北京市清华附中2020学年高一下学期期末考试数学试题(无答案)新人教A版
清华附中高一第二学期期末试卷数学
（选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）
1．下列各角中，是第三象限的角为( )
A ．480-︒
B ．32π
C ．720︒
D ．450︒ 2.已知角α的终边经过点（-3，4），则tan α=（ ）
A ．
43 B ． -43 C ． 34 D ． -3
4 3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为 ( ) A.6
5 B.65
C. 2 D ．2 4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A.318
B.418
C.518
D.618
5．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，
直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，
以下结论中正确的是( )
A ．直线l 在y 轴上的截距是回归系数
B ．x 和y 的回归系数在0到1之间
C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
D ．直线l 过点(x ，y )
6．用秦九韶算法求多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1在x ＝0.4时的值时，需要做的乘法和加法的次数分别是( )
A ．6,6
B ．5,6
C ．5,5
D ．6,5 7．为了得到函数sin(2)3y x π
=-的图像，只需把函数
sin(2)6
y x π=+的图像( ) A 向左平移4π个长度单位 B 向右平移4
π个长度单位 C 向左平移2π个长度单位 D 向右平移2
π个长度单位
8． 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算b a ⊗,运算原结束
开始 是
否 输入两个数a 和b b a ≥输出a 输出2
b
理如右图所示，则函数)100(lg )45(tan )(x x x x f ⊗-⋅⊗=π（]2,2[-∈x ）的最大值等于（“•”和“-”仍为通常的乘法和减法）( ) A ．1- B ．1 C ．6 D ．12
一、 填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．函数()tan 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的单调增区间为 10．中央电视台青年歌手大奖赛的9位评委为参赛选手甲给出的分数，如
茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为
91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清．若记分
员计算无误，则数字x 应该是________．
11．如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (厘米)和时间t (秒)的函数关系是
2sin(2),[0,)4
S t t π=+∈+∞，则摆球往复摆动一次所需要的时间是_____秒．
12．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：2()f x x =，1()f x x
=，()e x f x =，()sin f x x =，则可以输出的函数是 .
13．已知12,(0,)x x π∈且12x x <，则下列五个不等式：
①1212sin sin x x x x <；②12sin sin x x <； ③12121(sin sin )sin()22x x x x ++<；④12sin sin 22
x x >；
⑤1212sin sin 22x x x x >． 其中正确的序号是 ．
14. 设函数()sin |sin |4f x x x a =--,若1a =时,()f x 的最小值是 ；若对任意[0,]2x π
∈，
()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是 .
二、 解答题（本题共6个小题，共80分）
15．(本小题满分13分)若函数)sin(ϕω+=x A y (0,0ωϕπ><<)在一个周期内的图象如下，则
（1）写出函数的周期；
（2）求函数的解析式；
（3）求函数的单调增区间.
16．(本小题满分13分)为了解学生身高情况，某校以10%的比
例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况
的统计图如图：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185cm 之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190cm 之间的男生中任选2人，求至
少有1人身高在185～190cm 之间的概率．
17. (本小题满分14分)已知2tan =α，求
（1）4sin()2cos 5sin 3cos()
παααα-++-的值； （2）2cos sin 3sin 52-+ααα的值.
18．(本小题满分13分)从参加高一年级某次模块考试中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)估计这次测试数学成绩的平均分；
(2)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同，且都在96分以上．现用简单随机抽样的方法，从94,95,96,97,98,99这6个数中任取2个数，求这两个数恰好是在[90,100]段的两个学生的数学成绩的概率．
19．(本小题满分13分)已知c bx x x f R c b ++=∈2
)(,,，对任意R ∈βα,，都有0)cos 2(,0)(sin ≤+≥βαf f
（1）求)1(f 的值；
（2）证明：3≥c ；
（3）设)(sin αf 的最大值10，求)(x f .
20．(本小题满分14分)已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得对)(x f ，(),()f a x f a x +-有定义的所有x 都有()()f a x f a x b ++-=恒成立，则称)(x f 为“п-函数”.
（Ⅰ）判断函数12()2sin ,()ln f x x f x x ==是否是“п-函数”；
（Ⅱ）若x x f tan )(3=是一个“п-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a (参考公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
--=+)； （Ⅲ）若定义域为R 的函数)(x f 是“п-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和(1,2).当(0,1]x ∈时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域.。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.现有这么一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…，按照规律，（ ）中的数应为（ ）. A.916B.1116C.12D.11182. 设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A.ac bc >B.11a b< C.20c a b≥- D.11a b a>-3. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD = A. 14AB +34AC B.34AB +14AC C.13AB +23AC D.23AB +13AC 4. 设单位向量1cos 3e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则cos 2α的值为（ ）A.79B.12-C.79-D.35. 已知ABC 中，23,22,4a b B π===，那么满足条件的ABC（ ） A. 有一个解 B. 有两个解C. 不能确定D. 无解6.已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212-a a b的值是 ( ) A.12B.12-C.12或12-D.147. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中22tan tan a B b A =，那么ABC 一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形9. 已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（ ） A.5665-B.1665-C. 3365D.636510. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A.85 B.415C.215511. 设G 是ABC 的重心，且()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=，若ABC 外接圆的半径为1，则ABC 的面积为（ ）A. 33B.33C. 34D.91612.当x θ=时，函数()2cos f x sinx x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A. -215510B.2515+ C. 10 D.310第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 当1x >时，41x x +-的最小值为______. 14. 在ABC 中，tan ,tan A B 是方程22370x x +-=的两根，则tan C =_______．15. 如图，在半径为3的圆上，C 为圆心，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若||||+=-AC CB AC CB ，则AB AC ⋅=_____．16.已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n +=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*4()1nnT n N n λ≤∈+恒成立，则λ的最小值是_______．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). （1）求顶点D 的坐标；（2）求AC 与BD 所成夹角的余弦值．18. （11分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且234,1,a a a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2,,n n na nb log a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T ． 19. （11分）已知向量()cos 3m x x=，(cos ,cos )n x x =且函数()f x m n =⋅.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）求函数()f x 在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时的值域； （2）设α是第一象限角，且112610f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求sin()4cos(22)παπα++的值. 20. （12分）首届世界低碳经济大会的主题为“节能减排，绿色生态”.某企业在国家科研部门的支持下，投资810万元生产并经营共享单车，第一年维护费为10万元，以后每年增加20万元，每年收入租金300万元.（1）若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案： ①纯利润总和最大时，以100万元转让经营权；②年平均利润最大时以460万元转让经营权，问哪种方案更优？