北师大版八年级数学下册《三角形内角和定理的证明》PPT课件(4篇)
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北师大版数学八年级下册《三角形的证明》课件(共22张)
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来. (2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
如图，先自己折纸视察探索并写出等腰三角形的性质， 然后再小组交流，互相补偿不足.
作图视察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分 线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，视察或度量是不够的，感觉不可靠．这 就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们 坚定不移地去承认它，相信它．
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰 三角形两底角的平分线相等．
用心想一想，马到功成
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. A
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
E
D
求证：BD=CE．
3
4
B
C
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3=2 1∠ABC，∠4= 21∠ACB， ∴∠3=∠4．
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
随堂练习 及时巩固
如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD
A
B EC D
证明: ∵ △ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD ∴ △ABE≌△CBD
北师大版八年级数学课件-三角形内角和定理
想一想
已知：D是直線AB上一點，E是直線AC上一點，
直線BE與直線CD相交於F，∠A=62°,若
∠ACD=35°,∠ABE=20°.
求： （1）∠BDC度數； （2）∠BFD度數．
C
F E
D
A
B
練一練
已知：如圖,在三角形ABC中,AD平分外角∠EAC,
∠B=∠C.
求證：AD∥BC
E
A
D
B
C
練一練
F
證明：∵ ∠1 +∠BAF=180°(1平角= 180°) A
∠2 +∠CBD=180°
1
∠3 +∠ACE=180° 又∵ ∠1+ ∠2 + ∠3= 180°
(三角形內角和定理)
B 2 3C E
D
∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠BAF +∠CBD +∠ACE=3× 180°
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE=540 ° - 180°= 360°
已知：如圖，在三角形ABC中，∠1是它的一個外角，
E為邊AC上一點，延長BC到D，連接DE.
求證：∠1>∠2
D
2 C
E
角等於和它不相鄰的 兩個內角的和
三角形的一個外角大於任何一個和它 不相鄰的內角
不等關係的證明思路
今天的作業
課本隨堂練習、習題
已知：如圖，∠1是△ABC的一個外角. A
求證： ∠1= ∠2+ ∠3
2
證明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180°
（三角形內角和定理）
3 41
B
CD
即∠2+ ∠3= 180°-∠4
北师大版八年级数学下册《三角形的证明》PPT46页
北师大版八年级数学下册《三角形的 证明》
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
6.5 三角形内角和定理的证明 课件8(北师大版八年级下)
学科网
三角形内角和定理
学.科.网
布莱士· 帕斯卡
三角形的三个内角和是1800
• 问题一：平角 • 问题二：平行线的判定
Z.x.x.k
• 问题三：平行线的性质 • 问题四：哪些方法可以得到180°
把一个三角形的两个角撕下拼在第三 个角的顶点处。
B A C
Zx.xk
B 图1
A C
C
图2
A
B
1.根据下图填空：
81°
72° (1) n x 122° x (2) 31° (3) y
∟
(1)n= 27° ；
z.xx.k
(2)x= 29 ； °
(3)y= 59°.
各显身手
如图,AC、BD相交于点O, ∠A+∠B=∠C+∠D吗？为什么？
A
B
解： ∠A+∠B=∠C+∠D
1
在⊿AOB， ∠A+∠B+∠1=180° ∴∠A+∠B=180°-∠1
O
在⊿COD中 ，∠C+∠D+∠2=180° ∴∠C+∠D=180°-∠2
2 C D
又∵∠1=∠2（对顶角相等）
∴∠A+∠B=∠C+∠D (等量代换)
想 一想
如图,AB//CD,∠ABD与∠BDC的 平分线相交于点O,求∠O的度数.
A 1 O
∴∠ABD+∠BDC=180° ∵BO平分∠ABD，DO平分∠BDC ∴∠1=∠2= ∠3=∠4 =
1 2 ∠ABD
解：∵AB//CD
B
，
3
C
1 2 ∠BDC， 1 2
D
∴ ∠1+ ∠3=
三角形内角和定理
学.科.网
布莱士· 帕斯卡
三角形的三个内角和是1800
• 问题一：平角 • 问题二：平行线的判定
Z.x.x.k
• 问题三：平行线的性质 • 问题四：哪些方法可以得到180°
把一个三角形的两个角撕下拼在第三 个角的顶点处。
B A C
Zx.xk
B 图1
A C
C
图2
A
B
1.根据下图填空：
81°
72° (1) n x 122° x (2) 31° (3) y
∟
(1)n= 27° ；
z.xx.k
(2)x= 29 ； °
(3)y= 59°.
