直线系方程的应用
直线系方程
4y 10 0 4x 14 0
解得：
x y
7 2 5 2
所以直线恒过定点 7 , 5 2 2
方法小结：
若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法：
法一:分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与 m的取值无关，故从而解出定点。
那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由 两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这 两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们. 请看下面的例子:
例3:问k为何值时，方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0 表示两条直线？
解（待定系数法）：将方程化作：
(3x y)(x y) (7x 5y) k 0
法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（1）：设经二直线交点的直线方程为：
x 2y 4 (x y 2) 0
y
o
x
4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C 相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的 直线系方程为：A1x+B1y+C1＋m( A2x+B2y+C2)=0
其中m为待定系数.
证明： 设(x 0 , y0 )是A1x B1y C1 0与 A2 x B2 y C2 0的交点,
3.过两直线2x y 8 0和x 2y 1 0的交点,
直线系方程知识点总结
直线系方程知识点总结一、直线的一般方程1、直线的一般方程形式为Ax+By+C=0。
其中A、B和C是常数，A和B不能都为0。
2、直线的一般方程可以表示为两个变量的线性关系，即直线上的任意一点（x，y）都满足方程Ax+By+C=0。
3、直线方程的一般形式中的A、B和C可以根据直线的性质进行设定和求解。
例如，A 和B的比值确定了直线的斜率，而C的取值可以确定直线与坐标轴的交点。
4、直线的一般方程适用于解决直线的各种性质和问题，如求直线的斜率、与坐标轴的交点、过定点的直线方程等。
二、直线的斜截式方程1、直线的斜截式方程形式为y=kx+b。
其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
2、直线的斜截式方程是表示直线的一种简化形式，通过斜率和截距可以直观地了解直线在平面上的位置和特征。
3、直线的斜截式方程可以直接通过直线的斜率和截距求解，对于一些特定的问题，可以更加方便地使用斜截式方程。
4、直线的斜截式方程和一般方程可以相互转化，通过斜截式方程可以求解直线的一般方程，反之也可以通过直线的一般方程求解斜截式方程。
三、直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程形式为y-y1=k(x-x1)。
其中（x1，y1）是直线上的一个定点，k是直线的斜率。
2、直线的点斜式方程适用于已知直线上的一个定点和斜率的情况。
通过点斜式方程即可得到直线的方程。
3、直线的点斜式方程和斜截式方程可以相互转化，通过点斜式方程也可以求解直线的斜截式方程，反之也可以通过斜截式方程求解点斜式方程。
四、直线的截距式方程1、直线的截距式方程形式为x/a + y/b = 1。
其中a和b是直线在x轴和y轴上的截距。
2、直线的截距式方程是表示直线的一种特殊形式，通过截距可以直观地了解直线与坐标轴的交点。
3、直线的截距式方程可以直接通过直线在坐标轴上的截距求解，对于特定的问题可以更加方便地使用截距式方程。
4、直线的截距式方程和一般方程可以相互转化，通过截距式方程可以求解直线的一般方程，反之也可以通过直线的一般方程求解截距式方程。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用一、几何学应用1.直线的参数方程的可视化表示直线参数方程可以帮助我们直观地理解直线的特点和性质，例如直线在平面上的位置、方向、长度等。
通过改变参数的取值，可以观察到直线的移动、旋转、延长等变化，进而更直观地了解几何图形的特征。
2.直线的交点设有两条直线的参数方程分别为：L1:x=x1+a1t,y=y1+b1t,z=z1+c1tL2:x=x2+a2s,y=y2+b2s,z=z2+c2s我们可以通过求解参数方程的参数，找到这两条直线的交点。
通过求解方程组，可以得到唯一的交点坐标。
3.直线的方位角和倾斜角直线参数方程中的参数可以用来表示直线的方位角和倾斜角。
方位角是指直线与坐标轴的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
倾斜角是指直线与xy平面的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
二、物理学应用1.运动学中的直线运动在物理学中，直线运动是指质点或物体在直线上的运动轨迹。
直线的参数方程可以用来描述其中一时刻的位置。
例如，设有直线运动的质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以表示成参数方程形式：x(t) = x0 + vxty(t) = y0 + vytz(t) = z0 + vzt其中，(x0, y0, z0)表示质点的初始位置，(vx, vy, vz)表示质点在x、y、z方向上的速度分量。
