2014届上海市徐汇、金山、松江区高三二模数学(理)试题及答案
21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分） 已知椭圆的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．
（1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于、两点，试问，是否存在轴上的点，使得对 任意的，为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小 题7分） 定义：对于函数，若存在非零常数，使函数对于定义域内的任意实数， 都有，则称函数是广义周期函数，其中称为函数的广义周期，称为周 距． （1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距 的值； （2）试求一个函数，使（为常数，）为广义周期函数，并求出它的一 个广义周期和周距； （3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最 大值和最小值． 23．（本题满分18分，第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小 题6分） 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为 首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的 和，例如：；为数表中第行的第个数．
（1） 求第2行和第3行的通项公式和； （2） 证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，
并求关于（）的表达式； （3）若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数 ， 当时，都有．
2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）参考答案
及评分标准
2014.4
分）
由于，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．---（14 分） 21．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）设椭圆的短半轴为，半焦距为， 则，由得， 由解得,则椭圆方程为. ----------（6分） （2）由得 设由韦达定理得： = ==，----------------（10分） 当，即时，为定值，所以，存在点 使得为定值（14分）． 22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小 题7分） 解：（1）， ，（非零常数）
解：（1）连接，则， 设，则， 在中，， 所以，--------------------------（4分） 所以．-----------------（6分） （2）中，，,， ，-------------------------------（8分） ．（12分） 20．（本题满分14分） 解：由知，
（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，
则由
（常数）知第行的数也依次成等差数列，且其公差为.综上可得，数表
中除最后2行以外每一行都成等差数列；------------（7分）
由于，所以，所以
，由，
得，
（9分）
于是 ，
即，又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所
以，，所以（）．
由正弦定理得，所以，．---------------------------------------（4分） 在中，由余弦定理得：，
即，即，
解得（千米）， -----------------------------------------------（10分） （千米），--------------------------------------------------------------------（12
23．（本题满分18分；第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小 题6分．） 解：（1） ．-------------------------------------------------------------------------------------------------------（3分）
15．已知直线平面，直线平面，给出下列命题,其中正确的是---------
----( )
①
②
③
④
A．②④
B. ②③④ C. ①③
D. ①②③
16．在中，角的对边分别是，且，则等于-------（ ）
A．
B．
C．
D．
17．函数图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下
不可能成为公比的数是------------------------------------------------------------
2． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １． ２． 3． 4． 5． 6．40 7． 8． 9． 10．2 11． 12． 13．5 14． 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）
15．Ｃ 16．Ｄ 17．Ｂ 18．Ｃ
4． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
令，则当时，都有， 适合题设的一个等比数列为．------------------------------------------------------（18分）
9．如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是 ____________． 10．若的展开式中
的系数为， 则=____________． 11．在极坐标系中，定点A点B在直线上运动，则点A和点B间的最短距 离为____________． 12．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数， 则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数 表示)
（12分）
（3） ，
，
令，-----------------（14分）
． --------------------------------------------------------------------------------------------------------（15分） ，
，
，
20．（本题满分14分） 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山
路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时 间进行徒步攀登．已知，，（千米），（千米）．假设小王和小李徒步 攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内 徒步登上山峰． A C B D （即从B点出发到达C点）
13．如图所示，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段 （含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量为实数），则的最大 值为____________． 14．对于集合（，定义集合，记集合中的元素个数为．若是公差大于零 的等差数列，则=____________．
二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）
---------------------- （ ）
A．
B．
C．
D．
18．设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则 圆P的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②上命题正确的是--（ ）
A．① ③
B．② ③
C．① ②
D．① ② ③
3． 解答题：（本大题共5题，满分74分）
2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）
2014.4
1． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．已知集合，，则____________． 2．直线的倾斜角的大小是____________． 3．函数的单调递减区间是____________． 4．函数的值域是____________． 5．设复数满足，则＝____________． 6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学 习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有 820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________ 名学生. 7．函数的最小正周期=____________． 8．已知函数，则____________．
19．（本题满分12分，第（1）小题６分，第（2）小题６分）
如图，△ 中， ， ， ，在三角形内挖去一个半圆（圆心 在边 上，半圆与 、 分别相切于点 、 ，与 交于点 ），将△ 绕直线
旋转一周得到一个旋转体． （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小； （2）求图中阴影部分绕直线 旋转一周所得旋转体的体积．
2014年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分)1．(4分)(2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．考点：二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．解答：解：y=1﹣2cos2(2x)=﹣[2cos2(2x)﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为:点评：本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题．2．（4分)（2014•上海）若复数z=1+2i,其中i是虚数单位，则(z+）•=6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．解答：解:复数z=1+2i，其中i是虚数单位,则（z+)•==（1+2i)（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6点评:本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查．3．(4分)（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解:由题意椭圆+=1,故它的右焦点坐标是（2,0），又y2=2px(p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为:x=﹣2点评:本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）（2014•上海)设f（x)=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]．考点: 分段函数的应用；真题集萃．专题: 分类讨论；函数的性质及应用．分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．解答：解:当a＞2时，f(2)=2≠4,不合题意;当a=2时，f(2)=22=4，符合题意;当a＜2时,f（2）=22=4,符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞,2]．点评：本题考察了分段函数的应用,渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．(4分)（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点: 基本不等式．专题: 不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1,∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2,当且仅当x2=,即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）(2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos （结果用反三角函数值表示）．考点: 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值,进而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍,∴==3,即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示:则cosθ==,∴θ=arccos,故答案为：arccos点评:本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,是解答的关键．7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ)=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．解答：解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．8．(4分）（2014•上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n）,则q=．考点：极限及其运算．专题：等差数列与等比数列．分析:由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．解答：解：∵无穷等比数列{a n｝的公比为q,a1=（a3+a4+…a n）=(﹣a1﹣a1q）=,∴q2+q﹣1=0,解得q=或q=（舍）．故答案为：．点评：本题考查等比数列的公比的求法,是中档题，解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用．9．（4分）（2014•上海）若f（x)=﹣,则满足f(x）＜0的x的取值范围是（0，1）．考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．解答：解:f（x）=﹣,若满足f（x)＜0,即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0,1）．点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用,考查计算能力．10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,选择的3天恰好为连续3天的概率,须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1,2，3)，（2，3，4），（3，4,5）,（4，5，6)，（5,6，7），（6，7，8），（7，8,9），（8,9，10)，∴选择的3天恰好为连续3天的概率是,故答案为：．点评：本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）（2014•上海)已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2｝，则a+b=﹣1．考点: 集合的相等．专题: 集合．分析：根据集合相等的条件,得到元素关系，即可得到结论．解答：解:根据集合相等的条件可知,若｛a，b｝=｛a2，b2}，则①或②，由①得,∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合｛1，1}不满足条件．若b=a2,a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a,∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．(4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π］上恰有三个解x1,x2，x3,则x1+x2+x3=．考点: 正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．专题: 三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin(x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在［0，2π］上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．解答：解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在［0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点,令sin(x+)=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0,x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为:点评：本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）(2014•上海)某游戏的得分为1，2,3,4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4。
