对数函数的图像与性质
对数函数的图像与性质
对数函数是数学中非常重要的一类函数，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将着重探讨对数函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用对数函数。
一、对数函数的定义与基本性质
对数函数的定义如下：
定义：设a为正实数且不等于1，x为正实数，那么以a为底的对数函数y = loga x 定义为x = a^y。
对数函数的图像在直角坐标系中呈曲线状，其主要性质如下：
1. 定义域与值域：对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
2. 特殊性质：当x = 1 时，对数函数的值为0，即loga 1 = 0。
3. 单调性：当0 < a < 1 时，对数函数随着x的增大而递减；当a > 1 时，对数函数随着x的增大而递增。
4. 对称性：对数函数在y轴上有一个对称中心O(1,0)。
以上是对数函数的基本性质，接下来我们将进一步探讨对数函数的图像。
二、对数函数的图像特点
对数函数的图像在直角坐标系中呈现出一些特殊的特点，我们将分
别从底数的大小和常数c的引入的平移和伸缩等方面进行讨论。
1. 底数的大小对图像的影响
底数a的大小对对数函数的图像有显著的影响。
当0 < a < 1 时，对
数函数的图像在一象限内，从左上方无穷递减到右下方；当a > 1 时，
对数函数的图像在一、三象限内，从左下方无穷递增到右上方。
2. 平移和伸缩对图像的影响
引入常数c对对数函数的图像进行平移和伸缩。
当常数c大于0时，对数函数的图像在x轴的正方向上平移c个单位；当常数c小于0时，
对数函数的图像在x轴的负方向上平移|c|个单位。
另外，对数函数的图像近似于一条曲线，它的凹性和凸性取决于底
数的大小。
当0 < a < 1 时，对数函数图像凸向下；当a > 1 时，对数函
数图像凹向下。
三、对数函数在实际问题中的应用
对数函数在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是一些常见的实际
问题：
1. 指数增长问题：对数函数可以用来描述指数增长的问题，例如人
口增长、物种扩散等。
2. 复利计算：对数函数可以用来计算复利问题，例如银行存款的增长、股票投资的回报等。
3. 反比例关系：对数函数可以用来描述反比例关系，例如光强随着距离的增加而减小的情况。
4. 计算难度评估：对数函数可以用来评估计算难度，例如计算机算法的时间复杂度。
以上只是对数函数在实际问题中的一些简单应用，实际上对数函数在各个领域中都有更为深入和广泛的应用。
总结：
对数函数是一类重要的函数，它的图像和性质对于学习和应用数学都具有重要意义。
通过对对数函数的图像和性质的深入理解，我们能更好地应用于实际问题中。
希望本文能够帮助读者对对数函数有更清晰的认识。
对数函数的图像和性质-课件ppt
例1、 求下列函数的定义域
(1) y=㏒ax2
( 2) y=㏒a(4-x)（ a＞0,且a ≠1）
(3)y 1 log2(x 1)
解: (1) 因为x2>0 , 即x≠0 . 所以函数y=㏒ax2的定义域是｛x︱x≠0 ｝.
解: (2) 因为4-x>0 , 即x<4 . 所以函数y=㏒a(4-x)的定义域是｛x︱ x<4 ｝.
你知道吗？
在学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采 取怎样的方法？
借助图象研究性质
探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出 研究对数函数性质的内容和方法吗？
画出函数 y log2x 的图象,
再画出 y log 1 x 的图象。
2
பைடு நூலகம்对数函数的图象和性质如下表
a>1
0<a<1
图
y x=1y=㏒ax (a>1) y x=1
对数函数及其性质
y
y=㏒ax (a>1)
0
(1,0) x
x=1
引例：在2.2.1节例6中得到的对数式 t log P 5730 1
中给出了 p 0.767 可求出 t 2193
2
若给出P的不同值又会怎样呢？你发现了什么？能否从 函数的观点解释？
碳14的含量P 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 生物死亡年数t
注意：利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的 方法，规范解题格式．
(这一点刚与相关的指数函数的底数逐渐变大相反)
例2、 比较下列各组数中的两个值大小
（1） log2 3.4 , log2 8.5
（2） log0.3 1.8 , log0.3 2.7
对数函数的图像和性质
10
…
… -1 -1/2 0 1/4 1/2 1 …
y
1 1 -1 2 3 4 5 6 7 Y=lgx
x
8 9 10
x
Y=log1/2x
… 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … … 3 2
y
1
2
3
4
5
6
7
8
x
Y=log1/2x
2.利用对称性画图. 因为指数函数y=ax (0<a≠1)与对数函数
(-4)
(3) 因为 3-x>0 x-1>0 x-1≠ 所以 1<x<3,x≠2即函数y=log(x-1)(3-x)的定 义域为 (1,2)
例2:比较下列各组中两个值的大小: (1) log23 , log23.5 (2) log0.71.6 , logo.71.8
( 解: 1)考察对数函数y=log2x,因为 2>1, 3<3.5所以 log23<log23.5 (2)考察对数函数y=log0.7x,因为 0.7<1 , 1.6<1.8所以
x轴
（3）对数函数是非奇非偶函数。
例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)
(3) y=log(x-1)(3-x)
解:
(1)因为x2>0,所以x≠,即函数y=logax2的定义域为
- (0,+
(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为
log0.71.6 >log0.71.8
比较大小:
(1) log35 和 log45 (2) log35 和 log0.50.6
对数函数的图像与性质详解
解析式
对数函数的图像与性质
y = log a x (0 < a < 1)
y = log a x (a > 1)
图 像
定义域 值域 单调性 奇性 备注
(0, +∞)
例:函数 y = log a x, y = logb x, y = log c x, y = log d x 的图像如图所示，则 a, b, c, d 的大小关系 为 c < d < a < b.
