直线方程的一般式及应用
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
3.2.3直线的一般式方程(最新)
所以 a 1; 综上, a 0 或 a 1.
练习3：直线x+m2y+6=0与直线 (m-2)x+3my+2m=0没有公共点,求实数m的值.
解：当m=0时, l1 : x 6 0, l2 : 2 x 0,
P0 ( x0 , y0 )
也具有形式Ax+By+C=0(B=0).
综上，都具有形式：Ax+By+C=0.
二、方程Ax+By+C=0表示直线
A C x , 1、当B≠0时, 方程可化为 y B B A 这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
C 在y轴上的截距是 的直线. B
2、当B=0时，
4 x 3 y 12 0.
练习1：根据下列条件, 写出直线的方程, 并 把它化成一般式:
1 ⑴ 经过点 A(8, 2) , 斜率是 ; 2 ⑵ 经过点 B (4, 2) , 平行于 x 轴;
⑶ 经过点 P (3, 2) , P2 (5, 4) ; 1
x 2y 4 0 y20 x y 1 0
y
l
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;
y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0
o
x
四、A、B、C对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线： (1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;
直线方程的五种形式
2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .
直线方程的几种建立方式及其适用范围
直线方程的几种建立方式及其适用范围罗村高级中学 黄勉确定在不同条件下的直线方程，是高考试题重点考查的内容之一。
因此，需要熟练掌握直线方程的各种形式，以及各自的适用范围，以便在不同的情况下灵活地选用。
下面直线方程的几种建立方式及其适用范围列出，以供大家参考：一、 点斜式若直线l 过定点),(00y x P ，斜率为k ，则直线l 的方程为)(00x x k y y -=-； 它不适用平行于y 轴（包括y 轴）的直线，换句话说就是不适用于斜率不存在（即倾斜角为090）的直线。
当斜率不存在时，直线l 的方程为：0x x =；特别地，当k ＝0时，其方程为0y y =。
例1、 已知直线l 过点A （1，2）,B(3,m )，求直线l 的方程。
分析：因为直线l 经过点B(3,m ),且m 是一个参数，因此需要对m 进行分情况讨论。
解：当m ＝1时，直线l 的倾斜角为090，其斜率是不存在的，故此直线l 的方程为1=x 。
当m ≠1时，直线l 的斜率为11-=m k ，又因为直线l 通过点A （1，2），所以直线l 的方程为：)1(112--=-x m y 。
例2、 已知直线l 经过点P （—3，4），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程。
分析：不难看出，直线l 在经过原点和斜率为—1的两种情况下在两坐标轴上的截距相等。
因此，需要对这两种情况分类讨论。
解：若直线l 经过原点，则直线l 的斜率为34-=k ，从而直线l 的方程为：x y 34-=，即034=+y x 。
若直线l 不经过原点，由于它在两坐标轴上的截距相等，所以直线l 的斜率为1-=k ，从而直线l 的方程为：),3(4--=-x y 即01=-+y x 。
二、 斜截式若直线l 的斜率为k 且在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为：b kx y +=； 它不适用于平行于y 轴（包括y 轴斜率）的直线，即不适用于斜率不存在（倾斜角为090）的直线。
【课件】直线的一般式方程+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
练习2.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直
解（2）法一 ∵ kl=－34, l′与 l 垂直，∴l′的斜率为43，又 l′过点(－1,3)，
2
63
ly
y
l
y
5
l
O
4x
• (-2,1)
yl
2 3
O5 x
3
(1)
-5
(2)
O
x
4 O
x
7
(3)
(4)
练习3、若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m的范围； (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
[解] (1)由mm2－－23＝m0＋，2＝0， 解得 m＝2，
A=k B=－1 C
y 直线l的斜率为k l
O P0
x
②倾斜角α=90°,k不存在
x x0 0 即x 0 y x0 0
A=1 B=0 C 结论：1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示
二元一次方程: Ax By C 0
思考2：所有二元一次方程都表示直线吗？
①当B≠0时，y
A B
x
x y 1 （4）已知直线 l 过点 A(3, 0), B(0, 4) ，则直线 l 方程为_____3___4________.
