1.1.2 四种命题及其关系
1.1命题及其关系(2)
2.
3.
4.
观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别 有什么关系？
1.
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
2.
p 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； q
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两 个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式.
原结论 是 都是 大于 小于 对所有x,成立 反设词 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 对任何x， 不成立 反设词
不是 不都是 不大于 大于或等于 存在某x， 不成立
一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个 至少有（n+1)个 存在某x， 成立
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若q<1,则方程
x 2x q 0 有实根。
2
（2）若ab=0,则a=0或b=0.
四种命题的真假性关系
1．一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几 种情况： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 真 假 真 真 假 假
┐p
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”
q
┐q
互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题条件的否定和结论的 否定，这两个命题叫做互否命题。
原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直 原命题与其否 线不平行”。 命题的真假是
1.1.2命题及其关系2
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结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是
分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P 则Q”的形式）
注意：三种命题中最难写 的是否命题。
结论2：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不 都”。
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原命题： 命题: 同位角相等，两直线平行。 逆命题： 两直线平行，同位角相等。
否命题： 同位角不相等，两直线不平行。
两直线不平行，同位角不相等。 逆否命题：
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练习： 写出下列命题的逆命题、否命题、 逆否命题，并判定真假。 1 ）若x、y都是奇数, 则x+y是偶数。 2）若x 0,则x 0
2
3）若x=1且y=2,则x+y=3 4）若A B，则C U A C U B
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逆命题：
2、分别写出下列各命题 的逆命题、否命题和逆 否命题： （1）正方形的四边相等。
若X2－３Ｘ＋２＝０， 则Ｘ＝１或Ｘ＝２ 。
否命题：
（2）若X=1或X=2，则 X2－3X+2=0。
若Ｘ１且Ｘ２， 则Ｘ２－３Ｘ＋２ ０。
逆否命题：
式
3
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观察与思考
？
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
1.1.2四种命题及其关系
复习:
问题1.什么是命题？ 在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的， 可以判断真假的陈述句叫命题。 问题2、命题是由哪几部分构成的？ 它由条件和结论两部分构成。 问题3、命题有哪几种？ 真命题，假命题
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。 即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
【问题引入】
下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条 件和结论之间分别有什么关系？ (1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； p q (2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； (3)若f(x)不是正弦函数，则 f(x) 不是周期函数； ┐p ┐q (4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。 互否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫 做互否命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 否 命 题：另一个命题叫做原命题的否命题。 即 原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q
析：原命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等
解:(4)逆命题:若一个四边形的四条边相等， 则这个四边形是正方形; 否命题:若一个四边形不是正方形， 则它的四条边不相等；; 逆否命题:若一个四边形的四条边不相等， 则这个四边形不是正方形;
原命题为真 否命题为假
高中数学- 四种命题 四种命题间的相互关系
1.1.2 四种命题1．1.3 四种命题间的相互关系(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．2．过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．●重点、难点重点：四种命题之间相互的关系．难点：正确区分命题的否定形式及否命题．通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．(教师用书独具)●教学建议这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．●教学流程创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？⇒引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第4页)给出以下四个命题：(1)对顶角相等；(2)相等的两个角是对顶角；(3)不是对顶角的两个角不相等；(4)不相等的两个角不是对顶角；1．你能说出命题(1)与(2)的条件与结论有什么关系吗？【提示】它们的条件和结论恰好互换了．2．命题(1)与(3)的条件与结论有什么关系？命题(1)与(4)呢？【提示】命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．1．为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题，否命题，逆否命题该如何表示？【提示】逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，则綈p.2．原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？【提示】互逆、互否、互为逆否．四种命题的相互关系1．知识1的“问题导思”中四个命题的真假性是怎样的？【提示】(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．2．如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？【提示】原命题为真，其逆命题不一定为真，但其逆否命题一定为真．1．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．2．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.(对应学生用书第5页)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.【思路探究】(1)原命题的条件与结论分别是什么？(2)把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？【自主解答】(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.1．给出一个命题，写出该命题的其他三种命题时，首先考虑弄清所给命题的条件与结论，若给出的命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式．2．把原命题的结论作为条件，条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件，否定结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)若a＞b，则ac2＞bc2.【解】(1)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b；否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．(1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【思路探究】确定条件与结论→写出三种命题→判断真假【自主解答】(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．1．本例题目中命题的条件和结论不明显，为了不出错误，可以先改写成“若p，则q”的形式，再写另外三种命题，进而判断真假．2．要判定四种命题的真假，首先，要正确理解四种命题间的相互关系；其次，正确利用相关知识进行判断推理．若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通过判定其逆否命题的真假来判断．下列命题中正确的是( )①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．A．①②③B．①③C ．②③D ．①【解析】 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．