【秋季课程人教版初二数学】第8讲——最短路径问题_教案

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初二数学人教版秋季班(学生版版)第8讲最短路径问题--基础班

第8讲最短路径问题知识点1 将军饮马问题（一）唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．解决办法：从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连接A'B，与河岸线相交于C，如下图所示：则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．【典例】1.要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．【随堂练习】1．（2018•上虞区模拟）如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15°，OB=8，OC 平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（）A．3B．4C．4D．3知识点2 将军饮马问题（二）【典例】1.如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=___________．【随堂练习】1．（2017秋•东城区期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°知识点3 造桥选址问题【典例】【题干】如图（1）A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线L1、L2是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）．（选学）知识点4 几何图形中的最短距离问题【典例】1.（1）问题发现：如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）（2）解决问题：如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）②求这个最短距离．（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²（勾股定理））（3）应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为_______（保留作图痕迹，不写作法）综合运用1. 如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=2018．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为___________．2. 如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2√3cm，E为AB的中点，P 为AD上一点，PE+PB的最小值为_________．3. 如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．4. 如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．5. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）6. 已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON=50°，则∠GOH=__________；②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．7. 如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问：（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）．（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？。

八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计

3.合作交流：分组讨论，分享各自的解题方法，互相借鉴。
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。

八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计

（四）课堂练习
1.设计练习题：根据教学目标和重难点，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
2.独立完成：学生独立完成练习题，提高解决问题的能力。
3.教师指导：针对学生做题过程中遇到的问题，给予个别指导，帮助学生掌握解题方法。
4.评价与反馈：对学生的练习成果进行评价，及时反馈，促使学生改进和提高。
八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的基本概念，了解其在现实生活中的应用，如地图导航、网络路由等。
2.学会使用数学方法求解最短路径问题，包括但不限于：欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等。
3.能够运用所学的最短路径算法解决实际问题，并能够根据问题背景选择合适的算法。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课所学的最短路径问题、欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等知识点进行回顾和总结。
2.学生分享：邀请学生分享自己在学习过程中的收获和感悟，提高学生的表达能力。
3.教师点评：针对学生的分享，给予积极的评价和引导学生认识到数学在解决实际问题中的价值，培养他们勇于探索、积极思考的精神，以及团队合作、尊重他人的品质。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.最短路径问题的基本概念及其在实际中的应用。
2.欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等最短路径求解方法。
3.将实际问题转化为数学模型的能力。
4.培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。
（二）教学难点
1.理解并掌握最短路径算法的原理和步骤。
2.将算法应用于解决实际问题，进行数学建模。
4.掌握最短路径问题的数学表达和建模方法，能够将实际问题转化为数学模型。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应关注以下过程与方法：

人教版初二数学上册《最短路径应用》教案

人教版初二数学上册《最短路径应用》教案一、教学目标- 理解最短路径的概念和应用场景。

- 学会使用迪杰斯特拉算法解决最短路径问题。

- 能够解决实际生活中的最短路径问题。

二、教学内容1. 最短路径的概念介绍。

2. 迪杰斯特拉算法的原理和步骤。

3. 实际案例分析和解决。

三、教学过程1. 导入新知：通过与学生讨论交通路线选择的问题，引入最短路径的概念。

2. 概念解释：向学生解释最短路径的定义和应用场景，例如如何选择最短路线来减少时间和距离。

3. 理论研究：介绍迪杰斯特拉算法的原理和步骤，让学生了解如何通过该算法求解最短路径问题。

4. 实例演示：通过一个实际案例，展示如何运用迪杰斯特拉算法来解决最短路径问题。

让学生参与其中，理解算法的运作过程。

5. 练巩固：提供一些练题目让学生自主尝试解决，并与同学共同讨论答案。

6. 拓展应用：引导学生思考最短路径在其他领域的应用，如物流配送、网络寻路等，并与学生分享一些相关实例。

7. 总结回顾：对本节课的内容进行总结，强调最短路径概念和迪杰斯特拉算法的重要性。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与和理解情况。

2. 练成绩：评估学生在完成练题目时的准确性和独立性。

3. 案例解决：考察学生对实际案例的分析和解决能力。

4. 反馈评价：根据学生对课堂内容的理解和掌握程度，给予相应的反馈和评价。

五、教学反思本节课通过引入最短路径概念和迪杰斯特拉算法，帮助学生了解了最短路径的应用场景和解决方法。

通过实例演示和练习巩固，学生对这一概念有了更深入的理解，并掌握了迪杰斯特拉算法的步骤。

在今后的教学中，可以进一步拓展最短路径的应用领域，提供更多实例让学生进行探索和思考。

人教版八年级数学上册《最短路径问题》教案设计

13.4课题学习最短路径问题)课程设计修改和反思实际问题转化为数学问题来解决。

今天我们就通过几个实际问题学习如何设计最短路径。

（设计意图：在学习本节课之前让学生们清楚学习这节课的知识在解决生活实际问题中有什么作用，同时让学生意识到数学知识应用的广泛性。

）导：相传，古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题:如图，从点A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B 地，到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”。

