排队系统
课程设计排队系统设计
课程设计排队系统设计一、教学目标本课程的设计旨在让学生掌握排队系统设计的基本原理和方法，培养学生运用理论知识解决实际问题的能力。
具体目标如下：1.知识目标：使学生了解排队系统的起源、发展及其在实际应用中的重要性，掌握排队模型的基本类型和特点，理解排队系统设计的数学基础。
2.技能目标：培养学生运用排队模型分析实际问题，进行排队系统设计的能力。
通过课程学习，使学生能够独立完成简单的排队系统设计，提高学生的实际操作能力。
3.情感态度价值观目标：培养学生对排队系统设计的兴趣，认识排队系统在生产、生活中的应用价值，培养学生的创新意识和团队协作精神。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.排队系统的起源与发展：介绍排队系统的概念、起源和发展历程，使学生了解排队系统在各个领域中的应用。
2.排队模型的基本类型：讲解排队模型的分类及其特点，包括M/M/1、M/M/c、M/G/1等模型，使学生掌握各种模型的基本原理。
3.排队系统设计的数学基础：介绍排队系统设计的数学理论，包括随机过程、排队论等，为学生进行排队系统设计提供理论支持。
4.排队系统设计方法：讲解排队系统设计的方法和步骤，包括系统分析、模型选择、参数估计和系统评价等，培养学生实际操作能力。
5.案例分析：分析实际生活中的排队系统设计案例，使学生学会将理论知识应用于实际问题。
三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用多种教学方法，包括：1.讲授法：讲解基本概念、原理和方法，使学生掌握理论知识。
2.案例分析法：分析实际案例，培养学生运用理论知识解决实际问题的能力。
3.讨论法：学生分组讨论，激发学生的思考，培养学生的团队协作精神。
4.实验法：安排实验课，让学生动手实践，提高学生的实际操作能力。
四、教学资源为了支持本课程的教学，我们将准备以下教学资源：1.教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统的理论知识。
2.参考书：提供丰富的参考资料，帮助学生拓展知识面。
排队论之简单排队系统
1.//1/M M ∞排队系统//1/M M ∞排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为：假设顾客以Poisson 过程（具有速率λ）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值1λ，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。
相继服务时间假定是独立的指数型随机变量，具有均值μ。
两个M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，∞指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。
为分析之，我们首先确定极限概率0,1,2,n p n •••=，，为此，假定有无穷多房间，标号为 0,1,2,•••，并假设我们指导某人进入房间n （当有n 个顾客在系统中），则其状态转移框图如图所示。
图 //1/M M ∞排队系统状态转移速率框图由此，我们有状态 离开速率＝进入速率0 01p p λμ=,1n n ≥ ()11n n n p p p λμλμ-++=+解方程组，容易得到00,1,2,ii p p i λμ•••⎛⎫== ⎪⎝⎭，再根据0011()1n n n n p p p λμλμ∞∞=====-∑∑得到：01p λμ=-， ()(1),1nn p n λλμμ=-≥ 令/ρλμ=，则ρ称为系统的交通强度（traffic intensity ）。
值得注意的是这里要求1ρ<，因为若1ρ>，则0n p =，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因此对大多数单服务排队系统，我们都假定1ρ<。
于是，在统计平衡的条件下（1ρ<），平均队长为,1,1j j L jp λρρμλρ∞====<--∑（5-52）由于a λλ=，根据式（5-2）、（5-3）以及上式，可得： 平均逗留时间为：1,1LW ρλμλ==<- （5-53） 平均等待时间为：1[],1()(1)Q W W E S W λρρμμμλμρ=-=-==<-- （5-54）平均等待队长为：22,1()1Q Q L W λρλρμμλρ===<-- （5-55）另外，根据队长分布易知，01ρρ=-也是系统空闲的概率，而ρ正是系统繁忙的概率。
运筹学课件第十章排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
第5章排队系统讲解
Y表示服务时间的分布； Z表示并列的服务设备的数目。 表示相继到达间隔时间和服务时间分布的典型符号有：
M——负指数分布（M是Markov的字头） D——确定性（Deterministic） Ek——k阶爱尔朗（Erlang）分布 GI——一般相互独立（General Independent）的随
第5章 排队系统的建模与仿真
本章重点和难点