21. （12分）已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=-. （1）求A ；（2）从下列条件中：①3a =②3ABCS=中任选一个作为已知条件，求ABC 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22. （14分）函数()f x 满足：对任意,R αβ∈，都有()g()()αβαββα=+f f ，且(2)2f =，数列{}n a 满足()()2+=∈nn a f n N .（1）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列}{nb 前n 项和为n S ，且(1)nn n n ba +=，问是否存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. A 【解析】 【分析】根据题意得出每个数的分母为2n ，分子为连续的奇数，即可求解.【详解】由题意知，一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…， 可得每个数的分母为2,n n N ∈，分子为连续的奇数，所以（ ）中的数应为916故选：A.【点睛】本题主要考查了数列的项的归纳推理，其中解答中根据数的排列，找出数字的规律是解答的关键，着重考查了归纳推理的应用. 2. C密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【解析】【分析】根据不等式的性质，直接判断即可. 【详解】对A ，当0c时，不成立，故A 错对B ，若a 为正数，b 为负数，不成立，故B 错对C ，由a b >，所以0a b ->，所以20c a b ≥-成立，故C 正确对D ，当2,1a b ==-时，11a b a>-不成立，故D 错 故选：C【点睛】本题考查不等式的性质，选择题可以使用特殊值法，便于计算，属基础题. 3. C 【解析】 分析】根据向量减法和2BD DC =用,AB AC 表示BD ，再根据向量加法用,AB BD 表示AD .【详解】如图：因22,()33BC AC AB BD BC AC AB =-==-，所以212()333AD AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+，故选C. 【点睛】本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解. 4. A【解析】 由题设可得2218cos 1cos 99αα+=⇒=，则27cos 22cos 19αα=-=，应选答案A ． 5. B 【解析】 【分析】通过比较sin a B 与b 的大小关系，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：23,22,4a b B π===2sin 2362==a B 622<=<b a 所以可知ABC 有两个解故选：B【点睛】本题考查两边及其一边所对应的角判定三角形个数，掌握比较方法以及正弦定理的使用，属基础题. 6. A【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ，则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ，则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a a b --==.本题选择A 选项.7. B 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十四日所织尺数． 【详解】设第一天织1a 尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，由已知得1111721284715a d a d a d a d +⎧⎨+++++⎩＝＝解得：111a d ==， ，∴第十四日所织尺数为14113113114=+=+⨯=a a d ．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题． 8. D 【解析】 【分析】根据正弦定理sin sin a bA B =，将等式中的边,a b 消去，化为关于角,A B的等式，整理化简可得角,A B 的关系，进而确定三角形ABC 的形状．【详解】由正弦定理可得：22sin tan sin tan =A B B A ，整理得sin cos sin cos A A B B =，因此有11sin 2sin 222A B =，可得22A B =或22A B π=-， 当22A B =时，ABC 为等腰三角形；当22A B π=-时，有2A B π+=，ABC 为直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查通过正弦定理化简判定三角形形状，熟悉正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属基础题. 9. D 【解析】 【分析】 计算得到4cos 5α=，()12sin 13αβ+=，再根据()sin sin βαβα=+-展开得到答案. 【详解】α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，故4cos 5α=，()12sin 13αβ+=. ()()()63sin sin sin cos cos sin 65βαβααβααβα=+-=+-+=.故选：D . 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力. 10. B 【解析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒ 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离415AB =故选B点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题． 11. B 【解析】 【分析】根据G 是三角形ABC 的重心得到0GA GB GC ++=，结合已知条件进行化简，求得sin sin sin A B C ==，由此判断出三角形ABC 是等边三角形，再结合三角形ABC 外接圆半径以及正弦定理，求得三角形ABC 的边长，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】∵G 是ABC 的重心，∴0GA GB GC ++=，则GA GB GC =--，代入()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=得，()()sin sin sin sin 0A B GB A C GC -+-=，∵GB GC ⋅不共线，∴sin sin 0A B -=且sin sin 0A C -=， 即sin sin sin A B C ==，∴ABC 是等边三角形，又ABC 外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，22sin 60aR ==︒，则3a =∴2333ABC S ==△.故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角形重心的向量表示，考查正弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. A 【解析】 【分析】利用辅助角公式可知函数min ()f x ，然后把x θ=代入结合平方关系可得sin ,cos θθ，最后利用两角和的正弦公式计算可得结果. 详解】由题可知：()()2cos 5,tan 2ϕϕ=+=+=f x sinx x x所以min ()5=-f x 2cos 5θθ+=-sin密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以225sin sin 2cos 5sin cos 125cos 5θθθθθ⎧=⎪⎧+=-⎪⎪⎨⎨+=⎪⎩⎪=-⎪⎩所以2155sin sin cos cos sin 33310πππθθθ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及平方关系，还考查了两角和的正弦公式，着重考查计算，属基础题.第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 5 【解析】 【分析】将所求代数式变形为()4111x x -++-，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】1x >，10x ∴->，由基本不等式得()()444112115111x x x x x x +=-++≥-⋅=---. 当且仅当3x =时，等号成立.因此，41x x +-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 14.13【解析】 【分析】根据韦达定理以及两角和的正切公式计算即可.【详解】由题可知：tan ,tan A B 是方程22370x x +-=的两根所以37tan tan ,tan tan 22+=-=-A B A B 所以()tan tan tan tan 1tan tan 13+=-+=-=-A B C A B A B故答案为：13【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，牢记公式，细心计算，属基础题. 15. 9 【解析】 【分析】化简||||+=-AC CB AC CB ，两边平方可得0AC CB ⋅=，然后将AB 用,CA CB 表示，然后进行计算即可.【详解】由题可知：||||+=-AC CB AC CB ，两边平方可得0AC CB ⋅=AB CB CA =-所以()()229⋅=-⋅-=-⋅==AB AC CB CA CA CA CA CB CA故答案为：9【点睛】本题考查向量的运算以及向量的数量积，属基础题. 16. 32 【解析】 【分析】依据题意可得2=2n a n ，然后可得n b ，利用裂项相消法可得nT ，最密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题后化简以及函数的单调性可得结果.【详解】由题可知：1212a a ++…21+=+n a n n n ① 当2n ≥时，1212a a ++…()211111-+=-+--n a n n n ② ①-②是可得：12n a n n =，所以()2=22≥n a n n当1n =时，1=2a 符合上式，所以()2=2*∈n a n n N则()()2222121211114411+⎛⎫++===- ⎪ ⎪++⎝⎭n n n n n b a a n n n n 所以()122222*********...1...422331⎛⎫ ⎪=+++=-+-+++- ⎪+⎝⎭n n T b b b n n 所以()()()2221114141⎛⎫+ ⎪=-=⎪++⎝⎭n n n T n n又41λ≤+n n T n ，所以()()22111124411λλ+⇒≥+⨯=≤+++++n n n n n n n n又函数()111f x x =++在()0,∞+单调递减 所以max 13112⎛⎫+= ⎪+⎝⎭n 所以*4()1n n T n N n λ≤∈+恒成立，则32λ≥故答案为：32【点睛】本题主要考查裂项相消法求和以及数列中恒成立问题，审清题意，细心计算，属中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）(2,2)；（2）685.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示，计算AB DC =，可得结果. （2）用坐标表示AC ，BD ，然后根据平面向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）设顶点D 的坐标为(,)x y ．(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，(1(2),31)(1,2)AB ∴=----=，(3,4)DC x y =--，又AB DC =，所以(1,2)(3,4)x y =--．