等腰三角形练习题-2
EDCABF等腰三角形一、选择题 练习题一1．等腰三角形的对称轴是（ ）A ．顶角的平分线B ．底边上的高C ．底边上的中线D ．底边上的高所在的直线2．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） ；A ．100°B ．100°或40°C ．40°D ．80°5．如图，C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF ，若∠A=18°，则∠GEF 的度数是（ ）A ．80°B ．90°C ．100°D ．108°EDCAHFG二、填空题6．等腰△ABC 的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．8．等腰三角形的顶角是n °，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________． 9．如图，△ABC 中AB=AC ，EB=BD=DC=CF ，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC 中，AB=AC ．点D 在BC 边上 *（1）∵AD 平分∠BAC ，∴_______=________；________⊥_________； （2）∵AD 是中线，∴∠________=∠________；________⊥________； （3）∵AD ⊥BC ，∴∠________=∠_______；_______=_______． 三、解答题11．已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，若△ABC 、△ABD 的周长分别是20cm 和16cm ，•求AD 的长．:求证：PD=PE.12．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，求证：∠ABC=∠ADC.DCAB四、探究题14．如图，CD 是△ABC 的中线，且CD=12AB ，你知道∠ACB 的度数是多少吗由此你能得到一个什么结论请叙述出来与你的同伴交流．DCAB一、选择题(第二课时)1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（ ）A ．3cmB ．4cmC ．D ．2cm}D C A BE D ABFEDCABH（1） (2) (3)2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和；④BF=CF ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①②③④ C ．①② D ．①下列结论中不正确的是（ ）A ．∠ACD=∠B B ．CH=CE=EFC ．CH=HD D ．AC=AF 二、填空题5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________． :6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，•则△ABC•的边一定满足________．7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE•∥BC ，•则AD=________．8．一灯塔P 在小岛A 的北偏西25°，从小岛A 沿正北方向前进30海里后到达小岛，•此时测得灯塔P 在北偏西50°方向，则P 与小岛B 相距________． 三、解答题9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ，求证：BF=CF ．`10．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，•求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF四、探究题11．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ， 求证：AE=BE ．E DA B FEDCABF一、选择题等边三角形练习题 《1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF•的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形ED CAF21EDCA B4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm ·5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 二、填空题6．△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．7．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______． 三、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD•的夹角是多少度、11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.D CAB12．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE•都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；③判断△CFH•的形状并说明理由．EDCAHF【四、探究题13．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接CE ）EDCA…练习一，答案:1．D 2．B 3．A 4．C 5．B 6．607．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合：8．（90+ 12n）°9．70°10．略11．6cm12．连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．∴∠ABC=∠ADC 13．连接AP，证明AP平分∠BAC．14．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形二答案:1．A 2．C 3．A 4．C 5．1 6．AB=AC 7．2cm 8．30海里9．连接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC 10．证明∠D=∠BED】11．证明∠EAD=∠EDA，∠EBD=∠EDB分别得到AE=DE，BE=DE三答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．60°7．60°8．三；三边的垂直平分线9．1cm 10．60°或120°11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt△ADC中CD=•2AD，•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；②证明△BCF≌△ACH；③△CFH是等边三角形．13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE•≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°。
