直线方程的综合应用
高中数学 必修二 2.3.3.6直线方程的综合应用(1)教案 新人教A版必修2
课题：2.3.3.6直线的综合应用(1)教学过程：一、知识回顾1、倾斜角、斜率等概念2、直线方程的各种形式3、两直线的位置关系4、距离公式二、课前练习1、直线053=++y x 的倾斜角是( )（A ）30° （B ）120° （C ）60° （D ）150°2、直线x-2y-2k=0与2x-3y-k=0的交点在直线3x-y=0上，则k 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）03、两直线3x+2y+m=0和（m 2+1）x-3y-3m=0的位置关系是（ ）(A)平行 (B)相交 (C)重合 (D)视M 而定4、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是5．下列说法正确的是（A ）若直线l 1与l 2的斜率相等，则l 1//l 2（B ）若直线l 1//l 2，则l 1与l 2的斜率相等（C ）若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交（D ）若直线l 1与l 2的斜率都不存在，则l 1//l 26．下列说法中不正确的是（A ）点斜式y –y 1=k (x –x 1)适用于不垂直于x 轴的任何直线（B ）斜截式y =kx +b 适用于不垂直于x 轴的任何直线（C ）两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线 （D ）截距式1x y a b +=适用于不过原点的任何直线7．下列四个命题中，真命题的个数是①经过定点P 0(x 0, y 0)的直线，都可以用方程y –y 0=k (x –x 0)来表示②经过任意两点的直线，都可以用方程(y –y 1)(x 2–x 1)=(x –x 1)(y 2–y 1)来表示 ③不经过原点的直线，都可以用方程1x y a b+=来表示 ④经过点A (0, b )的直线，都可以用方程y =kx +b 来表示（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）4个8．经过点(–3, –2)，在两坐标轴上截距相等的直线的方程为9．直线bx +ay =1在x 轴上的截距是（A ）1b（B ）b （C ）1||b （D ）|b | 10．两条直线l 1: y =kx +b , l 2: y =bx +k ( k >0, b >0, k ≠b )的图象是下图中的（A ）（B ） （C ） （D ）三、例题分析例1．等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x +3y –6=0上，顶点A 的坐标是(1, –2)，求边AB , AC 所在的直线方程.例2．光线沿直线l 1: x –2y +5=0的方向入射到直线l : 3x –2y +7=0上后反射出去，求反射光线l 2所在的直线方程.例3．求函数y例4．已知直线L 过点M( 1 , 2 )，求L 的方程（1）与坐标轴在第一象限所围成之三角形面积最小；（2）a 、b 分别为x 轴、y 轴上的截距，a+b 最小；（3）L 在x 轴、y 轴上的交点分别为A 、B ，|MA||MB|最小。
【精品】高中数学 必修2_直线的一般式方程及综合 讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础
直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+． （2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】 （1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0． （6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0． 【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】 所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示． 【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。
直线的方程(解析版)
第6讲直线的方程新课标要求根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。
知识梳理1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系3.2.1 直线的点斜式方程名师导学【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝3； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C (－1，2)，且与y 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)． 【分析】求直线的点斜式方程的思路【解答】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3[x －(－4)]．(2)由题意知，直线的斜率k ＝tan 135°＝－1，故所求直线的方程为y －4＝－(x ＋1)．(3)∵直线与y 轴平行，斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示，由于直线上所有点的横坐标都是－1， 故这条直线的方程为x ＝－1. (4)∵直线过点D (2，1)和E (3，－4)， ∴斜率k ＝－4－13－2＝－5.由点斜式得y －1＝－5(x －2)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．【解析】 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y －5＝4(x －2)； (2)∵直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y －3＝x －2； (3)y ＝－1.【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3. 【分析】直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y 轴上的截距，代入方程即可． (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜截式方程．【解答】 (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直线方程为y ＝2x ＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33. 由斜截式可得方程为y ＝－33x －2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k ＝tan 60°＝ 3.∵直线与y 轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y 轴上的截距b ＝3或b ＝－3. ∴所求直线方程为y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2.【解析】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y ＝3x －3. (2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2)． ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.【例3-1】（新华区校级期末）(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？【分析】在解决有关直线位置关系的问题时，常常用到数形结合思想和待定系数法．数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法．而待定系数法是解析几何中求直线方程或其他曲线方程的重要方法．【解答】(1)∵l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1， 又2a ≠2，解得a ＝－1.(2)∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.【变式训练3-1】（黄冈期末）求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． 【证明】 法一 直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 法二 直线l 的方程可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2，3)． ∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5? 【解析】 假设存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5.由题意可知，直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y ＋4＝k (x ＋5)，则分别令y ＝0，x ＝0，可得直线l 与x 轴的交点为(－5k ＋4k ，0)，与y 轴的交点为(0，5k －4)．因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，所以12|－5k ＋4k |·|5k －4|＝5，所以－5k ＋4k ·(5k －4)＝±10，即25k 2－30k ＋16＝0(无解)或25k 2－50k ＋16＝0，所以k ＝85或k ＝25，所以存在直线l 满足题意，直线l 的方程为y ＋4＝85(x ＋5)或y ＋4＝25(x ＋5).名师导练A 组-[应知应会]1．（宣城期末）过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=【答案】C【解析】∵直线过点()3,2且斜率为23， 由直线方程的点斜式得：22(3)3y x -=-， 整理得：230x y -=. 故选C.2．