2.力学中的直线运动在力学中，直线运动还涉及质点或物体在直线上的加速度、力和运动的规律。
通过直线的参数方程，可以计算质点或物体在不同时刻的速度和加速度，并进一步得出运动的规律。
例如，设有质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以通过参数方程求导得到速度和加速度：vx(t) = dx/dtvy(t) = dy/dtvz(t) = dz/dt3.光学中的直线传播在光学中，直线传播是指光线沿着直线路径传播的现象。
直线的参数方程可以用于描述光线在空间中的传播路径。
直线系方程在解题中的应用
２ ． 过两条直线 ， ｌ ：Ａ １ ｘ ＋Ｂ ｌ ＋Ｃ ｌ ＝０ ，
２： ２ ＋Ｂ２ ＋Ｃ２＝０的交点 的直线
系 方 程 为 ：
＋
＋Ｃ ｏ＝ ０（Ａｏ ， Ｂ０ 是不全 为
） 的 直 线 系 为 ：
Ｉ ． 以斜率为 ｋ ｏ（ 常数 ）的直线系
零 的 常 数
— —
四、 运用 示弱教育的教学建议 （ 一） 要 求我们对学生做到 １ ． 充 分信任对方 。只要有 机会和条件 ， 人 总是 愿意发展并希望改变 自己， 用苏霍姆 林斯基 的话来 说 ， 那就是 “ 每个人都有一颗 成 为好 人的心”。我们要相信学生的能力和 潜 力。 ２ ． 耐心等待对方 。 教育不是加工和塑造 ， 而是生长与成熟 。 加工与塑造强调外在的力 量， 生长 和成熟 重视 内在的可能和 自为。生 长和成熟是一个过程 ， 需要时间 ， 需要耐心 ， 需要等待 ， 等待意味着 “ 示弱 ” 和“ 用弱”。 在等待 中， 在学生的学 习责任 和自觉性被唤 醒 以后 ，教育可能收获更多的欣喜。
交点 ，
’ ． ．
。
３
依题意有：
。
． ．
ｑ
１ ｔ ｌ 一０ ｌ ． － 卜１ ＝ ６
设 所 求 的 直 线 为
：
， １ 的方程为： 一 ３ ｙ ± ４ √ ：０
（ ２ ｘ ＋ ３ ｙ ＋ １ ） ＋ ． ； Ｌ （ ｚ 一 ３ ｙ ＋ ４ ） ＝ ０ ，
Ｙ＝ｋ ｏ ｘ＋ｂ （ ｂ 为参数） ；
２ ． 平 行 于 已 知 直 线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ Ａ ｌ ｘ ＋ Ｂ ￣ ｙ ＋ Ｃ １ ） ＋ ２ （ Ａ ２ ｘ ＋ Ｂ ２ ＋ ｃ ） ＝０（ ｌ 、 ２ 为
聚焦直线系、圆系方程的应用
聚焦直线系、圆系方程的应用【直线系方程的应用】一、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）. 例 1 求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习： 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． 二、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解. 解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1， 此时所求直线方程为：20x y -=； 当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-， 令y =0，解得x =121λλ+-+， 由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=. 三、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. 分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法. 解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10x m y -+-=,∵m ∈R, ∴1010x y -=⎧⎨-=⎩，解得，1x =，1y =，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取m =0，m =1得，1y =，20x y +-=，联立解得，1x =，1y =， 将（1,1）代入10mx y m +--=检验满足方程，∴直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R ，则恒等式个系数为0，列出关于,x y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.【圆系方程的应用】常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)a b 为圆心的同心圆系方程：222()()(0)x a y b λλ-+-=>与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋λ＝０2、过直线Ax ＋By ＋Ｃ＝０与圆22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22y x +＋Dx ＋Ey ＋Ｆ＋λ（Ax＋By ＋Ｃ）＝０（λ∈Ｒ）3、过两圆1C :22y x +＋111F y E x D ++＝0，2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０交点的圆系方程为：22y x +＋111F y E x D ++＋λ（22y x +＋222F y E x D ++）＝0（λ≠-１，此圆系不含2C :22y x +＋222F y E x D ++＝０）特别地，当λ＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C ，可等价转化为过圆1C 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0x y D x E y F D D x E E y F F λ+++++-+-+-=一、利用圆系方程求圆的方程：例１、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（22y x +＋3x －y －2）＋λ（2233y x +＋2x ＋y ＋１）＝０ ∵（0，0）在所求的圆上，∴ 有－2＋λ＝０． 从而λ＝２故所求的圆的方程为： 0)1233(2)23(2222=+++++--++y x y x y x y x 即 2277y x +＋7x ＋y ＝０。