真命题． ②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形．”假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程x 2＋x －m ＝0无实根， ∴判别式Δ＝1＋4m ＜0，m ＜－14.故m ≤0，为真命题． 故正确的命题是①，③选B. 【答案】 B若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．【思路探究】 (1)a ，b ，c 不可能都是奇数包含几种情况？ (2)它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？【自主解答】 若a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数，所以a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2.即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真，所以若a 2＋b 2＝c 2，则a 、b 、c 不可能都是奇数．1．因为“a、b、c不可能都是奇数”这一结论包含多种情况，而其否定只有一种情况，即“a、b、c都是奇数，”故应选择证明它的逆否命题为真命题，以使问题简单化．2．当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略．3．四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a ＜2”，判断其逆否命题的真假．【解】∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0，则4a －7＜0，解得a ＜74.因此a ＜2，原命题是真命题．又互为逆否命题的命题等价，故逆否命题是真命题.(对应学生用书第6页)因否定错误致误写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”的逆命题、否命题，并判断它们的真假．【错解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y全不为零，是假命题．【错因分析】本题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x，y全为零”的否定，应为“x，y不全为零”，而不是“x，y全不为零”．【防范措施】要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，否定时一定要注意一些词语，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．【正解】逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，是真命题．1．写出四种命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．2．四种命题的真假关系：若原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，它的逆否命题一定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同．因此，若一个命题的真假不易判断时，我们可借助它的逆否命题进行判断.(对应学生用书第7页)1．(福州检测)已知a ，b ∈R ，命题“若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12”的否命题是( )A ．若a 2＋b 2＜12，则a ＋b ≠1B ．若a ＋b ＝1，则a 2＋b 2＜12C ．若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12D ．若a 2＋b 2≥12，则a ＋b ＝1【解析】 “a ＋b ＝1”，“a 2＋b 2≥12”的否定分别是“a ＋b ≠1”，“a 2＋b 2＜12”，故否命题为：“若a ＋b ≠1，则a 2＋b 2＜12”．【答案】 C2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题【解析】从两种命题的形式来看是条件与结论换位，因此为逆命题．【答案】 A3．命题“当x＝2时，x2＋x－6＝0”的逆否命题是____．【解析】原命题结论的否定作条件，条件的否定作结论，写出逆否命题即可．【答案】当x2＋x－6≠0时，x≠2.4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．(1)若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.【解】(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.假命题；否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．假命题；逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0.真命题．一、选择题1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是( )A．若p，则綈q B．若q，则綈pC．若綈q，则p D．若綈q，则綈p 【解析】若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．∴“若綈q，则p”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(台州检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(大庆检测)下列判断中不正确的是( )A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题：“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题∴B正确．C中的逆命题为：“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2为假命题，故C不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为( )A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C 中命题的否命题为“若x 2≠9，则x ≠3”为真命题；D 中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D 二、填空题6．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________． 【答案】 若A ∪B ≠B ，则A ⃘B .7．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.【答案】 [1,2]8．(菏泽检测)给定下列命题： ①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解． ②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题． 其中真命题的序号是________．【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ① 三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】 原命题是真命题．逆命题是“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ”，是真命题． 否命题是“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题． 逆否命题是“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．【解】(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a ＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.(教师用书独具)判断命题“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【解】∵m＞0，∴12m＞0，∴12m＋4＞0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝22－4×1×(－3m)＝4＋12m＞0，∴原命题“若m ＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又∵原命题与它的逆否命题等价，∴“若m＞0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题为真．已知ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.【证明】设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab＋2bc＋2cd－2ad －2bc＋2ad＝2，即(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋2ad－2bc＝2，若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＝0，则a＝b＝c＝d＝0，于是ad－bc＜1；若(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2≠0，则(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋d)2＋(a－d)2为正数，所以必有ad－bc＜1.综上，命题“若a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则ad－bc≠1”成立，由原命题与它的逆否命题等价，知原命题也成立，从而原命题得证.21。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
命题和四种命题
真命题
4）两个内角等于45°旳三角形是等腰三角形 真命题
“若p则q”形式旳命题
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具
有“若p则q”旳形式。 p
q
一般,我们把这种形式旳命题中旳p叫做命题旳条
件,q叫做命题旳结论。
“若p则q”形式旳命题是命题旳一种形式而不是 唯一旳形式,也可写成“假如p,那么q” “只要p,就有 q”等形式。
例3.把下列命题改写成“若p则q”旳形 式,并判断真假
（1）垂直于同一种直线旳两条直线 假命题
平行
（2）负数旳平方是负数.
