数字信号处理实验指导书2016-通信
数字信号处理实验指导书2016
实验一信号、系统及系统响应........................................................................................ - 1 - 一实验目的................................................................................................................ - 1 - 二实验原理................................................................................................................ - 1 - 三实验内容及步骤.................................................................................................... - 3 - 四思考题.................................................................................................................... - 4 - 五实验报告要求........................................................................................................ - 5 - 实验二应用FFT对信号进行频谱分析........................................................................... - 6 - 一实验目的................................................................................................................ - 6 - 二实验原理与方法.................................................................................................... - 6 - 三实验内容及步骤.................................................................................................... - 8 - 四思考题.................................................................................................................... - 9 - 五实验报告要求........................................................................................................ - 9 - 实验三用双线性变换法设计IIR滤波器....................................................................... - 11 - 一实验目的.............................................................................................................. - 11 - 二实验原理与方法.................................................................................................. - 11 - 三实验内容及步骤.................................................................................................. - 14 - 四思考题.................................................................................................................. - 15 - 五实验报告要求...................................................................................................... - 15 - 实验四用窗函数设计FIR滤波器................................................................................ - 16 - 一实验目的.............................................................................................................. - 16 - 二实验原理和方法.................................................................................................. - 16 - 三实验内容及步骤.................................................................................................. - 19 - 四思考题.................................................................................................................. - 21 - 五实验报告要求...................................................................................................... - 21 - 附录MATLAB 下的数字信号处理实现示例.................................................................... - 22 -1 信号、系统和系统响应........................................................................................ - 22 -2 用FFT 进行信号的频谱分析............................................................................... - 26 -3 窗函数法设计FIR 滤波器................................................................................... - 28 -4 IIR 滤波器的实现 .............................................................................................. - 31 -5 窗函数设计FIR滤波器基本示例........................................................................ - 34 -实验一 信号、系统及系统响应一 实验目的1．熟悉理想采样的性质，了解信号采样前后的频谱变化，加深对采样定理的理解。
数字信号处理实验指导书2016-通信
数字信号处理实验指导书2016-通信数字信号处理实验徐俊2016年8⽉⽬录实验⼀离散时间系统及系统响应 (2)实验⼆离散傅⽴叶变换及其特性验证 (8)实验三时域采样与频域采样 (17)实验四冲激响应不变法IIR数字滤波器设计 (24)实验⼀离散时间系统及系统响应⼀、实验⽬的1、掌握求解离散时间系统脉冲响应和阶跃响应的⽅法；2、掌握⽤线性卷积求解离散时间系统响应的基本⽅法。
⼆、实验原理与设计⽅法1、⽤impz和dstep函数求解离散系统的单位脉冲响应和阶跃响应【例1-1】已知某因果系统的差分⽅程为y n+0.5y n?1=x n+2x(n?2)系统为零状态，求系统的脉冲响应和阶跃响应。
解：该系统是⼀个2阶系统，列出b m和a k系数为a0=1，a1=0.5，a2=0，b0=1，b1=0，b2=2MALAB程序如下（取16点作图）：a=[1,0.5,0];b=[1,0,2];n=16;hn=impz(b,a,n); %脉冲响应gn=dstep(b,a,n); %阶跃响应subplot(1,2,1),stem(hn,'k');title('系统的单位脉冲响应');ylabel('h(n)');xlabel('n');axis([0,n,1.1*min(hn),1.1*max(hn)]);subplot(1,2,2),stem(gn,'k');title('系统的单位阶跃响应');ylabel('g(n)');xlabel('n');axis([0,n,1.1*min(gn),1.1*max(gn)]);结果如下图所⽰：2、⽤conv函数进⾏卷积计算求系统响应【例1-2】某离散时间系统的脉冲响应为h b(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)激励信号为x t=Ae?αnT sinΩ0nT 0≤n<50设A=444.128，α=502π，Ω0=502π。
数字信号处理实验指导书
《数字信号处理》实验指导书信息与机电工程学院实验中心2017-11-20实验一 常见离散信号的MATLAB 产生和图形显示一、实验目的：加深对常用离散信号的理解； 二、实验原理：1、基础知识：R1.1 单位样本序列10[]0n n n δ=⎧=⎨≠⎩如果()n δ在时间轴上延迟了k 个单位，得到()n k δ-，即：1[]0n k n k n kδ=⎧-=⎨≠⎩R1.2 单位阶跃序列10[]0n u n n ≥⎧=⎨<⎩ R1.3 指数序列[]n x n A α=，其中()00j e σωα+=，j A A e φ=，则前式化为()000000[]cos()sin()n j n n n x n A eA e n j A e n σωφσσωφωφ++==+++R1.4 正弦序列0[]cos()x n A n ωφ=+，其中A ，0ω，φ是实数，分别称为正弦序列的振幅、角频率和初始相位。
00/2f ωπ=称为频率。
2、用到的MATLAB 命令 运算符和特殊符号 ： . + -* / .^ ; %基本矩阵和矩阵控制 i ones pirand randnzeros基本函数 cos sin exp imag real二维图形 axis gird legendplotstem title xlabel ylabelstairs 通用图形函数 clf subplot三、实验内容及要求：编制程序产生信号，并绘出其图形。