（绵阳期末）已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1【答案】C【解析】方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C. 3．（上饶期末）直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( ) A ．3，3 B ．3，－3 C ．3，3 D ．－3，－3 【答案】B【解析】由直线方程知直线斜率为3，令x ＝0可得在y 轴上的截距为y ＝－3.故选B. 4．（通州区期末）直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0【答案】 B【解析】 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.5．（龙凤区校级期末）过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 【答案】D【解析】因为所求直线与直线25y x =+垂直，所以其斜率为12k =-， 又所求直线过点()2,0， 因此，所求直线方程为：()122y x =--，即112y x =-+. 故选D.6．（南关区校级期末）已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--【答案】C 【解析】直线l 与直线21y x =-+平行，∴直线l 的斜率与21y x =-+的斜率相等，即直线l 的斜率：2k =-；又直线l 过点()2,0，则由点斜式可知直线方程为()022y x -=-- 整理可得：24y x =-+ 故选C.7．（兴庆区校级期末）直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________． 【答案】 －5【解析】 ∵令x ＝0，则y ＝－5， ∴直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是－5.8．（无锡期末）在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________． 【答案】 y ＝3x －6或y ＝－3x －6【解析】 与y 轴相交成30°角的直线方程的斜率为： k ＝tan 60°＝3，或k ＝tan 120°＝－3，∴y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是：y ＝3x －6或y ＝－3x －6.9．（金牛区校级期末）与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．【答案】 y ＝34x －3【解析】 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34.设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0，得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.10．（南岗区校级期末）斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．【答案】 y ＝34x ±3【解析】 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3.由题意得：|b |＋⎪⎪⎪⎪－43b ＋b 2＋16b 29＝12， 即|b |＋43|b |＋53|b |＝12，即4|b |＝12，∴b ＝±3， ∴所求直线方程为y ＝34x ±3.11．（金华校级月考）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是2； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.【解析】 (1)斜率k ＝tan 45°＝1，可得斜截式：y ＝x ＋2. (2)k ＝－1－10－3＝23，可得斜截式方程：y ＝23x －1.12．（洛龙区校级期末）(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的斜截式方程． 【解析】 (1)∵所求直线与直线y ＝2x ＋7平行， ∴所求直线斜率为2， 由点斜式方程可得 y －1＝2(x －1)．(2)∵所求直线与直线y ＝3x －5垂直， ∴所求直线的斜率为－13，由点斜式方程得：y ＋2＝－13(x ＋2)，即y ＝－13x －83.故所求的直线方程为y ＝－13x －83.B 组-[素养提升]1．（诸暨市校级期中）已知三角形的顶点坐标是A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程．【解析】 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－（－5）＝－38，又过点A (－5，0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x＋5)，即所求边AB 所在直线的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴边AB ，BC ，AC 所在直线的斜截式方程分别为y ＝ －38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2. 3.2.2 直线的两点式方程名师导学知识点1 直线的两点式方程【例1-1】（武侯区校级期末）已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程．【分析】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【解答】直线AB 过A (1，3)，B (－2，－1)，其两点式方程为y －3－1－3＝x －1－2－1，整理，得4x －3y ＋5＝0，这就是直线AB 的方程．直线AC 垂直于x 轴，其方程为x ＝1.直线BC 平行于x 轴，其方程为y ＝－1.【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 【答案】C【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，－1)，∴直线的两点式方程为y －（－1）1－（－1）＝x －21－2，整理得2x ＋y －3＝0，故选C.知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程． 【分析】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况． 【解答】(1)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y－a ＝1.又l 过点A (3，4)，所以3a ＋4－a ＝1，解得a ＝－1.所以直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l 过原点时，设直线l 的方程为y ＝kx ，因为l 过点A (3，4)，所以4＝k ·3，解得k ＝43，直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＋1＝0或4x －3y ＝0.【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 【解析】(1)当截距不为0时，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，又知l 过(3，4)，∴3a ＋4a ＝1，解得a ＝7， ∴直线l 的方程为x ＋y －7＝0.(2)当截距为0时，直线方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －7＝0或4x －3y ＝0. 知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【分析】(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 【解答】如图，过B (3，－3)，C (0，2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0.这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5，0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 这就是BC 边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A (4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． 【解析】当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意． 此时，直线的斜率为12，所以直线l 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.又因为过点A ，所以4a ＋2b ＝1. ①因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 所以|a |＝|b |. ② 由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2. 所以所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2， 即直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x －y －2＝0，综上，直线l 的方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.名师导练A 组-[应知应会]1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为 ( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2【解析】 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.【答案】 A2．