重庆市第一中学2020届高三下学期第一次月考数学(理)试题pdf版
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高2020级高三下期第一次月考
数学试题卷(理科)
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
一、选择题：本大题 12个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.1．设1
1z i i
=
++(其中i 是虚数单位),则z =（ ）
A ．
12
B C D ．2
2.已知命题p 为真命题，命题q 为假命题．在命题① p q ∧；② p q ∨；③ ()p q ∧⌝；
④()p q ⌝∨中，真命题是()
A ．① ③
B ．① ④
C ．② ③
D ．② ④
3.已知函数23
()1
x f x x -=-,若在[2,5]-上随机取一个实数0x ,则0()1f x ≥的概率为（ ）
A ．
17
B ．37
C ．47
D ．
6
74．等比数列{n a }中，42a =，75a =，则数列{lg n a }的前10项和等于( ) A ．2
B ．lg 50
C ．5
D ．10
5.若函数13
11()log [(23]2)f x a x a ⎛⎫
=-+≠ ⎪⎝⎭的定义域为R ,则下列叙述正确的是（ ）
A.()f x 在R 上是增函数
B.()f x 在R 上是减函数
C.()f x 在1
,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上是减函数
D.()f x 在[0,)+∞上是增函数
6.设21,F F 分别是双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的左右焦点，点),(b a M ，
︒=∠3021F MF ，则双曲线的离心率为（
）
A.4
B.3
C.2
D.2
7.已知甲、乙、丙三人中,一人是公务员,一人是医生,一人是教师.若丙的年龄比教师的年龄大;甲的年龄和医生的年龄不同;医生的年龄比乙的年龄小.则下列判断正确的是（ ）
A ．甲是公务员，乙是教师，丙是医生
B ．甲是教师，乙是公务员，丙是医生
C ．甲是教师，乙是医生，丙是公务员
D ．甲是医生，乙是教师，丙是公务员 8. 一个几何体的平面展开图如右图所示，其中四边形ABCD 为正方形，
E 、
F 分别为
PB 、PC 的中点，在此几何体中，下面结论中一定正确的是( )
A.直线AE 与直线DF 平行
B.直线AE 与直线DF 异面
C.直线BF 和平面PAD 相交
D.直线DF ⊥平面PBC
9.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政 治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一 上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有( )
A ．8种
B ．10种
C ．12种
D ．
14种
10．下列说法中正确的个数是( )
(1)已知沙坪坝明天刮风的概率P(A)=0.5,下雨的概率P(B)=0.3,则沙坪坝明天又刮风又下雨的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.15.
(2)命题p :直线10ax y ++=和3(2)30x a y +--=平行; 命题q :3a =. 则q 是p 的必要条件.
(3) 2019501+被7除后所得的余数为5
(4) 已知i 是虚数单位, ,x y R ∈,复数z x yi =+,134z i =-,1||1z z -=,则||z 的最小值是2. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知a ,b 为单位向量，则||||a b a b ++-的最大值为（ ） A ． B ． C 1 D ．3
12．已知曲线32()2f x x ax x =-+-与直线1y kx =-相切，且满足条件的k 值有且只有3个，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[2,)+∞
B ．(2,)+∞
C ．[3,)+∞
D ．(3,)+∞
第II 卷（非选择题)
二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卷相应位置上，只填结果，不要过程.
13.已知公差不为0的等差数列{n a }中,1a ,2a ,5a 依次成等比数列,则
5
1
a a = ． 14.若椭圆()22
1636x y m m m
-=-<<-+上的点到两焦点距离之和为4，则该椭圆的短轴长
为______.
15.已知0
01
11
2220012
()()(1)()(1)
()(1)()(1)n n n n n n n n n n
g x C f x x C f x x C f x x C f x x n
n
n n
--=-+-+-+
+-,
其中()f x x =.若1r ≥时,有1
1r r n n rC nC --=成立,则(6)g = .
16．如图，在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥底 面ABCD ，//FD EC ，底面ABCD 为矩形，
G 为线段AB 的中点，CG DG ⊥，
2CD DF CE ===，则四棱锥E ABCD -
与三棱锥F CDG -的公共部分的体积为______．
三、解答题：本大题6个小题，共70分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的 方框内.必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.
17．
（本小题满分12分）已知函数2()(4cos 2)sin2cos4f x x x x =-+.
（1）求()f x 的最小正周期及最大值． （2）设,,A B C 为ABC ∆的三个内角，若
cos B =
()12A f =-,且角A 为钝角，求sin C 的值.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P
ABCD -中，四边形ABCD 为正
方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，M 是PC 上 一点，且BM PC ⊥.
（1）求证：PC ⊥平面MBD ；
（2）求直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值.
19．（本小题满分12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随
机调查了100颗芯片，所调查的芯片得分均在[]197，
内,将所得统计数据分为如下[)[)[)[)[)[],11111313151517
,17,197,99，，，，，，，六个小组，得到如图所示的频率分布直方图，其中0.a b -=06．
（1）求这100颗芯片评测分数的平均数; （2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。
若3个工程手机的评分都达到13万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分
没达到13万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到13万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到13万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到13万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为160元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再．．．．．．．．．．．．．．．．．．．进行后续测试．．．．．．
，现手机公司测试部门预算的测试经费为5万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．
20．（本小题满分12分）已知,0a R a ∈≠,函数1
()ax f x e
ax -=-,其中常数
2.71828
e =.
(1)求()f x 的最小值;
(2)当1a ≥时,求证:对任意0x >,都有2
()2ln 1xf x x ax +-≥.
21．（本小题满分12分）
已知抛物线G:2
2y px =,焦点为F,直线l 交抛物线G 于A,B 两点,交抛物线G 的准线于点C,如图所示.当直线l 经过焦点F 时,点F 恰好是线段AC 的中点,且8||3
BC =
. (1)求抛物线G 的方程;
(2)点O 是坐标原点,设直线OA,OB 的 斜率分别为12,k k ,当直线l 的纵截距为1时,有 数列{}n a 满足: 11a =,1116n k a +=-,2
2(42)n k a =+. 设数列{
}1n
n
a a +的前n 项和为n S ,已知存在正整数m , 使得20201m S m <+≤,求m 的值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4 - 4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线C
的参数方程为2(x cos y θ
θθ
=⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l
过极坐标系内的两点π4A ⎫⎪⎭和π3,2B ⎛⎫
⎪⎝⎭
. (1)写出曲线C 的普通方程,并求直线l 的斜率; (2)设直线l 与曲线C 交于,P Q 两点,求BP BQ ⋅.
23.（本小题满分10分）选修4 - 5 不等式选讲 已知,a b 都是实数，0a ≠，()12f x x x =-+-. （1）求不等式()2f x >的解集M ； （2）求证：当 R
x M ∈
时，()a b a b a f x ++-≥恒成立.