各显身手
如图,AC、BD相交于点O, ∠A+∠B=∠C+∠D吗？为什么？
A
B
解： ∠A+∠B=∠C+∠D
1
在⊿AOB， ∠A+∠B+∠1=180° ∴∠A+∠B=180°-∠1
O
在⊿COD中 ，∠C+∠D+∠2=180° ∴∠C+∠D=180°-∠2
2 C D
又∵∠1=∠2（对顶角相等）
∴∠A+∠B=∠C+∠D (等量代换)
想 一想
如图,AB//CD,∠ABD与∠BDC的 平分线相交于点O,求∠O的度数.
A 1 O
∴∠ABD+∠BDC=180° ∵BO平分∠ABD，DO平分∠BDC ∴∠1=∠2= ∠3=∠4 =
1 2 ∠ABD
解：∵AB//CD
B
，
3
C
1 2 ∠BDC， 1 2
D
∴ ∠1+ ∠3=
北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
获取新知
知识点二：直角三角形的边的关系
B
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
A
C
关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”， 并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵 爽弦图法等
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那 么这个三角形是直角三角形．
一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
解:能.理由:在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,
∴AC=
=5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
你来给出完整的 证明过程吧，试 一试
例题讲解 例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
原命题都存在逆命题 ，
但是互逆命题的真假 无法保证
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫 做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
定理
“两直线平行，内错角相等”
最新北师大版初二数学下册第一章 三角形的证明 全单元课件
2、想一想：
（1）把剪出的等腰△ABC沿折痕对折，除两腰重合外 还有没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？ （2）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性 质吗？说一说你的猜想。
你发现了什么？
结论：等腰三角形的两底角相等
性质1、等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
已知： △ABC 中，AB＝AC
A
性
质
两腰相等
C
B
等边对等角 三线合一
轴对称图形
情景导入
一.情景导入，初步认知
问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角
平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等
的线段吗？
获取新知
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如
角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的
线段，并尝试给出证明.
求证：∠B=∠C。 证明：作底边BC边上的中线AD。
A
在△ABD与△ACD中：
B
AB＝AC（已知） BD＝DC（作图） AD＝AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
D
C
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
方法二：作顶角∠BAC的平分线AD。 ∵AD平分∠BAC ∴∠1＝∠2 在△ABD与△ACD中 12
A
2.△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，
DF⊥AC于F DE ⊥ AB 于E .求证：DE＝DF。
证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED＝∠CFD
B
E
D
F
C
在△DBE与△DCF中
∠DEB＝∠DFC（已证）
∠B＝∠C（已证）
又∵D是BC中点（已知）
北师大版八年级下册数学《直角三角形》三角形的证明PPT教学课件
北师版 八年级 下册
第一章 三角形的证明
直角三角形（第1课时）
讲授新课
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂 足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?
解：在R
∴BC=0.5AB=5 cm．
∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90°
1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.
讲授新课
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等角的所对的边相等. 勾股定理：
证明方法: 数方格和割补图形的方法
讲授新课
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求证： a2 b2 c2
A
证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，
连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．
∴∠BDE=90°，ED=a．
∴四边形ACDE是直角梯形．
请根据这一问题列出方程.（只列不解）
设：竹竿x尺，得
x 42 x 22 x2
讲授新课
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (斜边,直角边或
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴R
∴ 因∠此，A=△∠ADB=C9是0°直(全角等三三角角形形．的对应角相等)．E
第一章 三角形的证明
直角三角形（第1课时）
讲授新课
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30°，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂 足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢?
解：在R
∴BC=0.5AB=5 cm．
∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90°
1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.
讲授新课
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等角的所对的边相等. 勾股定理：
证明方法: 数方格和割补图形的方法
讲授新课
已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求证： a2 b2 c2
A
证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c，
连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．
∴∠BDE=90°，ED=a．
∴四边形ACDE是直角梯形．
请根据这一问题列出方程.（只列不解）
设：竹竿x尺，得
x 42 x 22 x2
讲授新课
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (斜边,直角边或
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴R
∴ 因∠此，A=△∠ADB=C9是0°直(全角等三三角角形形．的对应角相等)．E
北师大版初中八年级下册数学课件 《三角形内角和定理的证明》证明PPT课件2
体会数学符号在证明过程中的作用；
2、通过三角形内角和定理的变式教学，初步体会 数学思维的多向性；
情3、感通与过态三度角：形内角和定理的证明，了解几何证题 1的、重通要过思学想生方之法间-的--归动纳手法探。究与合作，培养学生团结 互助的精神； 2、弘扬个性发展，体验解决问题的多样性，获得成 就感； 3、使学生感悟逻辑推理，体验数学应用价值，激发
疑问再起
如果三角形是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，那么又如何论 证三角形的内角和为180゜呢？
1、让学生观察图中线段与线段的位置关系，教师引 导学生用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为 一个平角，从而使学生从剪拼的第二种情况中受到 启发用辅助线将三角形的三个内角两平行线间的同 旁内角，为定理的证明提供了必备条件。
方法二
证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B (两直线平行,内错角相等) ∠2=∠C (两直线平行,内错角相等) 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义) ∴∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换)
辅助线的添加
①辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成 虚线，而所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时 首先叙述出来.） ②它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起 到牵线搭桥的作用. ③添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与 未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律， 要根据需要而定,平时做题时要注意总结.