等腰三角形的判定练习题
等腰三角形的判定练习题等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
判定一个三角形是否是等腰三角形有多种方法，下面将介绍几个常用的练习题，帮助读者加深对等腰三角形的判定方法的理解。
练习题1：判定三角形的三边是否相等判定一个三角形是否是等腰三角形的最基本方法就是判断三边是否相等。
请读者根据给定的三条边，判断哪些是等腰三角形。
请注意，给定的三条边是任意长度的实数。
练习题2：判定三角形的两个角是否相等判定一个三角形是否是等腰三角形的另一种方法是判断两个角是否相等。
在等腰三角形中，两个底边的对角是相等的。
给定一个三角形的三个角度，请读者判断哪些是等腰三角形。
请注意，给定的角度是任意度数的实数。
练习题3：结合两种判定方法练习题1和练习题2是等腰三角形判定的两种基本方法，但单独使用一个方法可能不够准确。
在实际应用中，结合两种方法可以提高判定的准确性。
给定一个三角形的三边长度和三个角度，请读者结合两种方法并判断哪些是等腰三角形。
练习题4：拓展思考亲自画出不同形状的等腰三角形，并对这些三角形进行判定。
观察不同等腰三角形的性质，思考如何通过形状或者角度的特点更准确地判定一个三角形是否是等腰三角形。
补充练习题：1. 给定一个三角形的边长分别为a、b、c，判断是否为等腰三角形。
2. 给定一个三角形的内角度数分别为α、β、γ，判断是否为等腰三角形。
3. 给定一个三角形的两条底边分别为a、b，判断是否为等腰三角形。
4. 通过观察等腰三角形的形状特点，提供一种更准确的判定方法。
答案及解析：1. 三角形abc是等腰三角形的条件是a=b或者b=c或者a=c。
只要满足这三个条件中的任意一个，那么该三角形就是等腰三角形。
2. 三角形的内角都是180度。
给定的三角形的内角度数为α、β、γ，那么如果α=β或者β=γ或者α=γ，那么该三角形就是等腰三角形。
3. 在等腰三角形中，两条底边对应的顶角相等。
给定的三角形的两条底边为a、b，那么如果a与b对应的顶角相等，那么该三角形就是等腰三角形。
等腰三角形典型例题练习(含答案)-2
等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析全等三角形的判定与性质；角平分线的定义. 14189444. 在△ABC中, AD是∠BAC的平分线, E、F分别为AB.AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°, 求证DE=DF.考点:考点：分析: 过D作DM⊥AB, 于M, DN⊥AC于N, 根据角平分线性质求出DN=DM, 根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD, 根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答: 证明: 过D作DM⊥AB, 于M, DN⊥AC于N,即∠EMD=∠FND=90°,∵AD平分∠BAC, DM⊥AB, DN⊥AC, ∴DM=DN（角平分线性质）, ∠DME=∠DNF=90°,∵∠EAF+∠EDF=180°, ∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°,∵∠AFD+∠NFD=180°, ∴∠MED=∠NFD,在△EMD和△FND中, ∴△EMD≌△FND, ∴DE=DF．，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF.，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5. 在△ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线相交于点O, 过点O作DE∥BC, 分别交AB.AC于点D.E. 请说明DE=BD+EC.考点: 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质. 1418944分析: 根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB, 和DE∥BC, 利用两直线平行, 内错角相等和等量代换, 求证出DB=DO, OE=EC．然后即可得出答案．解答: 解: ∵在△ABC中, OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠DBO=∠OBC, ∠ECO=∠OCB,∵DE∥BC, ∴∠DOB=∠OBC=∠DBO, ∠EOC=∠OCB=∠ECO,∴DB=DO, OE=EC, ∵DE=DO+OE, ∴DE=BD+EC．∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC.∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6. ＞已知: 如图, D是△ABC的BC边上的中点, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为E, F, 且DE=DF. 请判断△ABC是什么三角形？并说明理由.考点: 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 用（HL）证明△EBD≌△FCD, 从而得出∠EBD=∠FCD, 即可证明△ABC是等腰三角形．解答: △ABC是等腰三角形.证明: 连接AD, ∵DE⊥AB, DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, 且DE=DF,∵D是△ABC的BC边上的中点, ∴BD=DC,∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）, ∴∠EBD=∠FCD, ∴△ABC是等腰三角形．7. 如图, △ABC是等边三角形, BD是AC边上的高, 延长BC至E, 使CE=CD. 连接DE.（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点: 等边三角形的性质；等腰三角形的判定. 1418944分析: （1）由题意可推出∠ACB=60°, ∠E=∠CDE, 然后根据三角形外角的性质可知: ∠ACB=∠E+∠CDE, 即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知, BD不但为AC边上的高, 也是∠ABC的角平分线, 即得：∠DBC=30°, 然后再结合（1）中求得的结论, 即可推出△DBE是等腰三角形．（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形.（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得: ∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答: 解: （1）∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°,∵CD=CE, ∴∠E=∠CDE, ∵∠ACB=∠E+∠CDE, ∴,（2）∵△ABC是等边三角形, BD⊥AC, ∴∠ABC=60°, ∴,∵∠E=30°, ∴∠DBC=∠E, ∴△DBE是等腰三角形．∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形.∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD是AB边上的高, ∠A=30°. 求证: AB=4BD.考点: 含30度角的直角三角形. 1418944分析: 由△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°可以推出AB=2BC, 同理可得BC=2BD, 则结论即可证明．解答: 解: ∵∠ACB=90°, ∠A=30°, ∴AB=2BC, ∠B=60°.又∵CD⊥AB, ∴∠DCB=30°, ∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD. ∴AB=2BC=4BD.又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9. 如图, △ABC中, AB=AC, 点D.E分别在AB.AC的延长线上, 且BD=CE, DE与BC相交于点F. 求证: DF=EF.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析: 过D点作DG∥AE交BC于G点, 由平行线的性质得∠1=∠2, ∠4=∠3, 再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2, 则∠B=∠1, 于是有DB=DG, 根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC, 即可得到结论．解答: 证明: 过D点作DG∥AE交BC于G点, 如图,∴∠1=∠2, ∠4=∠3,∵AB=AC, ∴∠B=∠2, ∴∠B=∠1, ∴DB=DG, 而BD=CE, ∴DG=CE,在△DFG和△EFC中, ∴△DFG≌△EFC, ∴DF=EF.10. 已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边. ∠B的角平分线交AC于D, 过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE.考点: 全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 延长CE, BA交于一点F, 由已知条件可证得△BFE全≌△BEC, 所以FE=EC, 即CF=2CE, 再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD, 所以BD=2CE．解答: 证明: 如图, 分别延长CE, BA交于一点F.∵BE⊥EC, ∴∠FEB=∠CEB=90°, ∵BE平分∠ABC, ∴∠FBE=∠CBE,又∵BE=BE, ∴△BFE≌△BCE （ASA）. ∴FE=CE. ∴CF=2CE.∵AB=AC, ∠BAC=90°, ∠ABD+∠ADB=90°, ∠ADB=∠EDC, ∴∠ABD+∠EDC=90°.又∵∠DEC=90°, ∠EDC+∠ECD=90°, ∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB, ∴BD=2EC．11. （2012•牡丹江）如图①, △ABC中. AB=AC, P为底边BC上一点, PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, 垂足分别为E、F、H. 易证PE+PF=CH. 证明过程如下:如图①, 连接AP.∵PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, ∴S△ABP= AB•PE, S△ACP= AC•PF, S△ABC= AB•CH.又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC, ∴AB•PE+ AC•PF= AB•CH.∵AB=AC, ∴PE+PF=CH.（1）如图②, P为BC延长线上的点时, 其它条件不变, PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, 并加以证明:（2）填空：若∠A=30°, △ABC的面积为49, 点P在直线BC上, 且P到直线AC的距离为PF, 当PF=3时, 则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点: 等腰三角形的性质；三角形的面积. 1418944分析: （1）连接AP. 先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP, S△ACP, S△ABC, 再由S△ABP=S △ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH, 再由△ABC的面积为49, 求出CH=7, 由于CH＞PF, 则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点, 运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时, 运用结论PE=PF+CH．（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH.（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论: ①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答: 解: （1）如图②, PE=PF+CH. 证明如下:∵PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, ∴S△ABP= AB•PE, S△ACP= AC•PF, S△ABC= AB•CH,∵S△ABP=S△ACP+S△ABC, ∴AB•PE= AC•PF+ AB•CH, 又∵AB=AC, ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中, ∠A=30°, ∴AC=2CH.∵S△ABC= AB•CH, AB=AC, ∴×2CH•CH=49, ∴CH=7．分两种情况:①P为底边BC上一点, 如图①.∵PE+PF=CH, ∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时, 如图②.∵PE=PF+CH, ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12. 数学课上, 李老师出示了如下的题目:“在等边三角形ABC中, 点E在AB上, 点D在CB的延长线上, 且ED=EC, 如图, 试确定线段AE与DB的大小关系, 并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后, 进行了如下解答:（1）特殊情况, 探索结论当点E为AB的中点时, 如图1, 确定线段AE与DB的大小关系, 请你直接写出结论: AE=DB（填“＞”, “＜”或“=”）.