（红桥区期中）经过P (4，0)，Q (0，－3)两点的直线方程是 ( ) A.x 4＋y3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1D.x 3－y 4＝1 【解析】 由P ，Q 两点坐标知直线在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x4－y3＝1. 【答案】 C3．（江宁区校级月考）过点P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有 ( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 当直线过原点时显然符合条件；当直线不过原点时，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，把点P (4，－3)代入方程得a ＝1.因而所求直线有2条． 【答案】 B4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为 ( ) A ．5x ＋3y －25＝0 B ．5x －3y －25＝0 C ．3x －5y －25＝0D ．5x －3y ＋25＝0【解析】 经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为： y －0－5－0＝x －52－5，整理，得5x －3y －25＝0. 故选B. 【答案】 B5．（朝阳区校级月考）已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 显然a ≠0.把直线l ：ax ＋y －2＝0化为x 2a ＋y2＝1.∵直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等， ∴2a ＝2，解得a ＝1，故选A. 【答案】 A6．（庐江县校级期末）点M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，则 ( ) A ．m ＝－3，n ＝10 B ．m ＝3，n ＝10 C ．m ＝－3，n ＝5D ．m ＝3，n ＝5【解析】 ∵M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，∴4＋62＝n ，m －92＝－3；∴n ＝5，m ＝3，故选D. 【答案】 D7．（海淀区校级期末）已知A (2，－1)，B (6，1)，则在y 轴上的截距是－3，且经过线段AB 中点的直线方程为________．【解析】 由于A (2，－1)，B (6，1)，故线段AB 中点的坐标为(4，0)， 又直线在y 轴上的截距是－3，∴直线方程为x 4－y3＝1，即3x －4y －12＝0.【答案】 3x －4y －12＝08．（红岗区校级期末）过点P (3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________． 【解析】 当直线过原点时，斜率等于2－03－0＝23，故直线的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，把P (3，2)代入直线的方程得m ＝－5， 故求得的直线方程为x ＋y －5＝0，综上，满足条件的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 【答案】 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝09．（兴庆区校级期末）求经过点A (－2，3)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 【解】 (1)当横截距、纵截距都是零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－2，3)代入y ＝kx 中，得k ＝－32，此时，直线方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.(2)当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程式为x 2a ＋ya＝1，将(－2，3)代入所设方程，解得a ＝2，此时，直线方程为x ＋2y －4＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y －4＝0或3x ＋2y ＝0.10．（城关区校级期末）求经过点A (－2，3)，B (4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．【解】 过A ，B 两点的直线的两点式方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4.点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1.B 组-[素养提升]1．（鼓楼区校级期末）两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )【解析】 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1的位置，判断a ，b 的正负，从而确定l 2的位置，知A 项符合． 【答案】 A2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【解析】 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.【答案】 D3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．【解析】 设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d4，∴6＝12×|－d 3|×|－d 4|＝d 224，∴d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3.【答案】 3或－34．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 【解析】 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取得最大值3. 【答案】 35．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程． 【解】 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22，BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32.因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，得x 0＝－5.又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.所以C (－5，－3)． (2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1，0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.3.2.3 直线的一般式方程名师导学知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【分析】(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．【解答】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项．又y ＝－43x ＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B 项满足要求． (2)令y ＝0，则x ＝－3 3.【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3(x －5)，化为一般式为：3x －y ＋3－53＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y ＝4x －2，化为一般式为：4x －y －2＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1）.化为一般式方程为：2x ＋y －3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x －3＋y－1＝1，化成一般式方程为：x ＋3y ＋3＝0.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【解析】(1)若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3，所以m ≠－3时，方程表示一条直线． (2)因为已知直线的倾斜角为45°， 所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－（m 2－m ），解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1.因为已知直线在x 轴上的截距为1， 令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3，所以4m －12m 2＋m －3＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3，解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直． 【解析】l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.法一 (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1，3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1，3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0. 将(－1，3)代入上式得n ＝13. ∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【解析】 由题意可设所求的方程为2x －y ＋c ＝0(c ≠2)， 代入已知点(2，1)，可得4－1＋c ＝0，即c ＝－3， 故所求直线的方程为：2x －y －3＝0，故选A. 【答案】 A【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．【解析】 直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0，分别化为：y ＝－a ＋13x －23，y ＝－12x －12.若l 1∥l 2，则－a ＋13＝－12，解得a ＝12.若l 1⊥l 2，则－a ＋13×(－12)＝－1，解得a ＝－7.【答案】 12－7名师导练A 组-[应知应会]1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【解析】 由题意可把ax ＋by ＝c 化为y ＝－a b x ＋c b .∵ab <0，bc ＜0，∴直线的斜率k ＝－ab >0，直线在y 轴上的截距cb<0.由此可知直线通过第一、三、四象限． 【答案】 C2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0【解析】 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1，0)．故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.【答案】 A3．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－12【解析】 由两直线垂直，得1×2＋(－2)m ＝0，解得m ＝1. 【答案】 B4．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )【解析】 将l 1与l 2的方程化为斜截式得： y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C. 【答案】 C5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．－3D ．3 【解析】∵直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，当m 2＝4时，与题意不符，∴2m 2－5m ＋2m 2－4＝tan 45°＝1，解得m ＝3或m ＝2(舍去)． 故选D. 【答案】 D6．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 【解析】 ∵直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0分别化为y ＝－a 2x －12，y ＝－x ＋2，则－a2＝－1，解得a ＝2. 【答案】 27．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 【解析】 因为两条直线垂直，直线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，所以过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线的斜率4－m m ＋2＝－12，解得m ＝2.【答案】 28．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．【解析】 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求． 【答案】 2x ＋3y ＋4＝09．（和平区校级期中）若方程(m 2－3m ＋2)x ＋(m －2)y －2m ＋5＝0表示直线． (1)求实数m 需满足的条件；(2)若该直线的斜率k ＝1，求实数m 的值．【解】 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2≠0，m －2≠0，解得m ≠2.(2)由题意知，m ≠2，由－m 2－3m ＋2m －2＝1，解得m ＝0. 10．（如东县期中）(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？【解】 法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.B 组-[素养提升]1．（昌江区校级期末）若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3能构成三角形，则a 满足的条件是________．【解析】 由直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都过(0，0)点，而x ＋ay ＝3不过(0，0)点，故只需满足x ＋ay ＝3不与x ＋y ＝0与x －y ＝0平行即可，故a ≠±1.【答案】 a ≠±12．（河南校级月考）已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)【证明】 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．(2)【解】 当a ＝0时，直线l 的方程为5y －3＝0，不符合题意，故要使l 不经过第二象限，需a >0且l 在y 轴上的截距不大于零，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a －35≤0，∴a ≥3. 3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A (8，－6)，B (2，2)．(1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．【解】 (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2， 所以AB 的中点坐标为(5，－2)．因为k AB ＝－6－28－2＝－43， 所以AB 的中垂线的斜率为34， 故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5) 即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43， 所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)， 即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2，2)关于直线l 的对称点为B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′(－145，－85)，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127， 所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。
直线的方程-高中数学总复习课件
0），且与以 A （2，1）， B （0， 3 ）为端点的线段有公共点，则直
线 l 的斜率的取值范围为 （－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞） .
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高中总复习·数学
解析：设直线 PA 与 PB 的倾斜角分别为α，β，直线 PA
的斜率是 kPA ＝1，直线 PB 的斜率是 kPB ＝－ 3 ，当直
线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角
图形，结合正切函数的单调性求解；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，
反之亦可.
提醒
π
π
根据斜率求倾斜角的范围时，要分［0， ）与（ ，π）
2
2
两种情况讨论.
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高中总复习·数学
1. 直线 x sin α＋ y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是（
）
A. [0，π）
解析： 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－ sin α.因为 sin α∈[－
+ 2 = 0，
＝ − 2，
0，令ቊ
解得 ቊ
1 − = 0，
= 1.
∴无论 k 取何值，直线总经过定点（－2，1）.
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高中总复习·数学
（2）若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围；
D. k 1＜ k 3＜ k 2
解析：
因为直线 l 2， l 3的倾斜角为锐角，且直线 l 2的倾斜角大
于直线 l 3的倾斜角，所以0＜ k 3＜ k 2.直线 l 1的倾斜角为钝角，斜率 k
1＜0，所以 k 1＜ k 3＜ k 2.
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高中总复习·数学
直线的方程
【例2】 （1）（多选）（2024·临沂模拟）过点（－3，1）且在两
直线方程的综合应用
例6、某房地产公司要荒地ABCDE上划出 一块长方形地面（不改变方位）进行开
发，问如何设计才能使开发面积最大？ 并求出最大面积。（已知BC=210， CD=240，DE=300，EA=180）
E
D
A P
(6)求过点(2,1)和点(a,2)的直线方程. x (a 2) y a 4 0
(7)试写出经过P(2,1),Q(6,-2)两点的直线的两点式，点斜式， 一般式，截距式，斜截式方程。
例1：过点A（3，0）作直线l ，使它被两条相交直
线2x－y－2＝0和x＋y＋3＝0所截得的线段恰好被 点A平分，求直线l的方程。
1、两点间的距离公式
P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2,中点坐标公式
x0
y0
x1 x2
2 y1 y2
2
3.点到直线的距离公式： d
Ax0 By0 C A2 B2
两平行直线间的距离公式：d C1 C2
A2 B2
课前练习
1、直线9x－4y=36的纵截距为（ B ）
B
A
x
C
例4：⑴已知A(2，0)，B(－2，－2)，在直线L：x＋y－3 = 0上求 一点P使PA+ PB 最小.
⑵直线l：y=2x＋3，A（3，4），B（11，0），在l上找一点P， 使P到A、B距离之差最大.
y P
PA=PA，
B
PA+ PB= PA， + PB
P A，
x A
例5： (1)已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2,－3),B(3,0)为端点
高中数学 2.3.3.7直线方程的综合应用(2)教案数学教案
课题：2.3.3.6直线方程的综合应用(2)课 型：习题课教学目标：进一步加深掌握直线知识，并能灵活运用知识解决有关问题教学重点：直线方程的综合运用教学难点：解决问题的方法与策略教学过程：一、知识练习1. 已知点A(1，2)、B （3，1），线段AB 的垂直平分线的方程是(A). 524=+y x (B). 524=-y x(C). 52=+y x (D). 52=-y x2. 已知点(a,2)（a>0）到直线l ：x-y+3=0的距离为1，则a 等于 (A).2 (B). 22- (C).12- (D). 1+23. 直线()323=+-y x 和直线2)32(=-+y x 的位置关系是(A).相交但不垂直 (B).垂直 (C). 平行 (D).重合4. 直线1=y 与直线33+=x y 的夹角为(A).︒30 (B).︒60 (C).︒90 (D).︒455．过点M (2, 1)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为（A ）2x –y –3=0 （B ）2x +y –5=0 （C ）x +2y –4=0 （D ）x –2y +3=06．点P (a +b , ab )在第二象限内，则bx +ay –ab =0直线不经过的象限是（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限7．被两条直线21x –y =1, y =–x –3截得的线段的中点是P (0, 3)的直线l 的方程为 .8．直线l 1：3x +4y –12=0与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，过P (1,0)点作直线l 平分△AOB 的面积，则直线l 的方程是 .二、例题分析例1．已知定点)5,2(-A ，动点B 在直线032=+-y x 上运动，当线段AB 最短时，求B 的坐标.解：如图。
易知当AB时，AB 的长度最短。
直线032=+-y x 的斜率2=k∴AB 的斜率21-=AB k AB 的斜率的方程为：B 的坐标为)513,514(-- 例2．已知直线l 过点P (3, 2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，（1）求△ABO 的面积的最小值及其这时的直线l 的方程；（2）求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解60---直线的方程
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第60讲直线的方程考向预测核心素养直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识；二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查.直观想象、数学运算一、知识梳理1．直线的方向向量设A，B是直线上的两点，则AB→就是这条直线的方向向量．2．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．3．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1．4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系α00<α<π2π2π2<α<πk 0k>0不存在k<0 2.识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0.(2)y轴：x＝0.(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.二、教材衍化1．(人A选择性必修第一册P58习题2.1 T7改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A．1 B.4C.1或3D.1或4答案：A2．(人A选择性必修第一册P60例1改编)经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为________．答案：x－y－5＝03．(人A选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．( )答案：(1)×(2)×(3)×二、易错纠偏1．(多选)(不理解倾斜角和斜率致误)下列说法正确的是( )A．有的直线斜率不存在B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan αC．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为3π4D．截距可以为负值答案：ABD2．(不理解直线位置关系致误)如果AB＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )A．第一象限 B.第二象限C．第三象限 D.第四象限答案：D3．(搞混倾斜角和斜率关系致误)若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈[π6，π4)∪[2π3，π)，则k的取值范围是________．解析：当α∈[π6，π4)时，k ＝tan α∈[33，1)； 当α∈[2π3，π)时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上可得k ∈[－3，0)∪[33，1)． 答案：[－3，0)∪[33，1)考点一 直线的倾斜角与斜率(思维发散)复习指导：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(2)已知点A (1，3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( )A ．k ≥12B.k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2 D.－2≤k ≤12【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α. 因为sin α∈[－1，1]， 所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B. (2)直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2，1)， 因为k PA ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12， 又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交， 所以－2≤k ≤12.【答案】 (1)B (2)D本例(2)直线l 改为y ＝kx ，若l 与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是________________．解析：直线l 过定点P (0，0)， 所以k PA ＝3，k PB ＝12，所以k ≥3或k ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[3，＋∞)(1)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率；②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(2)倾斜角及斜率取值范围的两种求法①数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；②函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．|跟踪训练|1．已知直线方程为x cos 300°＋y sin 300°＝3，则直线的倾斜角为( ) A ．60° B.60°或300° C ．30°D.30°或330°解析：选C.直线的斜率为k ＝－cos 300°sin 300°＝－cos （360°－60°）sin （360°－60°）＝－cos （－60°）sin （－60°）＝cos 60°sin 60°＝33.因为直线倾斜角的范围为[0°，180°)， 所以倾斜角为30°，故选C.2．直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 答案：(]－∞，－3∪[)1，＋∞考点二 直线的方程(自主练透)复习指导：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式、斜截式、截距式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．1．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1，2)，B (3，6)，C (5，2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0 B.2x －y －12＝0 C ．2x ＋y －8＝0D.2x －y ＋8＝0解析：选C.由题知M (2，4)，N (3，2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.2．(多选)(链接常用结论2)下列命题正确的有( ) A ．直线斜率是关于直线倾斜角的增函数 B ．方程x ＝ty ＋m 可以表示垂直于x 轴的直线C ．直线过不同的两点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1可以表示平行于x ，y 轴和经过坐标原点的直线D ．直线方程bx ＋ay ＝ab 不能表示平行于x ，y 轴的直线 解析：选BCD.