2016学而思杯数学解析(4年级)
小学思维数学讲义：简单的排列问题-带答案解析
简单的排列问题1.使学生正确理解排列的意义；2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3.掌握排列的计算公式；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（） ．模块一、排列之计算【例 1】 计算：⑴ 25P ；⑵ 4377P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 由排列数公式121m n P n n n n m =---+（）（）（）知：⑴ 255420P =⨯=⑵ 477654840P =⨯⨯⨯=,37765210P =⨯⨯=，所以4377840210630P P -=-=．【答案】⑴20 ⑵630【巩固】 计算：⑴ 2P ；⑵ 32P P -．教学目标例题精讲知识要点【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴ 23326P =⨯= ⑵ 326106541091209030P P -=⨯⨯-⨯=-=． 【答案】⑴6 ⑵30【巩固】 计算：⑴321414P P -； ⑵53633P P -．【考点】简单排列问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 ⑴32141414131214132002P P -=⨯⨯-⨯=； ⑵536333(65432)3212154P P -=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=． 【答案】⑴2002 ⑵2154模块二、排列之排队问题【例 2】 有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四个人中选3人，排在3个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．由排列数公式，共可能有：3443224P =⨯⨯=(种)不同的拍照情况． 也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的拍照情况．【答案】24【巩固】 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？ 【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题．这时4n =，4m =．由排列数公式知，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的排法．【答案】24【巩固】 9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有99P 种不同站法．而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题．方法一：由全排列公式，共有99987654321362880P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的排法． 方法二：根据乘法原理,先排四前个，再排后五个． 4595987654321362880p p ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【答案】362880【巩固】 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且4n =．由全排列公式，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【巩固】 丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n =4．由全排列公式，共有44432124P =⨯⨯⨯=(种)不同的站法．【答案】24【例 3】5个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有_______种？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第8题【解析】5个人全排列有5!120=种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种【答案】60种【例 4】一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站(包括北京和上海)，这条铁路线共需要多少种不同的车票．【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】2141413182P=⨯=(种)．【答案】182【例 5】班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】55120P=(种)．【答案】120【例 6】有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置．我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题．由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中5n=，3m=．由排列数公式知，共可组成3554360P=⨯⨯=(种)不同的信号．【答案】60【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】23326P=⨯=．【答案】6【巩固】在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．由排列数公式，共可以组成333216P=⨯⨯=(种)不同的信号．方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3216⨯⨯=(种)．【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化．【答案】6模块三、排列之数字问题【例 7】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知8n =，4m =，根据排列数公式，一共可以组成4887651680P =⨯⨯⨯=(个)不同的四位数．【答案】1680【巩固】 由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】36120P =． 【答案】120【例 8】 用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有24P 种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：24448P ⨯=(个)． （法2）：从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0的．从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：32545434348P P -=⨯⨯-⨯=(个)．本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【答案】48【例 9】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n =，2m =，根据排列数公式，一共可以组成255420P =⨯=(个)符合题意的三位数．【答案】20【巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有255420P =⨯=(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060⨯=(个)不同的偶数．． 【答案】60【例 10】 由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数，四位数有多少个？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为466543360P =⨯⨯⨯=，由于0不能在千位上，而以0为千位数的四位数有3554360P =⨯⨯=，它们的差就是由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的四位数的个数，即为：36060300-=个．方法二：完成这件事——组成一个四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数； 第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，“组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5543300⨯⨯⨯=(个)．【答案】300【例 11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：⑴一位数只有1个3；⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成22212P=⨯=(个)不同的两位数，共可组成248⨯=(个)不同的两位数；⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成3 33216P=⨯⨯=(个)不同的三位数，共可组成6424⨯=(个)不同的三位数；⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有44432124P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数；⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．【答案】177【例 12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P=种选择．由乘法原理，可以组成33654⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，可以组成245478+=(个)不同的五位数．【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类：⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有39987504P=⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016⨯=(个)．⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即288756P =⨯=，由乘法原理，有1556280⨯⨯=(个)．⑶ 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有116742⨯⨯⨯=(个)． ⑷ 千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个． 综上所述，比5687小的四位数有20162804252343+++=(个)，故5687是第2344个四位数．【答案】2344【例 13】 用数字l ～8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数．共有___种组成方法．【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题 【解析】 l ～8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，符合条件的排列，一定符合“被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1，余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3！×3！×2！=144种方法.【答案】144种【例 14】 由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在 个． 【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有23318⨯⨯=（种），比2008小的2位数有236⨯=（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第21862129++++=（个）． 【答案】29【例 15】 千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多少个? 【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为29，对应的十位数字取07，每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了，因此总共有288P ⨯个这样的四位数．⑵千位数字小于十位数字，千位数字取17，十位数字取39，共有287P ⨯个这样的四位数．所以总共有228887840P P ⨯+⨯=个这样的四位数．【答案】840模块四、排列之策略问题【例 16】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种． 第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．【答案】56【例 17】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？ 【考点】简单排列问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题．由排列数公式，共有：36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问题．由排列公式，共有：36654120P=⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】120【巩固】10个人走进只有6辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取6个，排在6个不同位置的排列问题．