（2）特例启发, 解答题目解: 题目中, AE与DB的大小关系是: AE=DB（填“＞”, “＜”或“=”）. 理由如下: 如图2, 过点E作EF∥BC, 交AC于点F. （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论, 设计新题在等边三角形ABC中, 点E在直线AB上, 点D在直线BC上, 且ED=EC．若△ABC的边长为1, AE=2, 求CD的长（请你直接写出结果）．考点: 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1418944分析: （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°, 求出∠DEB=30°, 求出BD=BE即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F, 求出等边三角形AEF, 证△DEB和△ECF全等, 求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上, E在AB的延长线式时, 由（2）求出CD=3, 当E在BA的延长线上,D在BC的延长线上时, 求出CD=1．（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1.（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答: 解: （1）故答案为: =.（2）过E作EF∥BC交AC于F,∵等边三角形ABC, ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°, AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°, ∠AFE=∠ACB=60°, 即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∴△AEF是等边三角形, ∴AE=EF=AF,∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°, ∴∠DBE=∠EFC=120°, ∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,∵DE=EC, ∴∠D=∠ECD, ∴∠BED=∠ECF,在△DEB和△ECF中, ∴△DEB≌△ECF, ∴BD=EF=AE, 即AE=BD, 故答案为: =.（3）解：CD=1或3,理由是: 分为两种情况: ①如图1过A作AM⊥BC于M, 过E作EN⊥BC于N, 则AM∥EM,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC, ∴BM=CM= BC= , ∵DE=CE, EN⊥BC, ∴CD=2CN,∵AM∥EN, ∴△AMB∽△ENB, ∴= , ∴= ,∴BN= , ∴CN=1+ = , ∴CD=2CN=3；②如图2, 作AM⊥BC于M, 过E作EN⊥BC于N,则AM∥EM,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC, ∴BM=CM= BC= , ∵DE=CE, EN⊥BC, ∴CD=2CN,∵AM∥EN, ∴= , ∴= , ∴MN=1, ∴CN=1﹣= , ∴CD=2CN=113. 已知: 如图, AF平分∠BAC, BC⊥AF于点E, 点D在AF上, ED=EA, 点P在CF上, 连接PB交AF于点M. 若∠BAC=2∠MPC, 请你判断∠F与∠MCD的数量关系, 并说明理由.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析: 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD, 推出∠CDA=∠CAD=∠CPM, 求出∠MPF=∠CDM, ∠PMF=∠BMA=∠CMD, 在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答: 解: ∠F=∠MCD,理由是：∵AF平分∠BAC, BC⊥AF, ∴∠CAE=∠BAE, ∠AEC=∠AEB=90°,在△ACE和△ABE中∵, ∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC,∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线, ∴CM=BM, CE=BE, ∴∠CMA=∠BMA,∵AE=ED, CE⊥AD, ∴AC=CD, ∴∠CAD=∠CDA,∵∠BAC=2∠MPC, 又∵∠BAC=2∠CAD,∴∠MPC=∠CAD, ∴∠MPC=∠CDA, ∴∠MPF=∠CDM,∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等）,∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°, ∠F+∠MPF+∠PMF=180°,又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD, ∴∠MCD=∠F．又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F.又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14. 如图, 已知△ABC是等边三角形, 点D.E分别在BC.AC边上, 且AE=CD, AD与BE相交于点F.（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.（2）求∠BFD的度数.考点: 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质. 1418944分析: （1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°, AB=CA, 结合AE=CD, 可证明△ABE≌△CAD, 从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD, ∠ABE=∠CAD, 可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答: （1）证明: ∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60°, AB=CA.在△ABE和△CAD中,∴△ABE≌△CAD∴AD=BE.（2）解: ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,又∵△ABE≌△CAD, ∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD. ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15. 如图, 在△ABC中, AB=BC, ∠ABC=90°, F为AB延长线上一点, 点E在BC上, BE=BF, 连接AE、EF和CF, 求证：AE=CF.