倾斜角0≤α<π，斜率k ＝tan α(α≠π2)，由正切函数的单调性知直线斜率不是关于直线倾斜角的增函数，故A 错误；方程x ＝ty ＋m 中t ＝0时，表示直线x ＝m ，故B 正确；当x 2－x 1＝0时，方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1为()y 2－y 1()x －x 1＝0， 当y 2－y 1＝0时，方程()x 2－x 1()y －y 1＝()y 2－y 1()x －x 1为()x 2－x 1()y －y 1＝0， 当x ＝0，y ＝0时，代入方程可得－y 1()x 2－x 1＝－x 1()y 2－y 1成立， 故方程可以表示平行于x ，y 轴和经过坐标原点的直线，故C 正确；当a ＝0，b ≠0时，方程为bx ＝0，当b ＝0，a ≠0时，方程为ay ＝0不能表示平行于x ，y 轴的直线，故D 正确．3．经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为________． 解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝04．经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2)的直线方程为________________．解析：联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，所以直线过点(1，1)，因为直线的方向向量v ＝(－3，2)， 所以直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0. 答案：2x ＋3y －5＝0巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况； (2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在x 轴、y 轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x 轴、y 轴上的截距为0的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．[注意] (1)当已知直线经过点(a ，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x ＝my ＋a ；(2)当已知直线经过点(0，a )，且斜率存在时，可将直线方程设为y ＝kx ＋a ； (3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y ＝kx .考点三 直线方程的综合应用(思维发散)复习指导：求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数单调性求解最值．(一题多解)已知直线l 过点M (2，1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．【解】 方法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋（－4k ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二：设直线l ：x a ＋y b ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2，1)，所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab ，故ab ≥8，故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.1．在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b＝3＋a b ＋2ba≥3＋22， 当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2. 2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：方法一：由本例方法一知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )(k ＜0)． 所以|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝21＋k 2|k |＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－k ）＋1（－k ）≥4. 当且仅当－k ＝－1k，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二：由本例方法二知A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，2a ＋1b＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．|跟踪训练|已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.所以无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2，1)． (2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)由题意可知k ≠0，再由直线l 的方程， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )． 依题意得⎩⎨⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， 当k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.[A 基础达标]1．(2022·北京市昌平区期中)已知点A ()2，－3，B ()－3，－2，直线l ：mx ＋y －m －1＝0与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－4或m ≥34B.m ≤－34或m ≥4C ．－4≤m ≤34D.－34≤m ≤4解析：选B.直线l ：mx ＋y －m －1＝0过定点P ()1，1， 由mx ＋y －m －1＝0可得y ＝－m ()x －1＋1， 作出图象如图所示：k PA ＝－3－12－1＝－4，k PB ＝－2－1－3－1＝34， 若直线l 与线段AB 相交，则－m ≥34或－m ≤－4，解得m ≤－34或m ≥4，所以实数m 的取值范围是m ≤－34或m ≥4.2．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0 解析：选A.由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a＝1± 2.3．(2022·江西省抚州检测)已知k ＋b ＝0，k ≠0，则直线y ＝kx ＋b 的位置可能是( )解析：选B.因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即b ＝－k ，所以y ＝kx －k ＝k (x －1)，令y ＝0，得x ＝1，所以直线与x 轴的交点坐标为(1，0)．只有选项B 中的图象符合要求．4．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2·|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．5．(多选)(2022·昌平一中期中考试改编)直线l 过点P (2，－1)且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0 B.2x ＋y －3＝0 C ．x ＋2y ＝0D.x ＋y －1＝0解析：选AC.当直线l 过原点时，直线l 的方程为y ＝－12x ⇒x ＋2y ＝0符合题意． 当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x a ＋y－a＝1，将P 点坐标代入得2a ＋1a ＝1⇒a ＝3，x 3－y3＝1⇒x －y －3＝0.所以直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x －y －3＝0.6．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是________．解析：已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点(1，3)逆时针旋转15°后，得到的直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，所以直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .答案：y ＝3x7．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC ，O ()0，0，A ()2，0，C ()0，1，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围是________．解析：如图，要想使折叠后O 点落在线段BC 上，可取BC 上任意一点D ， 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合， 因为k OD ≥k OB ＝12，所以k ＝－1k OD≥－2，且k <0.又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0， 所以－2≤k ≤0，所以k 的取值范围是[]－2，0. 答案：[－2，0]8．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝________．解析：因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5. 直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1. 答案：5 19．已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点．(1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． 解：如图，由题意，知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又直线PB 的倾斜角是45°，直线PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.10．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点， 所以BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC 边的垂直平分线DE 经过BC 的中点(0，2)， 所以所求直线方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.[B 综合应用]11．(多选)下列说法正确的是( )A ．截距相等的直线都可以用方程x a ＋y a＝1表示 B ．方程x ＋my －2＝0(m ∈R )能表示平行于y 轴的直线C ．经过点P (1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y －1＝tan θ(x －1)D ．经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0解析：选BD.对于A ，若直线过原点，横纵截距都为0，则不能用方程x a ＋y a＝1表示，所以A 不正确；对于B ，当m ＝0时，平行于y 轴的直线方程为x ＝2，所以B 正确；对于C ，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y －1＝tan θ(x －1)表示，所以C 不正确；对于D ，设点P (x ，y )是经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线上的任意一点，则根据P 1P 2→∥P 1P →可得(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0，所以D 正确，故选BD.12．(2022·东北三省三校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( )A ．[－1，－12]B.[－1，0] C ．[0，1]D.[12，1] 解析：选A.由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2. 因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，解得－1≤x 0≤－12.13．(2022·江西九江模拟)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为_______________________________________________________．解析：设C (x 0，y 0)， 则M (5＋x 02，y 0－22)，N (7＋x 02，3＋y 02)．因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5. 因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M (0，－52)，N (1，0)，所以直线MN 的方程为x1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.答案：5x －2y －5＝014．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当a ＝________时，四边形的面积最小，最小值为________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋154，故当a ＝12时，四边形的面积最小，最小值为154.答案：12154[C 素养提升]15．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为________．解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0，4)，B (3，0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P (x ，y )(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y 4≥2x 3·y 4， 当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3. 答案：3 16.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎨⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，（m －0）·（－3n －1）＝（n －0）·（m －1），解得m＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB＝k AP＝33－1＝3＋32，所以l AB：y＝3＋32(x－1)，即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.。
高中数学例题：直线方程的综合应用
高中数学例题：直线方程的综合应用例6．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），分别求BC 边上的高和中线所在的直线方程．【答案】3x －5y+15=0 x+13y+5=0【解析】 BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC 的中点坐标，由两点式得BC 边上的中线所在的直线方程．设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴1BC AD k k ⋅=-，∴23103AD k +⋅=--，解得35AD k =， ∴BC 边上的高所在的直线方程是30(5)5y x -=+，即3x －5y+15=0． 设BC 的中点是M ，则31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴BC 边上的中线所在直线方程是05130522y x -+=--+，即x+13y+5=0． ∴BC 边上的高所在的直线方程是3x －5y+15=0，BC 边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．【点评】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC 边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC 边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式． 举一反三：【变式1】下列四个命题中真命题是( )（A ）经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0＝k(x-x 0)表示；（B ）经过任意两个不同点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)＝(x-x 1)(y 2-y 1)表示；（C ）不经过原点的直线都可以用方程a x +by ＝1表示；（D ）经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx+b 表示.【答案】（B ）【变式2】 已知倾斜角为45°的直线l 过点A （1，－2）和点B ，B在第一象限，||AB =，求点B 的坐标．【答案】（4，1）【解析】设B 点坐标为(),(0,0)x y x y >>，直线l 的方程为：21y x +=-，因为B 在直线l上，且||AB =，所以3y x =-⎧=，解之得：4x =或2x =-（舍去），所以B 点坐标为（4，1）。
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例5： (1)已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2,－3),B(3,0)为端
y
0
，
B A x
C
例4：⑴已知A(2，0)，B(－2，－2)，在直线L：x＋y－3 = 0上求 一点P使PA+ PB 最小. ⑵直线l：y=2x＋3，A（3，4），B（11，0），在l上找一点P， 使P到A、B距离之差最大. y ， PA=PA P B P A PA+ PB= PA， + PB A， x
件有哪些？ 由直线上一点和直线的方向确定，而直线 的方向由斜率（倾斜角不是直角）确定， 这便是点斜式的由来，斜截式是点斜式的 特例。
问题2：直线方程归纳
名 称 已 知 条 件 标准方程 适用范围
不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线
点斜式 点P 1 ( x0，y0 )和斜率k y y0 k ( x x0 ) 斜截式 斜率k和y轴上的截距 两点式 截距式
两平行直线间的距离公式： d
C1 C2 A B
2 2
课前练习
1、直线9x－4y=36的纵截距为（ B ）
3 2
4 y L (A)9 (B)－9 (C) －4 (D) 9 2、如图，直线的斜率分别为k1、k2、k3， L 则（A ） O （A）k1<k2<k3 （B）k3<k1<k2 x L （C）k3<k2< k1 （D）k1< k3< k2 3、过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条 数有（ C ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4、设Ａ、Ｂ是x轴上的两点，点Ｐ的横坐标为２，且|ＰＡ|＝|ＰＢ|， 若直线ＰＡ的方程为x－y＋1=0，则直线ＰＢ的方程是（ A ） (Ａ)x＋y－5=0 (B)2x－y－1=0 (C)x－2y＋4=0 (D)2x＋y－7=0
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；
2x-y+5=0
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；
x+y-1=0或3x+2y=0
(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；
.