上海市松江区2014届高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
上海市松江区2014届高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.若函数1()1f x x =-(1)x ≠的反函数为1()f x -，则11()2f -= ．2.若1420xx +-=，则x = ．3.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1， 10.2，10.1，则这组数据的方差为 ．4.如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅= ．5.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ．若11a =，35a =，64n S =，则n = ．6.将直线1l ：30x y +-=绕着点(1,2)P 按逆时针方向旋转45︒后得到直线2l ，则2l 的方程为 ．7.执行如图所示的程序框图，输出的S = ．8.记1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x项的系数，则12111lim()n na a a →∞+++= ．9.若圆222(0)x y R R +=>和曲线||||134x y +=恰有六个公共点，则R 的值是 ．10.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根的概率是 ．【解析】11.对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数，如1.22,0.20=-=．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合{}(),10A y y f x x ==-≤≤，则集合A 中所有元素的和为 ．12.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的渐近线方程为 ．13.已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<， 且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++= ．14.设集合{1,2,3,,}A n =，若B ≠∅且B A ⊆，记()G B 为B 中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B ，()G B 的平均值= ．1n +，一般地对k 元子集，集合A 共有kn C 个k 元子集，对每一个子集12{,,,}k B a a a =（不妨设二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为 A ．25 B ．26 C ．27 D ．以上都不是16.已知b a <<0，且1a b +=，则下列不等式中，正确的是 A ．0log 2>aB ．212<-ba C ．2log log 22-<+b a D ．212<+ab b a考点：基本不等式，指数函数与对数函数的性质．17.已知函数2sin ()cos 2cos x m f x x x=的图像关于直线8x π=对称，则()f x 的单调递增区间为 A ．3[,]()88k k k Z ππππ-+∈ B ．3[,]()88k k k Z ππππ-+∈ C ．3[2,2]()44k k k Z ππππ-+∈ D ．3[2,2]()44k k k Z ππππ-+∈18.已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是 A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分已知集合{11}A x x =-≤，22{430,0}B x x ax a a =-+≤≥ (1)当1=a 时，求集合B A ；⑵若B B A = ，求实数a 的取值范围．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分过椭圆1222=+y x 的左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点． ⑴求1AO AF ⋅的范围；⑵若OA OB ⊥，求直线l 的方程．∵122121=+y x21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区．若在A地北偏东45方向，距A地M点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．⑴求A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程；⑵问：①应派哪艘船前往救援？②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到0.1小时）【解析】22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分已知函数2()(1)||f x x x x a =+--． ⑴若1a =-，解方程()1f x =；⑵若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；⑶是否存在实数a ，使不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立？若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【解析】∴ 方程的解集为{|11}x x x ≤-=或 …………………5分23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于数列{}n A ：123,,,,n A A A A ，若不改变1A ，仅改变23,,,n A A A 中部分项的符号，得到的新数列{}n a 称为数列{}n A 的一个生成数列．如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1,2,3,4,5--．已知数列{}n a 为数列1{}()2n n N *∈的生成数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．⑵若生成数列{}n a 满足： 311(1)78n n S =-，求{}n a 的通项公式； ⑶证明：对于给定的n N *∈，n S 的所有可能值组成的集合为：121{|,,2}2n nm x x m N m *--=∈≤．【解析】证明的是分子能取到[1,21]n -上的所有奇数即可，实际上就是证明n S 的12n -形式中每两种结果都不相同.（3）证法一：用数学归纳法证明：证法二：。
2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷(理科)(2)含详解
2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（2）一、选择题（12×5分=60分）1．（5分）若复数z=+（a2+2a﹣15）i为实数，则实数a的值是（）A．3B．﹣5C．3或﹣5D．﹣3或5 2．（5分）某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误3．（5分）（+x）dx=（）A．ln2+B．ln2+C．ln2﹣D．ln2+34．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 5．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）6．（5分）已知f（x）=（2x+1）3﹣+3a，若f′（﹣1）=8，则f（﹣1）=（）A．4B．5C．﹣2D．﹣37．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．38．（5分）若函数f（x）=e﹣x+ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．0＜a＜1C．﹣1＜a＜0D．a＜﹣19．（5分）设0＜a＜b，且f（x）=，则下列大小关系式成立的是（）A．f （a）＜f （）＜f （）B．f （）＜f （b）＜f （）C．f （）＜f （）＜f （a）D．f （b）＜f （）＜f （）10．（5分）∫01（﹣x）dx=（）A．B．C．D．11．（5分）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）=3B．P（5）=1C．P（2003）＞P（2005）D．P（2003）＜P（2005）12．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n=m•n．则在上述定义下，集合M={（x，y）|x⊗y=36，x∈N*，y∈N*}中元素的个数为（）A．48B．41C．40D．39二．填空题：（4×5分=20分）13．（5分）由曲线y=x2与x=y2所围成的曲边形的面积为．14．（5分）已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω=．15．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt，则f（x）=．16．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是．三．解答题（17题10分，其他题每题12分，计70分）17．（10分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．（12分）请观察以下三个式子：①1×3=；②1×3+2×4=；③1×3+2×4+3×5=，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．19．（12分）已知：函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：实数k的取值范围．20．（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．21．（12分）已知x=1是函数f（x）=（ax﹣2）e x的一个极值点．（a∈R）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x1，x2∈[0，2]时，证明：f（x1）﹣f（x2）≤e．22．（12分）已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题（12×5分=60分）1．（5分）若复数z=+（a2+2a﹣15）i为实数，则实数a的值是（）A．3B．﹣5C．3或﹣5D．﹣3或5【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】11：计算题．【分析】通过复数的虚部为0，即可求出实数a的值．【解答】解：因为复数为实数，所以a2+2a﹣15=0，解得a=3，或a=﹣5（舍去）．故选：A．【点评】本题考查复数的基本概念，基本知识的考查．2．（5分）某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【考点】F5：演绎推理．【专题】29：规律型．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，分析的其大前提，以及小前提，不难得到结论．【解答】解：∵大前提的形式：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选：C．【点评】本题考查演绎推理，主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．3．（5分）（+x）dx=（）A．ln2+B．ln2+C．ln2﹣D．ln2+3【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】由定积分运算公式，求出函数的f（x）=+x的一个原函数F（x）=lnx+，利用微积分基本定理即可得到所求积分的值．【解答】解：由积分运算法则，得（+x）dx=（lnx+）=（ln2+）﹣（ln1+）=ln2+故选：A．【点评】本题求一个定积分的值，着重考查了定积分计算公式和微积分基本定理等知识，属于基础题．4．（5分）已知a=1+，b=+，c=4，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【考点】72：不等式比较大小；7I：不等式的综合．【专题】35：转化思想．【分析】根据，则比较a，b，c的大小关系即可转化为比较2 ，2 ，2×4的大小关系即可．【解答】解：，∵∴∴∴a2＜b2＜c2∴a＜b＜c．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，两个正的二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．5．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）【考点】62：导数及其几何意义；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立则a≥（2x﹣x2）max=1故选：D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．6．（5分）已知f（x）=（2x+1）3﹣+3a，若f′（﹣1）=8，则f（﹣1）=（）A．4B．5C．﹣2D．﹣3【考点】64：导数的加法与减法法则．【专题】11：计算题．【分析】先求出函数的导数，再把x=﹣1代入f′（x）的解析式得到f'（﹣1），再由f'（﹣1）=8，求得a的值，即可得到函数f（x）的解析式，从而求得f （﹣1）的值．【解答】解：已知，∴f′（x）=3（2x+1）2×2+，∵f'（﹣1）=8，∴3×2+2a=8，故有a=1，∴=，∴f（﹣1）=﹣1+2+3=4，故选：A．【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，求一个函数的导数的方法，属于基础题．7．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【解答】解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选：C．【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．8．（5分）若函数f（x）=e﹣x+ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（）A．a＜1B．0＜a＜1C．﹣1＜a＜0D．a＜﹣1【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令函数f（x）的导数为0，求出x=lna﹣1，由x＞0，解出a即可．【解答】解：∵f′（x）=a﹣e﹣x，令f′（x）=0，∴a=e﹣x，∴x=﹣lna=lna﹣1，∵x＞0，∴lna﹣1＞0，∴＞1，∴0＜a＜1，故选：B．【点评】本题考察了函数的零点问题，对数函数的性质，导数的应用，是一道基础题．9．（5分）设0＜a＜b，且f（x）=，则下列大小关系式成立的是（）A．f （a）＜f （）＜f （）B．f （）＜f （b）＜f （）C．f （）＜f （）＜f （a）D．f （b）＜f （）＜f （）【考点】3E：函数单调性的性质与判断；7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】明确f（x）=在（0，+∞）上是单调减函数，再由基本不等式明确b＞＞，利用函数的单调性定义来求解．【解答】解：∵0＜a＜b，∴b＞＞又∵f（x）=，∴f′（x）==＜0，∴f（x）=在（0，+∞）上是单调减函数，∴f （b）＜f （）＜f （）故选：D．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和基本不等式．解答的关键是在比较大小时体现了函数思想．10．（5分）∫01（﹣x）dx=（）A．B．C．D．【考点】67：定积分、微积分基本定理．【专题】11：计算题．