即13,24,x y =-⎧⎨=-⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩所以顶点D 的坐标为(2,2)． （2）由22(5,3),||5334AC OC OA AC =-==+=22(3,1),||3(1)10BD OD OB BD =-=-=+-=353(1)12AC BD ⋅=⨯+⨯-=685cos ,||||3410AC BD AC BD AC BD ⋅∴<>===⋅⨯【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量夹角公式，重在明白向量坐标的表示方法以及夹角公式的记忆，属基础题. 18. （1）12n n a -=；（2）224133=+-n n T n .【解析】 【分析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）依题意利用等差数列的性质可得22a=，然后利用等比数列通项公式计算即可.（2）由（1）的结论可得12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，然后利用分组求和，可得结果.【详解】（1）由题意可得()32421a a a +=+，即()2222214a a a +=+，解得：22a =，∴2112a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数21232=+++⋯+n n T b b b b3242152162()()-+++⋯++++⋯=++n n n T b b b b b b b b()024*******(13521）-=+++⋯+++++⋯+-n n T n2214(121)4114233-+-=+=+--n nn n n T n 【点睛】本题主要考查数列分组求和，掌握常用的求和方法：公式法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法等，属基础题.19. （1）1[,1]2-；（2）522-.【解析】【分析】（1）用坐标表示向量的数量积以及辅助角公式可得 （1）1()sin(2)62f x x π=++，然后使用整体法以及正弦函数的性质可得结果.（2）根据（1）的条件可得3cos 5α=，然后使用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式化简求值即可. 【详解】(1)由2()cos 3sin cos f x m n x x x =⋅=()1311cos 22sin(2)2262π=+=++f x x x x50,22666x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ 1sin(2)[1,]62x π∴+∈-，则()f x 的值域为1[,1]2-（2）π11(),2610f α+=ππ111 sin 2()266210α⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 则π3sin()25α+=即3cos 5α= ，又α为第一象限的角，则4sin 5α22π2sin()cos )42cos(2π2)c 2cos )2co o s s 2sin ααααααααα++==++-则πsin()4cos(2π2)2522cos sin 2αααα==--++【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示以及正弦型函数的性质，考查三角恒等变形，本题重在考查公式的应用以及计算能力的培养，属中档题.20. （1）从第4年开始获取纯利润；（2）方案②. 【解析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【分析】（1）依据题意可知每年的维护费用满足的是等差数列，然后可得利润2300(81010)y n n =-+，令0y >，简单计算以及判断可得结果.（2）根据（1）的结论可计算方案①所获利润，计算2300(81010)--=n n W n结合基本不等式可得所获利润，然后进行比较可得结果.【详解】（1）设第n 年获取利润为y 万元，n 年共收入租金300n 万元，付出维护费构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共2(1)1020102n n n n -+⨯=因此利润2300(81010)y n n =-+ 令0y >，解得：327n <<所以从第4年开始获取纯利润．（2）方案①：纯利润22300(81010)10(15)1440y n n n =-+=--+ 所以15年后共获利润：1440+100=1540（万元） 方案②：年平均利润2300(81010)810300(10)n n W n n n--==-+810300210120n n≤-⨯= 当且仅当81010n n =，即n =9时取等号所以9年后共获利润：120×9+460=1540（万元）综上：两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．【点睛】本题考查数列模型的应用问题，审清题意，理清思路，细心就算，属中档题. 21.（1）3A π=；（2）选择①，(23,33；选择②，[6,) +∞. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理将角化边计算可得1cos 2A =，最后可得结果.（2）选①根据正弦定理以及辅助角公式化简可得周长23)36π=+l B ，然后根据角度范围可得结果；选②可得bc ，然后结合余弦定理以及不等式可得结果. 【详解】（1）因为()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=- 由正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=由余弦定理得2221cos ,(0,)22b c a A A bc π+-==∈所以3A π=（2）选择①3a =由正弦定理2sin sin sin b c aB C A===， 即ABC 周长22sin 2sin 32sin 2sin()33l B C B B π=+=+- 3sin 33B B =23)36B π=+251 (0,) ,sin()1366626B B B πππππ∈∴<+<<+≤密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题即ABC 周长的取值范围(23,33选择②3ABCS.，得13sin 324ABC S bc A bc ===△，得4bc =.由余弦定理得22222()3()12,a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-即ABC 周长2()12,l a b c b c b c =++=+-+24b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立 2 41246l a b c ∴=++-= 即ABC 周长的取值范围[6,) +∞【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式解三角形，注意边角如何转化，以及求范围问题常会转化为三角函数或者不等式的应用，属中档题.22. （1）证明见解析；2n n a n =⋅；（2）存在，4. 【解析】【分析】（1）依据题意计算()()()1122222,++==⋅+⋅n n nn a f f f 然后可得1122n n n a a ++=+，根据递推关系以及等差数列的定义可得结果. （2）根据（1）的结论可得12n nn b +=，然后利用错位相减法可得n S ，最后构造函数，利用函数的单调性可得结果.【详解】（1）()()112,22,=∴==n n a f a f()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅1122n n n a a ++∴=+， 11122n nn na a ++∴-= 2n na ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为112a =，公差为1，,22nn n na n a n ∴∴==⋅.（2）由(1)12n n n n n n b a ++==23111111234(1)22222n n nS n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ 2311111123(1)22222n n n S n n +=⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减得121111111133(1)22222222n n n n n S n +++=+++-+⨯+=-332n nn S +∴=-，假设存在正整数m ， 使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，即2160m m +-> 由指数函数与一次函数单调性知：()216m F m m =+- m N +∈为增函数.又因为34(3)231650,(4)241640F F =+-=-<=+-=> 所以当4m ≥时恒有()2160m F m m =+->成立. 故存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立， 所以m 的最小值为4.【点睛】本题考查根据递推关系证明等差数列以及错位相减法求和，还考查了数列恒等式问题，本题关键在于得到1122n n n a a ++=+，考查分析能力以及计算能力，属中档题.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高一下学期数学期末练习题(原卷版).docx
人大附中2019〜2020学年度高一年级第二学期阶段检测数学试卷必修第四册学分认定考核试卷说明：本试卷选择题（L10题）为客观性试题（闭卷30分钟，共40分），填空题与四道大题（11-19题）为主观性试题（开卷60分钟，共60分（其中含卷面书写分5分）），全卷共100 分；请将答案写在答题纸的相应位置上.一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）1.下面四个说法中，正确说法的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若M , M c /3 , a[}/3 = l，则Mel；（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.A. 1B. 2C. 3D. 42.设m是一条直线，a、”是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若a L/3 , m±a ,则m//]3B.若a L/3 , mil a ,则mL （3C 若al I（3 , m±a ,则m±j3D.若allf3 , mlla ,则rn///33.在M WC中，ZABC = ~, AB 逐,BC = 3,则AC 等于（）6A. ^3B. 3C. V21D. 214.在△A3C中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A. b = 10, A = 45°, C = 70°B.。
= 60, c = 48, B = 60°C 0 = 8, b = 5, A=80° D. a = 13, b = 16, A = 45°5.若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是5■，则圆柱的体积为（6. 把边长为4的正方形ABC 。
，沿对角线BZ ）折成空间四边形ABCD ，使得平面ABD1.平面BCD,则 空间四边形ABC 。
的对角线AC 的长为（）A. 4B. 4也C. 2D. 2^27. 在△ABC 中，a = 2, 3 = 45°, C = 105°,则△ABC 的面积是（）A. 2 + ^2B. 2^3C. 1 + ^/3D. 2^28. 已知过球面上A,3,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB = BC = CA = 2,则球面积是 （）16 8 64A. —7iB. —reC.—兀D.物9 3 9 9. 如图，在正方体ABCD-A^C.D,中，点p 在面对角线AC±运动，给出下列四个命题：①“P 〃平面；②D.PLBD-③平面PDB l A 平面\BC ｛；④三棱锥A - BPC X 的体积不变.则其中所有正确命二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题纸中相应位置上.11.在△ABC 中，角A, B, C 的对边分别为a, b, c a 2 + c 2-b~ J3ac ，则角3的大小为■B.②③④C.①③④D.①②④10.三棱锥V-ABC 中, 侧面VBC1.底面 ABC, /ABC = 45° , VA = VB, AC = AB.^\ ( )B. VB±ACC. VA±BCD. VC LAB题的序号是（）A.①②③ A. AC1BC12.在△ABC中，若b = £，c = 3, 3 = 30°，则。