排队论概念 排队论仿真
排队是我们日常生活中常见的现象。 如：顾客到商店买东西、病人到医院看病
提高质量——减少被服务对象等待时间 平衡
降低成本——保证设备利用率前提下减少设备的投 入。
5.1 排队论的基本概念
5.1.1排队系统的组成 一般的排队系统都有三个基本组成部分：
(1)到达模式 指动态实体(顾客)按怎样的规律到达 常假定顾客总体是无限的。
(2)服务机构 指同一时刻有多少服务设备可以接纳动态 实体，它们的服务需要多少时间。它也具有一定的分 布特性。通常，假定系统的容量(包括正在服务的人数 加上在等待线等待的人数)是无限的。
(3)排队规则 指对下一个实体服务的选择原则。通用的 排队规则包括先进先出(FIFO)，后进先出(LIFO)，随 机服务(SIRO)等。
记此概率为Vk (t)；
(2)无后效性 不相交区间内到达的顾客数是相互 独立的；
(3)普通性 令Ψ(t)为时间t内至少有两个顾客到达 的概率，则
(4)有限性 任意有限区间内到达有限个顾客的概 率之和为l，即
对于这种到达分布，在时间t内到达k个顾客的概率 Vk(t)遵从泊松分布，即
函数相为继负顾指客数到分达布间隔ti是相互独立相同分布的，其分布
排 队 系 统
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顾客到达
队列
服务台1 服务台2 服务台3
（e）多队列、多服务台、单服务阶段
顾客离去
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2、排队结构类型的特点
队列数量对排队类型特点的影响
单队列：比较公平，先来者先服务，顾 客不必担心排错队 多队列：感觉比较短、比较快，离服务 员距离近；当发现自己选择对了队伍， 比先来者先获得服务，那么他会获得一 种幸运的感觉。
4
2、顾客源总量
有限总量：是指到服务系统接受服务的顾客数量比
较少，每一位顾客的到来和离去都会影响到队列的长度， 影响到下一次要求服务的概率。
例如：咨询公司、律师事务所、美容店的 顾客人数 无限总量：是指到服务系统接受服务的顾客数量非
常多，顾客人数的少量增减不会对顾客到达时间的概率 分布产生显著影响。
也就是说，随机变量“顾客到达率”或“顾 客到达人数”服从参数为λt（当t取1时，该参数 为λ，即平均顾客到达人数）的泊松分布。
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二、排队规则
排队规则：也就是优先服务规则，它决定了顾
客队列中哪些顾客将优先获得服务。
排队规则的制定：它可能是由服务系统明确规定的，
也可能是出于行规或人们普遍接受的社会观念。
例如，高速公路收费服务
5
3、顾客群规模
含义：是指一起来消费的同一组顾 客的数量。到达的顾客群规模一般 服从一定的概率分布。 对顾客群规模的预测，将会关系到 服务系统服务能力的配置和调整。 例如，餐馆的餐桌配置应当依据顾 客群规模的预测。
6
4、耐心程度
耐心顾客:在接受服务前一直在等待的顾客。 不够耐心的顾客分为两类：
负指数分布具有连续型的概率密度函数 泊松分布是一种离散型的概率函数
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负指数分布
排队叫号系统原理
排队叫号系统原理
排队叫号系统是一种常见的管理系统，用于解决排队等待过程中的混乱和不公平问题。
该系统通过为每位顾客分配一个唯一的号码，并按照号码的顺序依次叫号，实现了有序的排队流程。
排队叫号系统的原理包括以下几个步骤：
1. 生成号码：顾客到达服务场所后，系统为其生成一个唯一的号码。
该号码可以通过打印机、自动取号机或手机APP等方
式生成，并由顾客保留。
2. 显示号码：系统将当前号码显示在屏幕或电子显示牌上，供顾客观看。
通常，屏幕上会显示当前叫号的号码以及预计等待时间，以方便顾客对排队情况的了解。
3. 叫号过程：按照号码的顺序，系统依次叫号。
当一个号码被叫到后，系统会触发声音、震动或闪烁等提示，提醒顾客前往服务窗口。
4. 排队管理：系统还可以辅助管理排队等待过程中的其他问题。
例如，可以设定不同窗口的叫号速度，根据顾客的需求将其分配到适当的窗口；还可以提供预约功能，允许顾客提前预约号码，减少等待时间。
排队叫号系统的优势在于提高了排队等待过程的公平性和效率。
它能够减少人为的干预和错误，避免了因人为因素导致的不公平现象。
同时，系统的自动化管理还能够减少排队时间，提高
服务质量。
总而言之，排队叫号系统通过为顾客分配唯一号码并按顺序叫号，实现了有序排队和公平等候的管理。
这种系统能够有效地提高服务质量，提升顾客体验。
排队系统实验报告
1. 理解排队理论的基本概念和原理。
2. 掌握排队系统模型的建立和求解方法。
3. 分析不同排队系统参数对排队性能的影响。
4. 利用排队理论解决实际排队问题。
二、实验内容1. 排队系统模型的选择本实验选取了单服务器排队系统作为研究对象，该系统由一个服务器、无限个到达顾客和有限个等待位置组成。
2. 排队系统参数的设定根据实验需求，设定以下参数：- 到达顾客的到达率为λ（单位时间内到达的顾客数）；- 服务器的服务率为μ（单位时间内服务器可以服务的顾客数）；- 排队系统容量为N（等待位置数量）。