例1.1单位样本和单位阶跃序列% 程序 P1.1% 一个单位样本序列的产生clf;% 产生一个从－10到20的向量n = -10:20;% 产生单位样本序列u = [zeros(1,10) 1 zeros(1,20)];% 绘制单位样本序列stem(n,u);xlabel('时间序号 n');ylabel('振幅');title('单位样本序列');axis([-10 20 0 1.2]);习题：Q1.1 运行程序P1.1，以产生单位样本序列u[n]并记录它。
《数字信号处理》实验指导书
《数字信号处理》实验指导书实验一离散傅里叶变换一、实验目的(1) 熟悉Matlab的主要操作命令；掌握Matlab的基本使用方法，能够运用Matlab软件分别产生常见的连续信号和离散信号，并对其进行一定的运算。
(2) 理解离散傅立叶变换是信号分析与处理的一种重要变换，特别是FFT在数字信号处理中的高效率应用。
掌握DFT的理论，通过DFT对典型信号进行的频谱分析，加深对DFT的理解。
(3) 通过对同一信号，作不同点数的FFT，比较其对应的频谱，比较两者的异同点，加深理解信号频谱概念和谱分析的原理与方法，了解快速傅立叶变换（FFT）可以提高运算量的特点，并运用Matlab软件分别对离散周期信号和非周期信号进行谱分析，同时绘出幅度频谱和相位频谱。
二、预习要求1、掌握连续信号和离散信号的特点及其运算方法；2、熟悉Matlab的基本编程语言及其变量、数组、向量与矩阵和部分运算符的使用；3、掌握部分Matlab基本数学函数和作图函数的使用。
三、和实验相关的一些功能函数正弦信号：A*sin(w0*t+phi)，A*cos(w0*t+phi)，A*sin(omega*n+phi)；方波信号：square(w0*t)，square(w0*t，DUTY)，A*square(omega*n)；注意DUTY的取值情况。
指数信号：A*exp(a*t)；矩形脉冲信号：rectpulse(t)，rectpulse(t,w)；单位脉冲信号和单位阶跃信号：ones（1,n）和zeros（1,n）；基本信号运算函数：abs（幅值）、 angle（相角）。
四、实验原理1、有限长序列x(n)的DFT的概念和公式：N?1?kn?x(k)??x(n)WN?n?0?N?1?kn?x(n)?1x(k)WN??Nk?0?0?k?N?10?n?N?1《数字信号处理》实验指导书WN?e?j(2?/N)2、FFT算法调用格式是X= fft(x)或 X=fft(x,N)对前者，若x的长度是2的整数次幂，则按该长度实现x的快速变换，否则，实现的是慢速的非2的整数次幂的变换；对后者，N应为2的整数次幂，若x的长度小于N，则补零，若超过N，则舍弃N以后的数据。
《数字信号处理》实验指导书学生版
2015－2016学年第1学期学院物理与电子信息学院教研室信息与通信工程教研室课程名称数字信号处理授课班级13电信本、13电信卓越主讲教师黄隆胜职称副教授2014年03月目录前言 (1)实验一熟悉MATLAB环境 (4)实验二用MATLAB进行离散系统的Z域分析 (6)实验三傅立叶变换 (8)实验四IIR及FIR滤波器的MATLAB实现 (11)前言MATLAB是由美国Math Works公司推出的软件产品。
MATLAB是“Matrix Laboratory”的缩写，意及“矩阵实验室”。
MATLAB是一完整的并可扩展的计算机环境，是一种进行科学和工程计算的交互式程序语言。
它的基本数据单元是不需要指定维数的矩阵，它可直接用于表达数学的算式和技术概念，而普通的高级语言只能对一个个具体的数据单元进行操作。
因此，解决同样的数值计算问题，使用MATLAB要比使用Basic、Fortran和C语言等提高效率许多倍。
许多人赞誉它为万能的数学“演算纸”。
MATLAB采用开放式的环境，你可以读到它的算法，并能改变当前的函数或增添你自己编写的函数。
在欧美的大学和研究机构中，MATLAB是一种非常流行的计算机语言，许多重要的学术刊物上发表的论文均是用MATLAB来分析计算以及绘制出各种图形。
它还是一种有利的教学工具，它在大学的线性代数课程以及其它领域的高一级课程的教学中，已成为标准的教学工具。
最初的MATLAB是用FORTRAN编写的，在DOS环境下运行。
新版的MATLAB 是C语言编写的高度集成系统。
它在几乎所有流行的计算机机种，诸如PC、MACINTOSH、SUN、VAX上都有相应的MATLAB版本。
新版的MATLAB增强了图形处理功能，并在WINDOWS环境下运行。
现今，MATLAB的发展已大大超出了“矩阵实验室”的范围，在许多国际一流专家学者的支持下，Maths Works公司还为MATLAB 配备了涉及到自动控制、信息处理、计算机仿真等种类繁多的工具箱（Tool Box），这些工具箱有数理统计、信号处理、系统辨识、最优化、稳健等等。
《数字信号处理》实验指导书
数字信号处理实验指导书电子与信息工程学院二○一二年前言数字信号处理(DSP)研究数字序列信号的表示方法，并对信号进行运算，以提取包含在其中的特殊信息。
数字信号处理是一门技术基础课程，实验是该课程教学的重要内容，是理论联系实际的重要手段。
学生通过实验，可以验证和巩固所学的理论知识，掌握数字信号处理实验的基本技能，提高分析和解决实际问题的能力，培养认真、严谨、实事求是的工作作风。
我们根据当前通信类新课程体系的流行趋势，充分考虑通信工程类专业的特殊要求，编写了这门实验课程指导书。
在内容安排上，我们在自身的教学基础上，吸收了兄弟院校的先进经验。
我们把重点放在对学生理论联系实际、分析和解决问题能力的训练上，力求丰富实验内容，简化实验方法与步骤，化抽象为具体，让学生通过实验能够举一反三，融会贯通，提高信息处理和信息加工的能力，为以后在信息领域的发明和创造打下牢固的基础。
在实验的具体编排上，我们按照循序渐进的原则，逐步加深实验内容，注意前后实验之间的连贯性，强化基本实验技能的培养，保证实验内容的丰富性、生动性，增强学生对数字信号处理实验课程的兴趣。