北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学2024.7一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，且，则a 可以为（）A. －2B. －1C.D.2.在复平面内，复数对应点的坐标为，则（ ）A. B. C. D. 3. 若向量，，，则（ ）A.B. C. 4D. 4. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 5. 下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（ ）A. B. C D. 6. 已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D. 7. 若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数茎叶图如图所.的{}220A x x =-<a A ∈321iz+()2,1-z =13i +3i +3i-+13i--()2,5a = ()1,2b x x =-+ a b ⊥ x =1717-4-()f x =()1,1-()()1,12,-+∞ [)2,+∞()[)1,12,∞-⋃+ππ,04⎛⎫⎪⎝⎭tan y x =sin y x =212cos y x=-sin cos y x x=-1x <-210x ->12x x+<-sin 0x x ->cos 0x x +>{}n a {}n a {}n a ()*312N n n n n a a a a n +++⋅=⋅∈示，则下列结论错误的是（ ）A. 甲命中个数的极差为29B. 乙命中个数的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲每组命中个数的中位数是259. 已知，，，，成等比数列，且其中两项分别为1，9，则的最小值为（ ）A. B. C.D.10. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）A. 72B. 74C. 76D. 78二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设是等差数列，且，，则数列的前项和_____________.12. 现有甲、乙、丙、丁、戊五种智慧黑板，某学校要从中随机选取3种作为教学工具备选，则其中甲、乙、丙中至多有2种被选取的概率为_____________.13. 函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为______，若函数存在极值，则的取值范围为______.14. 已知函数，则_____________.15. 若等差数列满足.对，在中的所有项组成集合.记中最小值为，最大值为，元素个数为，所有元素和为，则下列命题中①为等比数列；②；③；④.所有正确的命题的序号是_____________.1a 2a 3a 4a 5a 5a 81-27-181127G G L L D=L 0L D G 0G 0.50.40.20.21g20.3010≈{}n a 11a =12n n a a +=+{}n a 1010S =()2,11,1x a x f x ax x x ⎧≤=⎨-+>⎩0a >1a ≠a a ()22sin sin 2cos f x x x x =+-5π12f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a ()*3Nn a n n =∈*N k ∀∈{}na ()12,2kk +kT kTk b k c k L k S 12,,,,k c c c 32kk k b c +=⨯1k L k ≥-413kkS <<三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在中，，，分别为，，所对的边，已知.（1）求的大小；（2）若且的长.17. 已知数列满足，且.（1）求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求满足条件最大整数.18. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）证明：对，函数有且仅有两个极值点，，并求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，若，求实数的取值范围.19. 某学校为了解高一新生体质健康状况，对学生体质进行测试.现从男、女生中各随机抽取40人，测试数据按《国家学生体质健康标准》整理如下：等级数据范围男生人数男生平均分女生人数女生平均分优秀1091.3491良好883.98841及格 16702270.2不及格60以下649.6649.1总计\4075.04071.9（1）若按规定测试数据不低于60，则称体质健康为合格.试估计该校高一新生体质健康合格的概率；（2）在高一新生中，随机选取一名男生和一名女生，试估计恰有一人的体质健康等级是优秀的概率；（3）已知表中男生与女生在优秀、良好、及格、不及格四个等级的各级平均分都接近（差的绝对值不大的.ABC V a b c A ∠B ∠C ∠()sin 2a C c A =-A 2226a b c c -=-ABC S =V a {}n a 123a =()*121n n n a a n a +=∈+N 11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}n a 121112025na a a +++< n ()()2xf x x a e =-0a =()y f x =()()00f ，R a ∀∈()f x 1x 212()x x x <()f x ()()()2112214x f x x f x x x -≥-a []90100，[]8089，[]6079，于0.5），但男生的总平均分75.0却明显高于女生的总平均分71.9.经研究发现，若去掉四个等级中一个等级的数据，则男生、女生的总平均分也接近，请写出去掉的这个等级.（只需写出结论）20. 已知函数，.（1）若曲线在处切线过原点，求的值；（2）若在上最小值为1，求的值；（3）当时，若，都有，求整数的最小值.21. 对给定的正整数，设数列，若存在，使得，则将数列进行操作变换，得到数列，且为，或之一，记为. 设（个），从开始进行次操作变换，依次得到数列，即，.（1）当时，分别判断从开始进行次操作变换，是否可以得到如下数列？若不可以，直接判断即可；若可以，请写出相应的及；①；②；③；（2）当时，从开始进行次操作变换，是否可能得到数列？若不可以，请说明理由；若可以，求出与的所有可能取值.（3）给定正奇数，为使的各项均不相同，求操作变换次数的最小值.()ln 1f x k x x =++R k ∈()y f x =()()1,1f k ()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦k 1k =()0,x ∞∀∈+()()22f x m x x ≤+m 3n ≥12:,,...,n A a a a 1i j n ≤<≤i j a a =A T B B 121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-+-+121111,,...,,1,,...,,1,,...,i i i j j j n a a a a a a a a a -+-++-()B T A =0:0,0,...,0A n 00A m T 12,,...,m A A A ()1i i A T A -=1,2,...,i m =4n =0A m T m 121,,...,m A A A -2,0,0,2-2,1,0,2-3,0,1,2--5n =0A m T :,1,0,1,2m A x --x m 5n ≥m A n m北京市清华大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学 答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】B 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】D 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】D 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】##09.100910【13题答案】【答案】①. 2（满足均可）②. 【14题答案】【15题答案】【答案】②③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）证明略， （2）2024【18题答案】【答案】（1） （2）答案略 （3）【19题答案】【答案】（1） （2）（3）去掉的等级为优秀.【20题答案】【答案】（1） （2）或 （3）1【21题答案】【答案】（1）①可以，，，，；②不可以；③不可以1a >()0,1π6A =a =221nn na =+0y =2a ≥17203101k =1ek =e k =-4m =1:1,0,0,1A -2:1,1,1,1A --3:2,0,1,1A --（2），（3）2x =5m =324n n -。
2024届清华大学高一数学第二学期期末复习检测试题含解析
2024届清华大学高一数学第二学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为（ ） A ．1：3B ．3：1C ．2：3D ．3：22．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则EB ED ⋅的取值范围为（ ） A ．233,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．233,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．23,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．233,642⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知实数满足约束条件，则的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，3A π=，sin 2sin C B =，则ABC 的周长为（ ） A ．33+B ．36+C ．333+D ．336+5．数列{a n }中a 1＝﹣2，a n +1＝11na -，则a 2019的值为（ ） A ．﹣2 B ．13 C ．12D ．326．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π37．若(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，13cos ,cos +4342ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．33B ．33-C ．69-D ．5398．已知*n N ∈，实数x 、y 满足关系式()2223n x y nx n +=++，若对于任意给定的*n N ∈，当x 在[)1,-+∞上变化时，x y +的最小值为n M ，则lim n n M →∞=（ ） A ．426-B ．0C ．424-D ．19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积15cos ,2,1S B a c ===，则b =( )A ．32B ．2C ．34D ．5210．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 轨迹长度为3，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A 3B 233C ．3D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题及答案