【发现】
（1） y 3 3(x 5) 3x y 3 5 3 0 ，
（2） y 5x 3 5x y 3 0
直线方程的五种形式及适用范围
直线方程的五种形式及适用范围
直线方程是描述一条直线的函数，一般可以用五种形式表示，它们分别是标准形式、斜截式、极坐标形式、参数形式和点斜式。
标准形式
标准形式的直线方程为：`Ax+By+C=0`，其中A、B和C是常数，A 和B不能同时为0，此种形式的直线方程适用于平面直线方程。
斜截式的直线方程为：`y=kx+b`，其中k是斜率，b是截距，此种形式的直线方程适用于斜率不为零的平面直线方程。
极坐标形式
极坐标形式的直线方程为：`r=a+bsinθ`或`r=a+bcosθ`，其中a、b 和θ是常数，此种形式的直线方程适用于极坐标系中的圆弧及半圆。
参数形式
参数形式的直线方程为：`x=at+b`或`y=at+b`，其中a、b和t是常数，此种形式的直线方程适用于直线上的任一点的参数方程，即参数曲线的一种特殊情况。
点斜式的直线方程为：`(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)`，其中
x1、x2、y1、y2是两点的坐标，此种形式的直线方程适用于任意两点的连线方程。
总之，上述五种形式的直线方程各有不同的适用范围，应根据实际情况选择最合适的形式来描述一条直线。
直线方程的一般式
直线一般式方程
直线一般式方程直线一般式方程是大学数学中的重要概念，它的学习有助于解决一些关于坐标轴的问题，使我们更加深入地了解几何图形的性质。
一、直线一般式方程的定义直线一般式方程是一种数学表达式，用来表示一条直线的位置。
它提供了一种通用的方法来图解直线，提供了一种可以描述直线的参数形式。
它以 ax + by + c =0 的形式表示，其中a、b、c是常数，x和y是坐标。
二、直线一般式方程的基本概念1.文字直线：斜率是常数的函数，它的一般式方程为y= kx + b，其中k是斜率，b是y轴截距。
2.垂直于直线的直线：垂直于直线的函数，它的一般式方程为x= c，其中c是直线上的某一点。
3.水平线直线：水平于x轴的函数，它的一般式方程为y= c，其中c是x轴上的某一点。
4.直线的经验方程：给定两点(x1, y1)和(x2, y2)，其一般式方程为：y=(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)+y1;三、直线一般式方程的应用1.确定直线的位置：通过一般式方程可以得出直线的位置，由此可以得出直线的斜率和截距，从而判断直线的类型。
2.直线的平行和垂直检测：由于直线一般式方程可以求得直线的斜率，因此可以用斜率的大小进行直线的平行和垂直检测。
3.求交点：由于知道直线的斜率和截距，可以求解两条直线的交点。
4.求曲线：如果两条曲线都是由直线一般式方程表示的，那么可以使用这种方法来求曲线的解。
四、直线一般式方程的求解1.确定两点：首先要确定直线上两点的坐标，记作(x1,y1)和(x2,y2)。
2.计算斜率：假设某条直线的斜率为k，则该直线的一般式方程表示为y=kx+b，其中k的值可以通过求斜率的公式来求得。
3.计算截距：截距b的值可以通过公式b=y1-kx1来求得，其中(x1,y1)是直线上的一点。
4.求出一般式方程：有了斜率和截距之后就可以将其代入一般式方程y=kx+b中求出直线的一般式方程。
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§1.2.2直线方程的一般式及应用
班级姓名组号分值
学法指导：
1、利用10分钟阅读教材65~67页，并完成本节导学案的预习案，
2、认真限时完成，规范书写，课上小组合作探究，答疑解惑。
学习目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线方程的一般式0=++C By Ax （,A B 不同时为）理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于,x y 的二元一次方程；②关于,x y 的二元一次方程的图形是直线．
（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化．
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题。
体会坐标法的数形结合思想。
3、情态态度与价值观
认识事物之间普遍联系与相互转化,用联系的观点看问题,感受数学文化的价值和底蕴。
学习重、难点：
1、重点：直线方程的一般式及各种形式之间的互相转化和数形结合思想的应用。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用，灵活应用直线的各种形式方程。
【预习案】
（一）直线方程的一般式：