目录实验一信号的谱分析 (1)实验二基-2FFT算法的软件实现 (6)实验三 IIR数字滤波器的设计 (12)实验四 FIR数字滤波器的设计 (16)实验一 信号的谱分析一、实验目的1、熟练掌握快速离散傅里叶变换（FFT ）的原理及用FFT 进行频谱分析的基本方法；2、熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解；3、进一步了解离散傅里叶变换的主要性质及FFT 在数字信号处理中的重要作用。
二、基本原理1、离散傅里叶变换（DFT ）及其主要性质DFT 表示离散信号的离散频谱，DFT 的主要性质中有奇偶对称特性，虚实特性等。
通过实验可以加深理解。
例如：实序列的DFT 具有偶对称的实部和奇对称的虚部，这可以证明如下： 由定义∑-==10)()(N n knNW n x k X∑∑-=-=-=1010)2sin()()2cos()(N n N n kn N n x j kn N n x ππ ∑-=-=-10)()()(N n nk N NW n x k N X∑-=-=1)(N n kn NNnW Wn x∑-=-=10)(N n knN W n x∑∑-=-=+=1010)2sin()()2cos()(N n N n kn N n x j kn N n x ππ)(*)(k N X k X -=∴对于单一频率的三角序列来说它的DFT 谱线也是单一的，这个物理意义我们可以从实验中得到验证，在理论上可以推导如下： 设：)()2sin()(n R n N n x N π=其DFT 为：∑-=-=102)()(N n kn Njen x k X πkn Nj N n e n N ππ210)2sin(--=∑=kn N j N n n Nj nN j e e e j πππ21022)(21--=-∑-=∑-=+----=10)1(2)1(2)(21N n k n Nj k n N j e e j ππ从而∑-=-=-=10220)(21)0(N n n Nj nN j e e j X ππ∑-=--==-=10422)1(21)1(N n n Nj N j j N e j X π0)2(=X0)2(=-N X22)(21)1(102)2(2N j j N e e j N X N n n j n N N j =-=-=-∑-=--ππ以上这串式中)0(X 反映了)(n x 的直流分量，)1(X 是)(n x 的一次谐波，又根据虚实特性)1()1(X N X -=-，而其它分量均为零。
数字信号处理实验指导书2016
《数字信号处理》实验指导书王宏志吕洪武张李梅孙慧然计算机科学与工程学院2016年3月目录网络资源-基于WEB的数字信号处理实验教学系统 .... - 1 - 实验一熟悉MATLAB语言环境 .................................. - 2 - 实验二离散系统分析..................................................... - 7 - 实验三用FFT进行信号的频谱分析............................ - 9 - 实验四用窗函数设计FIR数字滤波器 ......................- 12 - 实验五设计IIR数字滤波器 .......................................- 13 - 实验六随机功率谱估计及MATLAB实现................- 18 - 附录：MATLAB简介 ...................................................- 19 -网络资源基于WEB的数字信号处理实验教学系统/单击”软件下载”即可下载实验系统,如下图所示:软件安装界面如下所示:软件运行界面如下所示:实验一熟悉MATLAB语言环境一、实验目的1．熟悉Matlab的基本使用方法，重点掌握常用于数字信号处理的相关指令。
2．利用Matlab实现序列的显示，运算等，加深对信号处理原理课程所学内容的理解。
二、实验内容及步骤1.双击Matlab 图标，进入主窗口，如图1所示。
其中右侧的是命令窗口(Command Window)。
Current Directory显示的是当前的目录，如果要在命令窗口中直接调用一个M文件，则必须保证其在这个目录下。
不同的机器上，Current Directory可能不同。
图1 进入Matlab时的画面2.下面的操作都在命令窗口(Command Window)中进行。
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j j
括幅频特性和相频特性）曲线。并将其和第 4 步中得到的结果进行比较。
七. 实验报告内容与要求
1． 简述实验目的、实验原理及实验方法和步骤。 2． 对各实验所得结果进行分析和解释。 3． 打印程序清单和要求的各信号波形。 4． 总结实验中的主要结论。 5． 简要回答思考题。
八. 思考
1． 信号的频域特性即信号的傅立叶变换利用 MATLAB 程序如何实现？ 2． 信号的频域特性即频率响应函数 H (e ) 利用 MATLAB 程序如何求取？
4
X (e j ) FT [ x(n)]
n
x ( n) e
j n
（2.1）
序列和信号的傅立叶变换是ω的连续函数， 而计算机只能计算出有限个离散频率点的 函数值。因此在取得频谱函数后，应该在 0～2π之间取许多点，计算这些点的频谱函数 的值，并取它们的包络，该包络才是需要的频率特性。当然，点数取得多一些，该包络才
y(n) 0.05 x(n) 0.05 x(n 1) 0.9 y(n 1) 的响应 y2 (n) ，并绘出 y2 (n) 的时域特性曲
线。
( n) ，并绘出 y1 ( n) 的 5． 利用卷积函数 conv （） 求信号 x1 ( n) 通过系统 h1 (n) 的响应 y1