绝密★启用前2019-2020学年北京市高一下学期期末阶段测试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i(1+i)对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案：B2．向量(,)a m n =，向量(1,2)b =，(1,1)c =，若向量()a c b +∥，且a c ⊥，则a 的值为（）．A ．13B C ．29D ．19答案：B∵(1,1)a c m n +=++且()a c b +∥， ∴2(1)1m n +=+①， ∵a c ⊥， ∴0m n +=②，由①②得13m =-，13n =，∴11,33a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1||3a ⎛⎫=-= ⎪3．某正方体的外接球体积36π，则此正方体的棱长为（）．A ．6B ．3CD ．答案：D∵外接球体积为36π，设半径为R ， 则24π36π3R =，3R =， 又∵正方体的外接球直径为其体对角线，∴设正方体的棱长为a 26R ==，即a =．4．在ABC △中，若2a =，b =30A =︒，则B 为（ ）．A ．60︒B ．60︒或120︒C ．30︒D ．30︒或150︒【考点】HP ：正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B ．【解答】解：由正弦定理可知sin sin a bA B=，∴1sin 2sin 2b A B a ===， ∵(0,180)B ∈︒，∴60B ∠=︒或120︒． 故选B ．5．在下列函数中，最小值是2的是（ ）．A ．22x y x=+B ．0)y x => C ．1sin sin y x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．77x x y -=+【考点】7F ：基本不等式．【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A ，x 正负不定，不能满足最小值是2，故错误；选项B ，2y ，，即0x=时取等号，但0x>，故错误；选项C，∵π0,2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin(0,1)x∈，∴1sin2siny xx=+≥，当且仅当1sinsinxx=，即sin1x=时取等号，但sin(0,1)x∈，取不到1，故错误；选项D，177727x x xxy-=+=+≥，当且仅当177xx=即0x=时取等号，故正确．故选：D．6．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，则cos C=（）．A．725B．725-C．725±D．2425【考点】HQ：正弦定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sin B，cos B，然后利用平方关系式求出cos C的值即可．【解答】解：因为在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知85b c=，2C B=，所以8sin5sin5sin210sin cosB C B B B===，所以4cos5B=，B为三角形内角，所以π0,4B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．π2C<．所以3sin5B=．所以4324sin sin225525C B==⨯⨯=，7cos25C==．故选：A．7．如图所示，C、D、A三点在同一水平线上，AB是塔的中轴线，在C、D两处测得塔顶部B处的仰角分别是α和β，如果C 、D 间的距离是a ，测角仪高为b ，则塔高为（ ）．C 1A.b a a a +-)sin(sin sin ββB ．cos cos cos()a αββα-C ．cos cos cos()a b αββα+-D ．sin sin sin()a αββα-【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理．【分析】分别在BCD △、ABD △这两个三角形中运用正弦定理，即可求解． 【解答】解：在BCD △中，sin sin CD BDCBD C=∠∠，∴sin()sin BDαβαα=-，即sin sin()a BD αβα=-，在ABD △中，sin sin AB BDADB A=∠∠，∴sin sin90AB BDβ=︒， 即sin sin sin sin()a AB BD αββαβ==-⋅，则塔高为b a a a +-)sin(sin sin ββ，故选：A ．8．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（）A 120︒B 90︒C 60︒D 30︒答案：B9．在△ABC 中，若sin sin a A b B =，则△ABC 的形状一定是（）A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 钝角三角形答案：B10.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为 （A ）25（B ）45（C ）5 （D ）25答案C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市清华附中2020学年高一下学期期末考试数学试题(无答案)新人教A版
清华附中高一第二学期期末试卷数学（选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．下列各角中，是第三象限的角为( )A ．480-︒B ．32πC ．720︒D ．450︒ 2.已知角α的终边经过点（-3，4），则tan α=（ ）A ．43 B ． -43 C ． 34 D ． -34 3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为 ( ) A.65 B.65C. 2 D ．2 4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B.418C.518D.6185．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )A ．直线l 在y 轴上的截距是回归系数B ．x 和y 的回归系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x ，y )6．用秦九韶算法求多项式f (x )＝3x 6＋4x 5＋5x 4＋6x 3＋7x 2＋8x ＋1在x ＝0.4时的值时，需要做的乘法和加法的次数分别是( )A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,5 7．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( ) A 向左平移4π个长度单位 B 向右平移4π个长度单位 C 向左平移2π个长度单位 D 向右平移2π个长度单位8． 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算b a ⊗,运算原结束开始 是否 输入两个数a 和b b a ≥输出a 输出2b理如右图所示，则函数)100(lg )45(tan )(x x x x f ⊗-⋅⊗=π（]2,2[-∈x ）的最大值等于（“•”和“-”仍为通常的乘法和减法）( ) A ．1- B ．1 C ．6 D ．12一、 填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）9．函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为 10．中央电视台青年歌手大奖赛的9位评委为参赛选手甲给出的分数，如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清．若记分员计算无误，则数字x 应该是________．11．如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (厘米)和时间t (秒)的函数关系是2sin(2),[0,)4S t t π=+∈+∞，则摆球往复摆动一次所需要的时间是_____秒．12．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：2()f x x =，1()f x x=，()e x f x =，()sin f x x =，则可以输出的函数是 .13．已知12,(0,)x x π∈且12x x <，则下列五个不等式：①1212sin sin x x x x <；②12sin sin x x <； ③12121(sin sin )sin()22x x x x ++<；④12sin sin 22x x >；⑤1212sin sin 22x x x x >． 其中正确的序号是 ．14. 设函数()sin |sin |4f x x x a =--,若1a =时,()f x 的最小值是 ；若对任意[0,]2x π∈，()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、 解答题（本题共6个小题，共80分）15．(本小题满分13分)若函数)sin(ϕω+=x A y (0,0ωϕπ><<)在一个周期内的图象如下，则（1）写出函数的周期；（2）求函数的解析式；（3）求函数的单调增区间.16．(本小题满分13分)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如图：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率．17. (本小题满分14分)已知2tan =α，求（1）4sin()2cos 5sin 3cos()παααα-++-的值； （2）2cos sin 3sin 52-+ααα的值.18．(本小题满分13分)从参加高一年级某次模块考试中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)估计这次测试数学成绩的平均分；(2)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同，且都在96分以上．现用简单随机抽样的方法，从94,95,96,97,98,99这6个数中任取2个数，求这两个数恰好是在[90,100]段的两个学生的数学成绩的概率．19．(本小题满分13分)已知c bx x x f R c b ++=∈2)(,,，对任意R ∈βα,，都有0)cos 2(,0)(sin ≤+≥βαf f（1）求)1(f 的值；（2）证明：3≥c ；（3）设)(sin αf 的最大值10，求)(x f .20．(本小题满分14分)已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得对)(x f ，(),()f a x f a x +-有定义的所有x 都有()()f a x f a x b ++-=恒成立，则称)(x f 为“п-函数”.（Ⅰ）判断函数12()2sin ,()ln f x x f x x ==是否是“п-函数”；（Ⅱ）若x x f tan )(3=是一个“п-函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a (参考公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+)； （Ⅲ）若定义域为R 的函数)(x f 是“п-函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和(1,2).当(0,1]x ∈时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域.。
2019_2020学年北京海淀区清华大学附属中学高一下学期期末数学试卷-学生用卷
过点 作 ⊥ ， 交 于点 ，故 为 中点，
∴可知 =
2 + 2 = 16 + 2，
∴ 最小时， 最小，
∵=
2 + 2 = 42 + 22 = 2 5，
= 5，
∴ 最小时， ， ， 共线，