【分析】由积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx【解答】解：由题意，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx∫01（）dx的大小相当于是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的，故其值为∫01（﹣x）dx=（﹣x2）|01=﹣所以，∫01（﹣X）dx=∫01（）dx+∫01（﹣X）dx=故选：D．【点评】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了．11．（5分）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长度．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）=0，则下列结论中错误的是（）A．P（3）=3B．P（5）=1C．P（2003）＞P（2005）D．P（2003）＜P（2005）【考点】82：数列的函数特性；F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题．【分析】按“前进3步后退2步”的步骤去算，发现机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导，就可得出正确选项【解答】解：根据题中的规律可得：P（0）=0，P（1）=1，P（2）=2，P（3）=3，P（4）=2，P（5）=1，…以此类推得：P（5k）=k （k为正整数）因此P（2003）=403，且P（2005）=401，所以P（2003）＞P（2005）故选：D．【点评】本题主要考查了数列的应用，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”，属于中档题．12．（5分）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n=m+n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n=m•n．则在上述定义下，集合M={（x，y）|x⊗y=36，x∈N*，y∈N*}中元素的个数为（）A．48B．41C．40D．39【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】23：新定义．【分析】根据定义，x⊗y=36分两类进行考虑：x和y一奇一偶，则x•y=36；x 和y同奇偶，则x+y=36．由x、y∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（x，y）的个数即可．【解答】解：x⊗y=36，x、y∈N*，若x和y一奇一偶，则xy=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（x，y）有6个；若x和y同奇偶，则x+y=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=35+1，故点（x，y）有35个，∴满足条件的个数为6+35=41个．故选：B．【点评】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．二．填空题：（4×5分=20分）13．（5分）由曲线y=x2与x=y2所围成的曲边形的面积为．【考点】69：定积分的应用．【专题】11：计算题．【分析】由题意，可作出两个曲线y=x2与x=y2的图象，由图象知阴影部分即为所求的面积，本题可用积分求阴影部分的面积，先求出两曲线交点A的坐标，根据曲线确定出被积函数与积分区间[0，1]，计算出定积分的值，即可出面积曲线y2=x，y=x2所围成图形的面积．【解答】解：作出如图的图象…（2分）联立解得，…（5分）即点O（0，0），A（1，1）．故所求面积为：===…（10分）所以所围成图形的面积S=．故答案为：．【点评】本题考查了定积分在求面积中的应用，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算．14．（5分）已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）•z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω=±（7﹣i）．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得．又ω=，|ω|=，可得．即可得出a，b．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===，|ω|=，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±=±（7﹣i）．故答案为±（7﹣i）．【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．15．（5分）已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt，则f（x）=x ﹣．【考点】3U：一次函数的性质与图象；67：定积分、微积分基本定理．【专题】53：导数的综合应用．【分析】设f（x）=ax+b，根据积分公式，即可求出f（x）的表达式．【解答】解：∵f（x）为一次函数，且f（x）=x+3f（t）dt∴设f（x）=x+b，则f（x）=x+3f（t）dt=x+3（t+b）dt=x+3（）|=x+，∴=b，即b=，∴f（x）=x．故答案为：x【点评】本题主要考查积分的计算，利用待定系数法即可得到结论．比较基础．16．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是91．【考点】F1：归纳推理．【专题】29：规律型．【分析】先分别观察给出正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．【解答】解：分别观察正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列所以∴s7=2×72﹣7=91故答案为：91【点评】本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．三．解答题（17题10分，其他题每题12分，计70分）17．（10分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．（II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，∴b+2=0，即b=﹣2．又，∴2b+a=0，即a=﹣2b=4．∴z=4﹣2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4﹣2i，∵（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．【点评】本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与复平面上点的对应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题．18．（12分）请观察以下三个式子：①1×3=；②1×3+2×4=；③1×3+2×4+3×5=，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之．【考点】F1：归纳推理；RG：数学归纳法．【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】观察所给等式，注意等式的左边与右边的特征，得到猜想，然后利用数学归纳法的证明标准，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．【解答】解：由于所给的等式的左边，是两两自然数的积再求和的形式，右边是一个分式，分母是6，分子是三个自然数的积，注意自然数与序号之间的关系，所以，猜想：1×3+2×4+3×5+…+n（n+2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）证明：（1）当n=1时，左边=3，右边=3，等式成立．（2）假设当n=k时，等式成立，即1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）那么，当n=k+1时，1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）+（k+1）（k+3）=+（k+1）（k+3）=（2k2+7k+6k+18）=（2k2+13k+18）=，就是说，当n=k+1时等式也成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）综上所述，对任何n∈N+都成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查数学归纳法的应用，归纳推理推出猜想是解题的关键，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．属于中档题，19．（12分）已知：函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R，（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x﹣1）恒成立，求：实数k的取值范围．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】（1）先求函数的导数，令导数等于0，求出极值点，再列表判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值，且在某区间导数大于0时，此区间为函数的增区间，在某区间导数小于0时，此区间为函数的减区间．（2）由（1）知函数f（x）的大致图象，然后将关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，转化为y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，数形结合解决问题（3）先将f（x）≥k（x﹣1）恒成立，转化为k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，进而转化为求函数g（x）=x2+x﹣5在（1，+∞）上的值域即可【解答】解：（1）求函数f（x）=x3﹣6x+5的导数，得f'（x）=3（x2﹣2），令f'（x）=0，即3（x2﹣2）=0，解得，列表讨论f′（x）的符号，得xf'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗∴f（x）的单调递增区间是，，单调递减区间是，当x=﹣时，函数有极大值为5+4，当x=时，函数有极小值为5﹣4（2）由（1）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图：若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，即y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，由图数形结合可得（3）f（x）≥k（x﹣1）即（x﹣1）（x2+x﹣5）≥k（x﹣1）．∵x＞1，∴k≤x2+x﹣5在（1，+∞）上恒成立，令，则g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴g（x）＞g（1）=﹣3，∴k≤﹣3．【点评】本题考查了利用导数求函数单调区间和极值的方法，利用导数研究函数图象解决根的个数问题的方法，不等式恒成立问题的解法20．（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；（2）若直线x=﹣t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；63：导数的运算；67：定积分、微积分基本定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c，根据f′（x）=2x+2求出a、b的值，再由方程f（x）=0有两个相等的实根，△=0，求得c的值，即可得到函数的解析式．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），化简得2（t﹣1）3=﹣1，由此求得t的值．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又因为f′（x）=2x+2，∴a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+c．由于方程f（x）=0有两个相等的实根，∴△=4﹣4c=0，解得c=1，∴f（x）=x2+2x+1．（2）由题意可得（x2+2x+1）dx=（x2+2x+1）dx，即（x3+x2+x）=（x3+x2+x），即﹣t3+t2﹣t+=t3﹣t2+t，∴2t3﹣6t2+6t﹣1=0，即2（t﹣1）3=﹣1，∴t=1﹣．【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．21．（12分）已知x=1是函数f（x）=（ax﹣2）e x的一个极值点．（a∈R）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当x1，x2∈[0，2]时，证明：f（x1）﹣f（x2）≤e．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（I）先求出函数f（x）的导函数，然后根据在极值点处的导数等于0，建立等式关系，求出a即可；（II）确定函数f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值，从而f（x1）﹣f（x2）≤f max（x）﹣f min（x），由此可得到结论．【解答】（Ⅰ）解：已知f′（x）=（ax+a﹣2）e x，f'（1）=0，∴a=1．当a=1时，f′（x）=（x﹣1）e x，在x=1处取得极小值．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=（x﹣1）e x．当x∈[0，1]时，f′（x）=（x﹣1）e x≤0，∴f（x）在区间[0，1]单调递减；当x∈（1，2]时，f′（x）=（x﹣1）e x＞0，∴f（x）在区间（1，2]单调递增．所以在区间[0，2]上，f（x）的最小值为f（1）=﹣e，又f（0）=﹣2，f（2）=0，所以在区间[0，2]上，f（x）的最大值为f（2）=0．对于x1，x2∈[0，2]，有f（x1）﹣f（x2）≤f max（x）﹣f min（x）．所以f（x1）﹣f（x2）≤0﹣（﹣e）=e．【点评】本题综合考查函数的极值以及利用导数研究函数的单调性，同时考查函数的最值的求解，是一道综合题．22．（12分）已知函数f（x）=lnax﹣（a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，是否存在过点（1，﹣1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求导数，利用导数的几何意义进行判断．【解答】解析：（1）由题意．…（1分）当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＞0，则x∈（a，+∞），f'（x）＜0，则x∈（0，a），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，…（3分）当a＜0时，函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），f'（x）＞0，则x∈（a，0），f'（x）＜0，则x∈（﹣∞，a），此时函数在（﹣∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数．…（5分）（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点T，∴切线方程：，将点T坐标代入得：，即，①设，则．令g'（x）=0，则x=1或x=2．…（8分）x（0，1）1（1，2）2（2，+∞）g'（x）+0﹣0+g（x）递增极大值递减极小值递增所以g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，g（x）在x=1处取得极大值g（1）=1，在x=2处取得极小值，所以g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，即g（x）=0在[1，+∞）上无解．因为，g（1）=1＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，根据零点定理，g（x）在区间（0，1）上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（12分）【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，极值之间的关系，考查学生的运算能力．。
【VIP专享】2014届上海市徐汇、金山、松江区高三二模数学(理)试题及答案
应抽取____________名学生.
7．函数 f x sin x cos x
8．已知函数
f
(x)
2sin x cos x sin x
arcsin
(2x
1)
cos x
的最小正周期 T =____________．
，则
f
1
(
6
)
____________．
9．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ACB 900 , AA1 2, AC BC 1 ，则异面直线 A1B 与
12．如图，三行三列的方阵中有 9 个数 aij (i 1，2 ，3 ；j ，1，2 3) ，从中任取三个数，
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2.征通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1.和通过学理解的蛔虫1.过适观1、于察程3观阅 六寄蛔.内列察读 、生虫出蚯材 让生标容3根常蚓料 学活本教.了 据见身： 生的，师2、解 问的体巩鸟 总形看活作 用蛔 题线的固类 结态雌动业 手虫 自形练与 本、雄学三： 摸对 学动状习人 节结蛔生4、、收 一人 后物和同类 课构虫活请一蚯集 摸体 回并颜步关 重、的动学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点生形教生让在类 蚓危 问纳。习从 并理状学列学平的害 题线蚯线人 归特四、意出四生面体以形蚓形类 纳点、大图常、五观玻存 表及动的鸟动文 本以请小引见引、察璃现 ，预物身类物明 节及3学有言的、导巩蚯上状 是防的体之和历 课蚯生什根环怎学固蚓和， 干感主是所环史 学蚓列么据节二样生练引牛鸟 燥染要否以节揭 到适举不上动、区回习导皮类 还的特分分动晓 的于蚯同节物让分答。学纸减 是方征节布物起 一穴蚓，课并学蚯课生上少 湿法。?广教， 些居的体所归在生蚓前回运的 润；4泛学鸟生益色学纳.靠物完的问答动原 的4蛔，目类 习活处和习环.近在成前题蚯的因 ？了虫以标就 生的。体节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物特表内动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学点有容物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的，什的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基进么引主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方“征本特节.化下物让并为珍 近习会形理切 法生。课征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。物2课。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关体观题么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系的察：特的特用确蚓等 ，于些特适。形蛔章殊形征板，这资 是穴疾点于可态虫我结式。书生种料 光居病是寄结的们构，五小物典， 滑生？重生鸟构内学，学、结的型以 还活5要生类与部习.其习巩鸟结的爱 是如原活生功结了颜消固类构线鸟 粗形何因的存能构腔色化练适特形护 糙态预之结的相，肠是系习于点动鸟 ？、防一构现适你动否统。飞都物为结蛔。和状应认物与的行是。主构虫课生却”为和其结的与题、病本理不的蛔扁他构特环以生？8特乐观虫形部8特征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，教哪物相，理适为方引些2鸟育些，同.师知应单面导鸟掌类；结了？生识的位学你握日2构解.互。办特生认线益通特了动手征观识形减过点它，抄；察吗动少理是们生报5蛔？物，解与的.参一了虫它和有蛔寄主与份解结们环些虫生要其。蚯构都节已对生特中爱蚓。会动经人活征培鸟与飞物灭类相。养护人吗的绝造适这兴鸟类？主或成应节趣的为要濒的课情关什特临危？就感系么征灭害来教；？；绝，学育，使习。我学比们生它可理们以解更做养高些成等什良的么好两。卫类生动习物惯。的根重据要学意生义回；答3的.通情过况了，解给蚯出蚓课与课人题类。的回关答系：，线进形行动生物命和科环学节价动值环观节的动教物育一。、教根学据重蛔点虫1病.蛔引虫出适蛔于虫寄这生种生典活型的结线构形和动生物理。特二点、；设2置.蚯问蚓题的让生学活生习思性考和预适习于。穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷(理科)(1)含详解
2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（1）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分．1．（4分）方程log2x+=1的解是．2．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1（4）．3．（4分）若实数x，y满足|xy|=1，则x2+4y2的最小值为．4．（4分）设（1+2i）=3﹣4i（i为虚数单位），则|z|=．5．（4分）已知x∈R，则+arccos的值为．6．（4分）﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311除以5的余数是．7．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，则过点A、M、N的平面截正方体的截面面积为．8．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，则=．9．（4分）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为50级需要的天数a50=．10．（4分）若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为．11．（4分）已知直线l：ρ=交极轴于A点，过极点O作l的垂线，垂足为C，现将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为．12．（4分）给定平面上四点O，A，B，C满足OA=4，OB=3，OC=2，=3，则△ABC面积的最大值为．13．（4分）对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D⊊（﹣∞，1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b ∈C*，恒有a+b∈D*．以上命题正确的是．14．（4分）已知当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，根据以上信息，若对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a10=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分．15．（5分）集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣2”是“A ∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是（）A．b＜﹣1B．b＞﹣1C．b≥﹣1D．﹣1＜b＜2 16．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2014（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数17．（5分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0C．α＜βD．α2＞β2 18．（5分）设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=，则点A的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能三、解答题（本大题共5小题，满分74分）19．（12分）如图，设S﹣ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点．试求直线AK与平面SBC所成角的大小．20．（14分）对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2bx﹣4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．21．（14分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．22．（16分）已知抛物线y2=4x．（1）若圆心在抛物线y2=4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线y2=4x的焦点为F，若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若=﹣4，求直线MN的斜率；（3）（理）若过x正半轴上Q（t，0）点的直线与该抛物线交于M，N两点，P 为抛物线上异于M，N的任意一点，记PM，QP，PN连线的斜率为k PM，k QP，k PN，试求满足k PM，k QP，k PN成等差数列的充要条件．23．（18分）设等差数列{a n}的公差为d，且a1，d∈N*．若设M1是从a1开始的前t1项数列的和，即M1=a1+…+（1≤t1，t1∈N*），M2=at1+1+at1+2+…+at2（1＜t2∈N*），如此下去，其中数列{M i}是从第t i﹣1+1（t0=0）开始到第t i（1＜t i）项为止的数列的和，即M i=at i﹣1+1+…+at i（1≤t i，t i∈N*）．（1）若数列a n=n（1≤n≤13，n∈N*），试找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）试证明对于数列a n=n（n∈N*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{M n}中的各数都为平方数；（3）若等差数列{a n}中a1=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{t n}，（1≤t1＜t2＜t3＜…＜t n），n∈N*，使得{M n}为等比数列，如存在，就求出数列{M n}；如不存在，则说明理由．2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分．1．（4分）方程log2x+=1的解是1．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算法则和换底公式即可解出．【解答】解：原方程可化为log2x+log2（x+1）=1，∴log2x（x+1）=1，∴x（x+1）=2，又x＞0，解得x=1．因此方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点评】本题考查了对数方程的解法、对数的运算法则和换底公式，属于基础题．2．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1（4）1．【考点】4R：反函数；O1：二阶矩阵．【专题】17：选作题；5R：矩阵和变换．【分析】先求出函数，令3x+1=4，可得x．【解答】解：函数f（x）==3x+1，令3x+1=4，可得x=1故答案为：1．【点评】本题考查二阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．3．（4分）若实数x，y满足|xy|=1，则x2+4y2的最小值为4．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵x2+4y2≥=4|xy|=4，当且仅当|x|=2|y|=时取等号，∴x2+4y2的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．4．（4分）设（1+2i）=3﹣4i（i为虚数单位），则|z|=．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】复数方程两边直接求模，即可得到复数z的模．【解答】解：∵（1+2i）=3﹣4i，∴|1+2i|||=|3﹣4i|=5，∵∴|z|=5，∴|z|=．故答案为：【点评】本题是基础题，考查复数的模的求法，复数方程的灵活运应，考查计算能力．5．（4分）已知x∈R，则+arccos的值为0．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，建立不等式组即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴x（x+1）=0，∴原式=0+arccos1=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数值和函数定义域的求法，比较基础．6．（4分）﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311除以5的余数是3．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】所给的式子即（﹣1+3）11=2048=2045+3，显然它除以5的余数为3．【解答】解：∵﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311=（﹣1+3）11=2048=2045+3，它除以5的余数显然为3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，整除的有关知识，属于中档题．7．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，则过点A、M、N的平面截正方体的截面面积为．【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，进而根据边长为a的等边三角形面积为得到答案．【解答】解：如图所示：过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，故等边△AB1C的边长为，故面积S==，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中分析出过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，是解答的关键．8．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，则=2．【考点】8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】先求出S n=n（），再由“”型极限的计算公式能求出的值．【解答】解：∵S n=na1+=n（），∴===2．故答案为：2．【点评】本题考查极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．9．（4分）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为50级需要的天数a50=2700．【考点】81：数列的概念及简单表示法；F1：归纳推理．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），∴a50=50×54=2700．故答案为：2700．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．10．（4分）若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为[1，）．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】构造辅助函数f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，求出f（x）在[0，]上的值域并作出图象，由两函数的图象有两个不同交点求得k的取值范围．【解答】解：令f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，则f（x）=sin2x+cos2x=．∵x∈[0，]，∴，∴，函数f（x）=在[0，]内的图象如图所示：∴要使方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围为[1，）．故答案为：[1，）．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查了三角函数最值的求法，训练了数学转化思想方法和数形结合的解题思想解题思想方法，是中档题．11．（4分）已知直线l：ρ=交极轴于A点，过极点O作l的垂线，垂足为C，现将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】17：选作题；5S：坐标系和参数方程．【分析】直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出OA，OC的长度，利用将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为两个扇形面积的差，即可得出结论．【解答】解：∵直线l：ρ=交极轴于A点，∴A（1，0），x﹣y﹣=0，过极点O作l的垂线，垂足为C，则OC=，将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为两个扇形面积的差，即•π（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．（4分）给定平面上四点O，A，B，C满足OA=4，OB=3，OC=2，=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BOC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得O到BC的距离，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：∵OB=3，OC=2，=3，∴∠BOC=60°，∴BC==，设O到BC的距离为h，则由等面积可得，∴h=，∴△ABC面积的最大值为••（+4）=．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，O到BC的距离是关键．13．（4分）对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D⊊（﹣∞，1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b ∈C*，恒有a+b∈D*．以上命题正确的是（1）（4）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】5J：集合；5L：简易逻辑．【分析】由A*={z|∀x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．进而可通过举例否定②③，对于①④还需要利用集合间的关系去证明．【解答】解：由A*={z|∀x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．（1）分别用A max、A min表示集合A的所有元素（数）的最大值、最小值．由C⊆D及A*的定义可知：C max≤C*min，D max≤D*min，C*min≤D max，∴C*min≤D*min，∴必有D*⊆C*．故（1）正确．（2）若设C=（﹣∞，1）=D，满足C⊆D，而C*={1}，此时C*∩D=∅，故（2）不正确．（3）若设C=（﹣∞，0），D=（﹣∞，1），满足C⊆D，而D*=（0，1），此时C ∩D*=（0，1）≠∅，故（3）不正确．（4）由（1）可知：对于C⊆D，必有D*⊆C*；取a=D*min﹣C*min，则对于任意的b∈C*，必恒有a+b∈D*．故（4）正确，故答案为：（1）（4）．【点评】本题考查了新定义，理解数集A*是数集A的所有上界组成的集合及集合间的关系是解决问题的关键．14．（4分）已知当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，根据以上信息，若对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a10=﹣455．【考点】F3：类比推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】对照已知，可得当|x|＜时，有=1+x3+x6+x9+…+（x3）n+…，要求a10即为x10的系数，然后根据分类计数原理，即可得答案．【解答】解：∵当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，①∴当|x|＜时，有=1+x3+x6+x9+…+（x3）n+…，②又对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，∴a10即为x10的系数，可取①中的（﹣2x）9，②中的1，或①中（﹣2x）6，②中的x3，或①中的（﹣2x）3，②中的x6，或①中的1，②中的x9，∴a10=（﹣2）9+（﹣2）6+（﹣2）3+1=﹣455，故答案为：﹣455．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查形式上的类比，同时考查分类计数原理，注意不重不漏．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分．15．（5分）集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣2”是“A ∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是（）A．b＜﹣1B．b＞﹣1C．b≥﹣1D．﹣1＜b＜2【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；7E：其他不等式的解法．【专题】5J：集合．【分析】求出集合A，B的元素，利用“a=﹣2”是“A∩B≠∅”的充分条件即可得到结论．【解答】解：A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，当a=﹣2时，方程（x﹣a）（x﹣b）=0的两个根分别为﹣2和b，∵﹣2＜﹣1，∴若“a=﹣2”是“A∩B≠∅”的充分条件，则b＞﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件的应用，利用不等式的性质求出集合A，B是解决本题的关键．16．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2014（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【考点】RG：数学归纳法．【专题】15：综合题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】先判断f n（x）不可能是偶函数，再用数学归纳法证明f n（x）是奇函数，即可得出结论．【解答】解：当x＜0时，f1（x）=＜0，f2（x）=＜0，…，f n+1（x）=＜0，…，同理，x＞0时，函数值均大于0，∴f n（x）不可能是偶函数，∵f1（x）=是奇函数，假设f k（x）是奇函数，则f k+1（﹣x）===﹣f k+1（x），∴f k+1（x）是奇函数，从而f n（x）是奇函数，故选：A．【点评】本题考查数学归纳法，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（5分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0C．α＜βD．α2＞β2【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；H5：正弦函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα﹣βsinβ＞0可以得出|α|＞|β|，故可以确定结论．【解答】解：y=xsinx是偶函数且在（0，）上递增，∵，∴αsinα，βsinβ皆为非负数，∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故选：D．【点评】本题考查函数值的符号，要根据三角函数的定义来判定三角函数的符号再由相关的不等式得出角的大小来，判断上有一定的思维难度．18．（5分）设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=，则点A的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【考点】J3：轨迹方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】以BC为轴线，B为顶点作圆锥面，使圆锥面的顶角为60°，则圆锥面上的任意一点与B连线，都能满足∠ABC=30°，用平面α截圆锥所得的交线即为点A的轨迹．【解答】解：以BC为轴线，B为顶点，顶角是60°（半顶角是30°），则A就是这个锥面与平面α的交线．如果平面α只与圆锥面一面相交，如图（1），（1）那么A的轨迹是圆或椭圆或抛物线；如果A与圆锥面两侧都相交（圆锥面两侧指以B为顶点向上的圆锥和向下的圆锥，就像沙漏的形状），如图（2），则轨迹是双曲线．∴点A的轨迹为圆或椭圆或抛物线或双曲线．故选：D．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的空间想象能力和思维能力，正确作出图形是解答此题的关键，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，满分74分）19．（12分）如图，设S﹣ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点．试求直线AK与平面SBC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；5G：空间角．【分析】法1：设AK与平面SBC所成角为θ，利用余弦定理求出AK，利用等面积求出A到平面SBC的距离，即可求直线AK与平面SBC所成角的大小．法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．求出平面SBC的一个法向量，，利用向量的夹角公式，可求直线AK与平面SBC所成角的大小．【解答】解：（理）法1：设AK与平面SBC所成角为θ．因为，…（2分）所以．所以．…（4分）所以．所以．…（6分）因为，…（8分）所以，…（10分）因此…（11分）则…（12分）解法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则．…（4分）所以．…（6分）设是平面SBC的一个法向量，易求得．…（8分）设θ为AK与平面SBC所成的角，因为．…（10分）所以：．…（11分）所以…（12分）【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查等体积，考查向量方法的运用，确定向量的坐标是关键．20．（14分）对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2bx﹣4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】23：新定义．【分析】（1）根据“局部奇函数”的定义，只要判断条件f（﹣x）=﹣f（x）是否成立即可得到结论．（2）根据“局部奇函数”的定义，解方程f（﹣x）=﹣f（x），即可得到结论．【解答】解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）+f（x）=0有解．即f（x）+f（﹣x）=0⇒2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，∴f（x）为“局部奇函数”．（2）当f（x）=2x+m时，f（x）+f（﹣x）=0可转化为2x+2﹣x+2m=0，∵f（x）的定义域为[﹣1，1]，∴方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，令，则．∵在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴，∴，即．【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．21．（14分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】12：应用题；5I：概率与统计．【分析】（1）1名顾客摸球2次停止摸奖的情况有，基本事件的个数为，然后代入等可能事件的概率公式可求（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40，分别求出X取各个值时的概率即可求解随机变量X的分布列及期望．【解答】解：（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则P（A）==，…（4分）故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率．（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40．P（X=0）=，P（X=10）==，P（X=20）==，P（X=30）==，P（X=40）==…（9分）所以，随机变量X的分布列为：X010203040P…（12分）．…（14分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识和排列组合知识的灵活运用．22．（16分）已知抛物线y2=4x．（1）若圆心在抛物线y2=4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线y2=4x的焦点为F，若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若=﹣4，求直线MN的斜率；（3）（理）若过x正半轴上Q（t，0）点的直线与该抛物线交于M，N两点，P 为抛物线上异于M，N的任意一点，记PM，QP，PN连线的斜率为k PM，k QP，k PN，试求满足k PM，k QP，k PN成等差数列的充要条件．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）首先由抛物线的方程可得直线x=﹣1即为抛物线的准线方程，再结合抛物线的定义得到动圆一定过抛物线的焦点，进而得到答案；（2）设AB方程是x=my+1代入到y2=4x，求出y2=±1，故有m=±，即可求直线MN的斜率；（3）设直线MN的方程为x=ky+t，代入y2=4x，利用等差数列的性质，可得，即可得出结论．【解答】解：（1）设动圆的圆心到直线x+1=0的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．（2）由题意得到F（1，0），则设AB方程是x=my+1代入到y2=4x，得y2﹣4my ﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4．因为=﹣4，得到（x1﹣1，y1）=﹣4（x2﹣1，y2），所以有y1=﹣4y2代入到上面得到y2=±1，故有m=±，所以直线MN的斜率为±；（3）（理）设直线MN的方程为x=ky+t，代入y2=4x，得：y2﹣4ky﹣4t=0，则y1+y2=4k，y1y2=﹣4t，…（11分）若，即有，即：由此得：，因为，所以k=0…（15分）所以当直线MN的方程为x=t时，也就是k PM+k PN=2k PQ成立的充要条件是直线MN与x轴相垂直．…（16分）【点评】本题考查抛物线的定义，以及抛物线的有关性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确联立方程是关键．23．（18分）设等差数列{a n}的公差为d，且a1，d∈N*．若设M1是从a1开始的前t1项数列的和，即M1=a1+…+（1≤t1，t1∈N*），M2=at1+1+at1+2+…+at2（1＜t2∈N*），如此下去，其中数列{M i}是从第t i﹣1+1（t0=0）开始到第t i（1＜t i）项为止的数列的和，即M i=at i﹣1+1+…+at i（1≤t i，t i∈N*）．（1）若数列a n=n（1≤n≤13，n∈N*），试找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）试证明对于数列a n=n（n∈N*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{M n}中的各数都为平方数；（3）若等差数列{a n}中a1=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{t n}，（1≤t1＜t2＜t3＜…＜t n），n∈N*，使得{M n}为等比数列，如存在，就求出数列{M n}；如不存在，则说明理由．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】15：综合题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）利用定义，可以找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）先证明第二段可取3个数，t2=1+3=4；再证明第三段可取9个数，即，由此即可得出结论；（3）利用反证法进行证明即可．【解答】（1）解：由题意，M1=1，M2=2+3+4=9，M3=5+6+…+13=81；…（4分）（2）证明：记t1=1，即M1=1，又由2+3+4=9=32，，∴第二段可取3个数，t2=1+3=4；再由5+6+…+13=81=34，即，因此第三段可取9个数，即，依次下去，一般地：，…（6分）∴，…（8分）…（9分）则．由此得证．…（11分）（3）解：不存在．令，则假设存在符合题意的等差数列，则{M n}的公比必为大于1的整数，（∵，因此q＞1），即此时，注意到，…（14分）要使成立，则1+q+q2必为完全平方数，…（16分）但q2＜1+q+q2＜（q+1）2，矛盾．因此不存在符合题意的等差数列{M n}．…（18分）【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．。
上海市徐汇区2014届高三上学期期末学习能力诊断数学理试题(WORD版,有答案)
2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2014.1一. 填空题：（本题满分56分，每小题4分）1. 计算：210lim 323x n n →∞++= . 2. 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .3. 计算：122423432⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= . 4. 已知3sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示） 5. 直线()1:330l a x y ++-=与直线()2:5340l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数a = .6. 如果()1111112312nf n n n =++++++++(*n N ∈)那么()()1f k f k +-共有 项. 7. 若函数()f x 的图像经过(0,1)点，则函数()3f x +的反函数的图像必经过点 .8. 某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示）9. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = .10. 在平面直角坐标系中，动点P 和点M (-2,0)、N (2,0)满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点P (x ,y )的轨迹方程为 .11. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ,y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -的值为 .12. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN yAC ==，则xy x y+的值为 .N M G CB A13. 一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”.14. 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 . 二. 选择题：（本题满分20分，每小题5分）15. 直线()0,0bx ay ab a b +=<<的倾斜角是------（ ）(A) arctan a b π- (B) arctan b a π- (C) arctan a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (D) arctan b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点-----------------（ ） (A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变） 17. 函数()f x x x a b =++是奇函数的充要条件是-------（ ）(A) 0ab = (B) 0a b += (C) 220a b += (D) a b =18. 已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①()1,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+； ③(){}2,log M x y y x ==； ④(){},2xM x y y e ==-. 其中是“垂直对点集”的序号是----------------------------------------------------（ ）(A) ①② (B) ②③ (C) ①④ (D) ②④三. 解答题：（本大题共5题，满分74分）19. （本题满分12分）在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程22320x x -+=的两个根，且120A B +=，求△ABC 的面积及AB 的长.20. （本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）已知函数()()21,65f x x g x x x =-=-+-.（1）若()()g x f x ≥，求实数x 的取值范围；（2）求()()g x f x -的最大值.21. （本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题9分）某种海洋生物身体的长度()f t （单位：米）与生长年限t （单位：年）满足如下的函数关系：()41012t f t -+=+.（设该生物出生时t =0） （1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第0t 年，该生物长得最快，求()00*t t N ∈的值.22. （本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分） 给定椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的两个焦点分别是()()122,0,2,0F F -.（1）若椭圆C 上一动点1M 满足11124M F M F +=，求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点()()0,0P t t <作直线l 与椭圆C 只有一个交点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得弦长为23，求P 点的坐标；（3）已知()()cos 3,,0,sin sin m n mn m n θθπθθ+=-=-≠∈，是否存在a ，b ，使椭圆C 的“伴随圆”上的点到过两点()()22,,,m m n n 的直线的最短距离22min d a b b =+-.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.23. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分） 称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为()2,3,4,n n =阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=；②1231n a a a a ++++=.（1）若等比数列{}n a 为()2*k k N ∈阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公式；（2）若一个等差数列{}n a 既是()2*k k N ∈阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =： （i ）求证：12k S ≤； （ii ）若存在{}1,2,3,,m n ∈使12m S =，试问数列{}k S 能否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.。
2014年高三二模填选难题解析(1)(闵行、徐汇松江金山、奉贤、静安杨浦青浦宝山)
2014年高三二模填选难题解析（1）（闵行、徐汇松江金山、奉贤、静安杨浦青浦宝山）填空题1（2014年闵行区二模理科13）已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第 项．答案：39366（923⋅）详解：261854...2a a a a =====，项数是首项为2，公比为3的等比数列，第10个为923⋅ 教法指导：本题难度不大，要根据3n n a a =找到等比数列的规律2（2014年闵行区二模理科14）对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 则其中所有真命题的序号是 ． 答案：①③详解：根据下图，①③正确，②选项是2k，④选项反比例图像至少要满足在点（2.5,0.5）上，此时54k ≥教法指导：数形结合的思想，根据题意画图帮助理解，然后利用一些特殊点定位，图像尽量做到精确3（2014年徐汇、松江、金山区二模理科13）如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(,AP mAB nAF m n =+为实数），则m n +的最大值为____________． 答案：5详解：根据右图， AP 最长时，m n +最大，根据图像， 当Q 点与D 点重合时，AP 最长，此时5()2AP AB AF =+ 教法指导：本题结合动态图像考查了向量的分解，要求能够理解题意， 当然，本题也可以建系进行分析4（2014年徐汇、松江、金山区二模理科14）对于集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*,3)n N n ∈≥，定义集合,1}{i j x a a i j n S x =+≤<≤=，记集合S 中的元素个数为()S A ．若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是公差大于零的等差数列，则()S A =____________． 答案：23n -详解：因为是等差数列，S 中的元素也成等差数列，公差也为d ，元素中最小的为12a a +12a d =+，最大的为1n n a a -+12(23)a n d =+-，所以元素个数是23n -教法指导：本题不难，最重要的是理解题目意思，以及如何引导学生理解题目意思5（2014年杨浦、静安、青浦、宝山区二模理科13） 已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）答案：32详解：根据题目意思，{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，根据无穷等比数列各项和公式11aq-可求出答案教法指导：在繁杂的数学描述背后，要抓住无穷等比数列各项和的本质6 （2014年杨浦、静安、青浦、宝山区二模理科14）正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设α=∠A ，若4411=S ，4402=S ，则=α2sin .答案：110详解：根据题意，AF FC AM MC +=+，即441440441440c o s t a n s i nααα+=+，平方化简得1sin 210α=，或者利用面积相等也可化简得出结果 教法指导：根据题意找到等量关系是解这道题的关键，然后即三角恒等变换化简7（2014年奉贤区二模理科12）定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，1,12,()3,23,x x f x x x -≤≤⎧=⎨-<<⎩②(3)3()f x f x =，设关于x 的函数()()1F x f x =-的零点从小到大依次记为31542,x ,,,,x x x x ⋅⋅⋅，则12345x x x x x ++++=________.答案：50详解：如下图，答案为50教法指导：数形结合最直观，或者根据函数的对称性，找到对称关系8（2014年奉贤区二模理科13）从1，2，3，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，1n -，n 这n 个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为E ξ，则E ξ=________. 答案：1(1)(32)12n n ++ 详解：任取两个数的概率都为21n C ，∴E ξ=222111(12)(13)...[(1)]n n nn n C C C ⨯+⨯++⨯- ABCDEFS 1αABCPNS 2αMQE ξ=21[(12)(13)...(1)]n n n C ⨯+⨯++⨯-222221(12...)(12...)[]2n n n C +++-+++=1(1)(32)12n n ++=教法指导：最近的考试中，以下公式出现得较为频繁，可以和学生推导一下这个公式，加深理解22222123123121(...)(...)2(......)n n i j n n a a a a a a a a a a a a a a -++++-++++=++++9（2014年奉贤区二模理科14）以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以nm 为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.答案：12n m -详解：根据题意，1212311...2n n n n n n n nm m a a a A m m m m --+++==++++=， 教法指导：理解题意选择题1（2014年闵行区二模理科17）若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．A. 210x y +-= B. 2410x y --+=C. 2210x y x x +---=D. 2310x xy -+= 答案：C详解：A.B.C.D 四选项图像依次为下图所示，根据题意，所以选C教法指导：数形结合，含绝对值曲线方程的画法，根据对称性，或者分区间、分象限讨论2（2014年闵行区二模理科18）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量,n S OP n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,m S OP m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 2,k S OP k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭()*n m k ∈N 、、，且12OP OP OP λμ=⋅+⋅，则用n m k 、、表示μ= （ ）． A.k m k n -- B. k n k m -- C. n m k m -- D. n m n k-- 答案：C详解：根据题意，12,,P P P 在同一条直线上，∴1λμ+=，∵12OP OP OP λμ=⋅+⋅，∴n m k λμ=+， 即(1)n m k μμ=-+，化简即可表示μ，选C教法指导：等差数列n S 是一个没有常数项的二次形式，除以n 即一次函数的形式，所以三点共线3（2014年杨浦、静安、青浦、宝山区二模理科18）函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x对于任意的x R ∈都有(1)(1)f x f x +=-. 若在区间[1,3]-上 函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 （ ）.A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D详解：根据题意，如图所示，答案选D教法指导：结合图像，理解题意，数形结合4（2014年奉贤区二模理科18）已知R ∈βα,,且设βα>:p ，设:sin cos sin cos q ααβββα+>+⋅，则p 是q 的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A详解：移项整理得：sin()()0αβαβ-+->，构造函数()sin f x x x =+，()f x 为奇函数，0x >⇔()0f x >；所以0αβ->sin()()0αβαβ⇔-+->教法指导：构造函数法，根据函数性质分析。
上海市2014届高三高考数学系列模拟卷(2)--含答案
2013学年上海市高考数学模拟试卷B考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟. 一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.已知集合{}{}4,2,0,2,4,|13=--=-<<P Q x x ,则P Q =2.3223ii+=- 3.若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a =4.已知+∈R b a 、，且3=+b a ，则以b a 、作为两边长的三角形面积最大值是5.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于6.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为7二项式6⎪⎭⎫ ⎝⎛+x m x 的展开式中2x 的系数为60，则实数m 等于 .8.已知21,F F 分别为椭圆16410022=+y x 的左、右焦点，椭圆内一点M 的坐标为（2，-6），P 为椭圆上的一个动点，则||||2PF PM +的最大值是9.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学 要站在一起，则不同的站法有 种10.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为11.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V VABC1ADE F1B1C12.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为13.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________14.设代数方程0)1(242210=-+-+-nn n x a x a x a a 有n 2个不同的根n x x x ±±±,,,21 ，则⋅--=-+-+-)1)(1()1(2222120242210x x x x a xa x a x a a nn n )1(22n x x -⋅ ，比较两边2x 的系数得=1a （用n x x x a ⋅⋅⋅⋅ 210表示）；若已知展开式 +-+-=!7!5!31sin 642x x x x x 对0,≠∈x R x 成立，则由于0sin =xx有无穷多个根：,,,,2, πππn ±+±±于是)21)(1(!7!5!3122222642ππ⋅--=+-+-x x x x x ⋅-⋅⋅)1(222πn x ，利用上述结论可得=+++++222131211n二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.在等差数列{}n a 中，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n = A ．18 B ．19 C ．20 D ．2116.已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ,则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为A.22(2)(2)10-+-=x y B.()()102222=+++y xC.()()102222=++-y x D.()()102222=-++y x17.将函数)32cos(π-=x y 的图象向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的一条对称轴是 A ．3π=x B.6π=x C ．x π= D. 2x π=18.对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x A B x A B ⊕=∈∉且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+，0ab cd <<，则=⊕N MA. (,)(,)a d b c B.(,][,)c a b d C. (,][,)a c d b D.(,)(,)c a d b三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分. 如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在O 上,点A 34(,)55,点B 在第二象限,点C (1,0).（Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值； （Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形,求点B 的坐标.20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题7分，第（Ⅱ）小题7分如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．21.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题7分，第（Ⅱ）小题7分设公差为d （0d ≠）的等差数列{}n a 与公比为q （0q >）的等比数列{}n b 有如下关系：113375,,a b a b a b ===．OSBC（I ）比较15a 与7b 的大小关系，并给出证明．（II ）是否存在正整数,m n ，使得?n m a b = 若存在，求出,m n 之间所满足的关系式；若不存在，请说明理由．22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题5分，第（Ⅲ）小题7分.矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上。
2014年高考上海卷数学(理)试卷及答案解析
2014年高考上海卷数学（理）试卷及答案解析考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括试题与答题要求。
作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。
在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
(1) 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】 2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期Θ2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则}1{zz +z ⋅=___________. 【答案】 6 【解析】61)41(1)1(∴21=++=+=•++=z z z zz i z Θ3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】 x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为ΘΘ4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】 ]2,∞-( 【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f +=Θ5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________. 【答案】 22 【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=x x x x x xy Θ6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
上海市六校2014届高三下学期第二次联考数学(理)试题--含答案
上海市六校2014届高三下学期第二次联考数学（理）试题（完卷时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α=，则tan α= ．2. 已知集合{}1,A m =-，{}|1B x x =>，若A B ≠∅I ，则实数m 的取值范围 是 ．3. 设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若911a =，119a =，则19S 等于 ．4. 若()()2i i a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 的值为 ．5. 抛物线24y x =的焦点到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 ．6. 执行右图的程序框图，如果输入6i =，则输出的S 值为 ． 7. 不等式1011ax x <+对任意R x ∈恒成立，则实数a的取值范围是 ． 8. 若n a 是()()*2,2,nx n n x +∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭ ． 9. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 ．10. 若点(,)P x y 在曲线cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则yx 的取值范围是 ．11. 从0,1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，则使得()12f ∈Z 的概率为 ． 12. 已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ． 13、已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，有下列命题：①20OB OC OA -⋅≥u u u r u u u r u u u r ； ② 20OB OC OA -⋅<u u u r u u u r u u u r；③ x 的值有且只有一个； ④ x 的值有两个； ⑤ 点B 是线段AC 的中点．则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）14、已知数列{}n a 的通项公式为52nn a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设,,,,n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．16、下列函数中，既是偶函数，又在区间()1,2内是增函数的为（ ）（A ）2log y x = （B ）cos 2y x =（C ）222x x y --= （D ）22log 2xy x-=+ 17、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且m α∥P（C ）m n P 且n β⊥ （D ）m n ⊥且αβP 18、对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){},y y f x x A A =∈=， 则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”． 给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭；②()221f x x =-； ③()12x f x =-； ④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ）（A ）①②③ （B ）②③ （C ）①③ （D ）②③④三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程． 19、（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且1cos22A C +=． （1）若3a =，b =c 的值；（2）若())sin sin f A AA A =-，求()f A 的取值范围．20、（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD P ，AD DC ⊥，2AD =，4AB =，90ADF ∠=o ．（1）求异面直线DF 和BE 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积．A21、（本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？22、（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．已知数列{}n a 中，11a =，对任意的*k ∈N ，21k a -、2k a 、21k a +成等比数列，公比为k q ；2k a 、21k a +、22k a +成等差数列，公差为k d ，且12d =．（1）写出数列{}n a 的前四项； （2）设11k k b q =-，求数列{}k b 的通项公式； （3）求数列{}k d 的前k 项和k D ．23、（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆O与直线20x ++=相切于点P ，与x 正半轴交于点A，与直线y =在第一象限的交点为B . 点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，动点(),D x y 的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O 的方程及曲线Γ的方程； （2）若两条直线1:l y kx =和21:l y x k=-分别交曲线Γ于点A 、C 和B 、D ，求四边形ABCD 面积的最大值，并求此时的k 的值．（3）证明：曲线Γ为椭圆，并求椭圆Γ的焦点坐标．2014年上海市高三年级 六校联考数学试卷（理科）答案一、填空题1. 43-2. ()1,+∞3. 1904. 126. 217. (]4,0-8. 89. 10. (),-∞+∞U11.419012. ()0,1- 13．①③⑤ 14．[]5,3--二、选择题15. C 16. A 17. C 18. B三、解答题 19. 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=． 所以cos cos 22A C B π+-=1sin 22B ==．26B π=，所以3B π=． ………………3分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2320c c -+=．解得1c =或2c =． ………………6分（2）()sin sin )f A A A A =-1cos 222A A -=-1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. ………………9分由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. ………………12分20. 解：（1）解法一：在CD 的延长线上延长至点M 使得CD DM =,连接,,ME MB BD . 由题意得，AD DC ⊥，AD DF ⊥，,DC DF ⊂≠平面CDEF ，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥，同理可证DE ⊥面ABCD .∵ //CD EF ，CD EF DM ==， ∴EFDM 为平行四边形， ∴//ME DF .则MEB ∠（或其补角）为异面直线DF 和BE所成的角. ………………3分由平面几何知识及勾股定理可以得ME BE BM === 在MEB △中，由余弦定理得222cos 2ME BE BM MEB ME BE +-∠==⋅．∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴ 异面直线DF 和BE所成的角为arccos ………………7分解法二：同解法一得,,AD DC DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………………2分可得()()()()0,0,0,0,2,2,2,4,0,0,0,2D F B E ， ∴ (0,2,2),(2,4,2)DF BE ==--u u u r u u u r，得DF BE ==u u u r u u u r………………4分M设向量,DF BE u u u r u u u r夹角为θ，则022422cos DF BEDF BEθ⋅-+⋅-+⋅⋅===⋅u u u r u uu ru u u r u u u r ∵ 异面直线的夹角范围为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，∴ 异面直线DF 和BE 所成的角为arccos………………7分（２）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且2BN =. ………………9分 ∵EF ABCD V -E ABCD B ECF V V --=+ ……………11分 1133ABCD EFC S DE S BN =⋅+⋅△△ 1111(42)222223232=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅ 163=. ∴ 几何体EF ABCD -的体积为163.……14分21. 解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+- ………………2分()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P ∈--. ………………5分 ∴ 国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损． ………………7分 （2）设平均处理成本为90050y Q x x x==+- ………………9分 5010≥=， ………………11分当且仅当900x x=时等号成立，由0x > 得30x =．因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元． ………………14分 22. 解：（1）由题意得2213322a a a a a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，2222a a =+，22a =或21a =-. ………………2分N故数列{}n a 的前四项为1,2,4,6或1,1,1,3-. ………………4分 （2）∵21221,,k k k a a a -+成公比为k q 的等比数列， 212223,,k k k a a a +++成公比为1k q +的等比数列∴212k k k a a q +=，22211k k k a a q +++= 又∵22122,,k k k a a a ++成等差数列， ∴212222k k k a a a ++=+. 得21212112k k k k k a a a q q ++++=+，112k kq q +=+， ………………6分 111k k kq q q +-=-， ∴1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +-=--，即11k k b b +-=. ∴ 数列数列{}k b 为公差1d =等差数列，且11111b q ==-或111112b q ==--. ……8分 ∴()111k b b k k =+-⋅=或32k b k =-. ………………10分（3）当11b =时，由（2）得11,1k k k k b k q q k+===-. 221211k k a k a k +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22222121321121231121111k k k k k a a a k k a a k a a a k k +-+--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2121k k kaa k k q +==+，()2121231,2k k k k k k k k a d a a k D q +++=-==+=. ………………13分 当112b =-时，同理可得42k d k =-，22k D k =. ………………16分解法二：（2）对1,1,1,3,-L 这个数列，猜想()*2123N m m q m m -=∈-， 下面用数学归纳法证明： ⅰ）当1m =时，12111213q ⋅-==-⋅-，结论成立.ⅱ）假设()*N m k k =∈时，结论成立，即2123k k q k -=-.则1m k =+时，由归纳假设，222121212121,2323k k k k k k a a a a k k -+---⎛⎫== ⎪--⎝⎭. 由22122,,k k k a a a ++成等差数列可知()()()222122122121223k k k k k k a a a a k ++--+=-=⋅-，于是221212121k k k a k q a k ++++==-，∴ 1m k =+时结论也成立.所以由数学归纳法原理知()*2123N m m q m m -=∈-. ………………7分 此时1132112123k k b k k q k ===-----.同理对1,2,4,6,L 这个数列，同样用数学归纳法可证1k k q k +=. 此时11111k k b k k q k===+--.∴k b k =或32k b k =-. ………………10分（3）对1,1,1,3,-L 这个数列，猜想奇数项通项公式为()22123k a k -=-. 显然结论对1k =成立. 设结论对k 成立，考虑1k +的情形. 由（2），()211,23k k q k k k -=≥∈-N 且21221,,k k k a a a -+成等比数列， 故()()22222121212123212323k k k k a a k k k k +---⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即结论对1k +也成立. 从而由数学归纳法原理知()22123k a k -=-.于是()()22321k a k k =--（易见从第三项起每项均为正数）以及21242k k k d a a k +=-=-，此时()22422k D k k =++-=L . ………………13分 对于1,2,4,6,L 这个数列，同样用数学归纳法可证221k a k -=，此时()22121,1k k k k a k k d a a k +=+=-=+.此时()()32312k k k D k +=++++=L . ………………16分23. 解：（1）由题意圆O 的半径1r ==，故圆O 的方程为221x y +=. ………………2分由OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r得，()22OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ， 即222222cos60OC x OA y OB xy OA OB =++ou u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，得221x y xy ++=（,x y ⎡∈⎢⎣⎦）为曲线Γ的方程.（未写,x y 范围不扣分）…4分（2）由221y kx x y xy =⎧⎨++=⎩得E ⎛⎫，F ⎛⎫ ⎝，所以EF =MN ==………………6分 由题意知12l l ⊥ ，所以四边形EMFN 的面积12S EF MN =⋅.2S ====∵ 221224k k ++≥=，∴223S S ≥=≤ . ………………8分当且仅当221k k=时等号成立，此时1k =±.∴ 当1k =±时，四边形EMFN 的面积最大值为3. ………………10分（3）曲线Γ的方程为221x y xy ++=（,,33x y ⎡∈-⎢⎣⎦），它关于直线y x =、y x =-和原点对称，下面证明：设曲线Γ上任一点的坐标为()00,P x y ，则2200001x y x y ++=，点P 关于直线y x =的对称点为()100,P y x ，显然2200001y x y x ++=，所以点1P 在曲线Γ上，故曲线Γ关于直线y x =对称， 同理曲线Γ关于直线y x =-和原点对称.可以求得221x y xy ++=和直线yx =的交点坐标为12,B B ⎛ ⎝⎭⎝⎭221x y xy ++=和直线y x =-的交点坐标为()()121,1,1,1A A --，1OA =13OB =3=3=. 在y x=-上取点12,,3333F F ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭.下面证明曲线Γ为椭圆：ⅰ）设(),P x y 为曲线Γ上任一点，则12PF PF +=======43xy ≤）12A A ==.即曲线Γ上任一点P 到两定点12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和为定值ⅱ）若点P 到两定点12,F F ⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和为定值，可以求得点P 的轨迹方程为221x y xy ++=（过程略）.故曲线Γ是椭圆，其焦点坐标为12,,3333F F ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ………………18分 第（3）问说明：1. ⅰ）、ⅱ）两种情形只需证明一种即可，得5分，2. 直接写出焦点12,F F 的坐标给3分，未写出理由不扣分.。