j 能接近真正得频率特性。通常对 X (e ) 在［0，2π］上取模 X (e ) ，绘出幅频特性曲
j
线进行观察分析。系统的频域特性，通常是指求系统频率响应函数 H (e ) ，即系统单位 脉冲响应 h(n)的傅里叶变换。 对于线性时不变时域离散系统，当系统的输入序列为 x(n) ，系统的单位脉冲响应为 为 h(n) ，则线性时不变系统的输出序列为
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数字信号处理实验徐俊2016年8月目录实验一离散时间系统及系统响应 (2)实验二离散傅立叶变换及其特性验证 (8)实验三时域采样与频域采样 (17)实验四冲激响应不变法IIR数字滤波器设计 (24)实验一离散时间系统及系统响应一、实验目的1、掌握求解离散时间系统脉冲响应和阶跃响应的方法；2、掌握用线性卷积求解离散时间系统响应的基本方法。
二、实验原理与设计方法1、用impz和dstep函数求解离散系统的单位脉冲响应和阶跃响应【例1-1】已知某因果系统的差分方程为系统为零状态，求系统的脉冲响应和阶跃响应。
解：该系统是一个2阶系统，列出b m和a k系数为a0=1，a1=0.5，a2=0，b0=1，b1=0，b2=2MALAB程序如下（取16点作图）：a=[1,0.5,0];b=[1,0,2];n=16;hn=impz(b,a,n); %脉冲响应gn=dstep(b,a,n); %阶跃响应subplot(1,2,1),stem(hn,'k');title('系统的单位脉冲响应');ylabel('h(n)');xlabel('n');axis([0,n,1.1*min(hn),1.1*max(hn)]);subplot(1,2,2),stem(gn,'k');title('系统的单位阶跃响应');ylabel('g(n)');xlabel('n');axis([0,n,1.1*min(gn),1.1*max(gn)]);结果如下图所示：2、用conv函数进行卷积计算求系统响应【例1-2】某离散时间系统的脉冲响应为h b(n)=δ(n)+2.5δ(n-1)+2.5δ(n-2)+δ(n-3)激励信号为设A=444.128，α=50，。
试求该系统在输入信号激励下的响应。
解：MATLAB程序如下：n=1:50; %定义序列的长度是50hb=zeros(1,50); %注意：MA TLAB中数组下标从1开始hb(1)=1;hb(2)=2.5;hb(3)=2.5;hb(4)=1;close all;subplot(3,1,1);stem(hb);title('系统h[n]');m=1:50;T=0.001; %定义序列的长度和采样率A=444.128;a=50*sqrt(2.0)*pi; %设置信号有关的参数w0=50*sqrt(2.0)*pi;x=A*exp(-a*m*T).*sin(w0*m*T);subplot(3,1,2);stem(x);title('输入信号x[n]');y=conv(x,hb);subplot(3,1,3);stem(y);title('输出信号y[n]');结果如下图所示：3、用filter 函数求系统响应线性常系数差分方程是描述离散时间LTI 系统的另一个时域模型，即系统的输入信号x[n]输出信号y[n]关系可以用下面的差分方程来表达∑∑==-=-Mk k Nk kk n x p k n y d][][为了求得系统响应信号的显式表达式（Explicit expression ），必须对差分方程求解。
在MATLAB 中，是用差分方程的系数来描述一个离散时间LTI 系统的。
例如，一个LTI 离散时间系统的差分方程为y[n]+y[n-1]-6y[n-2]=x[n]MATLAB 则用两个系数向量num = [1]和den = [1 1 -6]来描述该系统，其中num 和den 分别表示系统差分方程右边和左边的系数，按照差分运算的递减排列。
在用num 和den 定义了一个离散时间LTI 系统之后，可以利用MA TLAB 来求解系统响应。
求解离散时间系统的响应的一个非常有用的MATLAB 函数就是filter()。
它可以用来求解系统的在输入信号x[n]作用下的零状态响应，也可以求解系统在这个输入信号作用下的完全响应。
其用法描述如下：y = filter(num, den, x)，求系统在输入x 作用下的零状态响应y ，x 与y 的长度相同。
y = filter(num, den, x, ic)，求系统在输入x 作用下的完全响应y ，x 与y 的长度相同。
其中ic 为系统的初始条件（Initial Condition ），即ic = [y[-1], y[-2], y[-3], ......, y[-N]]。
【例1-3】给定一个离散时间LTI 系统，它的差分方程为y[n]+0.1y[n-1]-0.06y[n-2]=x[n]若输入信号为x[n] = 0.5n u[n]，系统的初始条件为ic = [0, 1]，编写程序，绘制输入信号x[n]、系统的零状态响应yzs[n]和系统的完全响应信号y[n]的波形图。
MATLAB程序如下：clear,close all,num = 1; den = [1 .1 -0.06];n = 0:20; x = 0.5.^n.*ones(1,21); ic = [0 .9];yzs = filter(num,den,x); y = filter(num,den,x,ic);subplot(2,2,1)stem(n,x,'.'), title('The input sequence x[n]'), axis([0,20,-0.5,1.5])subplot(2,2,2)stem(n,yzs,'.'), title('The zero-state response yzs[n]'), axis([0,20,-0.5,1.5]),xlabel('Time index n')subplot(2,2,3)stem(n,y,'.'), axis([0,20,-0.5,1.5]), title('The total solution y[n]')xlabel('Time index n')结果如下图所示：三、实验内容1、分别用impz和dstep函数求解下面离散时间系统的脉冲响应和阶跃响应。