故 = − = 2 5 − 5 = 5，
∴
= 16 +
2 = 16 +
2
15 =
21．
故选 A．
11 、【答案】 12;
故选 A．
=
1 2
×
4
×
1
×
1 2
=
1，
4 、【答案】 A;
【解析】 若复数 = + i 为纯虚数，
则 = 0， ≠ 0，
则“ = + i 为纯虚数”是“ = 0”的充分条件，
但若 = 0， = 0，
则不能推出 = + i 为纯虚数，
∴“ = + i 是纯虚数”为“ = 0”的充分不必要条件．
故选 A．
17、在△ 中，cos
(1) 求 的大小．
=
1，
7
= 8，
= 7．
(2) 若 是 的中点，求 的长．
18、2020 年居家学习期间，我校开展了“书香月”主题读书活动，现从高一高二各随机抽取 10 名同学，调查其在“书香月”的阅读量（单位：本），得到数据用茎叶图记录如下：
(1) 现已知高一学生共有 600 人，试估计高一学生的总阅读量为多少本．
5 、【答案】 D;
【解析】
由题意可得：
(
)
=
3，
5
(
)
=
2，
北京市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷高一下参考答案与试题解析
北京市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷高一（下）参考答案与试题解析创作人：百里严守创作日期：202B.03.31审核人：北堂本一创作单位：雅礼明智德学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线的倾斜角为（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．解答：解：因为直线的斜率是，直线的倾斜角为θ，所以tan，所以．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角与直线的斜率的关系，基本知识的考查．2．（5分）（•广州模拟）已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，则向量a+b表示（）A．向东南航行km B．向东南航行2km C．向东北航行km D．向东北航行2km 考点：向量的加法及其几何意义．专题：阅读型．分析：本题充分体现向量的大小和方向两个元素，根据实际意义知道两个向量的和向量方向是东南方向，大小可以用勾股定理做出．解答：解：∵向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，由向量加法的几何意义知两个向量的和是向东南航行km，故选A．点评：本题考查向量的几何意义，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．3．（5分）已知全集U=R，集合，B={y|y=2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x≥2} D．{x|x＜0}考点：指数函数单调性的应用；交集及其运算；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分由偶次根号下被开方数大于等于零得，x2﹣2x≥0求出解集集合A，再由指数函数的析：性质求出B，再由交集运算求解即可．解答：解：对于A、由x2﹣2x≥0得，x≤0或x≥2，∴A={x|x≤0或x≥2}，对于B、y=2x＞0，∴B={y|y＞0}，∴A∩B={x|x≥2}，故选C．点评：本题考查了指数函数的性质，函数定义域的求法，二次不等式的求法，注意集合主的元素特征．4．（5分）已知等比数列{a n}中，公比q＞0，若a2=4，则a1+a2+a3有（）A．最小值﹣4 B．最大值﹣4 C．最小值12 D．最大值12 考点：等比数列的通项公式；二次函数的性质．专题：计算题．分析：等比数列{a n}中，由公比q＞0，a2=4，知a1+a2+a3==4（q+）+4≥4×2+4=12，所以a1+a2+a3有最小值12．解答：解：等比数列{a n}中∵公比q＞0，a2=4，∴a1=，a3=4q，∴a1+a2+a3==4（q+）+4≥4×2+4=12当且仅当q=，即q=1时取等号（因为q＞0故q=﹣1舍去）所以a1+a2+a3有最小值12．故选C．点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．5．（5分）（•上海）过点P（0，1）与圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）A．x=0 B．y=1 C．x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=0考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：圆的直径所在直线符合题意，求出辞职显得斜率，用点斜式求直线的方程．解答：解：易知圆的直径所在直线符合题意，由圆心为O（1，0）且过点P（0，1），故直线的斜率，则根据点斜式方程为 y﹣1=﹣1（x﹣0），即 x+y﹣1=0，故选 C．点本题考查用点斜式求求直线方程，判断圆的直径所在直线符合题意是解题的突破口．6．（5分）若不等式ax2+bx+2＜0的解集为{x|x＜﹣，或x＞}，则的值为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：一元二次不等式的解法；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据已知不等式的解集得到方程ax2+bx+2=0的两根为﹣与，利用韦达定理求出﹣，将所求式子变形后代入计算即可求出值．解答：解：由题意得：方程ax2+bx+2=0的两根为﹣与，∴﹣=﹣+=﹣，则=1﹣=1﹣=．故选A点评：此题考查了一元二次不等式的解法，其中根据题意得出方程ax2+bx+2=0的两根为﹣与是解本题的关键．7．（5分）下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，2）内单调递增的是（）A．B．y=e x﹣e﹣x C．y=xsinx D．y=tanx考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：分别判断函数是否是奇函数，且为递增函数．解答：解：A的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以A为非奇非偶函数，所以A不满足条件．B．函数的定义域为R，且f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x）为奇函数，又函数y=e x为增函数，y=e﹣x为递减函数，所以y=e x﹣e﹣x为增函数，所以B满足条件．C．为偶函数，所以C不满足条件．D．为奇函数，但当x=时，函数无意义，所以D不满足条件．故选B．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．8．（5分）（•广州一模）直线ax﹣y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定考点：直线与圆的位置关系．专计算题．分析：求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系．解答：解：直线ax﹣y+2a=0恒过定点（﹣2，0），而（﹣2，0）满足22+02＜9，所以直线与圆相交．故选B．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，判断关系的方法是点在圆的内部与外部或圆上是解题的关键．9．（5分）（•浙江）设，是两个非零向量（）A．若|+|=||﹣||，则⊥B．若⊥，则|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λD．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：通过向量特例，判断A的正误；利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B的正误；通过特例直接判断向量共线，判断正误；通过反例直接判断结果不正确即可．解答：解：对于A，，，显然|+|=||﹣||，但是与不垂直，而是共线，所以A不正确；对于B，若⊥，则|+|=|﹣|，矩形的对角线长度相等，所以|+|=||﹣||不正确；对于C，若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ，例如，，显然=，所以正确．对于D，若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||，例如，显然=，但是|+|=||﹣||，不正确．故选C．点评：本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力．10．（5分）（•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…x n，使得==…=，则n的取值范围为（）A．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5}考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：由图形可知：函数y=f（x）与y=kx（k＞0）可有2，3，4个交点，即可得出答案．解解：令y=f（x），y=kx，答：作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选B．点评：正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）已知等差数列{a n}的前三项依次为a﹣1，2a+1，a+4，则a=．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：a﹣1，2a+1，a+4是等差数列{a n}的前三项，直接利用等差中项的概念列式计算a的值．解答：解：因为a﹣1，2a+1，a+4是等差数列{a n}的前三项，所以有2（2a+1）=（a﹣1）+（a﹣4），解得：a=．故答案为．点评：本题考查了等差数列的概念，考查了等差数列的性质，是基础的概念题．12．（5分）已知两直线2x﹣y+1=0与3x+ay=0平行，则a= ﹣．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用斜率都存在的两直线平行，斜率等于，求出a的值．解答：解：∵直线2x﹣y+1=0与3x+ay=0平行，∴2=﹣﹣解得：a=﹣故答案为：﹣点本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常评：数项之比，属于基础题．13．（5分）从0，1，2，3中任意取出两个不同的数，其和为3的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用古典概型的概率公式求相应的概率即可．解答：解：从0，1，2，3中任意取出两个不同的数，共有种．和为3的有0+3=1+2，共有2种．所以和为3的概率是．故答案为：．点评：本题主要考查古典概率，比较基础．14．（5分）已知角α（0≤α＜2π）的终边过点，则α=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：求出P的坐标，利用任意角的三角函数的定义，求出α的值．解答：解：因为，所以，所以cosα=，sin，0≤α＜2π所以α=．故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，注意三角函数的值与角的象限的关系，考查计算能力．15．（5分）在锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是（，）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即可得出所求式子的范围．解答：解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，又0＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列三个函数：①；②f（x）=x3；③f（x）=log2x+1则存在“等值区间”的函数的个数是 2 ．