共有6101098765151200P=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)不同的坐法．【答案】151200【例 18】一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：此题先确定做中锋的人选，除E以外的四个人任意一个都可以，则有4种选择，确定下来以后，其余4个人对应4个位置，有44432124P=⨯⨯⨯=(种)排列．由乘法原理，42496⨯=，故一共有96种不同的站位方法．方法二：五个人分配到五个位置一共有5554321120P=⨯⨯⨯⨯=(种)排列方式，E能做中锋一共有4 4432124P=⨯⨯⨯=(种)排列方式，则E不能做中锋一共有54541202496P P-=-=种不同的站位方法．【答案】96【例 19】小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO块糖分成了两部分．我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法．【答案】512。
2016学而思杯数学解析(3年级)
【答案】6
2个苹果 +1个桔子 = 5
【分析】
3个苹果 + 3个桔子 + 3个梨 = 5 +13=18
1个苹果 + 2个桔子 + 3个梨 = 13
1个苹果 +1个桔子 +1个梨 = 6
8. 艾迪在纸上从 1 开始写连续的自然数：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12…，当写完某 个自然数的时候停止，发现一共写了 24 个数字“1”，那么，他写的最后一个 自然数是_________．
第二部分 解答题 考生须知：请将第二部分试题解题过程及答案书写在答．题．纸．上
五、计算题（每题 8 分，共 16 分）
17. 竖式计算 （1）17 23 （2） 504 14 【考点】竖式计算 【难度】☆☆ 【答案】（1）391 （2）36 【分析】
（1）
17 2 3
51 34 391
（2） 36
3. 薇儿从家步行去学校．走到全程的一半多 20 米时，碰到艾迪，于是和艾迪结 伴而行．两人结伴走 310 米后，碰到大宽，三人又结伴走了 170 米，刚好走
1
到学校．那么，薇儿家距离学校_________米． 【考点】倒推与还原 【难度】☆☆ 【答案】1000 【分析】全程的后一半路程一共是 20 310 170 500 米，所以薇儿家距离学校
=24 32 23 45
=2400
（2） 272 17125
=16 125 =2 8 125 =2000
六、解答题（每题 15 分，共 30 分）
19. 动物园中有小猴和大猴，饲养员发现 5 只小猴 5 天可以吃 50 个桃子． （1）那么，请问 1 只小猴每天吃多少个桃子？（5 分） （2）后来，饲养员又发现 5 只小猴 4 天吃桃子的数量是 2 只大猴 8 天吃桃子数 量的一半，请问 1 只大猴 1 天吃多少个桃子？（5 分） （3）饲养员准备了一些桃子，如果 1 只小猴和 2 只大猴一起按计划天数吃，则 还差 6 个桃子；如果 2 只小猴和 1 只大猴一起按计划天数吃，则还剩下 18 个桃 子. 请问计划吃多少天？（5 分） 【考点】归一问题 【难度】☆☆☆ 【答案】（1）2 （2）5 （3）8 【分析】（1） 50 5 5=2 （个）
2016学而思杯语文解析(4年级)
2016年第十届北京学而思综合能力测评(学而思杯)语文试卷答案及解析（四年级）第一部分：字词基础能力（18分）一、（8分）1.（4分，每空1分）“名门旺族”的“旺”改为“望”“启事”的“事”改为“示”<解析>本题考查字词书写的正确性。
“名门望族”指的是声望很高的家族，故应为“望”字；这里的“启示”是“启发开导，使之有所领会”的意思，故应为“示”字。
2.（4分）B<解析>本题考查字的含义，考查的内容是字在不同词中的不同意思。
B答案中，“心驰神往”的意思是思想集中在心中向往的地方，“驰”字在这个词语中的意思是“向往”，不是“驾驶”。
二、（10分）3.（6分，每空2分）qián fénɡànɡ<解析>本题考查字音，易错点主要是韵母的正确性和声调的标注。
4.（4分）D<解析>本题考查成语的运用。
A选项中，“春风化雨”原指适宜于草木生长的风雨，后比喻良好的熏陶和教育，故形容教育合理；B选项中，“春去秋来”指春天过去、秋天到来，形容时光流逝，故用在此处合理；C选项中，“满园春色”指到处都是春天的景色，比喻生机盎然的景象，故形容春天合理；D选项中，“妙手回春”意在形容医生医术高超，能把垂危的病人治愈，不可用来形容“画技”，故此选项的成语运用不正确。
第二部分：交流思辨能力（8分）三、（8分）5.（4分）A<解析>本题考查语言的理解能力，主要考查学生对他人“言外之意”的理解。
6.（4分）C<解析>本题考查交流思辨能力，主要考查学生在日常生活中，口语交际的礼貌和语言的得体。
第三部分：综合实践能力（35分）四、（22分，注：这一大题的所有小题中，若学生答案中出现错别字，则该空不得分）7.（6分，每空2分）（1）千呼万唤（2）万紫千红（3）春风得意<解析>本题考查古诗的积累。
“千呼万唤始出来，犹抱琵琶半遮面。
小学思维数学讲义：鸡兔同笼问题(二)-带详解
鸡兔同笼问题（二）教学目标1.熟悉鸡兔同笼的砍足法”和假设法” .2.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象.知识精讲一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了独脚鸡”，每只兔就变成了双脚兔”.这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1 .因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47-35=12 （只）.显然，鸡的只数就是35—12=23 （只）了.这一思路新颖而奇特，其砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.除此之外，鸡兔同笼”问题的经典思路假设法假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到.解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：数二（每只兔子脚数加兔总数-实际脚数）+（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数二（实际脚数-每只鸡脚数加兔总数）+（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法例题精讲两个量的鸡兔同笼”问题一一变例【例1】某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79分，他做对了多少道题？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】做错（5m20—79 ） +（5+2）=3 （道），因此，做对的20—3=17 （道）.【答案】17道【巩固】数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得 100分，实际上只得了 60分，比假设少了 40分，做错一题要 少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道.【答案】15道【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛， 共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣2分.刘钢得了 86分，问他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 这道题也类似于 鸡兔同笼”问题.假设刘钢20道题全对，可得分 5M 20 = 100 （分），但他实际上只 得86分，少了 100—86=14 （分），因此他没做或做错了一些题.由于做对一道题得 5分，没做或做错一道题倒扣 2分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少 5 + 2=7 （分）.14分中含有多少个7,就是刘钢没做或做错多少道题. 所以，刘钢没做或做错题为14= 7 = 2（道），做对题为20—2=18（道）.【答案】18道【巩固】 某次数学竞赛，试题共有 10道，每做对一题得 6分，每做错一题倒扣 2分。
2016学而思杯数学试卷(4年级)
启用前★绝密2016年第十届北京市小学生综合能力测评（学而思杯）数学试卷（四年级）考试时间：90分钟满分：150分第一部分填空题考生须知：请将第一部分所有的答案用2B铅笔填涂在答题卡．．．上一、填空题Ⅰ（每题5分，共20分）1.“两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果2017年“人大会议”和“政协会议”均历时11天，并且两个会议有9天同时进行．那么，2017年的“两会”将一共进行__________天．2.在下面“而”字型数阵图的圆圈内填入适当的数字（数字可以重复使用），使得每条直线上的数字之和都相等，那么左下角的圆圈内应填__________．2613.如图，正六边形被分割成了3个平行四边形，阴影三角形的面积是1，那么正六边形的面积是__________．4.下表中每行，每列分别从左至右、从上至下构成等差数列，那么⨯=__________．m n4 89 1512nm25二、填空题Ⅱ（每题6分，共24分）5.艾迪要把4种不同颜色的墙纸贴到自己的书架中，书架的结构图如下图所示，如果要求每个格子只能贴一种颜色的墙纸，且相邻的格子颜色不能相同，那么共有__________种不同的贴法．6.艾迪和薇儿共有20块巧克力，已知艾迪的巧克力比薇儿多，但是块数不到薇儿的4倍，那么两人的巧克力块数之差有__________种不同的可能．7.有6个互不相同的质数，其中最大数与最小数的和为31，又已知其中有5个质数成等差数列，那么这个等差数列的公差是__________．8.已知一个三位数2aa与一个质数的乘积是2016，则这个质数是__________．9. 大宽在玩捕鱼游戏，每捕一条鱼得5分，累计捕40条鱼后，每捕一条鱼得15分．游戏结束时，大宽算出：他平均每捕到一条鱼得7分．那么，大宽一共捕到了__________条鱼．10. 下面的加法竖式中，所有数字互不相同，其中，数字2、0、1、6已经填好．那么，这个加法竖式的和是__________．+26111. 如果一个自然数全部由数字6组成，就称这个数是“幸运数”；如果一个数可以由6个“幸运数”相加得到，就称这个数是“超幸运数”，例如：2016=666+666+666+6+6+6，所以2016是“超幸运数”．那么，小于1000的“超幸运数”有__________个．12. 下图的每个方格中填入1～6中的一个数字，使每行、每列及每个粗线宫内的六个数字都恰好是1～6．格线上的提示数5 表示两侧格内数字之和是5，提示数6表示两侧格内数字之和是6．相邻两格间没有提示数的，这两格内数字之和不能是5也不能是6．那么，四位数ABCD 等于__________．DC BA 153453565565565565565613.有3个三位数，组成它们的九个数字互不相同．如果每个三位数都是4的倍数，那么，最大的三位数最小是__________．14.森林里住着一家共5只奇怪的猴子，说假话的猴子有4条腿，说真话的猴子有3条或者6条腿，每只猴子都说了一句话：A说：我们共有17条腿．B说：我们共有18条腿．C说：我们共有19条腿．D说：我们共有20条腿．E说：他们中有一个说对了．那么，这一家猴子共有__________条腿．15.将日期5月2日中的5称为“月”，2称为“日”，把2016年1月1日至12月31日中的所有“日”按顺序填入下表，那么，12这个数在左数第三列中出现了__________次．1234567891011121314151617181920212223242526272829303112345678916.两个正六边形的面积都是2016，中间连接一个正方形，那么图中阴影三角形的面积是__________．第二部分 解答题考生须知：请将第二部分试题解题过程及答案书写在答题纸．．．上 五、计算题（每题8分，共16分）17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果： （1）222222654321-+-+-（2）2.4 2.7 6.3 2.49 1.6⨯+⨯+⨯18. 解下列方程或方程组，写出简要的解方程过程与方程的解： （1）21347x x +=-（2）34622x y x y +=⎧⎨+=⎩六、解答题（每题15分，共30分）19. 在一个周长500米的环形跑道上，艾迪和薇儿同时同地出发，背向而行，50秒后两人第一次相遇，相遇后两人继续前行．已知艾迪比薇儿每秒多跑2米，请回答下列问题：（1）薇儿的速度是多少？（5分）（2）6分钟内两人共相遇多少次？（5分）（3）第3次相遇后，艾迪至少还需要再跑多少米才能回到出发点？（5分）20. 对于任意自然数n ，定义：n ∆为不超过n 的所有自然数之和的个位数字，例如4∆表示0123410++++=的个位数字，即40∆=；请回答下列问题： （1）计算：2016∆=__________．（3分）（2）是否存在自然数n 满足()n n ∆∆=，若存在，求出所有满足条件的自然数；若不存在，请说明理由．（6分）（3）计算：(1)(2)(3)(2016)∆+∆+∆++∆ ．（6分）。
2013学而思杯数学解析(4年级)
119 118 1 2 11 190 ；下证无论如何分割，A 值为 190 不变： 方法一：找规律：2 尺的木头 A 1 不变，3 尺的木头 A 3 不变，4 尺的木头 A 6 不变，5
2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷（四年级）详解
一． 填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 请计算：3、5、7、9、11、13 这 6 个数的平均数是__________． 【考点】计算，平均数 【难度】☆ 【答案】8 【分析】公式法： (3 5 7 9 11 13) 6 8 ；或移多补少找到平均值 8.