例：函数 的图 b 像如图所示，则的大小关系为c < d < a <。
y = ax , y = bx , y = cx , y = d x
R
在 (0, +∞ ) 上为减函数 非奇非偶
(0, +∞)
R
在 (0, +∞ )上为增函数 非奇非偶
1）函数图像恒过点（1，0），该点将所有对数曲线一分为二，分别位于一、四象限。 ）函数图像恒过点（ ， ），该点将所有对数曲线一分为二，分别位于一、四象限。 ），该点将所有对数曲线一分为二 2）在x轴上方做平行于 轴的线，从左向右看，图像所对应的 值变大。 轴上方做平行于x轴的线 值变大。 ） 轴上方做平行于 轴的线，从左向右看，图像所对应的a值变大
(0, +∞)
在R上为增函数 上为增函数 非奇非偶
R
1）函数图像恒过点（0，1），该点将所有指数曲线一分为二，分别位于一、二象限。 ）函数图像恒过点（ ， ），该点将所有指数曲线一分为二，分别位于一、二象限。 ），该点将所有指数曲线一分为二 2）在y轴右边做平行于 轴的线，从下向上看，图像所对应的 值变大。 轴右边做平行于y轴的线 值变大。 ） 轴右边做平行于 轴的线，从下向上看，图像所对应的a值变大
对数函数的定义与性质
对数函数的定义与性质1. 定义对数函数是指可以将正实数映射到实数集上的函数。
常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数以数学常数e为底的对数函数，通常以ln(x)表示，其中x为正实数。
常用对数函数以10为底的对数函数，通常以log(x)表示，其中x为正实数。
2. 性质2.1 对数函数的定义域和值域自然对数函数ln(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
常用对数函数log(x)的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。
2.2 对数函数的性质（1）对数函数的图像：自然对数函数ln(x)和常用对数函数log(x)的图像都是单调递增的曲线。
（2）基本性质：对数函数具有以下基本性质：•ln(1) = 0，即自然对数函数ln(x)在x=1处的函数值为0。
•ln(e) = 1，即自然对数函数ln(x)在x=e处的函数值为1。
•log(1) = 0，即常用对数函数log(x)在x=1处的函数值为0。
•log(10) = 1，即常用对数函数log(x)在x=10处的函数值为1。
（3）对数函数的性质：对数函数具有以下性质：•ln(x y) = ln(x) + ln(y)，即自然对数函数ln(x y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的和。
•ln(x/y) = ln(x) - ln(y)，即自然对数函数ln(x/y)等于自然对数函数ln(x)和ln(y)的差。
•ln(x^n) = n * ln(x)，即自然对数函数ln(x^n)等于n乘以自然对数函数ln(x)。
•log(x y) = log(x) + log(y)，即常用对数函数log(x y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的和。
•log(x/y) = log(x) - log(y)，即常用对数函数log(x/y)等于常用对数函数log(x)和log(y)的差。
•log(x^n) = n * log(x)，即常用对数函数log(x^n)等于n乘以常用对数函数log(x)。
对数函数的图像与性质PPT教学课件
复习:1.对数函数 y log2 x 的图像与性质,以及与 指数函数 y 2x 的图像与性质之间的关系
2.练习:画出下列函数的图像
(1)y 2x ;
(2)y log 1 x;
2
(3)y (1)x ; 3
(4)y lg x
对数函数 y loga x(a 0,a 1) 分别就其底数a 1和 0 a 1这两种情况的图像和性质
log3 5.3l>o4g.373,此所时1以, l,loogg同a235.理1.3l1olgoagl5o2.g24,.7; log 3 , 所 以
lo当 g(230)因为 alog01.2时3<;,1函,函数数y yloglaoxg在0.2(0x,
) 上是减函数,
是减函数,
此时, loga 3.1 loga 5.2
同学们对学校部分优秀班干
部、三好学生的调查
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
成绩目标
学习时间
服务同学
自我发展
三好生 优秀班干 一般同学
桑兰
她说：“我一直坚信自己
总有一天会站起来的，我
会为此而努力。”如今，
她在坚持康复训练的同时，
不仅在北大新闻传播专业
苦修学业、在“星空卫视”
7<9,所以 log0.2 7 log0.2 9 ;
练习 2:比较下列各组数中两个值的大小：
（1） log 23.4 ， log 28.5
（2）
log
1.8 0.3
，
log
2.7 0.3
（3） log a5.1 ， log a5.9
课堂补充练习: 1、求下列函数的定义域：
(1) y log3 (1 x) (2) y log3 x
对数函数 对数函数的图像和性质
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来
《对数函数的图像与性质》知识解读
《对数函数的图像与性质》知识解读
(1)一般地,对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且图像与性质如下表:
(2)底数a 对函数图像的影响
①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”:当a >1时,对数函数的图像“上升”;当0<a <1时,对数函数的图像“下降”.