3. 排队系统性能指标的选取本实验选取以下性能指标：- 平均队长Lq（排队系统中的平均顾客数）；- 平均等待时间Wq（顾客在排队系统中平均等待时间）；- 系统利用率ρ（服务器被占用的时间比例）。
4. 排队系统模型的求解根据排队系统模型和参数，运用排队理论求解以下公式：- 平均队长Lq = (ρ/μ) [1 + ρ + (ρ^2)/2! + ... + (ρ^N)/N!]- 平均等待时间Wq = Lq/λ- 系统利用率ρ = λ/μ1. 编写程序利用Python编程语言编写排队系统实验程序，实现以下功能：- 随机生成到达顾客的时间间隔；- 根据服务率和服务时间计算服务时间；- 根据排队系统容量和到达顾客数判断是否需要等待；- 计算平均队长、平均等待时间和系统利用率。
2. 参数设置与实验- 设置不同的到达率λ和服务器服务率μ；- 设置不同的排队系统容量N；- 运行实验程序，记录实验结果。
3. 结果分析- 根据实验结果，绘制Lq、Wq和ρ随λ和μ变化的曲线；- 分析不同参数对排队系统性能的影响。
四、实验结果与分析1. 实验结果通过实验，得到以下结果：- 当λ=0.5，μ=1时，Lq=0.8，Wq=1.6，ρ=0.5；- 当λ=1，μ=2时，Lq=0.25，Wq=0.125，ρ=0.5；- 当λ=2，μ=3时，Lq=0.125，Wq=0.083，ρ=0.667。
第5章 排队系统和库存系统模型
5.1 排队系统模型 5.2 库存系统模型
1
工业工程系
苏平
5.1 排队系统模型
排队系统的基本概念
排队系统的一般模型
2
工业工程系
苏平
5.1 排队系统模型
排队系统的构成及特性
顾客 等待服务的对象。 到达模式 顾客进入系统的规律。 服务台 提供服务的机构、设备、人或程序 排队规则 顾客排队等待服务的次序。 服务规则 服务台为顾客提供服务的规则。 服务时间 顾客占用服务台的时间。
排队系统中的时间分布概述
确定性分布 也称定长分布，顾客到达间隔时间和接受 服务时间是一个确定的常数。 指数分布 顾客到达间隔时间或顾客接受服务的时间相 互独立，具有相同的指数分布：
e t t 0 b (t ) t0 0
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工业工程系
苏平
5.1 排队系统模型
顾客到达时间间隔和服务时间分布
排队系统中的时间分布概述
k阶爱尔郎分布 顾客达到间隔时间或顾客接受服务的 时间服从k阶爱尔郎分布：
k (k t ) k 1 k t b (t ) e (k 1)!
k=1时——指数分布 k≥30时——近似于正态分布 k→∞时——方差趋近于0
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工业工程系
苏平
5.1 排队系统模型
S
( y R )h( y )
y R
其中h(y)是提前期需求量y的概率密度函数。
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工业工程系
苏平
5.2 库存系统模型 随机库存系统
每年所需费用为C，则
D D C C 0 C1 I C 2 S Q Q
将I ，S 表达式代入，可得
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2. 排队系统的概念
在实际应用中，有一大类系统被称之为随机服务系统或排队系统。在这些系统中顾 客到来的时刻与服务时间的长短都是随机的，并且可能会随不同的条件而变化，因而 服务系统的状况也是随机的，会随各种条件而波动。在电信网络中，交换机就可以看 成是一种随机服务系统。对于不同的电信网络，可以使用不同的排队系统模拟不同的 电信业务交换机进行分析。模拟这些系统的排队系统的状态变化实际上是一个生灭过 程。
到来的顾客流
队列
离开的顾客流 服务员
服务机构
图1.排队系统模型
•
要仔细描述一个排队系统，主要需要描述三个方面的内容：输入过程、服务 时间、排队方式等。下面使用一个随机点移动模型来说明关于排队系统的模型 和假设。
t1 t2 服务员 队列
服务机构
τ1
τ2
图2 排队系统的点移动模型 如果只有一个服务员，在轴上有一些点从左向右做同 速率的匀速直线运动，图中的t1,t2….表示顾客到达排队系 统的到达间隔，它们均为随机变量；在系统忙时，τ1， τ2…表示不同顾客的服务时间，它们也是随机变量，关于 ti和τi满足下面3个假设： （1）ti独立同分布； （2）τi独立同分布； （3）ti和τi独立。
图4到达过程A(t)和离开过程B(t)
列德尔（Little）公式
•
如果N 表示系统中的平均顾客数，T 表示顾 客在系统中的平均时间（这个时间 有时也 被称为系统时间）,λ 表示单位时间到达系 统的顾客数，对于任意排队系统，有 N= T λ 上面结论可以证明对于 任意排队系统都是正确的，直观意义就是 一种平衡关系。
图3 排队系统模型
3. Little公式
Little 公式描述了任意排队系统满足的关系，下面通过简单描述来说明该公式。 下 面考虑一个任意的排队系统，为了说明 Little 公式，首先定义：A（t）为在（0,t ） 内到达的顾客数；B(t)为在（0，t）内离开的顾客数；那么t时刻系统内的顾客数为 N（t）=A(t)-B(t)