命题:侯明伟
审题:王 明 朱海军。
重庆市第一中学高三上学期9月开学考试数学含答案
2023年重庆一中高2024届高三上期开学考试数学测试试题卷（答案）一、单选题：1--4:ACBD5--8:CBDA 8.解：由()112ln +-≥x x x 得：()3243ln 21131323ln ->⇒+->在212121ln ln x x x x x x >--中，取1,321==x x 得：41414333ln 2133ln 13--<⇒>-二、多选题：9.CD 10.AC 11.BCD 12.ABD 12.解：对于A 选项，()x eex x f 11-='，由于ex e x ≥，故()0≥'x f ，所以()x f y =是增函数，故A 对对于B 选项，210x x << ，则1,0121121>>---x x e e x x 故0112<-x x ，从而1211121x x e e x x ->---，故B 对对于C 选项，()x ex f x ln 2-=-在()+∞,0单调递减，最多只有一个零点，故C 错对于D 选项，m e x e x x x ==2121，则0112121=-=-x x e x m e x m 即()01=-='x e x m x f 有两个不同的正根21,x x ，易得2110x x <<<而()11111ln 1ln 1ln 111111x x x x e x x e x e x e x m x f +=+=+=，同理()21ln 222x e x x x f +=构造函数()()01ln >+=x e x x x g x ，则()()0ln 1≤-='xe x x x g 恒成立故()x g 在()+∞,0单调递减，2110x x <<< ，则()()()121x g g x g <<，即()()1210x f e x f <<<又101<<x ，则()11111ln 1111x ex x x x <<+-<+故()11ln 1111<+=x ex x x f 故()()1012<<<x f x f 于是D 对三、填空题：13.2.014.220-15.1≥m 16.e 216.解：由()0>x f ，()()()01>'⋅+x f x f x f 可知⇒>0)('x f )(x f 单调递增.不等式变形为()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+++22ln 11ln 11ln 11ln x x x a f x x x a f e f e f ax ax 注意到x x x g +=ln )(单调递增，故()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2ln 111x x x a f e f ax ，即2ln 111x x x a e ax ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+进一步变形得：()1ln )1(22+≥+x x eax ax （*）构造x x x ex x h e x x h e x x h )2()('',1)1()(')1()(+=++=⇒+=所以)('x h 在)2,(--∞单调递减，在),2(+∞-单调递增，故)(01)2(')('2x h eh x h ⇒>-=-≥-单调递增.（*）等价于)(ln )(2x h ax h ≥，即x x a x x ax ln 2ln 2ln 2≥⇒=≥恒成立求导可知x x y ln 2=的最大值为e 2，所以e a 2≥，即正实数a 的最小值为e 2四、解答题17.解：（1）证明：连接BD AC ,交于点R ，连接11,,C A PR PQ 由中位线可知11//C A PQ 且1121C A PQ =，由因为11//C A AR 且1121C A AR =所以AR PQ //且AR PQ =，所以PQAR 为平行四边形，所以PR AQ //..............（3分）结合⊄AQ 平面PBD ，⊆PR 平面PBD 可知//AQ 平面PBD ...........（4分）（2）以D 为原点，1,,DD DA DC 为坐标轴建立如图坐标系.此时),2,0,1(),0,2,2(),0,0,0(P B D )2,0,1(),0,2,2(==DP DB ，设平面PBD 的法向量为),,(z y x m =，则由0,0=⋅=⋅m DP m DB 可知：)1,2,2(1,2,202022--=⇒-=-==⇒⎩⎨⎧=+=+m z y x z x y x ........（8分）显然平面BCD 的法向量为)1,0,0(=n ..........（9分）设二面角C BD P --的平面角为θ，则θ为锐角.所以311001441)1(0)2(02cos =++⋅++⨯-+⨯-+⨯==θ............（10分）18.解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知362344,15311=⨯+=+d a d a .........（4分）解得144,31-=⇒==n a d a n ............（6分）（2）由于1111111+++++-=-==n n n n n n n n n n S S S S S S S S a b ...............（10分）所以31111)11(11()11(1111322121=<-=-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++++S S S S S S S S S b b b n n n n ............（12分）19.解：（1）由已知x x e x g x f ex g x f --=-⇒=-+-)()()()(，与x e x g x f =+)()(联立解得)(21)(),(21)(x x x x e e x g e e x f ---=+=...........（4分）求导可知)(21)('x x e e x f --=令)(0)('x f x f ⇒>的增区间为),0(+∞，令)(0)('x f x f ⇒<的减区间为)0,(-∞.........（6分）（2）设2≥+=-x x e e t ，则44)(,2)(22-==t x g t x f ，已知转化为：024432≥--+t a t 在2≥t 时恒成立..............（9分）分离参数得t t a 82+≤，由均值不等式24828=⋅≥+t t t t ，取等条件222≥=t ，故tt 8+的最小值为24，所以22242≤⇒≤a a 故实数a 的取值范围为：]22,(-∞.............（12分）20.解：（1）甲投球1次获胜的概率311=p ，甲投球2次获胜的概率913121322=⨯⨯=p ，甲投球3次获胜的概率27131213221323=⨯⨯⨯⨯=p 所以甲获胜的概率27132719131321=++=++=p p p p .............（4分）（2）记“甲第i 次投中”为事件i A ，“乙第i 次投中”为事件i B ，其中n i ≤≤1，当11-≤≤n j 时，投篮结束时甲恰好投篮j 次的概率为：)()(112211112211j j j j j j j j B A B A B A B A p A B A B A B A p p ----⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=jj j )31(221322132(31)2132(11=⨯⨯⨯+⨯⨯=--.............（7分）投篮结束时甲恰好投篮n 次的概率为：()(112211112211n n n n n n n A B A B A B A p A B A B A B A p p ----⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=111)31(322132(31)2132(---=⨯⨯+⨯⨯=n n n .............（9分）所以11111)31()31(2)(--=-=+=+=∑∑n j n j n n j j n j np jp E ξ设121131)(1()31(231131(--=-+⋅⋅⋅+⨯+⨯==∑n n j j n j S ，则1)31(2)(-+=n n S E ξ则n n S )31)(1(31(2)31(13132-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=，错位相减得：n n n n n S 31)(21(21)31)(1(31()31()31(3132132+-=--+⋅⋅⋅+++=-nn S )314323(43+-=⇒所以n n n n n E 31(2323)31(]31)(4323(43[2)(1-=++-=-ξ.............（12分）21.解：（1）由DF BD =可知：12422+=+a b a .............（2分）整理得202122=⇒=--⇒+=a a a a b ，所以322=-=c a b ，所以椭圆C 的方程为13422=+y x ..............（4分）（2）设),(),,(),,(),,(44332211y x N y x M y x Q y x P 依题意，圆T 的方程为4)()2(222+=-+-t t y x ，令2=x ，则0422=--ty y ，由韦达定理可得443-=y y .............（6分）由已知直线PQ 不与y 轴垂直，设直线PQ 的方程为n my x +=，与椭圆联立得：01236)43(222=-+++n mny y m 由韦达定理可得43123,4362221221+-=+-=+m n y y m mn y y ，.............（8分）由M P A ,,三点共线得AM AP //，所以24244)2(11113131++=+=⇒=+n my y x y y y y x ，同理24224++=n my y y 所以4)2)(2(16212143-=++++=n my n my y y y y去分母整理得：0)2())(2()4(221212=++++++n y y n m y y m ，.............（10分）将韦达定理带入得：0)2(436)2(43123)4(22222=+++-+++-+n m mn n m m n m 整理得1022=⇒=-+n n n 或2-=n 当2-=n 时，直线PQ 过点A ，不合题意，所以1=n ，所以直线PQ 的方程为1+=my x ，恒过定点)0,1(.............（12分）22.解：（1）0=a 时x x x x f 2ln )(+=，3ln )('+=x x f ............（1分）设切点为)2ln ,(0000x x x x +，则切线斜率为3ln )('00+==x x f k 切线方程：))(3(ln )2ln (00000x x x x x x y -+=+-.............（3分）将点)1,0(-带入得：1))(3(ln )2ln (1000000=⇒-+=+--x x x x x x 此时斜率3=k ，所以切线方程为13-=x y .............