第十一章压杆稳定
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
静力学11、压杆稳定
Fcr
2 EI l2
μ= 1
2 EI Fcr (0.7l)2
μ= 0.7
2 EI Fcr (0.5 l ) 2
μ= 0.5
2EI Fcr (2l )2
μ= 2
2 EI Fcr l 2
μ= 1
§11.4 欧拉公式的适用范围.经验公式
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.细长压杆的临界应力：临界力除以压杆横截面面积
0
Pcr d EI
k
2d
将边界条件代入统一微分方程的通解得：
式 0
如 图
k 0
1 0 k2
0 1 0
1 0 0
0 0 k
2
C1
C C
2 3
0
sinkL
coskL L 1
k 2 sinkL k 2 coskL 0 0
1 0
Cd4
有非零解的充要条件为：系数行列式值为零；
解得压杆失稳特征方程为：coskL 0
解： (1) 2 E I
Pcr ( l)2
2E d4
64
( l)2
1 16
2E I正
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
( l)2 2E I圆
d2 2
a4 4
I正 I圆
12
d4
12
d4
3
( l)2
64
64
例5：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构
成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相 同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种 载荷作用下杆系所能承受的最大荷载。
60
2. cr=S时: 强度破坏，采用强度公式。
≤ S—粗短杆(小柔度杆)；
表 1 直线公式的系数 a 和 b
第十一章 压杆稳定
使Fcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横
截面对其中性轴的惯性矩。
如销孔类铰链，即所谓的柱状铰。约束特点为：
在垂直于轴销的平面内，轴销对杆的约束相当于铰支；
而在轴销平面内，轴销对杆的约束则接近于固定端。
第十一章 压杆稳定问题
思考：试判断下列压杆长度系数的取值范围
μ>2
0.7<μ<2
cr
2E 2
P
或
2E p
E
p
P
(10 10)
P值仅与弹性模量E及比例极限P 有关， P仅随材料
性质而异。柔度≥P的压杆称大柔度杆。
当 ≥P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧
拉公式。
当＜P时（中、小柔度压杆），不能应用欧拉公式。
第十一章 压杆稳定问题
P 的大小仅取决于压杆材料的 力学性能。例如，对于Q235 钢，E=206GPa， P=200MPa，得
0.7
0.5
欧拉临界压力公式的统一表达式：
Fcr
2EI (l)2
(10 6)
第十一章 压杆稳定问题
Fcr为维持微弯平衡状态最小的压力
各方向约束情况相同时：
Fcr
2EI (l)2
乘积l称为压杆的相当长度或有效长度。 为常数，称长度因素，代表支持方式对临界载荷的
影响。 I＝Imin––– 最小形心主惯性矩
第十一章 压杆稳定问题
压杆的稳定(4学时)
教学内容：压杆稳定的概念，细长压杆的临界力和欧 拉公式，欧拉公式的适用范围，中、小柔度杆的临界 应力，压杆的稳定计算，提高压杆稳定性的措施。 教学要求： 1、了解丧失稳定、临界力的概念，中、小柔度杆的临 界应力，压杆的稳定条件，提高压杆稳定性的措施； 2、理解细长压杆的临界力和欧拉公式，临界应力、惯 性半径、柔度的概念，欧拉公式的适用范围。 重点：细长压杆的临界力和欧拉公式。 难点：细长压杆的临界力和欧拉公式。
材料力学-第十一章-压杆稳定
＝
π2
×
206 52
×109
×
π
×
160 ×10-3 64
4
= 2.6 ×106 N = 2.60 ×103 kN
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ，确定两根杆的临 界载荷
对于两端固定的压杆，就有
F
d2w + k2w = 0 k2 = F
dx 2
EI
M
F
F
w
微分方程的解: w =Asinkx + Bcoskx
边界条件:=x 0= , w 0 :
B=0
=x l= , w 0 :
Asin kl = 0
系数A，B不能全为0：sin kl = 0
= kl nπ , =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
k=2
F n2π 2
EI l2
屈曲位移函数： w = Asin nπ x l
弯曲幅值A取决于弯曲程度，与压力F有关。
分叉点 F
Fcr
材料力学－第11章 压杆稳定
§11-2 两端铰支细长压杆的临界载荷
压杆稳定平衡路径
F
平衡路径
F<Fcr 时，直线平衡态为稳定且唯一的
平衡路径
F>Fcr 时，直线平衡态不稳定，一旦有 扰动，杆将转为弯曲平衡态