直线系方程的问题分类解析
直线系方程的问题分类解析直线系方程问题是高中数学中的一个重要问题。
本文将介绍直线系在解题中的应用，供同学们参考研究。
一、平行直线系方程在解题中的应用如果与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C′=0（其中A和B不同时为0），则可用平行直线系求解问题。
例如，已知直线l：x+y+1=0，l∥m，直线n：x-2y+1=0被l，m截得的线段长为5，求直线m的方程。
解析：设m的方程为x+y+c=0（其中c≠1），直线l到直线n所处的角为θ，直线m和l间的距离为d。
由题知，kl=-1，kn=1/2.由到角公式得，tanθ=3/4.因此，sinθ=3/5，d=5sinθ=15/5=3.根据平行线间距离公式，|c-1|/√(1^2+1^2)=3/2，解得c=-2或c=4.因此，直线m的方程为x+y+4=0或x+y-2=0.二、垂直直线系方程在解题中的应用如果与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C′=0，则可用垂直直线系求解问题。
例如，已知直线l是曲线y=x+1的一条切线且与直线x-2y+5=0垂直，求直线l的方程。
解析：设l的方程为2x+y+c=0.由l与曲线y=x+1相切得，Δ=22-4(1+c)=0，解得c=0.因此，直线l的方程为2x+y=0.三、过定点直线系方程在解题中的应用如果直线系过定点(x,y)，则直线系方程为A(x-x)+B(y-y)=0（其中A和B不同时为0）。
例如，求过点P(-1,4)圆(x-2)²+(y-3)²=1的切线方程。
解析：设切线方程为y=kx+b，由圆的方程得(x-2)²+(kx+b-3)²=1.将P代入方程得(-1-2)²+(4-3)²=1，因此切线过点P。
又因为切线与圆相切，因此切点只有一个，即判别式Δ=0.解得k=1/4，b=17/4.因此，切线方程为y=x/4+17/4.过定点直线法可以表示过点P(x,y)的所有直线，即直线系。
高考数学复习点拨：直线系方程及其应用
直线系方程及其应用江苏 韩文美直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线族所满足的其它条件确定出参数的值，进而求出直线方程。
一、直线系方程的定义具有某一个共同性质的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程.二、直线系方程的常见类型1、过定点),(00y x P 的直线系方程是:)(00x x k y y -=-（k 是参数，直线系中未包括直线0x x =），也就是平常所提到的直线的点斜式方程；2、平行于已经直线0=++C By Ax 的直线系方程是：0=++λBy Ax （λ是参数）；3、垂直于已经直线0=++C By Ax 的直线系方程是：0=+-λAy Bx (λ是参数）；4、过两条已知直线1l :0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 的交点的直线系方程是:0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ(λ是参数，当0=λ时，方程变为0111=++C y B x A ，恰好表示直线1l ；当0≠λ时,方程表示过直线1l 和2l 的交点,但不含直线1l 和2l 的任一条直线）.三、直线系方程的应用由于两个独立条件确定一条直线，因此，在求直线方程时，可根据直线系概念，先写出满足其中一个条件的直线系方程,然后用另一个条件求出直线系方程中的参数,即得我们所要求解的直线方程.平常实际教学中，直线系方程第一、第二和第三种常见类型我们用的比较多，而直线系方程第四种常见类型也有很好的用处.下面主要阐述直线系方程第四种常见类型的应用.例1、已知三角形三边所在的直线方程分别为：042=+-y x ,07=-+y x ，01472=--y x ，求边01472=--y x 上的高所在的直线方程。
分析：此题解题方法比较多，常规方法计算较多，若引入直线系方程,则运算简便，解法精彩.解析：设所求高所在的直线方程为0)7(42=-+++-y x y x λ,即0)74()1()2(=-+-++λλλy x ,则由0)74()1()2(=-+-++λλλy x 与01472=--y x 垂直，可得0)7()1(2)2(=-⨯-+⨯+λλ,解得511=λ， 所以所求高所在的直线方程为01927=-+y x 。
直线系方程
m 3n 7 m n 5 mn k
解得：
m 2 n3 k m n 6
即：k= -6 时方程表示两条直线。
练 习
1．方程x2-y2=0表示的图形是：————
二相交直线 y 0与x - y 0 x
2．直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线 系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是 垂直 _______.