考点: 全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF, 根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答: 证明: ∵∠ABC=90°, ∴∠ABE=∠CBF=90°,又∵AB=BC, BE=BF, ∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）. ∴AE=CF.又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16. 已知: 如图, 在△OAB中, ∠AOB=90°, OA=OB, 在△EOF中, ∠EOF=90°, OE=OF, 连接AE、BF. 问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形. 1418944分析: 可以把要证明相等的线段AE, CF放到△AEO, △BFO中考虑全等的条件, 由两个等腰直角三角形得AO=BO, OE=OF, 再找夹角相等, 这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果, 当然相等了, 由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D, 交OA于C, 可证明∠BDA=∠AOB=90°, 则AE⊥BF．解答: 解: AE与BF相等且垂直,理由: 在△AEO与△BFO中,∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形, ∴AO=OB, OE=OF, ∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF,∴△AEO≌△BFO, ∴AE=BF.延长BF交AE于D, 交OA于C, 则∠ACD=∠BCO,由（1）知∠OAE=∠OBF, ∴∠BDA=∠AOB=90°, ∴AE⊥BF．17. （2006•郴州）如图, 在△ABC中, AB=AC, D是BC上任意一点, 过D分别向AB, AC引垂线, 垂足分别为E, F, CG是AB边上的高.（1）DE, DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上, （1）中的结论还成立吗？若不成立, 又存在怎样的关系？请说明理由．考点: 等腰三角形的性质. 1418944分析: （1）连接AD, 根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积, 进行分析证明；（2）类似（1）的思路, 仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系. 即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积.（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答: 解: （1）DE+DF=CG.证明: 连接AD,则S△ABC=S△ABD+S△ACD, 即AB•CG= AB•DE+ AC•DF, ∵AB=AC, ∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时, （1）中的结论不成立, 但有DE﹣DF=CG.理由: 连接AD, 则S△ABD=S△ABC+S△ACD, 即AB•DE= AB•CG+ AC•DF∵AB=AC, ∴DE=CG+DF, 即DE﹣DF=CG.同理当D点在CB的延长线上时, 则有DE﹣DF=CG, 说明方法同上．18. 如图甲所示, 在△ABC中, AB=AC, 在底边BC上有任意一点P, 则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）, 即PD+PE=CF, 若P点在BC的延长线上, 那么请你猜想PD.PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明.考点: 等腰三角形的性质；三角形的面积. 1418944分析: 猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB= AB•PD, S△PAC= AC•PE, S △CAB= AB•CF, S△PAC= AC•PE, AB•PD= AB•CF+ AC•PE, 即可求证．解答: 解: 我的猜想是: PD.PE、CF之间的关系为PD=PE+CF. 理由如下:连接AP, 则S△PAC+S△CAB=S△PAB,∵S△PAB= AB•PD, S△PAC= AC•PE, S△CAB= AB•CF,又∵AB=AC, ∴S△PAC= AB•PE, ∴AB•PD= AB•CF+ AB•PE,即AB（PE+CF）= AB•PD, ∴PD=PE+CF．即AB（PE+CF）= AB•PD，∴PD=PE+CF.即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。
证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。
能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
等腰三角形与直角三角形练习题
等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础巩固1、已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。
当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。
2、等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。
当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。
综上，其周长为 20 或 22。
3、一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。
解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。
当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。
（二）能力提升1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为 60°。
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。
综上，顶角的度数为 60°或 120°。
2、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。
八年级数学等腰三角形练习题(精品)