=
, =n 1, 2,⋅ ⋅ ⋅
EI l2
临界载荷： F=cr
n2π 2EI , =n
l2
1, 2,⋅ ⋅ ⋅
最小临界载荷：
Fcr
=
π 2EI
l2
工程力学压杆的稳定问题
稳定安全系数一般大于强度安全系数。
例题 ： 1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆为一
端 固 定 、 一 端 铰 支 的 压 杆 。 已 知 杆 长 l=2m ， 直 径 d=65mm，材料的E=210GPa，p=288MPa，顶杆工作 时承受压力F=18.3吨，取稳定安全系数nst=3.0。试校 核该顶杆的稳定性。
①
90
②
l
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
2E I 2E I Pcr 1 2 ， Pcr 2 2 l1 l2
要使P最大，只有 N1、 N2 都达
到临界压力，即
P
（） 1 （） 2
①
P cos P sin
2E cr 2 p
或写成：
2E p
令： 2 E p
p
欧拉公式的 适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
如对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
E p p
2
2 206 109
200 106
应用欧拉公式
654 1012 2 (210 109 ) ( ) 2 EI 64 Fcr N 925.2kN 2 2 (l ) (0.7 2)
Fcr 925.2 103 5.16 n 3 18.3 10 9.8 F
该杆满足稳定性要求
＞ nst 3.0
x l时：v 0
sin kl 0
kl n (n 0,1, 2,)
n k l
材料力学09第十一章 压杆稳定问题
Fcr Fcr min
EI
2
l2
理想中心压杆的欧拉临界力
M(x)= Fcr(-w) =-Fcrw
EIw ' ' M ( x) Fcr w
x Fcr
A
Fcr 2 k 令 EI
w' ' k 2 w 0
与前面获得的结果相同。
w
w l 2 x
2）计算许可载荷[P]
1.5 y 0 : [ P ] P 2 0 [ P] 2.82( KN)
BC cr
§11-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
1. 欧拉公式的应用范围
欧拉临界应力
I 2 EI 2 i Fcr 2 ( l ) A 2 2 2 E E EI Fcr cr 2 ( l ) A ( l ) 2 A ( l ) 2 A
约束越弱，μ系数越大， 临界力Fcr越低，稳定性越差。
其他支座条件下细长压杆的临界压力
由于边界条件不同，则：
2 EI Fcr ( l ) 2
I：最小惯性矩
称为长度系数。
一端固定一端自由：
2
1
两端铰支：
一端铰支一端固定：
临界应力
cr
Fcr A
0.7 0.5
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯 一的平衡状态；
稳定：
理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）
直线平衡状态；
失稳（屈曲）：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 线平衡状态； 临界力 压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
第11章 压杆稳定性问题
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆
第11章压杆稳定
压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，
若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为 两端铰支。已知，杆长l=1m ,材料的弹性模量
E=200GPa，sp=200MPa。求压杆的临界应力。
解：
iy 1 3 ( 0 . 03 0 . 02 ) Iy 12 0.0058m A 0.03 0.02
3.压杆失稳：
弹性杆件 稳定直线平衡
F Fcr
F Fcr
F Fcr
F Fcr
微小扰动 恢复直线平衡 不稳定直线平衡
F Fcr
弯曲 除去扰动
v
弯曲
微小扰动
新的弯曲平衡 随遇平衡
除去扰动
F Fcr 除直线平衡形式外，无穷小邻域内，可能微弯平衡
压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变，称为失稳
一、两端铰支的细长压杆：
x
Fcr
F M(x)=Fw
l m w B m
m
x
m
B y F
x
y
Fcr
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x ) 该截面的弯矩
M ( x ) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw '' M ( x ) Fw