（4分）（2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，ax xx f ax x x f 61)('',3ln 3)('2-=-+=①当0≤a 时)('0)(''x f x f ⇒>在),0(+∞单调递增注意到0→x 时-∞→)('x f ，注意到+∞→x 时+∞→)('x f 故存在),0(0+∞∈x ，使得0)('0=x f ，在),0(0x x ∈时)(,0)('x f x f <单调递减，在),(0+∞∈x x 时)(,0)('x f x f >单调递增，函数)(x f 有极小值，无极大值，不符合题意..............（6分）②当0>a 时，令)61,0(0)(''a x x f ∈⇒>，令),61(0)(''+∞∈⇒<ax x f 所以)('x f 在)61,0(a 单调递增，在),61(+∞a单调递减.当0→x 时-∞→)('x f ，当+∞→x 时-∞→)('x f ，a a f 6ln 2125)61('-=所以a x f 6ln 2125)('max -=若06ln 2125≤-a ，则0)('≤x f 恒成立，)(x f 在),0(+∞单调递减，无极值和最值..............（8分）若06ln 2125>-a ，即65e a <，此时存在21610x a x <<<，使得0)(')('21==xf x f且在),(),,0(21+∞x x 有0)('<x f ，)(x f 单调递减；在),(21x x 有0)('>x f ，)(x f 单调递增，此时)(2x f 为)(x f 的极大值.注意到0→x 时0)(→x f ，要使)(x f 无最大值，则还应满足0)(2<x f .............（10分）即02ln 23222<+-x ax x x （*），同时22222223ln 303ln 30)('x x a ax x x f +=⇒=-+⇒=带入（*）整理得232203ln 2-<⇒<+e x x 由于a x 612>，且)('x f 在),61(+∞a 单调递减，故0)(')(')('23232<⇔>--e f e f x f 即2032333e a ae >⇒<--综上实数a 的取值范围为)6,2(53e e .............（12分）。
重庆一中2020-2021学年度初2023届第一次月考试题(图片版无答案)
或推理步骤.
27.（4 分）将 −9,1 2 , 21, 0, − π , − 22 , −3.1415,10% 填在下列集合中，
3
27
负数集合：{
...};
整数集合：{
...};
正分数集合：{
...};
非负整数集合：{
...};
28.（8 分）作图题 （1）（5 分）请将下列各数表示在数轴上，并用“ < ”比较它们的大小。
.
2
14．单项式 −4x2 yz 的系数是
.
15． a,b 两数的积与 c 的 2 倍的差用代数式表示是
.
16．如果一个 n 棱柱有 12 个顶点，则这个棱柱有
条侧棱.
17．比较大小： −2 1 4
− 7 (用“>”“<”或“=”连接） 3
18．如果定义新的运算符号“#”为： a #b = a + 1 ，那么 (3# 2) # 2 =
有（ ） A.1 个
B.2 个
C.3 个
D．4 个
9．如图所示的运算程席中，若开始输入的 x 值为 24，我们发现第 1 次输出的结果为 12，第
2 次输出的结果为 6，.....则第 1006 次输出的结果为（
）
A.6
B.3
C.24
10．若 x、y 互为相反数，且不等于零， n 为正整数．则正确的是（ A. xn、yn 一定互为相反数
1. −4 的绝对值是（
）
A. 4
B. 1 4
C. −4
D. − 1 4
2. 用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（
A.三角形
B.正方形
C.六边形
） D. 圆
全国2021届高中化学试题汇编(2020年题)：A1 阿伏伽德罗常数和物质的量
A1 阿伏伽德罗常数和物质的量【理综卷·2020届重庆市重庆一中高三上学期第一次月考】9． NA为阿伏伽德罗常数，下列叙述错误的是A．常温常压下，42g乙烯和丁烯混合气体中，极性键数为 6 NAB．1 mol Mg与足量O2或N2反应生成MgO或Mg3N2均失去2 NA个电子C．由CO2和O2组成的混合气体中共有NA个分子，其中的氧原子数为2NAD．6.4g SO2与足量氧气反应生成SO3，转移电子数为0.2 NA【知识点】阿伏伽德罗常数 A1【答案解析】D 解析：D．当SO2与O2反应时是可逆反应，反应物不可能完全转化为产物，故6.4g SO2反应时转移电子数小于0.2 NA，错误。
【思路点拨】本题考查了阿伏加德罗常数的值在有关物理量中的如分子中含有的原子数的计算、化学键的计算以及在氧化还原反应中的转移的点子数的计算等，包括的知识内容较多，综合性较强。
【理综卷·2020届重庆南开中学高三9月月考】3．设N A表示阿伏加德罗常数的值，下列叙述中不正确的是：A．常温常压下，1mol甲基（-C H3)含有的电子数为9N AB．1 mol FeCl3跟水完全反应转化为氢氧化铁胶体后胶体粒子的数目小于N AC．标况下，2.24LHF中含有的电子数为N AD．1 mol 金刚砂(SiC)中含有4N A碳硅键【知识点】阿伏伽德罗常数 A1 H3【答案解析】C 解析：A、甲基含一个未成对单电子，故1mol甲基含有电子数为9NA，故A 正确；B、水解程度小，故生成的胶体粒子数目小于NA，故B正确；C、标况下HF是液体，不能用气体摩尔体积计算，故C错误；D、金刚砂(SiC)与金刚石结构类似，一个C连4个Si，故1mol金刚砂含有4NA碳硅键，故D正确；【思路点拨】本题考查阿伏加德罗常数的有关计算和判断，题目难度中等，注意掌握好以物质的量为中心的各化学量与阿伏加德罗常数的关系，难度中等。
【理综卷·2020届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第二次模拟考试（202010）】11、向一定量的Mg2+、NH4+、Al3+混合溶液中加入Na2O2的量与生成沉淀和气体的量（纵坐标）的关系如图所示，则溶液中Mg2+、NH4+、Al3+三种离子的物质的量之比为（）。
重庆市第一中学2019届高三下学期4月月考(理)数学试题(解析版)
2019年重庆一中高2019级高三下期月考理科学数学一、选择题1.设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（ ）A. (0,1)B. (2,2]-C. (,2]-∞D. (2,1)- 【答案】B【分析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U .【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =.由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-.所以(]2,2A B =-U故选：B【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（ ）A. B. C. 14 D. 【答案】A【分析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z .【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=.所以由()2201913z i i +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3.设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【分析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4.已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（ ）A. (1,2)-B. (1,2)C.D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标.【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +.根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +.又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y =即(1,2)Q故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5.我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（ ）A. 得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B. 得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C. 得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24。
2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（）A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果.【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+，则复数z 的虚部为1．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．2．已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣，则A 的真子集共有（）个A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】D【分析】写出集合{1,0,1}A =-，即可确定真子集的个数.【详解】因为{}22,{1,0,1}A xx x Z =<∈=-∣，所以其真子集个数为3217-=.故选：D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（）A ．10πB ．12πC ．14πD ．16π【答案】B【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【详解】底面周长是：2×2π=4π，则侧面积是：14π48π2⨯⨯=，底面积是：π×22=4π，则全面积是：8π+4π=12π．故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E ．【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg0.1E E =,∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈．故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．5．