真命题
（3）对顶角相等
真命题
1.1.2 四种命题及其关系
• 下列命题中②，③，④与命题①有何关系？ • ①假如两个三角形全等，那么它们旳面积相等； • ②假如两个三角形旳面积相等，那么它们全等；
例如：若a=0,则ab=0否命题为：
若a≠0,则ab≠0.
观察命题①与命题④旳条件和结论之间分别 有什么关系？
•①假如两个三角形全等，那么它们旳面积相等； •④假如两个三角形旳面积不相等，那么它们不全等；
我们发觉 ④旳条件恰好是①旳 ④旳结论恰好是①旳
结论旳否定, 条件旳否定.
像这么旳两个命题叫做互为逆否命题，其中 一种叫原命题，另一种叫原命题旳逆否命题。
正面 词语 否定
等于 不小于 不等于 不不小于
不不小于
不不不小 于
是 都是 不是 不都是
正面 词语 否定
全 至少有一种 能 P或q P且q
不全 一种也没有 不能 非p且 非p或 非q 非q
例1.写出下列命题旳逆命题、否命题与逆否
命题并判断真假
1原命题：若x2 3x 2 0,则x 2
1.1.2-1.1.3 四种命题及其关系 教案(人教A版选修2-1)
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互第二课时 1.1.2-1.1.3 四种命题及其关系教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系. 教学难点：四种命题的相互关系. 教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假： （1）矩形的对角线互相垂直且平分； （2）函数232y x x =-+有两个零点. 二、讲授新课：1. 教学四种命题的概念：（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系. ②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.⑤例 2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评）3. 小结：四种命题的概念及相互关系.三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+； （3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形； （5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式名称定义表示形式互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题原命题为“若p，则q”；否命题为“若p，则q”互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若q，则p”2.四种命题间的相互关系(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]四种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：原词语等于(＝)大于(>)小于(<)是都是至多有一个否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是至少有两个原词语至少有一个至多有n个任意的任意两个所有的能否定词语一个也没有至少有(n＋1)个某一个(确定的)某两个某些不能1．(1)命题“若y ＝kx ，则x 与y 成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A ．若y ≠kx ，则x 与y 成正比例关系B ．若y ≠kx ，则x 与y 成反比例关系C ．若x 与y 不成正比例关系，则y ≠kxD ．若y ≠kx ，则x 与y 不成正比例关系D [条件的否定为y ≠kx ，结论的否定为x 与y 不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab ≠0，则a ，b 都不为零”的逆否命题是________．若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0 [“ab ≠0”的否定是“ab ＝0”，“a ，b 都不为零”的否定是“a ，b 中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a ，b 至少有一个为零，则ab ＝0”．]四种命题的关系及真假判断(1)对于原命题：“已知a 、b 、c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假 思路二 原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．[规律方法]判断命题真假的方法1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．等价命题的应用1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{a<0Δ＝4a2＋12a≤0，即{a<0－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。
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否命题： 同位角相等，两直线平行; 否命题： A 同位角相等，两直线平行 逆否命题： 两直线平行，同位角相等; 逆否命题： B 两直线平行，同位角相等 原命题： C 同位角不相等，两直线不平行 命题： 同位角不相等，两直线不平行; 逆命题： 两直线不平行，同位角不相等. 逆命题： D 两直线不平行，同位角不相等
2 2
总结： 总结：
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其 ） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。
逆命题、否命题不一定为真 逆命题、
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。 ） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。
但其原命题、 逆否命题不一定为真。 但其原命题、 逆否命题不一定为真。
想一想？ 想一想？
命题及其关系
下列四个命题中,命题 与命题 下列四个命题中 命题(1)与命题 命题 与命题(2)(3)(4)的条 的条 件和结论之间分别有什么关系? 件和结论之间分别有什么关系 (1)若f(x)是正弦函数 则f(x)是周期函数 若 是正弦函数 是正弦函数,则 是周期函数 是周期函数; (2)若f(x)是周期函数 则f(x)是正弦函数 若 是周期函数 是周期函数,则 是正弦函数 是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数 则f(x)不是周期函数 若 不是正弦函数 不是正弦函数,则 不是周期函数 不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数 则f(x)不是正弦函数 若 不是周期函数 不是周期函数,则 不是正弦函数 不是正弦函数;
一、四种命题形式： 四种命题形式： 原命题： 则 原命题：若p则q. 逆命题： 则 逆命题：若q则p. 否命题： 否命题： 若¬p则¬q. 则 逆否命题： 若 则 逆否命题： ¬q则¬p.