故丙追上乙时，丙跑了 16 圈，乙跑了 15 圈，甲跑了 18 圈 5400 米.
5
16. A、B、C、D 四个队进行循环赛，即每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得 3 分，负队得 0 分，平局则各得 1 分，每个队只知道自己 3 场比赛的情况． 裁判说：你们的得分互不相同； A 说：虽然我不知道你们的得分，但我肯定是第一； B 说：那我一定是第二，而且我知道 A 得了多少分； C 说：A 说话之前我就知道我是第三． 根据以上信息，这四个队的得分从高到低组成的四位数是__________．
【考点】行程问题，相遇问题 【难度】☆☆ 【答案】220 【分析】第二次走路，两人相遇在中点，说明两人速度相同，为 20 4 24 米每分；故在第一次走路
时，甲速为 24 米每分，乙速为 20 米每分，两人 5 分钟后相遇，故全长为 (20 24) 5 220 米.
3
12. 有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷子各 25 根．在黑暗中，至少应摸出__________ 根筷子，才能保证摸出的筷子至少有 8 双（每两根同色的筷子视为 1 双）．
2016年第六届年测四年级数学解析
月份
1
2
3
4
5
6
降水量（mm） 3
6
9
22
36
74
【考点】平均数 【难度】☆ 【答案】25 【分析】（3+6+9+22+36）÷6=25（mm） 5. 已知三角形的两条边分别是 5 和 15，第三条边是 9 的倍数，第三条边长度是__________ 【考点】三边关系 【难度】☆☆ 【答案】18 【分析】第三边大于两边之差15-5=10，小于两边之和15+5=20,10到20之间的9的倍数为18 二、填空题（共 5 道小题，每题 8 分，共 40 分） 6. 计算：1.3×0.4＋0.2×0.4＋0.4＝ __________． 【考点】小数计算
2016学而思杯数学解析(4年级)
8
再将正六边形进行六等分，一份的面积是 2016 6=336 ，所以，阴影部分面 积是 336 2=672 ．
第二部分 解答题 考生须知：请将第二部分试题解题过程及答案书写在答．题．纸．上 五、计算题（每题 8 分，共 16 分）
10. 下面的加法竖式中，所有数字互不相同，其中，数字 2、0、1、6 已经填好．那 么，这个加法竖式的和是__________．
2
+
6
【考点】数字谜，组合 【难度】☆☆☆
10
【答案】1053 【分析】数字谜出现黄金三角，所以可以确定 c 9 ；因为 e 最小是 3，所以
b 7或8 ．
4
当 b 7 时， e 4 ，此时 a、d、f 三个数分别 3,5,8，无法填出； 当 b 8 时，e 5，此时 a、d、f 三个数分别 3,4,7，经尝试可知 7 2 4 13，
3
8. 已知一个三位数 2aa 与一个质数的乘积是 2016，则这个质数是__________． 【考点】分解质因数与整除，数论 【难度】☆☆ 【答案】7 【分析】有条件可知，2016 除以质数的结果为 2aa ，分别除以 2,3,5,7,11，尝试 可知，这个质数是 7．
三、填空题Ⅲ（每题 7 分，共 28 分） 9. 大宽在玩捕鱼游戏，每捕一条鱼得 5 分，累计捕 40 条鱼后，每捕一条鱼得
3
4
56
5
5
655
6
5
565
5
6 35
1
6
A 5B
C
D5
【考点】数独，组合 【难度】☆☆☆☆ 【答案】2364 【分析】
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【答案】408 6
【分析】要想让最大的三位数最小，则可以让三个三位数分别为1 ， 2 ，
3 ，又因为每个三位数都是 4 的倍数，所以个位只能为 0, 4,6,8 ，只有 6
为个位时十位才能是奇数， 0, 4,8为个位时十位均需要为偶数才能是 4 的倍
15. 将日期 5 月 2 日中的 5 称为“月”，2 称为“日”，把 2016 年 1 月 1 日至 12 月 31 日中的所有“日”按顺序填入下表，那么，12 这个数在左数第三列中出现 了__________次． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9
【考点】枚举法，计数 【难度】☆☆☆☆
【答案】13 【分析】因为 666 66 66 66 66 66 996 1000，所以可以有序枚举出小于
1000 的“超幸运数”有： 3 6 6 6 6 6 6；6 96 66 6 6 6 6 6 ； 156 66 66 6 6 6 6 ； 216 66 66 66 6 6 6 ； 276 66 66 66 66 6 6 ； 336 66 66 66 66 66 6 ； 396 66 66 66 66 66 66 ； 696 666 6 6 6 6 6 ； 756 666 66 6 6 6 6 ； 816 666 66 66 6 6 6； 876 666 66 66 66 6 6； 936 666 66 66 66 66 6 ； 996 666 66 66 66 66 66 ；
3
8. 已知一个三位数 2aa 与一个质数的乘积是 2016，则这个质数是__________． 【考点】分解质因数与整除，数论 【难度】☆☆ 【答案】7 【分析】有条件可知，2016 除以质数的结果为 2aa ，分别除以 2,3,5,7,11，尝试 可知，这个质数是 7．
三、填空题Ⅲ（每题 7 分，共 28 分） 9. 大宽在玩捕鱼游戏，每捕一条鱼得 5 分，累计捕 40 条鱼后，每捕一条鱼得
7
【考点】计算，数列与数表 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】3 【分析】2016 年的“日”只有 29，30，31 三种，由于一行有十个数，所以当 1 个
月有 30“日”时，12 所在的列不变，1 个月有 29“日”时，12 所在的列往前移 动一列，1 个月有 31“日”时，12 所在的列往后移动一列，如下表所示，2 月 份 12 第一次出现在第 5 行第 3 列，2016 年 2 月份有 29“日”，所以 3 月份 12 在第 2 列；2016 年 3 月份有 31“日”，所以 4 月份 12 在第 3 列；2016 年 4 月份有 30“日”，所以 5 月份 12 在第 3 列；2016 年 5 月份有 31“日”，所以 6 月份 12 在第 4 列；……再往后最多往后移动四列，所以第 3 列不会出现 12 了，一共出现三次．
【考点】几何，等积变形 【难度】☆☆☆☆☆ 【答案】672 【分析】如下图所示进行等积变形
8
再将正六边形进行六等分，一份的面积是 2016 6=336 ，所以，阴影部分面 积是 336 2=672 ．
第二部分 解答题 考生须知：请将第二部分试题解题过程及答案书写在答．题．纸．上 五、计算题（每题 8 分，共 16 分）
10. 下面的加法竖式中，所有数字互不相同，其中，数字 2、0、1、6 已经填好．那 么，这个加法竖式的和是__________．
2
+
6
【考点】数字谜，组合 【难度】☆☆☆
10
【答案】1053 【分析】数字谜出现黄金三角，所以可以确定 c 9 ；因为 e 最小是 3，所以
b 7或8 ．
4
当 b 7 时， e 4 ，此时 a、d、f 三个数分别 3,5,8，无法填出； 当 b 8 时，e 5，此时 a、d、f 三个数分别 3,4,7，经尝试可知 7 2 4 13，
15 分．游戏结束时，大宽算出：他平均每捕到一条鱼得 7 分．那么，大宽一 共捕到了__________条鱼． 【考点】列方程解平均数问题，应用题 【难度】☆☆☆ 【答案】50 【分析】设大宽一共捕到了 x 条鱼．根据题意可得： 5 40 15(x 40) 7x ，解 得： x 50 ．所以共捕到了 50 条鱼．
启用前★绝密
2016 年第十届北京市小学生综合能力测评（学而思杯）
数学试卷（四年级）
考试时间：90 分钟
满分：150 分
第一部分 填空题 考生须知：请将第一部分所有的答案用 2B 铅笔填涂在答．题．卡．上
一、填空题Ⅰ（每题 5 分，共 20 分）
1. “两会”是“全国人民代表大会”和“中国人民政治协商会议”的简称，如果 2017 年“人大会议”和“政协会议”均历时 11 天，并且两个会议有 9 天同时进行．那 么，2017 年的“两会”将一共进行__________天．
薇儿的 4 倍，那么两人的巧克力块数之差有__________种不同的可能． 【考点】枚举法，计数 【难度】☆☆
【答案】5 【分析】如果艾迪有 16 块巧克力，薇儿有 4 块巧克力时恰好是是 4 倍．所以艾
迪少于 16 块，薇儿多于 4 块．且艾迪的块数要多于薇儿． 若艾迪有 15 块，则薇儿有 5 块，差为 10； 若艾迪有 14 块，则薇儿有 6 块，差为 8； 若艾迪有 13 块，则薇儿有 7 块，差为 6； 若艾迪有 12 块，则薇儿有 8 块，差为 4； 若艾迪有 11 块，则薇儿有 9 块，差为 2． 所以两人的巧克力块数之差有 5 种可能．
5
12. 下图的每个方格中填入 1～6 中的一个数字，使每行、每列及每个粗线宫内 的六个数字都恰好是 1～6．格线上的提示数 5 表示两侧格内数字之和是 5， 提示数 6 表示两侧格内数字之和是 6．相邻两格间没有提示数的，这两格内
数字之和不能是 5 也不能是 6．那么，四位数 ABCD 等于__________．
数，所以偶数不够用，无法构造；调整最大三位数为 4 个三位数分别为 152，376，408 时满足条件．
，可以得到当三
14. 森林里住着一家共 5 只奇怪的猴子，说假话的猴子有 4 条腿，说真话的猴子
有 3 条或者 6 条腿，每只猴子都说了一句话：
A 说：我们共有 17 条腿．
B 说：我们共有 18 条腿．
（2） 2.4 2.7 6.3 2.4 91.6
= 62 52 42 32
= 6 5 4 3 2 1 =21
22 12
= 2 . 4 2 . 7 6. 3 9 1 . 6 = 9 2 .4 1 . 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
16. 两个正六边形的面积都是 2016，中间连接一个正方形，那么图中阴影三角形 的面积是__________．
即 f 3，所以加法竖式的和是 1053．
a
a
b2
b2
c 6 d +1 91 6 d
10 e f
10 ef
4
82
+1 19 1 6
7
10
53
11. 如果一个自然数全部由数字 6 组成，就称这个数是“幸运数”；如果一个数可 以由 6 个“幸运数”相加得到，就称这个数是“超幸运数”，例如： 2016=666+666+666+6+6+6，所以 2016 是“超幸运数”．那么，小于 1000 的“超 幸运数”有__________个．
2 0 1 6 2 7．
1
3. 如图，正六边形被分割成了 3 个平行四边形，阴影三角形的面积是 1，那么 正六边形的面积是__________．
【考点】图形分割与一半模型，几何 【难度】☆☆
【答案】6 【分析】由一半模型可知，阴影三角形是平行四边形的一半，所以平行四边形的
面积为 2；又因为正六边形被分割成了三个相同的平行四边形，所以正六边 形的面积为 23 6 ．
4. 下表中每行，每列分别从左至右、从上至下构成等差数列，那么
m n __________．
【考点】等差数列 【难度】☆
4
8
9
15
12
n
25
【答案】300 【分析】从上至下是等差数列可得：m 15 ，n 20 ，所以 m n 15 20 300 ．
二、填空题Ⅱ（每题 6 分，共 24 分） 5. 艾迪要把 4 种不同颜色的墙纸贴到自己的书架中，书架的结构图如下图所示，
【考点】容斥原理 【难度】☆
【答案】13 【分析】根据容斥原理，1111 9 13天．
2. 在下面“而”字型数阵图的圆圈内填入适当的数字（数字可以重复使用），使 得每条直线上的数字之和都相等，那么左下角的圆圈内应填__________．
2
0
1
6
【考点】数阵图 【难度】☆ 【答案】7 【分析】因为每条直线上的数字之和相等，所以左下角的圆圈内应填：
如果要求每个格子只能贴一种颜色的墙纸，且相邻的格子颜色不能相同，那 么共有__________种不同的贴法．
2
【考点】加乘原理 【难度】☆☆
【答案】96 【分析】由乘法原理可得：共有 43 2 2 2 96 种不同的贴法． 6. 艾迪和薇儿共有 20 块巧克力，已知艾迪的巧克力比薇儿多，但是块数不到