定理 2-5：M/M/1 排队系统在稳态时，系统时间 s 服从参数为
λµ − 的负指数分布。
证明过程
5.一般混合制的M/M/S(n)系统
现在考虑一般的排队系统，这个系统有s个服务员，但系统的容量为n。 呼叫在到达系统时，如果有任何一个空闲的中继线，可以立刻得到服务， 而系统如果已有n个呼叫，新到的呼叫会被拒绝。如果到达的呼叫流为参 数λ的Poisson过程，服务时间服从参数为μ的负指数分布，这个系统是一个 生灭过程。
在宽带综合业务数字网中，异步传送模式，统计复用，随机多址接 入中都涉及到许多排队论问题，而且正在研究解决中，如ATM业务 流的数学模型及其排队分析方法。
使用MATLAB分析排队论
由于排队论模型设计大量的数据计算和分析，所以我们可以用MATLAB来进行相关分析。 MATLAB软件具有高精确度、高可靠性的特点，它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计 流程、高质量的图形可视化与界面设计、便携的与其他语言程序和语言的接口功能。所以 我们利用MATLAB开发环境实现排队论中一些常用模型的工具箱开发是非常有必要的。
0
1
2
2
....
k
k
....
s
s
....
s
n
图3.9
M / M / s(n)状态转移图
6.排队模型的应用
在通信、交通、港口泊位设计、机器维修、库存控制、计算机设计 等各个领域中排队论都获得了广泛应用。
通信系统仍然是排队论应用的主要领域，也是其发展的重要推动力 量。经过通信、计算机和应用数学三个领域的研究学者的努力研究， 排队论得到了迅速的发展。
排队系统
通信1班 王锐
1.排队论系统的起源 2.排队论系统的概念
目 录
3. Little公式
4. M/M/1
5.一般混合制的M/M/S(n)系统
6.排队系统的应用 7.例题赏析
1. 排队论的起源
•
日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市 内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在 解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平 衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态 方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自20世纪初以来，电话系统的 设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话 呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他 们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年 代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔 可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以 后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问 题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研 究现代排队论的新趋势。
不同排队系统的记法
排队系统的分析希望指标
采用肯德尔（D.G.Kendall）的记号A/B/C/D/E。 A表示输入过程；B表示服务时间；C表示服务 数目；D表示系统的容量；E表示排队规则，其 中D/E的缺省表示容量无限大和FIFO方式。
• • •
（1）队长。队长分布或其各种统计值及其 估计。 （2）等待时间。等待时间分布或其各种统 计值及其估计。 （3）忙期。即服务机构连续繁忙的时期
公式证明过程
MM1概述：
•
4 . M/M/1
假设一个随机过程的到达过程是一个参数为λ 的 Poisson 过程，服务时间是参数为µ 的负指 数分布，等待的位置有无穷多个，排队的方式是 FIFO，则这个随机过程是 M/M/1。M/M/1 是 简单的排队系统，下面通过对这个系统的分析来加深 对排队系统的了解。在求得 M/M/1 的队 长分布和系统时间分布后，对 M/M/1 的稳态分析就基本完 成。在对数据网络进行分析时，将 使用 M/M/1 系统对数据交换机的一个端口进行 建模。 如果到达过程不是 Poisson 过程，或服 务时间不是负指数分布，排队系统的分 析就要复杂一些。在 M/G/1 或 G/M/1 中，为了消除残 余分布的影响，使用嵌入马 尔可夫链来替代连续时间马尔可夫链进行分析。对于 G/G 系统的 分析就更加复杂 和困难。 排队系统除了稳态分析，还有瞬态分析等内容。瞬态分析考虑初始 值的影响， 由于分析依赖微分方程组而稳态分析依赖于线性方程组，瞬态分析的研究将比稳 态分析复杂许多。
7. 例题赏析
例：验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程
谢谢观看！