概率论与数理统计茆诗松1.4等可能概型(古典概型与几何概型
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概率论与数理统计-古典概型
设 ij : 取出的两球的号码为i, j (1 i j 5), 则，
{12 ,13,14 ,15 ,23,24 ,25 ,34 ,35 ,45}, A {12 ,13 ,23},
从而，
P( A) 3 0.3. 10
表达方法：
样本空间中基本事件总数： N
设 Ak 表示第k 次取得次品，则 Ak 包含的基本事件
总数为: M PNk11 M (N 1)(N 2)(N k 1),
于是，P( Ak
)
M
P k 1 N 1
PNk
M N
(N (N
1)( N 1)( N
2)(N 2)(N
k k
1) 1)
第一章 随机事件及其概率
§1.4 概率的古典定义
一、古典概型的定义
定义 设E是随机试验, 若E满足下列条件: 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同. 则称E为等可能概型. 等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
M N
.
P(Ak ) 与 k 无关!
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基 本事件都是等可能的.
定义 假设试验的样本空间 包含无穷多个基本
事件，其总量可用某种几何特征进行度量；事件A包含 的基本事件可用同样的几何特征度量. 事件A的概率定 义为：
P( A) A的的度度量量.
29876 10 9 8 7 6
1 5
这就是抽签的公正性
[例4] 一批产品共有N 件,其中有M 件次品.每次从
{12 ,13,14 ,15 ,23,24 ,25 ,34 ,35 ,45}, A {12 ,13 ,23},
从而，
P( A) 3 0.3. 10
表达方法：
样本空间中基本事件总数： N
设 Ak 表示第k 次取得次品，则 Ak 包含的基本事件
总数为: M PNk11 M (N 1)(N 2)(N k 1),
于是，P( Ak
)
M
P k 1 N 1
PNk
M N
(N (N
1)( N 1)( N
2)(N 2)(N
k k
1) 1)
第一章 随机事件及其概率
§1.4 概率的古典定义
一、古典概型的定义
定义 设E是随机试验, 若E满足下列条件: 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同. 则称E为等可能概型. 等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
M N
.
P(Ak ) 与 k 无关!
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基 本事件都是等可能的.
定义 假设试验的样本空间 包含无穷多个基本
事件，其总量可用某种几何特征进行度量；事件A包含 的基本事件可用同样的几何特征度量. 事件A的概率定 义为：
P( A) A的的度度量量.
29876 10 9 8 7 6
1 5
这就是抽签的公正性
[例4] 一批产品共有N 件,其中有M 件次品.每次从
概率论与数理统计教程(茆诗松)第一章
5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；A B C ③ 恰有一个出现；A B C A B C A B C ④ 至少有一个出现；ABC ⑤ 至多有一个出现；A B C A B C A B C A B C ⑥ 都不出现； A B C
⑦ 不都出现； ABCABC ⑧ 至少有两个出现；A B A C B C
• 非负性公理： P(A)0;
• 正则性公理： P(Ω)=1;
• 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
互不相容，则
U
P Ai P(Ai ) i1 i1
3/22/2020
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第一章 随机事件与概率
1.2.2 排列与组合公式
第23页
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. • 排列讲次序，组合不讲次序. • 全排列：Pn= n! • 0! = 1. • 重复排列：nr • 选排列： P nr(nn !r)!n(n1)......(nr1)
第29页
注意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 • Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)} 此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
➢ 而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相 交，则频率为: n/N.
➢ 用频率代替概率得： 2lN/(dn). ➢ 历史上有一些实验数据.
3/22/2020
A发生但 B不发生
• 对立： A
A 不发生
3/22/2020
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第一章 随机事件与概率
概率论与数理统计：1.4等可能概型(古典概型)
解 假设接待站的接待时间没有规定,且各来
访者在一周的任一天中去接待站是等可能的,
那么,12次接待来访者都是在周二、周四的概
率为
212 p 0.0000003
712
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的， 从而可知接待时间是有规定的.
例5 将4只球随机地放入6个盒子中去,试求 每个盒子至多有一只球的概率.
故所求概率为
P( AB) 83 . 2000
P( AB) 1 P( A) P(B) P( AB)
1
333 2000
250 2000
83 2000
3 4
.
例3 将一枚硬币抛掷三次.(i)设事件A1为"恰有一 次出现正面",求 P( A1 ). (ii)设事件A2为"至少有一 次出现正面",求P( A2 ). 解 设H 为出现正面,T 为出现反面.