在平面直角坐标系中，直线可分为两类：一类是与轴不垂直的；另一类是与轴垂直的，它们的方程可以分别写为直线y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）的形式，我们把形如关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）称为直线方程的一般形式。
（二）直线和二元一次方程的对应关系：
在平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y 的二元一次方程来表示，反过来，每一个关于,x y 的二元一次方程都表示直线。
事实上，对于任意一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）：
当0B ≠时，可变为A C y x B B =-
-，它表示一条与轴不垂直的直线，其中A B
-为直线的斜率；当0B =时，则0A ≠，所以可变为C x A =-，它表示一条与轴垂直的直线。
【结论】
1.在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用关于,x y 的二元一次方程
0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）来表示。
2.直线和二元一次方程是一一对应关系；
3.一般情况下，如果题中不作特别说明，所求直线方程都要化成一般形式。
（三）写出下列直线的方程：
1.经过点(4,0),(0,3)A B -；
2.斜率为
2
，在轴上的截距为；
3.经过点(1,2),(3,1)M N -
【我的疑问】
【探案究】
例1、把直线的斜截式方程132
y x =
+化成一般形式、截距式，求出它在,x y 轴上的截距，并画出图形。
解：化为一般形式：260.x y -+= 截距式： 1.63
x y +=-故直线在,x y 轴上的截距分别为6,3-
例2、三角形的顶点(5,0)A -、B(3,-3)、C(0,2)，求这个三角形三边所在的直线方程
解法1：（点斜式）303358AB k --=
=-+，202055AC k -==+，235033
BC k +==--，所以由直线方程的点斜式可得：直线AB 、直线AC 、直线BC 的方程分别为：3(5)8
y x =-+，2(5)5y x =+，52.3y x -=-即38150,25100,5360x y x y x y ++=-+=+-=分别为三边所在的直线方程。
解法2：（两点式）
解法3：（斜截式）
解法4：（一般式）
例3、已知直线在两坐标轴上的截距之和等于3，且与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求直线的方程。
解：设所求直线的方程为1x y a b +=，则有3122
a b ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩；所以有34a b ab +=⎧⎨=⎩或34
a b ab +=⎧⎨=-⎩， 因为前一个方程组无解，而后一个方程组解为：41a b =⎧⎨
=-⎩或14a b =-⎧⎨=⎩， 故所求直线的方程为：440x y --=或440.x y -+=
思考题：过点(1,2)P 的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于,A B 两点，当ABC ∆的面积最小时，求直线的方程。
解：设(,0),(0,)A a B b ，则直线的方程可写为1x y a b
+=，由于点(1,2)P 在直线上，
所以有，1218,ab a b =+≥≥当且仅当12a b
=，即2,4a b ==时取等号。
所以142
ABC S ab ∆=≥，此时(2,0),(0,4)A B ，点(1,2)P 恰好为线段AB 的中点。
此题能否进一步推广呢？即：若过点00(,)P x y 的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于,A B 两点，当ABC ∆的面积最小时，点00(,)P x y 也为线段AB 的中点吗？
（课下探究）
【训练案】
1． 直线b ax y +=（b a +＝0，0ab ≠）的图象可能是 （ D ）
2. 已知直线0Ax By C ++=（A,B 不同时为0）过第一、二、三象限，则（ （Ⅳ） ） （Ⅰ）0,0AB BC >>（Ⅱ）0,0AB BC ><（Ⅲ）0,0AB BC <>（Ⅳ）0,0AB BC <<
3．直线(4)y k x =-必过定点________________（4,0）；当0A B C ++=时，直线0Ax By C ++=必通过定点____________。
（1,1）
4．已知实数,x y 满足关系：222(11).y x x x =-+-≤≤试求：
32
y x ++最大值和最小值
（学有余力同学课下探究）。
小结：
反思：。