缺点：时间把握不够恰当，教学节奏慢
以疑引入
具体做法：
提问：在小学时，我们曾学过三角形的内角和是多少 度？你能证明吗？
设计意图：初中的学生好奇心较强，所以抓住
学生的这一心理特征以疑激情，激发学生的求知 欲。
2、通过三角形内角和定理的变式教学，初步体会 数学思维的多向性；
情3、感通与过态三度角：形内角和定理的证明，了解几何证题 1的、重通要过思学想生方之法间-的--归动纳手法探。究与合作，培养学生团结 互助的精神； 2、弘扬个性发展，体验解决问题的多样性，获得成 就感； 3、使学生感悟逻辑推理，体验数学应用价值，激发
疑问再起
如果三角形是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，那么又如何论 证三角形的内角和为180゜呢？
1、让学生观察图中线段与线段的位置关系，教师引 导学生用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为 一个平角，从而使学生从剪拼的第二种情况中受到 启发用辅助线将三角形的三个内角两平行线间的同 旁内角，为定理的证明提供了必备条件。
方法二
证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B (两直线平行,内错角相等) ∠2=∠C (两直线平行,内错角相等) 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义) ∴∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换)
辅助线的添加
①辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成 虚线，而所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时 首先叙述出来.） ②它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起 到牵线搭桥的作用. ③添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与 未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律， 要根据需要而定,平时做题时要注意总结.
缺点：时间把握不够恰当，教学节奏慢
以疑引入
具体做法：
提问：在小学时，我们曾学过三角形的内角和是多少 度？你能证明吗？
设计意图：初中的学生好奇心较强，所以抓住
学生的这一心理特征以疑激情，激发学生的求知 欲。
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结论： 当点A远离BC时，∠A越来越趋近于0°， 而 AB与AC逐渐趋向平行，这时，∠B、∠C逐渐接 近为互补的同旁内角，即∠B+∠C接近于180°。
请同学们猜一猜：
三角形的内角和可能是多少？
实验1： 先将纸片三角形一角折向其对边，使
顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处 两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、 （图3），最后得到（图4）所示的结果。
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A.
B
∠A+∠C=1800-∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
☞ 随堂练习P208
我是最 棒的
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
B
1
D
2
证法二：连接BC. 在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800, 在BDC中，BDC 1 2 1800 (三角形内角和定理). 1 2 1800 (BAC ABD ACD), 1 2 1800 BDC(等式性质). BDC BAC ABD ACD（等量代换）. 即BDC BAC B C.
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ）
＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
（等量代换）
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
2 、 如图，已知AD是△ABD
和△ACD的公共边.求证：
1、如图，已知△ABC中， ∠B 和 ∠C的平分线BE，CF交点O. 求证： ∠BOC=90°+ 1 A
2
A
F
O
E
B
C
A
2 、 如图，已知AD是△ABD 3 4
和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
B
12
D
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
C
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），
B
2
31 2
C
D
样的效果?
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流.
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
“行家”
☞ 例题欣赏P205
已知:如图6-9,△ABC.
看“门 A 道”E
求证:∠A+∠B+∠C=1800. 分析:延长BC到D,过点C作
成虚线.
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等定理吗?.
议一议P206
一题 多解
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑” 到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?
请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则
A
B
CB
A
C
BA
C
BAC
图1
图2
图3
图4
实验2： 将纸片三角形顶角剪下，
随意将它们拼凑在一起。
小结 拓展
回味无穷
• 掌握几何命题证明的方法,步骤,格 式及注意事项.
• 三角形内角和定理. • 结论: 直角三角形的两个锐角互余. • 探索证明的思路的方法: 由“因”
导“果”,执“果”索“因”.
• 与同伴交流,你是如何提高证明命 题能力的.
A A
B
C
B
C
如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC
时,∠A就越来越小(越来越接近00),而∠B和∠C则越来越大,
它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有
AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你
能想到什么?
看一看
用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点， A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上， 请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角 形……其内角会产生怎样的变化呢？
驶向胜利 的彼岸
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
回顾与思考 ☞
言必有“据”
• 我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个
结论的探索过程吗?
(1)如图,当时我们是
A
把∠A移到了∠1的位
1
置,∠B移到了∠2的位
置.如果不实际移动
∠A和∠B,那么你还有 其它方法可以 达到同
八年级数学（下）第六章 证明(一)
三角形内角和定理 的证明
回顾与思考 ☞
胜者的 “钥匙”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路;
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理 清晰地写出证明过程;
内角是多少度?请证明你的结论.