故
PA
43
2 .
65 5
(2) 有放回地摸球
问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋 中有放回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次 摸到红球的概率.
解 设 A 前2次摸到黑球,第三次摸到红球
第3次摸到红球 4种 第12次摸到黑球 6种
第123次摸球 10种
故
PA
664 103
0.144
基本模型之二球放入杯子模型
8 2
5 2
140
请思考： 还有其它解法吗？
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n) 被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有 一人的概率.
人 房
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：
概率论与数理统计教程(茆诗松)
2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：(1)；(2)若，则对立事件；(3)若，则可列并.则称为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：(1)非负性公理若，则；(2)正则性公理；(3)可列可加性公理若互不相容，有则称为事件的概率，称三元素为概率空间.第二章随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数.且称服从，记为.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性；(2)正则性.第三章多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维(或元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率称为维随机变量的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，记为.第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设是一个随机变量，称为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有4.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有则称依概率收敛于，记作.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记则对任意实数有第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。
概率论与数理统计(茆诗松)第四章讲义
第四章
大数定律与中心极限定理
本章主要是解决概率论中的一些基本问题，如频率稳定性，正态分布的普适性问题．
§4.1
+∞
特征函数
现实生活中，独立随机变量和广泛存在，它在概率论中具有重要地位，但其分布的计算需要用到卷积 运算．而函数 f (x) 的傅立叶变换 ϕ (t ) = ∫ e itx f ( x)dx （其中 i = − 1 是虚数单位）可将函数复杂的卷积运
因狄利克雷积分 ∫
sin x π dx = ，令 x = at， （a ≠ 0） ， x 2 +∞ sin at +∞ sin at π dt ； 当 a > 0 时，有 = ∫ ⋅ adt = ∫ 0 2 0 at t −∞ sin at +∞ sin at +∞ sin at 0 sin at π π dt = − ∫ dt ，即 ∫ 当 a < 0 时， = ∫ ⋅ adt = − ∫ dt = − ； 0 0 0 − ∞ 2 at t t t 2 +∞ sin at 当 a = 0 时， ∫ dt = 0 ， 0 t +∞ sin at π 则∫ dt = sgn( a ) ， 0 t 2
⎞ ⎟≥0， ⎟ ⎠
故特征函数ϕ (t) 半正定； （7）因 | ϕ (t + h) − ϕ (t) | = | E [e i(t + h) X − e itX ] | ≤ E | e itX (e ihX − 1) | = E | e ihX − 1 |，
| e ihX − 1 | = | cos(hX ) − 1 + i sin( hX ) | = [cos(hX ) − 1]2 + [sin( hX )]2 = 2 − 2 cos(hX ) = 2 sin
大数定律与中心极限定理
本章主要是解决概率论中的一些基本问题，如频率稳定性，正态分布的普适性问题．
§4.1
+∞
特征函数
现实生活中，独立随机变量和广泛存在，它在概率论中具有重要地位，但其分布的计算需要用到卷积 运算．而函数 f (x) 的傅立叶变换 ϕ (t ) = ∫ e itx f ( x)dx （其中 i = − 1 是虚数单位）可将函数复杂的卷积运
因狄利克雷积分 ∫
sin x π dx = ，令 x = at， （a ≠ 0） ， x 2 +∞ sin at +∞ sin at π dt ； 当 a > 0 时，有 = ∫ ⋅ adt = ∫ 0 2 0 at t −∞ sin at +∞ sin at +∞ sin at 0 sin at π π dt = − ∫ dt ，即 ∫ 当 a < 0 时， = ∫ ⋅ adt = − ∫ dt = − ； 0 0 0 − ∞ 2 at t t t 2 +∞ sin at 当 a = 0 时， ∫ dt = 0 ， 0 t +∞ sin at π 则∫ dt = sgn( a ) ， 0 t 2
⎞ ⎟≥0， ⎟ ⎠
故特征函数ϕ (t) 半正定； （7）因 | ϕ (t + h) − ϕ (t) | = | E [e i(t + h) X − e itX ] | ≤ E | e itX (e ihX − 1) | = E | e ihX − 1 |，
| e ihX − 1 | = | cos(hX ) − 1 + i sin( hX ) | = [cos(hX ) − 1]2 + [sin( hX )]2 = 2 − 2 cos(hX ) = 2 sin
概率论与数理统计魏魏宗舒版课件1.4
概率的古典定义具有可计算性的优点,但 它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样 本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义 就不适用了.
把有限个样本点推广到无限个样本点 的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了 确定概率的另一方法 ——几何方法.
一、几何概率
定义若对于一随机试验, 每个样本点出现是等可能的, 样本空间所含的样本点个数为无穷多个, 且具有非 零的,有限的几何度量,即0 m() ,则称这一随机 试验是一几何概型的.
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An ).
1i jkn
❖ 定义 :对于F上的集合函数P，若对于F中的任
一单调不减集合序列{An},有
lim
n
P( An )
P(lim n
An )
则称集合函数P在F上是下连续的，其中
U lim
n
An
n 1
An
定理: 若P是F上的非负规范的集函数，则P具 有可列可加性的充要条件是（1)P是有限可加 的；(2)P是F上是下连续的。
8
2000
由于 83 2000 84, 得 P( AB) 83 .
24
2000
于是所求概率为
P( AB) 1 {P( A) P(B) P( AB)}
1
333 2000
250 2000
83 2000
3 4
.
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定).
2. 最简单的随机现象 古典概型
例 1(匹配问题）某人一次写了n封信，又写了n个信封，
如果他任意地将n张信纸装入n个信封中，问至少有一 封信的信纸和信封是一致的概率是多少？
解 令A i ={第i张封信恰好装进第i个信封}P(B),
把有限个样本点推广到无限个样本点 的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了 确定概率的另一方法 ——几何方法.
一、几何概率
定义若对于一随机试验, 每个样本点出现是等可能的, 样本空间所含的样本点个数为无穷多个, 且具有非 零的,有限的几何度量,即0 m() ,则称这一随机 试验是一几何概型的.
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An ).
1i jkn
❖ 定义 :对于F上的集合函数P，若对于F中的任
一单调不减集合序列{An},有
lim
n
P( An )
P(lim n
An )
则称集合函数P在F上是下连续的，其中
U lim
n
An
n 1
An
定理: 若P是F上的非负规范的集函数，则P具 有可列可加性的充要条件是（1)P是有限可加 的；(2)P是F上是下连续的。
8
2000
由于 83 2000 84, 得 P( AB) 83 .
24
2000
于是所求概率为
P( AB) 1 {P( A) P(B) P( AB)}
1
333 2000
250 2000
83 2000
3 4
.
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定).
2. 最简单的随机现象 古典概型
例 1(匹配问题）某人一次写了n封信，又写了n个信封，
如果他任意地将n张信纸装入n个信封中，问至少有一 封信的信纸和信封是一致的概率是多少？
解 令A i ={第i张封信恰好装进第i个信封}P(B),
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
A = “针与平行线相交” 的充要条件是: x ≤ l/2 sin ϕ . 针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得
SA ∫0 P( A) = = SΩ
27 July 2011
π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
27 July 2011
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
27 July 2011
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
SA ∫0 P( A) = = SΩ
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π
l sinϕdϕ 2l 2 = d(π / 2) dπ
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第9页
§1.3 概率的性质
= (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9) = 3/10
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第一章 随机事件与概率
第24页 24页
1.4.4
贝叶斯公式
乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因” 的概率.
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第一章 随机事件与概率
第19页 19页
条件概率的三大公式
乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.
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第一章 随机事件与概率
第20页 20页
1.4.2
性质1.4.2
乘法公式
(1) 若 P(B)>0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)>0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 ······An−1)>0，则 P(A1A2 ······An) = P(A1)P(A2|A1) ······ P(An|A1A2 ······An−1)
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
茆诗松概率论与数理统计教程第一章
当n很大时事件a出现的频率fnanan将稳定地在某一数值p附近摆动且一般随试验次数n的增大摆动的幅度也越来越小则称该数值p为事件a发生的概率记为pap这种大量重复试验中事件出现的频率的稳定性表明随机事件发生的可能性大小是随机事件本身所固有的客观属性我们用这个频率的稳定值来表示事件发生的可能性大小是合理的这就是概率的频率化定义
n 10 20 23 30 40 50 P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97
上表所列的答案是出乎很多人意料的, 因为”一个班
级至少有两个人生日相同”的概率, 并不如大多数人
直觉中想象的那样小, 而是相当大. 这个例子告诉我
们, “直觉”有时并不可靠, 这就说明研究随机现象
B=“两球都是红球”,共有22 种取法, C=“两球中至少有一只白球”, 则
AB=“两个球颜色相同”,事件CB,
故P(A)=(44)/(6 6) 0.444，P(B)=(22)/(6 6) 0.111, 则P(AB)=P(A)+P(B) 0.556, P(C)=1-P(B) .0.889
(b)不放回抽样
P(C)=1-P(B) =14/15
.
