.43923921sin 21=⨯⨯≤=∴∆B ac S ABC ………… 12分 [方法二]：C B A R B ac S ABC sin sin sin )2(21sin 212⋅⋅⋅⋅==∆ 433)62sin(233)32sin(sin 33+-=-=ππA A A ……… 8分ππππ67626320<-<-∴<<A A Θ1)62sin(21≤-<-∴πA ……… 10分.439,31)62sin(max ===-∴∆ABC S A A 时即当ππ……… 12分 19、解：（1）当1=n 时，12111-=-==S a ………… 2分当2≥n 时，32)]1(2)1[(2221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n (4)分又31211-⨯=-=a 也符合上式，………… 5分 因此，32-=n a n ………… 6分（2）nn n b 332-=n n n n n T 31)32(31)52(313311311132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-=-Λ……………. ③143231)32(31)52(31331131131+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-=n n n n n T Λ……… ④③-④得13231)32()313131(23132+⨯--++++-=n n n n T Λ…………………… 9分整理得 n n nT 3-=…………………… 12分20、解：（1）2a =时，()2ln f x x x =-，2()1f x x'=-， ∴(1)1k f '==-， (2)分又(1)1f =，故切线方程为：11(1)y x -=--即2y x =-+.…… 4分 （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，xax x a x f -=-='1)( …… 6分 ① 当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；…… 9分 ② 当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()ln f f a a a a ==-极小， 无极大值. …… 12分21、解 (1)由题12c e a ==;① 右焦点)0,(c 到点)1,3(-P 的距离为171)3(22=++c . ②由①②可解得222431a b c ===，，. ………2分∴所求椭圆C 的方程为22+143x y = ………4分 (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->,22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ ………6分 22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+Q 以AB 为直径的圆过椭圆的左顶点)0,2(-D ，因此0=⋅即0)2)(2(2121=+++y y x x ，展开得04)(2212121=++++y y x x x x043)4(34431643)3(4222222=+-+++-+-k k m k mk k m0416722=+-k mk m ………9分解得 k m 2=或72k m =，且满足22340k m +->………10分 当k m 2=时，)2(:+=x k y l ，直线过定点)0,2(-，与已知矛盾；………11分当72k m =时，)72(:+=x k y l ，直线过定点)0,72(-. 综上可知,直线l 过定点,定点坐标为)0,72(-.………12分22、解：(1) 对于函数32()3g x x x =--， ]2,0[∈x22'()323()3g x x x x x =-=-，令0)(='x g ，得0=x 或32=x ………2分 当x 变化时，)(),(x g x g '变化情况如下表：由上表可知： min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==，………6分 （2）由（1）知，在区间1[,2]2上，()g x 的最大值为(2)1g =.因此，原问题等价于当1[,2]2x ∈时，()ln 1af x x x x=+≥恒成立 等价于2ln a x x x ≥-恒成立，记2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--， '(1)0h =………8分记()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1[,2]2x ∈，'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2上递减，当1[,1)2x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <，即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增，在区间(1,2]上递减，所以max ()(1)1h x h ==，………10分 所以1a ≥. L L L L 12分。