例 写 下 原 题 其 三 命 ， 出 列 命 的 他 种 题 并 断 假 判 真 。 （） x ∈ A 则 ∈ A∪ B 1 若 ， x （） ∆ABC中 若 > b 则 A > ∠B 2 在 ， a ， ∠ （） 偶 不 质 3 正 数 是 数 （ 若 ≤ 0,则 程 + x − m = 0无 数 。 4） m 方 x 实 根
下列四个命题中,命题 与命题 下列四个命题中 命题(1)与命题 命题 与命题(2)(3)(4)的 的 条件和结论之间分别有什么关系? 条件和结论之间分别有什么关系 (1)若f(x)是正弦函数 则f(x)是周期函数 若 是正弦函数 是正弦函数,则 是周期函数 (4)若f(x)不是周期函数 则f(x)不是正弦函数 若 不是周期函数 不是周期函数,则 不是正弦函数 不是正弦函数; 命题(1)和(4)叫做互为逆否命题 命题(1)和(4)叫做互为逆否命题.其中一个命题 叫做互为逆否命题. 叫做原命题,另一个叫做原命题的逆否命题. 叫做原命题,另一个叫做原命题的逆否命题. 如果原命题为“ p,则 如果原命题为“若p,则q”, q,则 那么它的逆否命题为 “若┓q,则┓p”.
逆命题： 同位角相等，两直线平行; 逆命题： A 同位角相等，两直线平行 原命题： B 两直线平行，同位角相等 命题： 两直线平行，同位角相等; 逆否命题： 同位角不相等，两直线不平行; 逆否命题： C 同位角不相等，两直线不平行 否命题： 两直线不平行，同位角不相等. 否命题： D 两直线不平行，同位角不相等
如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 原命题： ∪ ∩ 。 逆命题： 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 ∩ ， ∪ 。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 否命题： ∪ ， ∩ 。 逆否命题： 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。 ∩ ， ∪ 。
课堂小结
1、命题的概念 2、能指出命题的条件和结论 四种命题形式： 3、四种命题形式：
2
点拨： 点拨：要正确表示四种命题首先把条 件和结论显化
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的结论的否定形式. 下面是一些常见的结论的否定形式.
原结论 是 都是 大于 小于 反设词 不是 不都是 原结论 至少有一个 反设词 一个也没有
.O P B D
则P是AB、CD 的中点， 是 、 的中点， 连接OP， 连接 ， 由垂径定理的推论，可得： 由垂径定理的推论，可得： ⊥AB，OP⊥CD. OP⊥ ， ⊥ 这与“ 这与“在平面上过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直”相矛盾. 已知直线垂直”相矛盾 不被P平分 ∴弦AB、CD不被 平分 、 不被 平分.
逆否命题： 同位角相等，两直线平行 逆否命题：A 同位角相等，两直线平行; 否命题：B 两直线平行，同位角相等 否命题： 两直线平行，同位角相等; 逆命题： 同位角不相等，两直线不平行; 逆命题：C 同位角不相等，两直线不平行 原命题：D 两直线不平行，同位角不相等 命题： 两直线不平行，同位角不相等.