例六.(分房问题, 类比于教材中例1.2.6的盒子模型) 设有n个人, 每个人都等可能地被分配到N个房 间中的任一间去住(n≤N), 求下列事件的概率 (1)指定的n个房间各有一个人住 (2)恰好有n个房间, 其中各住一个人
解: 将n个人分配到N个房间去, 相当于对每个人, 我们从
.
.
例二(被闪电击中概率的研究).
如何求一个人在某年中被 闪电击中的概率?
中国1.1×109人中, 在2005年被闪电击中 的人数为3300人, 通过概率的频率方法 我们知道, 某人被闪电击中的概率为
n 10 20 23 30 40 50 P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97
上表所列的答案是出乎很多人意料的, 因为”一个班
级至少有两个人生日相同”的概率, 并不如大多数人
直觉中想象的那样小, 而是相当大. 这个例子告诉我
们, “直觉”有时并不可靠, 这就说明研究随机现象
B=“两球都是红球”,共有22 种取法, C=“两球中至少有一只白球”, 则
AB=“两个球颜色相同”,事件CB,
故P(A)=(44)/(6 6) 0.444，P(B)=(22)/(6 6) 0.111, 则P(AB)=P(A)+P(B) 0.556, P(C)=1-P(B) .0.889
(b)不放回抽样
P(C)=1-P(B) =14/15
.
例六.(分房问题, 类比于教材中例1.2.6的盒子模型) 设有n个人, 每个人都等可能地被分配到N个房 间中的任一间去住(n≤N), 求下列事件的概率 (1)指定的n个房间各有一个人住 (2)恰好有n个房间, 其中各住一个人
解: 将n个人分配到N个房间去, 相当于对每个人, 我们从
.
.
例二(被闪电击中概率的研究).
如何求一个人在某年中被 闪电击中的概率?
中国1.1×109人中, 在2005年被闪电击中 的人数为3300人, 通过概率的频率方法 我们知道, 某人被闪电击中的概率为
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法总数；（3）任意n个箱子各放一球的分法总数；（4）每 个箱子最多放一球的分法总数；（5）第i个箱子不空的分 法总数；（6）第i个箱子恰好放k(k n)个球的分法总数。
解：（1）Nn ,
(2)n!,
(3)C
n N
n!
PNn ,
(4)C
n N
n!
PNn ,
(5)N n ( N 1)n ,
(6)C
k n
(N
1)n k
,
例3：袋中有N个球，其中M个为白球，从中有放回得取出n个 （1）N 10, M 2, n 3; （2）N 10, M 4, n 3 考虑以下排列数：1）全不是白色的球；恰有两个白色的球; 3）至少有两个白色的球；4）至多有两个白色的球； 5）颜色相同的球；6）不考虑球的颜色 以上排列数改为组合数呢？
一.古典概型
古典概型即为满足以下两个假设条件的概率模型：
（1）随机试验只有有限个可能的结果；
（2）每一个可能结果发生的机会相同。
数学表述为：
（1）S {e1，e2， ，en（} 有n个样本点） （2）P（e1 ) P（e2 ) P（en )(每个基本事件
的概率相同)
于是有：P（ei )
1 n
组合数：1)C83C20 (C63C40 ), 2)C22C81(C42C61 ), 3)C22C81 (C42C61 C43C60 ), 4)C130或C22C81 C21C82 C20C83 (C42C61 C41C62 C40C63或C130 C43 , 5)C83 (C43 C63 ) 6)C130 (C130 )
C
3 3
C33
,
P( A)
C43
C
3 3
C130
C
3 3
例2.设有10件产品,其中6件正品, 4件次品,从中任取3 件,求下列事件的概率 : (1)没有次品; (2)只有一件次品; (3)最多一件次品; (4)至少一件次品.
解：设4个事件分别为A，B，C，D.因为产品无 序,用组合数计算m, n.
4 9
5
个球中的任一个被抽取的可能性均
为1/10. 设i表示取到i号球(i=1,2,…,10). 则该试验
的样本空间 S 1,2,,10, 且每个样本点(基本
的样本空间 S 1,2,,10 , 且每个样本点(基本
事件)
i (i 1,2,,10)
出现的可能性相同.
称这样一类随机试验为古典概型.
例4：从3个电阻，4个电感，5个电容，取出9 个元件，问其中有2个电阻，3个电感 ，4个电 容的取法有多少种？
解：C23C43C54
例5：五双不号的鞋，从中任取4只，取出的4只都不配 对（即不成双）求（1）排列数；（2）组合数。
解：排列数：C110C18C16C14或P54C12C12C12C12
,i
1, 2,
, n.
则有：
P( A) mA n
A中元素个数 S中元素个数
A包含的基本事件总数 S基本事件总数
例.书P10例1
例.书P10例2
解：A :取到的两只球都是白球 B :取到的两只球都是红球 C :取到的两只球中至少有一只是白球
(a)有放回抽样
(b)不放回抽样
P( A) 4 4 66
样本空间的样本点总数为n C130 120. （1）事件A包含的样本点数mA C63 20
所以P（A） mA 20 1 , n 120 6
(2)mB
C
41C
2 6
60,
P(B) mB n
60 1 , 120 2
(3)mC
C63
C41C
2 6
80,
P(C ) mC 80 2 , n 120 3
解：排列数(1) 1)83 , 2)3 22 8, 3)3 22 8 23 ,
4)3 22 8 3 2 82 83(103 23 ), 5)23 83 , 6)103 (2) 1)63 , 2)3 42 6, 3)3 42 6 43 , 4)3 42 6 3 4 62 63(103 43 ), 5)43 63 , 6)103
解:
（1）C135 ,
(
2)C
81C
2 7
C82C71
C83C
0 7
,
(3)C81C72
C82C
1 7
(不能为C71C81C113 )
例2.分房问题（放球入箱问题） 设有n个人（n个球）随意放入N个房间（N 个箱子中)
其中每个人（每个球）等可能放入任意一个房间中（箱子）
求：（1）所有的分法总数；2 指定的n个箱子各放一球的分
P(B) 2 2 66
P( A) 4 3 65
P(B) 21 65
P(C ) 1 P(B)
课堂练习：掷两颗质地均匀的骰子，计算两
颗的点数之和等于5的概率。
答案：样本空间为：S {1，2， 36 }, n 36,
A {(1, 4),(4,1),(2, 3),(3, 2)}, mA 4.
P( A) 4 36
课堂练习：从 1 , 2 , , 9 九个号码中任取四个，求其
中只有一个号码小于5的概率
答案：n
C94
,
m
Hale Waihona Puke C41C3 5
,
P( A)
C41C
3 5
C
4 9
课堂练习：袋中有4 个红球、3个白球、3个黑球， 从中任取3个，计算取出的3 个球颜色相同的概率。
答案：n
C130
,
m
C
3 4
(4)mD
C41C62
C
C2 1
46
C43C
0 6
100
P(D)
mD
100
5 .
n 120 6
其实，D A，
所以P（D） P（A） 1-P（A） 1- 1 5 66
注：在概率的计算中常常用第二种方法
例3.一学生宿舍有6名学生，问（1）六人生日 都在星期天的概率是多少？（2）6个人的生日 都不在星期天的概率是多少？（3）六个人的 生日不都在星期天的概率是多少？ 解：每个人的生日可在7天中的任何一天, 且是等可能的，
组合数：C45C12C12C12C12
引例 一个纸桶中装有10个大小, 形状完全相同
的球. 将球编号为1-10.把球 搅
匀, 蒙上眼睛从中任取一球. 因
为抽取时这些球被抽到的可能性
是完全平等的, 所以我们没有理 由认为这10个球中某一个会比另 一个更容易抽得, 也就是说, 这10
87 12
3 6 10
§4等可能概型（古典概型） 几何概型（补充）
计算古典概率的方法
基本计数原理
加法原理
乘法原理
排列组合方法 排列公式 组合公式
应用举例 应用举例
二项式
例1.某医院有8名医生7名护士，星期日选3人值班。 （1）有多少种不同的选法；（2）其中至少有一 名医生的选法有多少种；（3）其中至少有一名医 生一名护士的选法有多少种。