向量,a b 满足||1a = ，a 与b 的夹角为3π，则||a b - 的取值范围为（）A ．[1,)+∞B ．[0,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】把||a b -用数量积表示后结合函数的性质得出结论．【详解】22222||()2121cos 3a b a b a a b b b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯+ 21b b -+= 2134423b ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭- ，所以3||2a b -≥ ．1||2b = 时取得最小值．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是把模用向量的数量积表示，然后结合二次函数性质得出结论．6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥面,ABC O 为ABC ∆中的一点，,PA PB PB PC ⊥⊥，PC PA ⊥，则点O 为ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，可得BC ⊥PA ，由PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，PO ⊥BC ，可得BC ⊥AE ，同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．故O 是△ABC 的垂心．【详解】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，∴BC ⊥PA ，∵PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，∴PO ⊥BC ，∴BC ⊥平面APE ，∵AE ⊂面APE ，∴BC ⊥AE ；同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．∴O 是△ABC 的垂心．故选D ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．7．设sin5a π=，b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】C【分析】借助中间量1和12比较大小即可.【详解】解：由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c ab <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量1和12，尤其在比较a 与c 的大小时，将c 变形得24331142c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭，进而与12比较大小是重中之核心步骤.8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且BA BC ==，2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O P '⊥面ABC ，P 在大于半球的的球面上，根据棱锥体积公式求得||O P '，进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知：AC 中点O '为面ABC 外接圆圆心，若外接球球心为O ，半径为R ，三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O 在P ，O '之间，∴1||33P ABC ABC V S O P -'=⋅⋅= ，1||||32ABC S BA BC =⋅⋅= ，即||3O P '=，||||32AC O C '==，所以()22222'|||'|33O C OC OO R R =-=--=，解得2R =，故选：A【点睛】关键点点睛：理解三棱锥P ABC -体积的最大时P 的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径.二、多选题9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（）A ．若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβB ．若,m n m α⊂⊥，则n α⊥C ．若,m n αα^Ì，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A ：,,//m n m n αβ⊂⊂，α、β不一定平行，错误.B ：,m n m α⊂⊥，n 不一定垂直于α，错误.C ：由线面垂直的性质：,m n αα^Ì，则必有m n ⊥，正确.D ：//,,m n αβαβ⊂⊂，m 、n 不一定平行，错误.故选：ABD10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．212log y x =C ．121=+y x D ．2log sin y x=【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A ：1(2t y =为减函数，||t x =在(0,1)上为增函数，所以||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数；B ：12log y t =为减函数，2t x =在(0,1)上为增函数，所以212log y x =为减函数；C ：1y t =为减函数，21t x =+在(0,1)上为增函数，所以121=+y x 为减函数；D ：2log y t =为增函数，sin t x =在(0,1)上为增函数，所以2log sin y x =为增函数；故选：ABC【点睛】结论点睛：对于复合函数的单调性有如下结论1、内外层函数同增或同减为增函数；2、内外层函数一增一减为减函数；11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】令1262x k πππ+=+得到对称轴，即可判断A ；根据平移变换知识可判断B ；求出其单调增区间即可判断C ；利用配角法即可判断D.【详解】对于A ，令1262x k πππ+=+()k ∈Z ，解得22()3x k k Z ππ=+∈，当1k =时，得83x π=，故A 正确；对于B ，将函数()f x 的图像向右平移3π个单位，得112sin[()]2sin 2362y x x ππ=-+=，故B 错误；对于C ，令122()2262k x k k Z πππππ-+<+<+∈4244()33k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，故C 错误；对于D ，若12sin()26x a π+=，则11cos()sin[()]23223x x πππ-=+-=1sin()262ax π+=，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴(4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+；B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+；C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <；D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<，1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=.2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.三、填空题13．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【解析】由题意，根据球的体积公式343V R π=，则343233R ππ=，解得2R =，又根据球的表面积公式24S R π=，所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则{12,k k λ==，所以12λ=．【解析】向量共线．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，从左到右第4个数字为228．【详解】观察数据可知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，所以第21行从左到右第4个数字为228．故答案为：228.【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前n 项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．四、双空题16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为______；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立的最大正整数m =______.【答案】(1,)+∞4039【分析】根据已知求得1a 的表达式，由此求得q 的取值范围.根据12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立列不等式，化简求得m 的取值范围，从而求得最大正整数m .【详解】由已知201911201911a qa q =⇒=，结合101a <<知2019101q <<，解得1q >，故q 的取值范围为(1,)+∞.由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立则1212111m ma a a a a a +++≤+++ 即()111111111m m a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--，将120191a q=代入整理得：40394039m q q m ≤⇒≤故最大正整数4039m =.故答案为：(1,)+∞；4039【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.五、解答题17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,DAB AB CD DD C M ∠=︒====（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线 CM 与1DD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14.【分析】（1）易得1111//,C D MA C D MA =，则四边形11AMC D 为平行四边形，得到11//C M D A ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由//CM DA ，将异面直线CM 与1DD 成的角，转化为 DA 与1DD 相交所成的角，然后在1ADD ，利用余弦定理求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC .又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =.如图所示：连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD .（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD中，1C M =，所以111,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211111cos 24AD DD AD ADD AD DD +-∠==-⋅，所以异面直线CM 和1DD 余弦值为14.【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．18．已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n *∈N ，都有1，1,n n a a +成等差数列.（1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由条件得121n n a a +=-，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得(21)2nn b n =+，选条件②得1(1)()2nn b n =+⋅利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知112n n a a ++=，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，且112a -=∴{}1n a -是以112a -=为首项，2q =为公比的等比数列，∴12nn a -=，∴()21nn a n N*=+∈（2）条件①：()1(21)(21)2nn n b a n n =-+=+，123325272(21)2nn S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:123413222222222(21)2nn n S n +-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅- 118(12)6(21)212n n n S n -+--=++⋅--化简得()12(21)2n n S n n N +*=-+∈条件②：11(1)()12nn n n b n a +==+⋅-231111234(1)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 234111111234(1)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ 利用错位相减法:23411111111(1)222222n n n S n +=++++-+⋅ 1111[1()]11421(1)12212n n n S n -+-=+-+⋅-化简得()13(3)(2n n s n n N *=-+∈【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解;在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式19．已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .且122B B =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥ ，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）10x +-=，或10x -=.【分析】（1）由题干条件可得c 和b 的值，进而求出2a 的值，从而求出椭圆方程；（2）首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，又110F P FQ ⋅= ，向量坐标化可得()()()2221212111110k x x k x x k F P FQ ⋅--==++++uuu r uuu r ，代入1212,x x x x +⋅，化简，即可求出k 的取值，从而求出直线方程.【详解】解（1）由条件可知：1c =，又122B B =，所以1b =，则22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，()()1111221,,1,F P x y F Q x y =+=+ ，∵110F P FQ ⋅= ，即()()()()()22212121212111110x x y y k x x k x x k +++=+--+++=，即()()()222222221411()102121k k kk k k k -+--++=++化简得：2201172k k =+-解得217,77k k ==±.故直线l的方程为10x +-=，或10x --=.【点睛】方法点睛：（1）将向量转化为坐标的关系；（2）联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积；（3）将两根之和和两根之积代入坐标关系中，解出k .20．已知()cossin 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求()f B 的取值范围；（2）当4a =，433b =，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积.【答案】（1）30,12⎛+ ⎝⎦；（2）833或433【分析】（1）利用公式对函数化简，根据B 角的范围，求函数值域.（2）由（1）求出B 的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果.【详解】（1）2()cossin sin cos 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,12f B ⎛∈+ ⎝⎦（2）34()11,,23333f B B B ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，,326B B πππ∴+==，由正弦定理得：4343sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=()0,,3A A ππ∈∴=，或23A π=，若3A π=，则2C π=，183sin 23ABC S ab C ==若23π=A ，则6π=C，1sin 23==ABC S ab C 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．在直三棱柱111ABC A B C -中，112,120,,AB AC AA BAC D D ==∠=分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交,AB AC 于点,M N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明MN ⊥平面ADD 1A 1；又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴BC ⊥AD ，∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC ，∴MN ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABC,MN ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥MN ，∵AD,AA 1⊂平面ADD 1A 1，且AD∩AA 1=A ，∴MN ⊥平面ADD 1A 1∴，又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）设AA 1=1，如图：过A 1作A 1E ∥BC ，建立以A 1为坐标原点，A 1E ，A 1D 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)，∵P 是AD 的中点，∴M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则131,,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A =，)NM = ，设平面AA 1M 的法向量为(),,m x y z=，则100m AM m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10220x y z z ++=⎨⎪=⎩,令1x =，则y =，则()1,m =，同理设平面A 1MN 的法向量为(),,n x y z=，则100n A M n NM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得310220x y z ++=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，则1z =-，则()0,2,1n =-，则()15cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅，∵二面角A-A 1M-N 是锐二面角，∴二面角A-A 1M-N 的余弦值是155．【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．22．已知21()(1)2xf x e ax b x =---.其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <，（ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>.【答案】（1）max ()1f x e =-；（2）（ⅰ）1b >；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题得2()4(1)x f x e x x =---，()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，由[1,2]x ∈，可得()0f x ''>，即()'f x 在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即()0f x '<，可知()f x 在[1,2]上单减，求得max ()(1)1f x f e ==-.（2）（ⅰ）利用两次求导可得(,ln )x a ∈-∞时，()'f x 单减；(ln ,)x a ∈+∞时，()'f x 单增，再由()f x 有两个极值点，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-恒成立，构造函数()ln g a a a a =-，利用导数求其最大值，可得实数b 的取值范围；（ⅱ）设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，求导可得()h x 在(,1)-∞单增，得到()(2)f x f x ''<-，可得()()112f x f x ''<-，()()122f x f x ''->，结合()'f x 在(1,)+∞上单增，可得()()122f x f x >-，得到()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-，构造22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >，再利用导数证明()2(1)M x M e >=，即可得到()()12f x f x e+>【详解】（1）由2,4a b ==得，2()4(1)x f x e x x =---，求导()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，[1,2]x ∈ ，2[,]x e e e ∴∈，20x e ∴->，即()0f x ''>()f x '∴在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即[1,2]x ∀∈，()0f x '<，()f x ∴在[1,2]上单减，max ()(1)1f x f e ∴==-.（2）（ⅰ）求导()x f x e ax b '=--，因为对任意0,()a f x >均有两个极值点12,x x ，所以()0f x '=有两个根，求二阶导()x f x e a ''=-，令()0f x ''=，得ln x a=当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，由()0f x '=有两个根12,x x ，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，求导()ln g a a '=-，令()0g a '=，得1a =，当(0,1)x ∈时，()0g a '>，()g a 单增；当(1,)x ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单减，max (()1)1g g a =∴=，1b ∴>又0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫''-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭Q ，所以实数b 的取值范围是：1b >.（ⅱ）当a e =时，()x f x e ex b '=--，()x f x e e ''=-，令()0f x ''=，得1x =当(,1)x ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，又12,x x 是()0f x '=的两根，且12x x <，121,1x x <∴>，121x ∴->设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，即22(2)2()2,(1)xxx xe ex b ee x b e e ex e x h x --⎡⎤=-=-------+<⎣⎦，则2()2220x x h x e e e e e -=+->-='()h x ∴在(,1)-∞单增，()(1)0h x h ∴<=，即()(2)f x f x ''<-又11,x <，()()112f x f x ''∴<-，()()122f x f x ''∴->又()f x ' 在(1,)+∞上单增，122x x ∴->，即1222x x x <-<，又()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x ∴>-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e-∴+>-+=+-+-令22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >则2()22x x M x e e ex e -'=--+，2()20x x M x e e e -''=+-≥()M x '∴在(1,)+∞单增，且(1)0M '=，()0M x '∴>，故()M x 在(1,)+∞单增又21x > ，()2(1)M x M e ∴>=，即()()12f x f x e+>【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明()()f x g x <，(,)x a b ∈，可以构造函数()()()F x f x g x =－，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.。
2020届重庆市一中高三(10月)月考理综生物试题(解析版)
2020届重庆市一中高三（10月）月考理综生物试题（解析版）1.下列有关实验的说法正确的是A. 可以用哺乳动物成熟红细胞为材料用高倍镜观察细胞膜的亮-暗-亮三层结构B. 可以用菠菜叶的下表皮细胞为材料观察叶绿体C. 可以用黑藻叶为材料观察细胞的吸水和失水D. 可以用紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞为材料观察DNA和RNA在细胞中的分布【答案】C【解析】【分析】细胞膜的结构属于亚显微结构，需要借助电子显微镜才能观察；可以选人的口腔上皮细胞为材料观察DNA 和RNA在细胞中的分布，而不宜选植物细胞，植物细胞含叶绿体，容易对颜色造成干扰。
【详解】A.细胞膜的结构属于亚显微结构，需要借助电子显微镜才能观察，A错误；B.观察叶绿体可以用菠菜叶的下表皮并稍带些叶肉，下表皮细胞不含叶绿体，B错误；C.黑藻叶属于成熟的植物细胞，有成熟的大液泡，可以用来观察细胞的吸水和失水，C正确；D.紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞有颜色，会对观察DNA和RNA在细胞中的分布产生影响，D错误。
故选C。
2.下列关于元素的说法不正确的是A. 叶绿素由C、H、O、N、Mg等大量元素和微量元素构成B. P元素存在于磷脂分子的亲水性部位C. 核酸中的N元素只存在于碱基中D. 细胞中的元素大多以化合物形式存在【答案】A【解析】【分析】组成生物体的化学元素根据其含量不同分为大量元素和微量元素两大类。
（1）大量元素是指含量占生物总重量万分之一以上的元素，包括C、H、O、N、P、S、K、Ca、Mg；（2）微量元素是指含量占生物总重量万分之一以下的元素，包括Fe、Mn、Zn、Cu、B、Mo等。
糖类的元素组成是C、H、O，蛋白质的元素组成是C、H、O、N等，不同类的脂质的元素组成不同，脂肪和固醇的元素组成是C、H、O，磷脂的元素组成是C、H、O、N、P，核酸的元素组成是C、H、O、N、P。
【详解】A、 C、H、O、N、Mg都属于大量元素，A错误；B.、P元素存在于磷脂分子的亲水性部位，疏水性尾部是由脂肪酸链组成不含磷，B正确；C、核酸中的磷酸和五碳糖都不含N，N元素只存在于碱基中，C正确；D、细胞中的元素大多以化合物形式存在，D正确。
重庆市第一中学校2024届高三上学期10月月考数学答案
2023年重庆一中高2024届10月月考数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案C B C D A D A D【解析】1．对于A和B，集合为点集，显然不是M的子集，故A，B错误；对C，{0}⊆M，故C正确；对D，化简为｛1｝，不是M的子集，故D错误，故选C．3．由条件知113a b+=111144(4)5333a ba b a ba b b a⎛⎫⎛⎫⇒+=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当21a b==时取等号，故选C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BCDACABDAD【解析】．由题得2i z =-，所以虚部为1-，所以选项A 是错误的；z 对应的点(12)，在第一象限，选正确；|||2i|51|||2i |5z z -===+，所以选项C 是正确的；1||1z z -≤2(2)(x y ⇔-+则在复平面内1z 对应的点的集合确定的图形是半径为1的圆及其内部，面积为π正确，故选BCD ．．从甲箱中摸一张卡片，红色卡片与绿色卡片不可能同时出现，所以1N 与2N 是互斥事件，正确；由题意知12()3P N =，21()3P N =，所以111()()(2)3|P N N N M P P M ==函数且单调递增，所以有3(e4e)(e)0x x xh y h--+=3e4e e0x x xy⇒--+=3e3ex xy⇒=-，即3()e3ex xf x=-，则A正确；根据选项A知：32()3e3e3e(e1)x x x xf x'=-=-，则当0x<时，()0f x'<；当0x>时，()0f x'>，故0x=是函数的极小值点，故B错误；33333ln ln()3e3e3e3e e3eax ax ax ax x xf ax x x x x-⇒--⇒--≥≥≥()(ln)f ax f x⇒≥lnax x⇒≥ln xax⇒≥，令ln()(1)xm x xx=>21ln()xm xx-'⇒=，则()m x在(1e)，上单调递增，在(e)+∞，上单调递减，1(e)em=，故1ea≥，故C错误；又()m x在(1e)，上单调递增，则lnπm m>⇒>，所以D正确，故选AD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）2()2f x x x '=-，所以22n S n n =-．当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-．显然1n =时也满足，故43n a n =-．………………………………………………（5分）（2）2πcos 3n n b =∵，32(64)π4π1coscos 332n n b --===-∴，31(62)π2π1cos cos 332n n b --===-，36πcos 13n n b ==，设32313n n n n c b b b --=++，则0n c =，1233120n n b b b b c c c ++++=+++= ∴．…………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：因为DM BN ∥，所以B D M N ，，，四点共面．DM ABCD ⊥平面∵，DM AC ⊥∴，又BD AC ⊥，DM BD D = ，DM ⊆平面BDM ，BD ⊆平面BDM ，AC BDM ⊥平面∴，而PQ BDM ⊆平面，PQ AC ⊥∴．………………………………………………（4分）（2）解：分别以DA ，DC ，DM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则00)A ，，(00)C ，(002)M ，，，1)N ．