（1）系统的差分方程为y(n)=0.8y(n-1)-0.64y(n-2)+0.866x(n)（2）系统的系统函数为2、利用第1题求得的系统的脉冲响应求解系统在激励x(n)=u(n-3)下的响应。
3、利用filter函数求解第1题系统在激励x(n)=u(n-3)下的响应。
四、实验参考MATLAB基础操作1、矩阵输入Matlab有很强的数值矩阵处理能力。
实际上，矩阵和矢量这两个词经常换用。
矩阵是以实数或者复数为元素的长方形矢量。
在输入矩阵时，应遵循下列规则：●整个矩阵用中括号括起来；●同一行的数据用空格或逗号隔开；●不同行用分号隔开。
在Matlab中，列矢量可被当作只有一列的矩阵；行矢量也可被当作是只有一行的矩阵；标量可被当作只有一列的矩阵。
在MATLAB中，用一个列向量来表示一个有限长序列，由于一个列向量并不包含位置信息，因此需要用表示位置的n和表示量值的x两个向量来表示任意一个序列，如：【例】n=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4];x=[2,1,-1,0,1,4,3,7];plot(n,x);运行结果：如果不对向量的位置进行定义，则MATLAB默认该序列的起始位置为n=0。
由于内存有限，MA TLAB不能表示一个无限序列。
2、利用函数输入矩阵例如：zeros：生成一个元素全部为0的矩阵；ones：生成一个元素全部为1的矩阵；eye：生成一个单位矩阵。
A=zeros(2,3) ：生成一个2行3列的全0矩阵；A=0 0 00 0 03、利用plot，stem进行波形绘制●绘图命令plot绘制x-y坐标图;●在绘图过程中，经常要把几个图形在同一个图形窗口中表现出来，而不是简单地叠加．这就用到函数subplot．其调用格式如下：subplot(m,n,p)。
subplot函数把一个图形窗口分割成m×n个子区域，用户可以通过参数p调用个各子绘图区域进行操作．子绘图区域的编号为按行从左至右编号．●stem绘制离散序列图，常用格式stem(y)和stem(x,y)分别和相应的plot函数的绘图规则相同，只是用stem命令绘制的是离散序列图。
实验二 离散傅立叶变换及其特性验证一、实验目的1、掌握离散时间傅立叶变换（DTFT ）的计算方法和编程技术。
2、掌握离散傅立叶变换（DFT ）的计算方法和编程技术。
3、掌握用FFT 对信号作频谱分析。
二、实验原理与设计方法1、离散时间傅立叶变换如果序列x (n )满足绝对可和的条件，即∞<∑∞-∞=n n x |)(|，则其离散时间傅立叶变换定义为：∑∞-∞=-==n nj j en x n x F e X ωω)()]([)( （1）如果x (n )是无限长的，则不能直接用MATLAB 由x (n )计算X (e j ω)，但可以用它来估计X (e j ω)表达式在[0,π]频率区间的值并绘制它的幅频和相频（或实部和虚部）曲线。
如果x (n )是有限长的，则可以用MATLAB 对任意频率ω处的X (e j ω)进行数值计算。
如果要在[0,π]间按等间隔频点估计X (e j ω)，则（1）式可以用矩阵－向量相乘的运算来实现。
假设序列x (n )在N n n n ≤≤1(即不一定在[0, N -1])有N 个样本，要估计下列各点上的X (e j ω)：M k k Mk ...,2,1,0==， πω它们是[0,π]之间的(M +1)个等间隔频点，则（1）式可写成： M k n x ee X Nl l kn Mjj l...,2,1,0)()(1==∑=-， πω （2）将{x (n l )}和{X (e j ωk )}分别排列成向量x 和X ，则有：X=Wx （3） 其中W 是一个(M +1)×N 维矩阵：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤=-M k n n n e N kn M j ...,2,1,0;1， πW将{k }和{n }排成列向量，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n k W T M j πexp 在MA TLAB 中，把序列和下标排成行向量，对（3）式取转置得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k n x X T T T M j πexp其中n T k 是一个N×(M +1)维矩阵。
用MATLAB 实现如下： k=[0:M]; n=[n1:n2]; X=x*(exp(-j*pi/M)).^(n’*k); 2、离散傅立叶变换一个有限长序列的离散傅立叶变换对定义为：10,)()(10-≤≤=∑-=N k W n x k X N n nk N （4） 10,)(1)(1-≤≤=∑-=-N n Wk X Nn x N k kn N （5）以列向量x 和X 形式排列x (n )和X (k )，则式（4）、（5）可写成：X =W N x X W x *1N N=其中矩阵W N 由下式给出：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∆---→↓-≤≤２）（１ 1111,011111N N N N N NN n N n k knNN W W W W k W W 可由下面的MA TLAB 函数dft 和idft 实现离散傅立叶变换运算。