4x+y-6=0或3x+2y-7=0
3x y 0 或 x y 4 0
3x-y-6=0 。 7、求直线3x-y-4=0关于点P(2,1)对称的直线l的方程为___________
A,
总结：四类对称关系。
例3：在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程 为 x 2 y 1 0，∠A的平分线所在直线的方程为 y 若点B的坐标为（1，2），求点 A和点 C的坐标．
问题5:关于距离的公式
1、两点间的距离公式
2 2 P P ( x x ) ( y y ) 1 2 2 1 2 1
2,中点坐标公式
x1 x2 x0 2 y1 y 2 y0 2
3.点到直线的距离公式： d
Ax0 By0 C A B
2 2
y kx b
y y1 x x1 不垂直于x、y轴的直线 点P ，y1 )和点P2 ( x2，y2 ) 1 ( x1 y2 y1 x2 x1
在x轴上的截距a 在y轴上的截距b
x y 1 a b
不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线
一般式 两个独立的条件
Ax By C 0 A、B不同时为零
解法一：待定系数法 1.若直线斜率不存在； 2.若直线斜率存在； 解法二：设A、B两点坐标 O A x y
C
例2：如图，已知正方形ABCD的中心为E(-1,0)， 一边AB所在的直线方程为x-3y-5=0，求其他各边 所在的直线方程。 y
C D x E B A
(3,-6) 。 6、已知点A(5,8),B(4,1)，则A点关于B点的对称点为__________
A1B2 A2 B1 0 A1B2 A2 B1 0 A1 A2 B1B2 0
问题4:直线的交点个数与直线位置的关系
方程组： A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0的解 两条直线L1,L2的公共点
一组 无数解
无解
一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系
相交 重合 平行
问题3:判断两条直线的位置关系
l1:y=k1x+b1 l2:Y=K2x+b2 （K1,k2均存在）
l1:A1X+B1Y+C1=0 l2:A2X+B2Y+C2=0 （A1、B1 , A2 、 B2 均不同时为0）
平行 重合 相交 垂直
K1=K2且b1≠b2 K1=K2且b1=b2 K1≠K2 K1k2=-1
8、点 A(0,1)和B(2, 0)关于直线l对称，则l的方程为 （B） 2x 4 y 3 0 D 4x 2 y 3 0 2 x 4 y 3 0 B、4 x 2 y 3 0 C、 A、 9、光线通过点A（2，3），经直线x＋y＋1＝0反射，其反射光线通 过点B（1，1），求入射光线和反射光线所在的直线方程。 y 10、设入射光线沿直线 A y=2x+1 射向直线 y=x, 则被y=x 反射后,反 射光线所在的直线方程是( A ) A．x-2y-1=0 BB ．x-2y+1=0 C．3x-2y+1=0 D．x+2y+3=0 x
1
5、如果直线mx＋y－n=0与x＋my－1=0平行，则有（ D ） (A)m=1 (B)m=±1 (C)m=1且n≠－1 (D)m=－1且n≠-1或者m=1且n≠1
常见题型
• 确定直线方程 • 对称问题 • 范围与最值
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
(5) 经过点N(-1,3)且在轴的截距与它在y轴上的截距的和为零. (6)求过点(2,1)和点(a,2)的直线方程. x (a 2) y a 4 0 (7)试写出经过P(2,1),Q(6,-2)两点的直线的两点式，点斜式， 一般式，截距式，斜截式方程。
例1：过点A（3，0）作直线l ，使它被两条相交直 线2x－y－2＝0和x＋y＋3＝0所截得的线段恰好被 B 点A平分，求直线l的方程。