点拨：正难则反， 点拨：正难则反，看逆否命题
三、反证法 ☆用反证法证明命题的一般步骤： 用反证法证明命题的一般步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结 ）假设命题的结论不成立， 论的反面成立； 论的反面成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证， ）从这个假设出发，经过推理论证， 得出矛盾； 得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定 ）由矛盾判定假设不正确， 命题的结论正确. 命题的结论正确 ☆理论根据：原命题与其逆否命题的等 理论根据： 价性. 价性
原命题： 则 原命题：若p则q. 否命题： 否命题： 若¬p则¬q. 则
让我想一 想
逆命题： 逆命题： 若q则p. 则 逆否命题： 逆否命题： 若¬q则¬p. 则
下列四个命题中,命题 与命题 下列四个命题中 命题(1)与命题 命题 与命题(2)(3)(4)的 的 条件和结论之间分别有什么关系? 条件和结论之间分别有什么关系 (1)若f(x)是正弦函数 则f(x)是周期函数 若 是正弦函数 是正弦函数,则 是周期函数 是周期函数; (3)若f(x)不是正弦函数 则f(x)不是周期函数 若 不是正弦函数 不是正弦函数,则 不是周期函数 不是周期函数; 命题(1)和(3)叫做互否命题 命题(1)和(3)叫做互否命题.其中一个命题叫做 叫做互否命题. 原命题,另一个叫做原命题的否命题. 原命题,另一个叫做原命题的否命题. 如果原命题为 “若p,则q”, p,则 p,则 那么它的否命题为 “若┓p,则┓q”.
二p则q 互 否 互逆 逆命题 若q则p 互 否 逆 命题 ¬q则 若¬q则¬p
命题 ¬p则 若¬p则¬q
互逆
：四种命题的关系相 的
互 逆 的命题
相 的
例 证明：若x + y = 0，则x＝y = 0
2 2
求证：若x + y ≤ 0，则x ≤ 0或y ≤ 0
下列四个命题中,命题 与命题 下列四个命题中 命题(1)与命题 命题 与命题(2)(3)(4)的 的 条件和结论之间分别有什么关系? 条件和结论之间分别有什么关系 (1)若f(x)是正弦函数 则f(x)是周期函数 若 是正弦函数 是正弦函数,则 是周期函数 是周期函数; (2)若f(x)是周期函数 则f(x)是正弦函数 若 是周期函数 是周期函数,则 是正弦函数 是正弦函数; 命题(1)和(2)叫做互逆命题 命题(1)和(2)叫做互逆命题.其中一个命题叫做 叫做互逆命题. 原命题,另一个叫做原命题的逆命题. 原命题,另一个叫做原命题的逆命题. 如果原命题为 “若p,则q”, p,则 那么它的逆命题为 “若q,则p”. q,则
证明： 证明：圆的两条不是直径的相交弦不 能互相平分. 能互相平分
已知： 已知：在⊙O中，弦AB、CD相 A 中 、 相 交于P， 不是直径. 交于 ，且AB、CD不是直径 、 不是直径 求证： 不被P平分 求证：弦AB、CD不被 平分 、 不被 C 证明： 证明： 假设弦AB、CD被P平分， 假设弦AB、CD被 平分， AB
由以上例及总结我们能发现什么？ 由以上例及总结我们能发现什么？
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
探究：四种命题间的相互关系： 探究：四种命题间的相互关系： • （A) 同位角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行; • （B）两直线平行，同位角相等 ）两直线平行，同位角相等; • （C）同位角不相等，两直线不平行 ）同位角不相等，两直线不平行; • （D）两直线不平行，同位角不相等； ）两直线不平行，同位角不相等；
练一练 1.判断下列说法是否正确。 判断下列说法是否正确。 判断下列说法是否正确 （ 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； 对） ）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 ）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 ）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 ）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为（ 四种命题真假的个数可能为（ 四种命题真假的个数可能为 答：0个、2个、4个。 个 个 个 ）个。 （假） （假） （假） （假） （对） （错） （错）
至少有两个 至多有一个 不大于 至少有n 至少有n个 至多有（n-1)个 至多有（ 个 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个 至少有（ 至多有n 个 对所有x, 存在某x， 对任何x 对所有x, 存在某 ， 对任何x， 存在某x， 存在某 ， 成立 不成立 不成立 成立 或 且
练 写 下 原 题 其 三 命 ， 习 出 列 命 的 他 种 题 并 断 假 判 真 （） x 2且 = 3 则 + y = 5 1 若＝ y ， x （） x, y ∈ N， x + y是 数 2 设 若 偶 ， 则 , y都 偶 x 是 数 （） a > b 则 > bc 3 若 ， ac