A
A B
D
E
C
A B
C
B
C
已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500..
结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接 运用.
☞ 读一读P209
用运动变化的观点 理解和认识数学
在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越 来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和 ∠C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?
P AQ
132
∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),B
C
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到 什么启发?你有新的证法吗?
所作的辅助 线是证明的 一个重要组 成部分,要 在证明时首 先叙述出来.
射线CE∥AB,这样,就相当 B 于把∠A移到了∠1的位置,
1
32
C
D
把∠B移到了∠2的位置. 证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则
∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅 助线通常画
“行家”
试一试P209
☞
根据下面的图形,写出相应的证明.
看“门 道”
A
A
Q
R
B
P
C
(1)
S
Q
PN
S
Q
PN
R
BM T C
(2)
A
R
MT
B
C
(3)
你还能想出其它证法吗?
☞ 三种语言 三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
请同学们猜一猜：
三角形的内角和可能是多少？
实验1： 先将纸片三角形一角折向其对边，使
顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处 两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、 （图3），最后得到（图4）所示的结果。
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A.
B
∠A+∠C=1800-∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
☞ 随堂练习P208
我是最 棒的
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
B
1
D
2
证法二：连接BC. 在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800, 在BDC中，BDC 1 2 1800 (三角形内角和定理). 1 2 1800 (BAC ABD ACD), 1 2 1800 BDC(等式性质). BDC BAC ABD ACD（等量代换）. 即BDC BAC B C.
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ）
＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
（等量代换）
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
2 、 如图，已知AD是△ABD
和△ACD的公共边.求证：
1、如图，已知△ABC中， ∠B 和 ∠C的平分线BE，CF交点O. 求证： ∠BOC=90°+ 1 A
2
A
F
O
E
B
C
A
2 、 如图，已知AD是△ABD 3 4
和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
B
12
D
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
C
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），
B
2
31 2
C
D
样的效果?
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流.
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
“行家”
☞ 例题欣赏P205
已知:如图6-9,△ABC.
看“门 A 道”E
求证:∠A+∠B+∠C=1800. 分析:延长BC到D,过点C作
成虚线.
∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等定理吗?.
议一议P206
一题 多解
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑” 到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可以吗?
请你帮小明把想法化为实际行动. 证明:过点A作PQ∥BC,则
A
B
CB
A
C
BA
C
BAC
图1
图2
图3
图4
实验2： 将纸片三角形顶角剪下，
随意将它们拼凑在一起。
小结 拓展
回味无穷
• 掌握几何命题证明的方法,步骤,格 式及注意事项.
• 三角形内角和定理. • 结论: 直角三角形的两个锐角互余. • 探索证明的思路的方法: 由“因”
导“果”,执“果”索“因”.
• 与同伴交流,你是如何提高证明命 题能力的.
A A
B
C
B
C
如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC
时,∠A就越来越小(越来越接近00),而∠B和∠C则越来越大,
它们的和越来越接近1800, 当把点A拉到无穷远时,便有
AB∥AC,∠B和∠C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你
能想到什么?
看一看
用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点， A为动点，放松橡皮筋后，点A自动收缩于BC上， 请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角 形……其内角会产生怎样的变化呢？
驶向胜利 的彼岸
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
回顾与思考 ☞
言必有“据”
• 我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个
结论的探索过程吗?
(1)如图,当时我们是
A
把∠A移到了∠1的位
1
置,∠B移到了∠2的位
置.如果不实际移动
∠A和∠B,那么你还有 其它方法可以 达到同
八年级数学（下）第六章 证明(一)
三角形内角和定理 的证明
回顾与思考 ☞
胜者的 “钥匙”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路;
(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理 清晰地写出证明过程;
内角是多少度?请证明你的结论.
A
A B
D
E
C
A B
C
B
C
已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500..
结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接 运用.
☞ 读一读P209
用运动变化的观点 理解和认识数学
在△ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越 来越接近BC时, ∠A就越来越大(越来越接近1800),而∠B和 ∠C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?
P AQ
132
∠1=∠B(两直线平行,内错角相等),
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等),B
C
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
小明的想法已经变为现实,由此你受到 什么启发?你有新的证法吗?
所作的辅助 线是证明的 一个重要组 成部分,要 在证明时首 先叙述出来.
射线CE∥AB,这样,就相当 B 于把∠A移到了∠1的位置,
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C
D
把∠B移到了∠2的位置. 证明:作BC的延长线CD,过点C作CE∥AB,则
∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义),
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅 助线通常画
“行家”
试一试P209
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根据下面的图形,写出相应的证明.
看“门 道”
A
A
Q
R
B
P
C
(1)
S
Q
PN
S
Q
PN
R
BM T C
(2)
A
R
MT
B
C
(3)
你还能想出其它证法吗?
☞ 三种语言 三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: