高考专题突破四(高考中的立体几何问题)解析

(时间：70分钟)1．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163 D ．6答案 B解析 由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝143.2．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④答案D解析根据面面垂直的判定定理知①正确；②若m∥n，则得不出α∥β，错误；③n与α还可能平行，错误；易知④正确．3.如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折过程中，可能成立的结论是________．(填写结论序号)答案②③解析因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；设点D 在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故答案为②③.4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当CFFD ＝______时，D1E⊥平面AB1F.答案1解析如图，连接A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影．∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，又∵D1E⊥平面AB1F⇒D1E⊥AF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影，∴D1E⊥AF⇒DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F，∴CFFD＝1时，D1E⊥平面AB1F.5．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．(1)证明如图，取AB的中点O，连接CO、A1O.∵CA ＝CB ，∴CO ⊥AB ，又∵AA 1＝AB ，∴AA 1＝2AO ， 又∠A 1AO ＝60°，∴∠AOA 1＝90°，即AB ⊥A 1O ， ∵CO ∩A 1O ＝O ，∴AB ⊥平面A 1OC ， ∵A 1C ⊂平面A 1OC ，∴AB ⊥A 1C .(2)解 以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OA 1所在直线为y 轴，OC 所在直线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，B (－1,0,0)，C (0,0，3)，B 1(－2，3，0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0n ·BB 1→＝0，所以取n ＝(3，1，－1)为平面BB 1C 1C 的一个法向量，所以直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值sin θ＝|cos 〈n ·A 1C →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·A 1C →|n |·|A 1C →|＝105. 6．(2015·浙江)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点． (1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A 1BDB 1的平面角的余弦值．(1)证明 设E 为BC 的中点，由题意得A 1E ⊥平面ABC ， 因为AE ⊂平面ABC ，所以A 1E ⊥AE . 因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC . 又A 1E ∩BC ＝E ，故AE ⊥平面A 1BC . 由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B ，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ， 所以四边形A 1AED 为平行四边形．故A 1D ∥AE . 又因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC .(2)解 方法一 如图所示，作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD ＝F ，连接B 1F .由AE ＝EB ＝2，∠A 1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1B ＝A 1A ＝4. 由A 1D ＝B 1D ，A 1B ＝B 1B ，得△A 1DB 与△B 1DB 全等． 由A 1F ⊥BD ，得B 1F ⊥BD ，因此∠A 1FB 1为二面角A 1-BD -B 1的平面角． 由A 1D ＝2，A 1B ＝4，∠DA 1B ＝90°，得 BD ＝32，A 1F ＝B 1F ＝43.由余弦定理得cos ∠A 1FB 1＝－18.方法二以CB 的中点E 为原点，分别以射线EA ，EB 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A 1(0,0，14)，B (0，2，0)，D (－2，0，14)，B 1(－2，2，14)． 因此A 1B →＝(0，2，－14)，BD →＝(－2，－2，14)， DB 1→＝(0，2，0)．设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 平面B 1BD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－14z 1＝0，－2x 1－2y 1＋14z 1＝0，可取m ＝(0，7，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧2y 2＝0，－2x 2－2y 2＋14z 2＝0，可取n ＝(7，0,1)． 于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝18. 由图可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A 1BDB 1的平面角的余弦值为－18.7．如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，平面BCC ′B ′⊥底面ABC ，BB ′⊥AC ，底面ABC 是边长为2的等边三角形，AA ′＝3，E ，F 分别在棱AA ′，CC ′上，且AE ＝C ′F ＝2.(1)求证：BB ′⊥底面ABC ；(2)在棱A ′B ′上找一点M ，使得C ′M ∥平面BEF ，并给出证明． (1)证明 如图，取BC 的中点O ，连接AO ， ∵三角形ABC 是等边三角形，∴AO ⊥BC .∵平面BCC ′B ′⊥底面ABC ，AO ⊂平面ABC ，平面ACC ′B ′∩平面ABC ＝BC ， ∴AO ⊥平面BCC ′B ′.又BB ′⊂平面BCC ′B ′， ∴AO ⊥BB ′.又BB ′⊥AC ，AO ∩AC ＝A ， AO ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴BB ′⊥底面ABC .(2)解 显然点M 不是点A ′，B ′，若棱A ′B ′上存在一点M ，使得C ′M ∥平面BEF ， 过点M 作MN ∥AA ′交BE 于N ，连接FN ，MC ′，如图． 所以MN ∥C ′F ，即C ′M 和FN 共面，又平面MNFC ′∩平面BEF ＝FN ，所以C ′M ∥FN ， 所以四边形C ′MNF 为平行四边形，所以MN ＝2， 所以MN 是梯形A ′B ′BE 的中位线，M 为A ′B ′的中点． 故当M 为A ′B ′的中点时，C ′M ∥平面BEF .8.如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点．(1)求证：OD ∥平面ABC ；(2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值；(3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．(1)证明 如图，取AC 中点F ，连接OF ，FB . ∵F 是AC 中点，O 为CE 中点， ∴OF ∥EA 且OF ＝12EA .又BD ∥AE 且BD ＝12AE ，∴OF ∥DB ，OF ＝DB ，∴四边形BDOF 是平行四边形，∴OD ∥FB . 又∵FB ⊂平面ABC ，OD ⊄平面ABC ，∴OD ∥平面ABC .(2)解 ∵平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ，且BD ⊥BA ， ∴DB ⊥平面ABC .∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC .如图所示，以C 为原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴，以过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．∵AC ＝BC ＝4，∴C (0,0,0)，A (4，0,0)，B (0,4,0)，D (0,4,2)，E (4,0,4)，O (2,0,2)，M (2,2,0)， ∴CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →＝(－2,2,2)． 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥MD →，n ⊥OD →，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0，－2x ＋2y ＋2z ＝0.令x ＝2，得y ＝1，z ＝1.∴n ＝(2,1,1)． 设直线CD 和平面ODM 所成角为θ， 则sin θ＝|n ·CD →||n ||CD →|＝|(2，1，1)·(0，4，2)|22＋12＋12·02＋42＋22 ＝66·25＝3010. ∴直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值为3010. (3)解 当N 是EM 中点时，ON ⊥平面ABDE . 由(2)设N (a ，b ，c )，∴MN →＝(a －2，b －2，c )，NE →＝(4－a ，－b,4－c )． ∵点N 在ME 上，∴MN →＝λNE →， 即(a －2，b －2，c )＝λ(4－a ，－b,4－c )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ(4－a )，b －2＝λ(－b )，c ＝λ(4－c )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4λ＋2λ＋1，b ＝2λ＋1，c ＝4λλ＋1.∴N (4λ＋2λ＋1，2λ＋1，4λλ＋1)．∵BD →＝(0,0,2)是平面ABC 的一个法向量， ∴ON →⊥BD →，∴4λλ＋1＝2，解得λ＝1.∴MN →＝NE →，即N 是线段EM 的中点， ∴当N 是EM 的中点时，ON ⊥平面ABDE .。