（设计意图：利用问题故事的形式导入，既激发学生的学习兴趣，又明确的出示了这节课的学习内容。

）知识回顾：1.如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？ABl课程设计修改和反思为什么？2.如图，点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？4.如图，如何做点A 关于直线l 的对称点●┐（设计意图：在学习本节课之前先让学生预习几个知识点，便于这节课学生们能熟练的运用所学的知识解决本节课的内容。

）师：让我们回到刚才出示的问题中，引导学生将实际问题转化为数学问题，并明确作图要求。

A B ① ②③P l A B C D lAA B l抽象成ABl数学问题课程设计修改和反思作图：在直线l 上求作一点C,使AC+BC 最短问题.（设计意图：运用转化的思想，将实际问题抽象成数学问题，用数学思想和方法进行解决。

）思：现在假设点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短？根据是“两点之间，线段最短” “两边之和大于第三边”。

（设计意图：让学生们思考假设点A,B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短的问题，并用数学知识进行验证和推理。

人教版初中八年级上册数学《课题学习最短路径问题》精品教案

13.4 课题学习最短路径问题【知识与技能】1.了解最短路径问题.2.掌握解决最短路径问题的方法.【过程与方法】通过解决最短路径问题的过程培养学生分析问题的能力.【情感态度】通过对最短路径问题的学习，增强应用数学知识解决实际问题的信心.【教学重点】解决最短路径问题.【教学难点】最短路径的选择.一、情景导入，初步认识问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）【教学说明】（1）C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小.作出点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.（2）N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小?将AM沿与河岸垂直方向平移，移动距离为河宽，则A点移到A′点，连接A′B，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管道最短？【分析】本问题就是要在l上找一点C，使AC与CB的和最小.设B′是B关于直线l的对称点，本问题也就是要使AC与CB′的和最小.在连接AB′的线中，线段AB′最短.因此，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求.【教学说明】解决最短路径问题通常运用的知识有“过直线作已知点的对称点”，“两点的所有连线中，线段最短”等.三、师生互动，课堂小结这节课主要学习了最短路径问题，让学生相互交流体会与收获，并总结本课所学知识.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。

最短路径问题教学设计人教版八年级上册数学

13.4课题学习最短路径问题教学设计我们可以将实际问题抽象为数学问题：我们可以把两条桌子看成两条线段AB和CD，E为学生坐的座位，E到AB的点为F，E到CD的点为H，F和H为两动点，当F和H在什么位置时，EF+FH+HE最小？由这个问题，我们可以联想到下面的问题：牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到河对岸的B地喂马.同样的，我们可以简化成几何图形问题：如图，点A，B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用我们以前学过的知识：“两点之间，线段最短”和“直线外一点到直线的距离，垂线段最短”，将A、B两点连接起来，与直线l相交于C点，这个C点即为所求.但是，现在的这个问题和它不同，那我们能不能同样利用“两点之间，线段最短”这个理论呢？我们可以利用轴对称，作E点关于CD的对称点E′，作E点关于AB 的对称点E″，连接E′E″，与AB相交于F点，与CD相交于H点. 以例题结合我们曾经学过的“将军饮马”问题，通过“两点之间，线段最短”来探讨“将军饮马”的变式问题.回顾将军饮马的经典问题，让学生对新知与旧知之间的关系进行对比和分析，从而达到转化新知的目的，通过老师的引导让学生思考最终发现迁移旧知解决新的问题.让学生体会由两定一动一定线型的最短路径问题拓展到一定两动由轴对称的性质可知：EH=E′H，EF=E″F当E″F+E′H+FH最短时，EF+FH+HE最短又∵两点之间，线段最短即：当E′E″成一条线段时，E″F+E′H+FH最短，EF+FH+HE也最短.两定线类型问题间的关系，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识．下边我们来看一看另一类问题问题2：有一个牧民，他喂了一群马，每天早上，牧民都得到放置水桶的E点去取水桶，然后到远处的小河CD处挑水，最后将水挑到水槽AB处，倒入槽中，让马都可以喝到水，那么，牧民怎么走，才能让自己的行进线路最短呢？首先，我们可以把水槽和小河抽象成两条直线，取水点F，可以看成CD上的一个动点，取水回来，将水倒到H点，那么，上面的问题可以转化为：当点F在CD上的什么位置时，EF和FH的和最小.我们可以将E点对称到河对岸，然后比较不同的F点时，这两条线段距离之和.通过轴对称变化和“点到直线的距离，垂线段最短”来解决“将军饮马”的变式问题.让学生自己亲身经历实际问题转化成数学问题的过程，提高学生解决实际问题的能力.。

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教学过程
一、复习预习
1.两点之间，线段最短。

2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

3.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

二、知识讲解
考点1：求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题
讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。

考点2：求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题
讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。

三、例题精析
【例题1】
如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短
【答案】作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与l交于点C，则点C为所求的点。

【解析】在直线l上任取不同于C点的C'点，连接AC’,BC’∵点B和B'关于直线l对称∴CB=CB’、C'B=C'B'∴CA+CB=CA+CB'=AB'∵CA+CB’<C'A+C'B'
∴AB'=CA+CB<C'A+C'B'
【例题2】
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AM+NB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A'，
2.连接A'B交河对岸于点N,
则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。

【解析】由平移的性质，得AM∥A'N且AM=A'N, MN=M'N'，AM'∥A'N'，AM'=A'N'所以A、B两地的距:AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B
若桥的位置建在M'N'处，则AB两地的距离为：AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B
在△A'N'B中，∵A'N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'∴M'N'+A'N'+N'B＞AA'+A'B
所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短。

【例题3】如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
【答案】分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A′，A″；连接A′A″，分别交OM ，ON 于点
B 、点
C ，则点B 、点C 即为所求
【解析】若点取在B'、C'处∵A 和A'关于OM 对称，A 和A''关于ON 对称∴AB=A'B ，AC=A''C ，A'B'=AB'，AC'=A''C'∴ △ABC 的周长ABC △l =AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''.，△AB'C'的周长=AB'+B'C'+C'A=A'B'+B'C'+C'A''>A'A'',∴A'A''长度最小，∴点B 和点C 即为使三角形周长最小的点。

【例题4】如图所示，点A，B分别是直线l上异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短。

【
答案】连接AB与l交于点C，点C即为所求的点。

【解析】两点之间线段最短
【例题5】如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，则选在哪处饮马使总距离最短。

【答案】作点A关于CD的对称点A′，连接A'B，交CD于点M，则M点即为使饮马总距离最短的点。

【解析】在直线CD上任取不同于M点的M'点，连接A'M'、AM'.∵点A和A'关于直线CD对称∴AM'=A'M',AM=A'M,AM+MB=A'M+MB=A'B,AM'+M'B=A'M'+M'B>A'B∴选在M点处饮马使总距离最短。

【例题6】如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP 为最短．
【答案】连接DE交AC于点P，则DE=EP+BP最短。

【解析】在AC上任取不同于P点的P'点∵点B和点D关于直线AC对称∴DP=BP，DP'=BP'
∴EP+BP=EP+DP=DE，EP'+BP'=EP'+DP'∵EP'+DP'>DE∴EP'+BP'>EP+BP,∴点取在P处时EP+BP 为最短
【例题7】如图，点P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求做一点M，使△PQM的周长最短
【答案】作点P关于线段BC所在直线的对称点P'，连接P'Q交BC于点M，则点M即为所求的点。

【解析】在BC上任取不同于M点的M'点，连接PQ、PM、PM'、P'M'、M'Q，∵点P和P'关于B C 所在的直线对称，∴PM=P'M，PM'=P'M'，∴△PQM的周长=PM+MQ+QP=P'M+MQ+QP=P'Q+QP，若点区在M'处，△PQM'的周长=PM'+M'Q+QP
=P'M'+M'Q+QP，∵P'M'+M'Q>P'Q∴P'M'+M'Q+QP>P'Q+QP,∴△PQM'的周长>△PQM的周长,∴点取在M处使△PQM'的周长最短。

【例题8】某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【答案】作法：1.作点C关于直线OA的对称点点D,
2.作点C关于直线OB的对称点点E,
3.连接DE分别交直线OA、OB于点M、N，
则CM+MN+CN最短
【解析】在OA、OB上任取不同于点M、点N的点M'和点N’，连接CM、CM'、DM'、CN、CN'、EN'、M'N'∵点C和D关于射线OA对称，C和E关于射线OB对称，∴CM=DM，
CM'=DM'、CN=EN、CN'=EN'∴CM+MN+CN= DM+MN+EN=DE，CM'+CN'+ M'N'= DM'+ EN'+M'N'∵DM'+ EN'+M'N'> DE∴CM'+CN'+ M'N'> CM+MN+CN∴CM+MN+CN最短。

【例题9】如图，两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+QN 最短
【答案】分别作点P点Q关于直线OA、OB的对称点P'、Q',连接P'Q'分别交射线OA、OB于点M、N，则点M、N即为所求的点。

【解析】在射线OA、OB上任取不同于点M、点N的点M'和点N’，连接PM、PM'、P'M'、QN、QN'、Q'N'，∵点P和P'关于射线OA对称，Q和Q'关于射线OB对称，
∴PM=P'M，PM'=P'M'，QN=Q'N，QN'=Q'N'∴PM+MN+QN=P'M+MN+Q'N=P'Q'
PM'+M'N'+QN'=P'M'+M'N'+Q'N'>P'Q'∴PM'+M'N'+QN'>PM+MN+QN∴点M、点N即为使PM+MN+QN最短的点。

课程小结
1.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置
2.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。