11
故所求得方程是： 4x+3y-6=0
小 结:
本题采用先用直线系方程表示所 求直线方程,然后再列式,求出方程的 待定常数,从而最终求得问题的解. 这种方法称之为待定系数法,在已知 函数或曲线类型问题中,我们都可以 利用待定系数法来求解.
练习1
一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：
4
所以直线的方程为：
3x+2y+4=0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
解（2）：将（1）中所设的方程变为：
(1 )x ( 2) y (4 2) 0 1 解得： k 2 1 3 * 1 由已知： 2 4
1.过两直线x - 2y 3 0和x 2y - 9 0的交点和原点
y=x 的直线方程是: ______
2.过两直线 x - 3y 10 0和3x 4y - 2 0的交点 2 ,
2x+3y-2=0 且垂直于直线 x - 2y 4 0的直线是: ______ 3
3.过两直线 x y 8 0和x 2y 1 0的交点 2 ,
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直线系方程及其应用
所谓直线系方程,是指满足某种特征的直线方程的全体.在解决直线方程问题时,若能巧妙地运用直线系方程的有关结论,有时可以收到事半功倍之效果.以下总结常见的直线系及其巧用.
一、直线系的类型
1.共点直线系方程
经过两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=的交点的直线系方程为
111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（λ为待定系数）.
2.平行直线系方程
与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为0Ax By λ++=（λ为参数）.
3.垂直直线系方程
与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=（λ为参数）.
二、直线系解题的巧用
1.共点的直线系方程的应用
例1.求经过两直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点P ，且与直线3:3450l x y -+=垂直的直线l 的方程．
【解析】方法一：解方程组24020x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩得交点(0,2)P ，因为334k =，所以直线l 的斜率43k =-，方程为423
y x -=-，即4360x y +-=. 方法二：设所求直线l ：430x y c ++=，由方法一知：(0,2)P 代入方程，得6c =-，所以直线l 的方程为4360x y +-=．
方法三：设所求直线l ：(24)(2)0x y x y λ-+++-= ，整理得(1)(2)240x y λλλ++--+= ，因为3l l ⊥，所以3(1)4(2)0λλ+--=，解得11λ=，所以直线l 的方程为(24)11(x y x y -++⨯+-=即4360x y +-=．
例2.求过点(34)M -，，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【解析】设所求直线方程为(3)(4)0A x B y -++=（其中A B ，不全为零）
． 显然，当0A =或0B =时，所得直线方程不满足题意．故A
B ，均不为零． 当0x =时，34A y B =-；当0y =时，43B x A
=-+． 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，
则
3443A B B A
-=-+， 令A z B =，则4343z z -=-+， 整理，得23740z z -+=， 解得1z =，或43z =
， 则0A B =≠，或403
A B =≠， 故所求直线方程为10x y ++=，或430x y +=．
例1中，解法一是常规解法，解法二用待定系数法，解法三应用了经过两直线交点的直线系方程，省去了求两直线交点的解方程组的运算．例2中，利用过点00()P x y ，的直线系方程00()()0A x x B y y -+-=（其中A B ，不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性．
2. 平行直线系方程的应用
与直线：0Ax By C ++=（A B 、不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠） 例3.直线l 平行于两平行直线34100x y +-=和34350x y +-=且分这两平行线间的距离为 2：3，求l 的方程.
【解析】设l 的方程为340x y c ++=（3510c -<<-），由10
10
2355c c ++==或且3510c -<<-，
解得2025c c =-=-或，故所求直线方程为3420034250x y x y +-=+-=或.
对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.
3. 垂直直线系方程的应用
与直线：0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.
例4.求过点(2,4)且与直线 220x y -+= 垂直的直线方程.
【解析】设l ：20x y c ++=，因为过点(2,4)，所以8c =-，故直线方程为280x y +-=.
对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算. 总结以上四个例题，值得我们注意的是直线00()()0A x x B y y -+-=表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．而平行直线系和垂直直线系则可以简化计算.。