②2函数1log log (0,1)a a y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称.
③底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是a >1还是0<a <1,在第一象限内,自左向右,图像对应的对数函数的底数逐渐变大.
a .上下比较:在直线x =1的右侧,a >1时,a 越大,图像向右越靠近x 轴;0<a <1时,a 越小,图像向右越靠近x 轴.
b .左右比较:比较图像与直线y =1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
根据如图所示的图像,我们很容易得到上述结论.
辨析比较☆
两个单调性相同的对数函数,它们的图像在位于直线x=1右侧的部分是“底大图低”,如图所示。
对数函数的图像与性质
你能口答吗？
变一变还能口答吗？
log10 6 ＜ log10 8 log10 m＜ log10 n 则 m ＜ n
log0.5 6 ＞ log0.5 8 log0.5 m＞ log0.5 n 则 m ＜ n
log2 0.6 ＞ log2
0.8
log2 m ＞ log2 n 则
3
3
m ＜ n
你知道指数与对数的关系吗?
对于每一个给定的y值都有惟一的x的值与 之对应，把y看作自变量，x就是y的函数， 但习惯上仍用x表示自变量，y表示它的 函数：即
y log2 x
这就是本节课要学习的：
（一）对数函数的定义
★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量，定义域是(0,＋∞)
对称性：y loga x 和 y log1 x 的图像关于y轴对称. a
例题讲解
例1 求下列函数的定义域
（1） y loga x2 （2）y loga (4 x) 解：（1）因为 x2 0, 即x 0,所以函数 y loga x2的定义域是
（-，0）（0，+）
（2）因为 4-x 0, 即x 4,所以函数 y loga (4 x)
∴函数在区间（0，+∞） 上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
∴ log23.4< log28.5
• 例8：比较下列各组中，两个值的大小： • （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解2：考察函数y=log 0.3 x , ∵a=0.3< 1, ∴函数在区间（0，+∞）上是减函数； ∵1.8<2.7 ∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
对数函数的图像与性质
1 1 log 4 6 log 4 7
log6 4 log7 4
方法
当底数不相
同，真数相 同时，写成 倒数形式比 较大小
y 2
1 11
0 42
123 4 12
y log 2 x
y log 3 x
x
y log1 x
3
y log1 x
2
对数函数在第一象限越靠近y轴底数越大
例3.比较大小：
探究：对数函数:y
=
loga x
(a＞0,且a≠ y
1)
图象与性质
发现:认真观察函数 2
y log1 x
111
42
2
的图象填写下表
0 123 4 -1
x
图象特征
-2
代数表述
图象位于y轴右方
定义域 : ( 0,+∞)
与轴交点（1,0）
定点（1,0）
图象向上、向下无限延伸 值 域 : R
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是： 减函数
l
og3
n
，则m___n;
> > 2、log1.51.6 ______log1.51.4 4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
例3 比较大小：
> log64
log74
解:
log6
4
1 log 4
6
log 7
4
1 log 4
7
0 log 4 1 log 4 6 log 4 7
探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质
探索发现:认真观察 y
函数y=log2x 的图象填写下表
对数函数的图像和性质
§5.3 对数函数的图像和性质预习案学习目标：会利用对数函数的图像仿指数函数总结对数函数的性质。
会利用对数函数性质求于对数函数的复合函数的定义域。
学习重点：掌握对数函数的基本图像，是学生能初步自觉地、有意识地利用图像研究对数函数的性质。
学习难点：运与用指数函数的性质求解对数函数的复合函数的定义域。
知识链接：对数函数的概念：一般的，我们把函数xy2log=叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是。
可以用两种不同的方法画出函数xy2log=的图像。
预习自测1、通过分析xy2log=与xy21log=图像特点，归纳出一般的对数函数y=xa在a＞1和0＜a＜1的情况下的图像和性质，并完成下表：2、求下列函数的定义域:（1）xyalog=（2）)5lg(xy+=3、比较下列各题中两个数的大小：（1）7.4log,3.5log22 (2)2log,2log7.43.5(3)2.5log,1.3log5.02 (4)2log,1.3log1.32探究案例1、已知)1(log)2(log-<mmaa，求m的取值范围.变式：解不等式)102(log)43(log2223131+--⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛xxx例2、如果函数.)1(log22的定义域为一切实数，++=xmxy求m的取值范围.例3 、求单调区间)23(log)(22+-=xxxf.变式：求函数的单调区间)1(log)(-=xaaxf.训练案1、恒过定点函数1)1(log+-=xya。
2、23.0，3.0log2，3.02这三个数之间大小顺序是（）A3.0log23.023.02<< B 3.02223.0log3.0<<C23.023.023.0log<< D 3.02223.03.0log<<求函数)34(log5.0-=xy的定义域.。