……………………………………………（6分）设平面AMN 的法向量为()n x y z = ，，，因为(02)AM = ，，(01)AN =，所以由0n AM n AN ==得20z +=0z +=，不妨令z =，得(21n =-，，又01)CN =，，………………………………………………（9分）设直线CN 和平面AMN 所成角为θ，则||sin||||n CN n CN θ=427==．………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：2()cos f x x x x =+2cos 2)x x =+-1sin 222x x ⎫=-+⎪⎪⎭π232x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………………………（4分）（1）π02x <<∵，ππ2π2333x -<-<∴，πsin 213x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭≤∴，60()2f x <∴，故()f x 的值域是02⎛+ ⎝⎦．………………………………………………………………………（7分）（2）由2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得πsin 32A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ2π333A -<-<∵，2π3A =∴，延长AD 到点E ，使得AD DE =，连接CE ，BE 易知ABEC 是平行四边形．在ACE △中，AE =，4CE =，π3ACE ∠=，由余弦定理得2211682AC AC =+-⨯，即2440AC AC -+=，2AC =∴，12π42sin 23ABC S =⨯⨯=△∴．…………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由10(0.0050.030.040.005)1a ++++=得0.02a =，所以600.05700.3800.4900.21000.0579x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………（4分）（2）由已知，复赛选手进入决赛的概率为0.0228，又因为复赛成绩ξ服从2(799.5)N ，，而10.9544(2)0.02282P ξμσ-+==≥，所以进入决赛的分数线为2799.5298μσ+=+⨯=．……………………………………………（8分）（3）若乙所说消息为真，则决赛中获得特等奖的概率为520.02282280≈(2)P ξμσ=+≥，由902752μσσ=+=+得7.5σ=，37522.597.5μσ+=+=∴，而(3)0.0013P ξμσ+=≥，所以甲获得99分是小概率事件，这几乎是不可能发生的．根据统计学的相关原理，我们可以判断，乙所说的消息是不真实的．………………………………………………（12分）(注：答案不唯一，只要言之有理都可给分)21．（本小题满分12分）（1）解：函数()f x 的定义域为(0)+∞，，()1ln f x a x '=++，当1e a x --<时，()0f x '<，当1e a x -->，()0f x '>；故()f x 在1(0e )a --，上单调递减，在1(e )a --+∞，上单调递增．…………………………………（4分）（2）证明：令()e 1()x g x f x =+-e ln 1x x x x =--+，则()e ln 2x g x x '=--，令()()h x g x ='，则1()e x h x x'=-，显然()h x '在(0)+∞，上单调递增．又(1)e 10h '=->，1202h ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，故存在唯一的0112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得0()0h x '=．从而()g x '在0(0)x ，上单调递减，在0()x +∞，上单调递增，0()()g x g x ''≥∴，……………………………………………（8分）又001e x x =∵，两边取对数得00ln x x =-，故000()e ln 2x g x x '=--00120x x =+-≥，0()()0g x g x ''≥≥∴，故()g x 在(01]，上单调递增，所以()(1)e g x g =≤，得证．………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）由题意，a =，又122123223AF F b S c a =⨯⨯=△222b =∴，从而22222a c c -==，21c =∴，23a =，∴椭圆G 的方程为22132y x +=．………………………………………………（4分）（2）设2(2)Q t t ，，易得切线方程为2y tx t =-，联立22236y x +=得223(23)4t x t x +-+4260t -=，设11()C x y ，，22()D x y ，，由韦达定理得3122423t x x t +=+，41222623t x x t -=+，所以||CD =2223t t +=+．………………………………………（7分）易得直线MN 的方程为x t ty =-，联立22236y x +=得2222(32)6360t y t y t +-+-=，设33()M x y ，，44()N x y ，，由韦达定理得2342632t y y t +=+，23423632t y y t -=+，所以||MN =2243(1)32t t +=+，22||||2(23)CD t s MN t +==+∴，……………………………………………（9分）令23x t =-(11392x x -=-，令(113()92x f x x -=-，2()f x '=因为点2(2)Q t t ，，在椭圆内，4223(2)6t t +<，即42630t t +-<，解得21032t <<≤，532x <≤∴，令2()65999g x x x =-+，显然()g x 在532⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，而525565999242g ⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭27329502-=<，()0g x <∴，即()0f x '<，()f x ∴在532⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递减，min ()(3)f x f ==∴，故s 有最小值，当点Q 在原点处时，s 取最小值3．……………………………………………（12分）。
重庆市第一中学2023届高三下学期3月月考化学 (无答案)
2023年重庆一中高2023届3月月考化学试题卷一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化学与生活生产密切相关，下列说法错误的是（ ） A ．用23Na CO 与()243Al SO 两种溶液制作泡沫灭火剂 B ．4NH Cl 与2ZnCl 溶液可用作焊接金属的除锈剂 C ．4BaSO 常用作医学上肠胃X 射线检查的造影剂 D ．带有强亲水基团的聚丙烯酸钠常用作高吸水性树脂 2．下列化学用语表述正确的是（ ）A ．基态铷原子最高能级的电子云轮廓图：B ．2CS 的电子式：S C S ::::C ．亚油酸（顺，顺-9，12-十八碳二烯酸）的结构简式：D ．苯分子中的大π键示意图：3．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是（ ） A ．能使甲基橙变黄色的溶液中：2Mg +、3Fe +、227Cr O -、ClO -B ．饱和2CO 溶液中：K +、2Ba +、3NO -、Cl -C ．澄清透明溶液中：K +、2Fe +、24SO -、[]36Fe(CN)-D ．由水电离的()141H110mol L c +--=⨯⋅的溶液中：Na +、K +、F -、I -4．下列叙述错误的是（ ）A ．向22Na O 固体中分别通入2CO 和2SO 气体，均能得到大量2OB ．过量3NH 分别通入3AgNO 溶液和32Cu(NO )溶液中，均可看到溶液先浑浊后澄清C ．2SO 使溴水褪色与乙烯使4KMnO 溶液褪色的原型相同D ．饱和34Na SO 溶液和浓硝酸均可使鸡蛋清溶液产生沉淀，但原理不同 5．下列实验装置（夹持装置略）及操作正确的是（ ）6．布洛芬、阿司匹林、酚麻美敏片均属于常见的解热镇痛抗炎药，下图所示X 、Y 、Z 分别是其有效成分分子的结构简式。
下列说法错误的是（ ）A ．X 含1个手性碳，且与苯甲酸互为同系物B ．Y 中所有的碳原子可能在同一平面上C ．Z 苯环上的H 被Br 所取代，二溴代物有4种D ．X 、Y 、Z 均能与23Na CO 反应产生2CO7．金属M 在潮湿的空气中会形成一层致密稳定的233M(XY)MZX ⋅。
2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三下学期第一次在线月考数学(理)试卷
绝密★启用前2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三下学期第一次在线月考数学（理）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则 A ．B ．C ．D ．2．已知复数z 满足为虚数单位），则z ＝ A ．2＋B ．2－C ．－2＋D ．－2－3．在正三角形ABC 中，AB ＝2，，且AD 与BE 相交于点O ，则＝A ．－B ．－C ．－D ．－4．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则 A ．12B ．16C ．24D ．325．函数f(x)=|x |−1x 的大致图像为A ．B ．C ．D ．{0,1,2,3}A ={|ln 1}B x N x =∈<A B =I {0,1}{1,2}{0,1,2}{0,1,2,3}12(1zi i z +=-+-i i i i 1,2BD DC AE EC ==u u u r u u u r u u u r u u u rOA OB u u u r u u u r g 45342312n n =6．已知曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为 A ．2B ．C ．3D ．7．设a =20.1，b =ln 12，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a8．已知函数，将其图象向左平移（＞0）个单位长度后得到的函数为偶函数，则的最小值是 A ．B ．C ．D ．9．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF =2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是 A ．2√1313 B ．413 C ．2√77D ． 10．满足函数f (x )=ln (mx +3)在(−∞,1]上单调递减的一个充分不必要条件是 A ．−4<m <−2 B ．−3<m <0 C ．−4<m <0 D ．−3<m <−111．已知双曲线的右焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的右支交于不同两点，，若，则该双曲线的离心率为 A ．B ．C ．D ．22221x y a b-=0a >0b >(2,6)23()sin2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ϕϕϕ12π6π3π56π22221(0,0)x y a b a b-=>>F l F l A B 3AF FB =u u u r u u u r56233312．已知四棱锥，平面，，， ，，二面角的大小为，若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学上学期第一次月考试题 文扫描 试题