2
（ a）
m
F 令k 得 w '' k 2 w 0 (b) EI
16
4.压杆的临界压力： 稳 定 平 衡 临界状态
过 渡
临界压力：Fcr
不 即：使压杆保持在微 稳 弯状态下平衡的最小 定 轴向力。 平 衡
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
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第十一章 压杆稳定
是非判断题
1 压杆失稳的主要原因是由于外界干扰力的影响。
（ ）
2 同种材料制成的压杆，其柔度愈大愈容易失稳。
（ ）
3 细长压杆受轴向压力作用，当轴向压力大于临界压力时，细长压杆不可能保持平衡。
（ ）
4 若压杆的实际应力小于欧拉公式计算的临界应力，则压杆不失稳（ ）
5 压杆的临界应力值与材料的弹性模量成正比。
（ ）
6 两根材料、长度、截面面积和约束条件都相同的压杆，则其临界力也必定相同。
（ ）
7 若细长杆的横截面面积减小，则临界压力的值必然随之增大。
（ ）
8 压杆的临界应力必然随柔度系数值的增大而减小。
（ ）
9 对于轴向受压杆来说，由于横截面上的正应力均匀分布，因此不必考虑横截面的合理形状问题。
（ ）
填空题
10 在一般情况下，稳定安全系数比强度安全系数要大，这是因为实际压杆总是不可避免地存在 以及 等不利因素的影响。
11 按临界应力总图，1λλ≥的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；1
2λλλ≤≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 ；2λλ≤的压杆称为 ，其临界应力计算公式为 。
12 理想压杆的条件是① ；② ；③ 。
13 压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 ；所以在计算临界压力时，都采
用 的横截面面积A 和惯性矩I 。
14 图示两端铰支压杆的截面为矩形，当其失稳时临界压力F cr = ，挠曲线位于 平
面内。
z C
题15图
15 图示桁架，AB 和BC 为两根细长杆，若EI 1＞EI 2，则结构的临界载荷F cr = 。
16 对于不同柔度的塑性材料压杆，其最大临界应力将不超过材料的 。
17 提高压杆稳定性的措施有 ， ，以及 和 。
18 细长杆的临界力与材料的 有关，为提高低碳钢压杆的稳定性，改用高强度钢不经济，
原因时 。
19 b 为细长杆，结构承载能力将 。
B
P
A C
B D
P
(a)
(b) 20 图示材料相同，直径相等的细长杆中， 杆能承受压力最大； 杆能承受的压力最小。
F
（a (b) (c)
选择题
21 在稳定性计算中，若用欧拉公式算得压杆的临界压力为F cr ，而实际压杆属于中柔度杆，则（ ）。
（A ）并不影响压杆的临界压力值；
（B ）实际的临界压力大于F cr ，是偏于安全的；
（C ）实际的临界压力大于F cr ，是偏于不安全的；
（D ）实际的临界压力小于F cr ，是偏于不安全的；
22 方形截面压杆，2:1:=h b ；如果将b 改为h 后仍为细长杆，临界力cr P 是原来的多少倍( )
（A ）16倍； （B ）8倍； （C ）4倍； （D ）2倍。
b
23 在横截面积等其他条件均相同的条件下，压杆采用图（ ）所示的截面形状，其稳定性最好。
F
500
(A) (B) (C) (D)
题23图 题24图
24 图示边长为1032⨯=a mm 的正方形截面大柔度杆，承受轴向压力F=4π2KN ，弹性模量
E=100GPa 。
则该杆的工作安全系数为（ ）。
（A ）1=w n ； （B ）2=w n ； （C ）3=w n ； （D ）4=w n 。
25 图示结构二杆材料和截面形状与尺寸相同，均为细长杆，若在平面内失稳而破坏，则结构的临界载荷，沿（ ）方位作用时，其值最小；沿（ ）方位作用时，其值最大。
（A ）00=θ； （B ）090=θ；
（B ）030=θ； （D ）使二杆同时进入临界状态的θ值。
B
A 300 C
计算题
26 图示简单托架，其撑杆AB 为圆截面木杆，若架上受集度为q=24KN/m 的均布荷载作用，AB 两端为铰支，木材的E=10GPa ，p σ=20MPa ，规定的稳定安全系数st n =3，试校核AB 杆的稳定性。
27 一端固定一端铰支压杆的长度L=1.5m ，材料为A3钢，其弹性模量E=205GPa ，p σ=200MPa ，S σ=240MPa 。
已知截面面积A=800mm 2，若截面的形状分别为实心圆形和D d =的空心圆管，试分别计算各杆的临界压力。
若用经验公式，A3钢计算临界应力的直线公式为λσ12.1304-=cr （单位Mpa ）。
28 图示结构，1、2两杆长度、面积均相同，1杆为圆截面，2杆为圆环截面。
A=900mm 2，材料的E=200GPa ，p λ=100，s λ=，临界应力经验公式为λσ12.1304-=cr (MPa)，求两杆的临界力及结构失稳时的载荷F 。
取6.0/22=D d 。