考点：进行简单的合情推理；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据“等值区间”的定义，要想说明函数存在“等值区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“等值区间”，可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．解答：解：①对于函数，若存在“等值区间”[a，b]，由于函数是定义域内的减函数，故有=a，=b，即（a，b），（b，a）点均在函数图象上，且两点关于y=x对称，两点只能同时是函数，与函数图象的唯一交点．即只能是a=b，故①不存在“等值区间”．②对于函数f（x）=x3存在“等值区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x3∈[0，1]．③对于 f（x）=log2x+1，由于函数是定义域内的增函数，故在区间[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函数存在“等值区间”[1，2]．存在“等值区间”的函数的个数是2个故答案为：2点评：本题给出函数“稳定区间”的概念，要我们在几个函数中找出存在“稳定区间”函数的个数．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的定义域与值域等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．考余弦定理；两角和与差的余弦函数．点：专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．18．（10分）已知圆C：x2+y2﹣8y+12=0，直线l经过点D（﹣2，0），（Ⅰ）求以线段CD为直径的圆E的方程；（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）将圆C化成标准方程，得圆心为C（0，4），半径为2．从而得到CD的中点E （﹣1，2），得所求圆心坐标，再根据两点的距离公式算出半径，即得以线段CD为直径的圆E的方程；（2）设直线l的方程为：y﹣0=k（x+2），根据题意等腰Rt△ABC中，利用点到直线的距离公式建立关于k的等式，解之可得实数k的值，得到直线l的方程．解答：解：（1）将圆C的方程x2+y2﹣8y+12=0配方得标准方程为x2+（y﹣4）2=4，则此圆的圆心为C（0，4），半径为2．﹣﹣﹣﹣（2分）所以CD的中点E（﹣1，2），可得，﹣﹣﹣﹣（4分）∴，得圆E的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5；﹣﹣﹣﹣（5分）（2）设直线l的方程为：y﹣0=k（x+2）⇔kx﹣y+2k=0﹣﹣﹣﹣（6分）∵|CA|=2，且△ABC为等腰直角三角形，∴，因此圆心C到直线l的距离d=．﹣﹣﹣﹣（8分）解之得k=1或k=7，所求直线l的方程为：x﹣y+2=0或7x﹣y+14=0﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题求圆的方程和直线l的方程，着重考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式和两点间的距离公式等知识，属于中档题．19．（12分）已知向量=（sin（π﹣ωx），cosωx），=（1，1）且f（x）=•的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若，解方程f（x）=1；（Ⅲ）在△OAB中，A（x，2），B（﹣3，5），且∠AOB为锐角，求实数x的取值范围．考点：平面向量数量积的运算；函数的零点；两角和与差的正弦函数；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示及三角函数公式，得出f（x）=ωx+）（Ⅱ）利用特殊角的三角函数值求解（Ⅲ）∠AOB为锐角可转化为，且．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin（π﹣ωx）+cosωx=sinωx+cosωx=ωx+）﹣﹣∴∴ω=2﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由，得或，k∈Z﹣﹣﹣﹣（6分）又，∴﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）∵∠AOB为锐角，∴﹣﹣﹣﹣（10分）∴又时﹣﹣﹣﹣（11分）∴且﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查向量数量积的坐标表示，以及应用．属于基础题．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值．解答：解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）∴．（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．21．（14分）若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=1相切，从圆C外一点P （a，b）向该圆引切线PT，T为切点，（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知点Q（2，﹣2），且|PT|=|PQ|，试判断点P是否总在某一定直线l上，若是，求出l的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l与x轴的交点为F，点M，N是直线x=6上两动点，且以M，N为直径的圆E过点F，圆E是否过定点？证明你的结论．考点：圆的标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（I）确定圆心与半径，可求圆C的方程；（Ⅱ）由题可得PT⊥CT，从而可得结论；（III）根据点F在圆E上，故=0，从而可得结论．解答：（Ⅰ）解：设圆心C（m，n）由题易得m=3﹣﹣﹣﹣（1分）半径，﹣﹣﹣﹣（2分）得n=﹣4，r=5﹣﹣﹣﹣（3分）所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y+4）2=25﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解：由题可得PT⊥CT﹣﹣﹣﹣（5分）所以﹣﹣﹣﹣﹣（6分）﹣﹣﹣﹣（7分）所以=整理得a ﹣2b+4=0所以点P 总在直线x ﹣2y+4=0上﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）证明：F （﹣4，0）﹣﹣﹣﹣（9分）由题可设点M （6，y 1），N （6，y 2）， 则圆心，半径﹣﹣﹣﹣（10分） 从而圆E 的方程为﹣﹣﹣﹣（11分）整理得x 2+y 2﹣12x ﹣（y 1+y 2）y+36+y 1y 2=0又点F 在圆E 上，故=0得y 1y 2=﹣100﹣﹣﹣﹣（12分）所以x 2+y 2﹣12x ﹣（y 1+y 2）y ﹣64=0令y=0得x 2﹣12x ﹣64=0，﹣﹣﹣﹣（13分）所以x=16或x=﹣4所以圆E 过定点（16，0）和（﹣4，0）﹣﹣﹣﹣（14分）点评： 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）已知二次函数f （x ）=tx 2+2tx （t ≠0）（Ⅰ）求不等式f （x ）＞1的解集；（Ⅱ）若t=1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，a n ＞0），点在函数f （x ）的图象上，求S n 的表达式．考点：数列与函数的综合；二次函数的性质．专题：等差数列与等比数列．分析： （I ）对t 分类讨论，结合根的判别式，即可求不等式f （x ）＞1的解集； （Ⅱ）利用点在函数f （x ）的图象上，可得，化简可得{}是首项为2，公比为3的等比数列，从而可求S n 的表达式．解答： 解：（Ⅰ）f （x ）＞1即：tx 2+2tx ﹣1＞0，①t ＞0时，方程tx 2+2tx ﹣1=0的判别式△=4t 2+4t ＞0﹣﹣﹣﹣（1分） 方程两根为﹣﹣﹣﹣（2分） 解集是﹣﹣﹣﹣（3分） ②t ＜0时，方程tx 2+2tx ﹣1=0的判别式△=4t 2+4t（1）当4t 2+4t ≤0，即﹣1≤t ＜0时，解集是φ﹣﹣﹣﹣（4分）（2）当4t 2+4t ＞0即t ＜﹣1时，解集是﹣﹣﹣﹣（5分） 综上所述，t ＞0时，解集是；﹣1≤t ＜0时，解集是φ；t ＜﹣1时，解集是﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由题意，f （x ）=x 2+2x∵点在函数f （x ）的图象上， ∴﹣﹣﹣﹣（7分） 整理得∴∴﹣﹣﹣﹣（9分） ∴， 又，﹣﹣﹣﹣（10分） 所以{}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴∴﹣﹣﹣﹣（12分） 点评： 本题考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．创作人：百里严守创作日期：202B.03.31 审核人： 北堂本一 创作单位： 雅礼明智德学校。
北京市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期期末学生学业质量监测及参考答案
北京市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期期末学生学业质量监测及参考答案创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31审核人： 北堂本一创作单位： 雅礼明智德学校一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知平面向量(4,1)a =，(,2)b x =，且a 与b 平行，则x =（ ）A ．8-B ．12-C ．8D ．122．4sin3π的值是（ ） A ．12B ．12-C ．3D ．3-3． 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ).A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶4．将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( )5．某一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54某同学利用智能手机上的Mathstudio 软件研究，直接得到了散点图及回归方程（如右图所示），请根据结果预测，若某天的气温是3℃，大约能卖出的热饮杯数为（ ）. A. 143 B. 141 C. 138 D. 134 （单词提示：Linear 线性）6.要从已编号（ ）160-的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6a=b b=a （A ）c=b b=a a=c （B ） b=a a=b （C ） a=cc=bb=a（D ）枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,48 7． 如右下图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =，BA c =，则向量CD =（ ）A ．12a c --B ．12a c -+C ．12a c -D ．12a c +8． 若5a =,=10a b ⋅，且a 与b 的夹角为060，则b =（ ）A ．163B ．16 C．3 D ．49． 右边程序执行后输出的结果是（ ） A.1- B ．0 C ．1 D ．210．直线a x y +=与圆122=+y x 相切，则a 的值为（ ） A ．2 B ．2±C ．1D ．1±11．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式是（ ）A ．x y 2sin =B ．x y sin 2=C .2sin x y =D .2sin xy = 12．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．724 B ．724- C ．247- D ．247-二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填在答题卡上） 13．圆021422=-+-y x x 的半径为．14．