HY中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一中第一期联考文科数学答案命题、审题组老师 杨昆华 彭力 杨仕华 王佳文 张波 毛孝宗 丁茵 易孝荣 江明 李春宣一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCDADDCAAB1. 解析：由题意，因为集合{}1>=x x A ，所以=B A {}31<<x x ，选B ． 2. 解析：因为2i 12i i i)i)(1(1i)i(1i 1i 2+=-=-+-=+，选C ． 3. 解析：18=0.4540，选B ． 4. 解析：由得54)cos(-=--αβα，即54cos )cos(-==-ββ，又πβ（∈，）23π，所以0sin <β，且53cos 1sin 2-=--=ββ，选C ．5. 解析：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥A DBC -，那么最长棱为2222116AB =++=，选D ．6. 解析：对于B ，函数的周期是π，不是π4；对于C ，函数在3π=x 时不取最值；对于D ，当∈x 65(π-，)6π时，34(32ππ-∈+x ，）32π，函数不是单调递增，选A ． 7. 解析：因为()()11f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，选D ．8. 解析：由垂径定理可知直线CM 的斜率为2-，所以直线CM 的方程是)2(21--=+x y ，即032=-+y x ，选D ．9. 解析：设外接球的半径为R ，因为PA ⊥平面ABC ，所以BC PA ⊥，又BC AB ⊥，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，易知：OA OB OC OP ===，故O 为四面体P ABC -的外接球的球心，又2PA AB BC ===，所以22AC =，23PC =，半径3R =，四面体P ABC -的外接球的外表积为()24312ππ=，选C ．10. 解析：由()y f x =,()01f =-排除B ，()f x 是偶函数排除C,()20f =和()40f =排除D ，选A ．11. 解析：由题设得3=ab，2)(12=+=a b e ，所以b e a +2362322323322=≥+=+=aa a a ，选A ． 12. 解析：由余弦定理及22b ac a -=得，22222cos b a c ac B a ac =+-=+，所以有2cos c a B a =+，因此sin 2sin cos sin C A B A =+，故有()sin 2sin cos sin A B A B A +=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，即2B A =，所以022A π<<，所以04A π<<，又3B A A +=，所以32A ππ<<，所以63A ππ<<，综上,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()sin sin 22cos 2,3sin sin B At A A A===∈，选B ．二、填空题13. 解析：由22a b a b -=+解得0a b ⋅=，所以向量a 与b 夹角为90︒． 14. 解析：N=126+146+96+136=288⨯⨯⨯⨯．15. 解析：由图知，直线4z y x =-过()1,0时，4y x -有最小值1-. 16. 解析：由得()()22log 1933f x x x -=+++，所以()()6f x f x +-=，因为2lg 3⎛⎫ ⎪⎝⎭与3lg 2⎛⎫⎪⎝⎭互为相反数，所以23lg lg 632f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3lg 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 三、解答题〔一〕必考题17. 解：〔1〕证明：设1122n n nn a a d ---=那么122n n n a a d --= 所以1122n n n a a d ++-=,11122222n n n n n n a a da a d++--==-所以}{12n na a +-是首项为4,公比为2的等比数列. ………6分〔2〕因为{}2n n a 是等差数列，所以1221122=-=a a d ,所以11(1)22n n a a n d =+-⨯ , 所以1()22nn a n =-所以123113531222...()2()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-① 2311333222...()2()22222n n n S n n +=⨯+⨯++-+-②由①-②得23111=2+2+2...2()222n n n S n +-⨯++-- 13=(n-)232n n S ++． ………12分18. 解：〔1〕 选派B 同学参加比拟适宜．理由如下：1(7580808385909295)858A x =+++++++=，1(7879818284889395)858B x =+++++++=，22222221[(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)8B S =-+-+-+-+-+-+22(9385)(9585)]35.5-+-=，22222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)8A S =-+-+-+-+-+-+22(9285)(9585)]41-+-=，从A B x x =，22B A S S <可以看出：A ，B 两位同学的平均程度一样而B 的成绩较稳定，所以选派B 参加比拟适宜． ………7分〔2〕任选派两人有(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E 一共10种情况；所以A ，B ，C 三人中至多有一人参加英语口语竞赛有7种情况； 所以710P =． ………12分19. 解：〔1〕在直角梯形ABCD 中，2BC AD AB ⋅=，即AB ADBC AB=， 因为90DAB PBC ∠=∠=, 所以tan AB ACB BC ∠=，tan ADABD AB∠=， 所以ABD ACB ∠=∠，又因为90ACB BAC ∠+∠=， 所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥图2的四棱锥1P ABCD -中，1P A AB ⊥，由题知1P A AD ⊥，那么1P A ⊥平面ABCD ， 所以1BD P A ⊥，又1P AAC A =所以BD ⊥平面1P AC . ………6分(2)在图1中，因为AB =,1AD =，2BC AD AB ⋅=，所以3BC =因为PAD ∆∽PBC ∆，所以13PA AD PA PB BC ==⇒=，即1P A = 由〔1〕知1P A ⊥平面ABCD ，那么1C P BD V -1P CBD V -=1P CBD V -=111111133332324CBD S P A BC AB P A ∆⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯=. ………12分20. 解：〔1〕由椭圆定义知，224AF BF AB a ，又222AF BF AB ，得43ABa ，l 的方程为y x c ，其中22c a b .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将y x c 代入22221x y a b 得，2222222()2()0a b x a cx a c b . 那么212222-a c x x a b ，2221222)a cb x x a b （.因为直线AB 的倾斜角为4π，所以212122()4ABx x x x ，由43AB a 得，222443a ab a b ，即222a b .所以C的离心率2222c a b e a a. ………6分 (2) 设AB 的中点为0,0()N x y ，由〔1〕知，2120222--23x x a c c x a b ，003cy x c .由PA PB 得，PN 的斜率为-1，即001-1y x ，解得，3c ，32a ，3b .所以椭圆C 的方程为221189x y . ………12分21. 解：〔1〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞,因为()e x f x a '=+，由(0)0f '=，得1a =-, 所以()e 2x f x x =--，由()e 10x f x '=->得0x >，由()e 10x f x '=-<得0x <，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. ………6分 (2) 因为0x >,所以()e 1e 1xxm x -<+可化为e 1e 1x x x m +<-，令e 1()e 1x x x F x +=-，那么()2e (e 2)()e 1x x x x F x --'=-， 由〔1〕得()e 2x f x x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)e 30f =-<,2(2)e 40f =->,所以()f x 在(1,2)上存在唯一的0x ， 使0()0f x =，所以()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0()F x 是()F x 00e 20x x --=得00e 2x x =+， 所以00000000e 1(2)1()11e 1x x x x x F x x x +++===++-， 又因为012x <<，所以02()3F x <<，所以[]max 2m =. ………12分 〔二〕选考题：第22、23题中任选一题做答。