二进制数定义为“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式，是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，即2(1101)转换成十进制数是13，那么类似可定义k 进制数为“逢k 进一”，则3进制数3)102(转换成十进制数是_________．15．一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：ACBO19题图181716151413秒频率组距0.060.080.160.320.38则样本在区间(),50-∞ 上的频率为__________________.16．右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断 框内应填入的条件是____________．17．某校高中部有三个年级，其中高三年级有学生1000人，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为180的样本，已知在高一年级抽取了70人，高二年级抽取了60人，则高中部三个年级的学生人数共有人． 18．函数x y 3sin =的最小正周期为是． 19．已知(3,4)a =-．20．函数x y cos =]2,0[(π∈x ）的单调递减区间是__________________．三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上） 21．已知||4a =，||3b =，6=⋅，求（1）b b a ⋅-)(；（2）求||a b +. a a ⋅=）22．已知函数sin()(0,0)2y A x A πωϕωϕ=+><<，的最小值为2-，最小正周期为16，且图象经过点)0,6(求这个函数的解析式．23．某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．24．某次游园的一项活动中，设置了一个中奖方案：在如图所示的游戏盘内转动一个小球，如果小球静止时停在正方形区域内则中奖．这个方案中奖率是多少？请说明理由． 25．已知R x x x f ∈+=),4sin()(π，且,,2,31sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππαα求)(αf 的值．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）n=5s=0WHILE s<15 s = s + n n=n －1 1.(平面向量) 已知平面向量(4,1)a =，(,2)b x =，且a 与b 平行，则x =（ ）A ．8-B ．12-C ．8D ．122.(三角函数)4sin3π的值是（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32- 3.(概率) 一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ).A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶4.(算法)将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( )5.(统计)某一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54某同学利用智能手机上的Mathstudio 软件研究，直接得到了散点图及回归方程（如右图所示），请根据结果预测，若某天的气温是3℃，大约能卖出的热饮杯数为（ ）. A. 143 B. 141 C. 138 D. 134 （单词提示：Linear 线性） 6.(统计)要从已编号（ ）160-的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25,30B ．3,13,23,33,43,53C ．1,2,3,4,5,6D ．2,4,8,16,32,48 7.(平面向量) 如右下图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =，BA c =，则向量CD =（ ）A ．12a c --B ．12a c -+C ．12a c -D ．12a c +8.(平面向量) 若5a =,=10a b ⋅，且a 与b 的夹角为060，则b =（ ）A ．163B ．16C ．433D ．49.(算法) 右边程序执行后输出的结果是（ ）AD C Ba=b b=a （A ）c=b b=a a=c （B ） b=a a=b （C ） a=cc=bb=a（D ）A.1-B ．0 C ．1 D ．210.(圆一般方程) 直线a x y +=与圆122=+y x 相切，则a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．1D ．1±11.(三角函数)将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式是（ ）A ．x y 2sin =B ．x y sin 2=C .2sin x y =D .2sin x y = 12.(三角变换)已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．724 B ．724-C ．247- D ．247-二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填在答题卡上） 13.(圆的方程)圆021422=-+-y x x 的半径为．514.(算法)二进制数定义为“逢二进一”，如2(1101)表示二进制数，将它转换成十进制形式，是321012120212⨯+⨯+⨯+⨯= 13，即2(1101)转换成十进制数是13，那么类似可定义k 进制数为“逢k 进一”，则3进制数3)102(转换成十进制数是_________1115.(统计)一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下表：则样本在区间(),50-∞ 上的频率为__________________.0.716.(算法)右图给出的是计算201614121++++的值的一个流程图，其中判断 框内应填入的条件是____________10?i >17.(统计)某校高中部有三个年级，其中高三年级有学生1000的样本，已知在高一年级抽取了70人，高二年级抽取了6018.(三角函数)函数x y 3sin =的最小正周期为是32π19.(平面向量)已知(3,4)a =-20.(三角函数) 函数x y cos =]2,0[(π∈x ）的单调递减区间是__________________],0[π 三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上） 21.(平面向量) 已知||4a =，||3b =，6=⋅b a ，求（1）⋅-)(；（2）求||a b +.（提示：⋅=）解：（1）∵||4a =，||3b =，6=⋅，∴b b a ⋅-)(⋅-⋅=……………………………………………（1分）=3366=-=-…………………………………………………………………………………（5分） （2）2()a b a b +=+………………………………………………………………………………（7分）而2222222()2242631a b a a b b a a b b +=+⋅+=+⋅+=+⨯+=……………………………（9分）2()31a b a b ∴+=+=…………………………………………………………………………（10分）22.(三角函数)已知函数sin()(0,0)2y A x A πωϕωϕ=+><<，的最小值为2-，最小正周期为16，且图象经过点)0,6(求这个函数的解析式.解：由题意可知：A =2分） 由周期公式可得到：216T πω==，又0ω>，8πω∴=………………………………………（4分）sin()8y x πϕ∴=+…………………………………………………………………………………（6分）又函数图像过点)0,6( ，即0)43sin(=+ϕπ……………………………………………………（8分） 又02πϕ<<4πϕ∴=……………………………………………………………………………………………（9分）所以函数解析式是：sin()84y x ππ=+…………………………………………………………（10分）23.(统计) 某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数.解：（1）样本在这次百米测试中成绩优秀的人数=10.06503⨯⨯=（人）……………………………（2分） （2）学校900名学生中，成绩属于第四组的人数10.32900288⨯⨯=（人）………………………（2分） （3）由图可知众数落在第三组[15,16)，是151615.52+=……………………………………………（5分） 因为数据落在第一、二组的频率10.0610.160.220.5=⨯+⨯=<数据落在第一、二、三组的频率10.0610.1610.380.60.5=⨯+⨯+⨯=>…………………………（6分） 所以中位数一定落在第三组[15,16)中. …………………………………………………………………（7分） 假设中位数是x ，所以10.0610.16(15)0.380.5x ⨯+⨯+-⨯=………………………………………（9分） 解得中位数29915.736815.7419x =≈≈…………………………………………………………………（10分） 24.(概率) 某次游园的一项活动中，设置了一个中奖方案：在如图所示的游戏盘内转动一个小球，如果小球静止时停在正方形区域内则中奖．这个方案中奖率是多少？请说明理由．解：设正方形边长为2，（2分）422==正方形S （５分）ππ2)22==（S 圆 （８分）中奖概率为P=22S S π=正方形圆.…………………（10分） 25．已知R x x x f ∈+=),4sin()(π，且,,2,31sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππαα求)(αf 的值．解:∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππα,2,,31sin =α∴,0cos <α322cos -=α……（3分）4sincos 4cossin )4sin()(παπαπαα⋅+⋅=+=f ……（6分）223222231⨯-⨯=……（8分） 642-=……（10分）。
2024届北京市海淀清华附中数学高一下期末综合测试模拟试题含解析
2024届北京市海淀清华附中数学高一下期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知ABC 满足6072A a b =︒==，，，则c =（ ）A ．1B ．3C ．5D ．72．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ） A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量3．设函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x =，则()2f -=（ ） A ．－4B ．14C ．14-D ．44．化简AC AB -=（ ）A ．BCB ．CAC ．CBD ．05．若cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A ．-1B ．12C ．-1或12D ．12-或146．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S an bn =+，若723a a =，82S a λ=，则λ的值为（ ） A ．15B ．16C ．17D ．187．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )A ．B ．C ．D ．8．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（ ）A ．90B ．60C ．45D ．309．在直角坐标系中，直线30x y -=的倾斜角是 A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( )A ．－3B ．5C ．33D ．－31二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。