等腰三角形练习题姓名：1．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB 其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．32．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________ ．二．解答题（共15小题）（第1题）（第2题）3．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．4．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．5．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD ．（第7题）（第8题）（第9题）7．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．（提示：过点D作DG∥AE，交BC于点G）8．如上图，已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．9．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：证明：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S △ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC ，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．F 10．已知：如图，AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF 于点E ，点D 在AF 上，ED=EA ，点P 在CF 上，连接PB 交AF 于点M ．若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．11．如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ． （1）线段AD 与BE 有什么关系？试证明你的结论． （2）求∠BFD 的度数．12．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE=BF ，连接AE 、EF 和CF ， 求证：AE=CF ．13．已知：如图，在△OAB 中，∠AOB=90°，OA=OB ，在△EOF 中，∠EOF=90°，OE=OF ，连接AE 、BF ．问线段AE 与BF 之间有什么关系？请说明理由．14．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如下图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE_____DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE _________ DB （填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你补充完整后面的解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD 的长_________（请你画出草图，并直接写出结果）．15．如图甲所示，在△ABC 中，AB=AC ，在底边BC 上有任意一点P ，则P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF ，若P 点在BC 的延长线上，那么请你猜想PD 、PE 和CF 之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．。
等腰等边三角形典型题
等腰等边三角形典型题一、等腰三角形典型题1. 题目：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 50°，求∠B和∠C的度数。
- 解析：因为AB = AC，所以△ABC是等腰三角形，等腰三角形两底角相等。
三角形内角和为180°，已知∠A=50°，设∠B = ∠C = x，则可列方程x + x+50° = 180°，2x=180° - 50°，2x = 130°，解得x = 65°，所以∠B = ∠C = 65°。
2. 题目：等腰三角形的一个角是70°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
- 解析：分两种情况讨论。
- 当这个70°的角是底角时，因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也是70°，根据三角形内角和为180°，则顶角为180°-70°×2 = 180° - 140°=40°。
- 当这个70°的角是顶角时，顶角就是70°。
3. 题目：已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，求这个等腰三角形的面积。
- 解析：先作等腰三角形底边上的高。
因为等腰三角形三线合一（底边上的高、中线、顶角平分线三线合一），所以底边上的高将底边平分。
底边长为6cm，则底边的一半是3cm。
根据勾股定理，高h=√(5^2)-3^{2}=√(25 - 9)=√(16) = 4cm。
三角形面积S=(1)/(2)×底×高=(1)/(2)×6×4 = 12cm^2。
二、等边三角形典型题1. 题目：等边三角形ABC的边长为6，求它的高和面积。
- 解析：- 求高：因为等边三角形三线合一，设等边三角形的高为h，边长为a = 6，根据勾股定理h=√(a^2)-<=ft((a)/(2))^{2}=√(6^2)-3^{2}=√(36 - 9)=√(27)=3√(3)。
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.1等腰三角形自主学习同步练习题2(含答案)
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.1等腰三角形自主学习同步练习题2（含答案）1．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．（1）当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明；（2）过点C作AB边上的高CG，试猜想DE，DF，CG的长之间存在怎样的等量关系？（直接写出你的结论）2．在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．3．如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G．（1）求∠CEF的度数；（2）求证：△EFG是等腰三角形．4．请在图中画出三个以AB为腰的等腰△ABC．（要求：1．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形各画一个；2．点C在格点上．）5．如图，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s 的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ是等腰三角形？6．如图，已知在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝40°，EF是线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD．求证：△ADC是等腰三角形．7．如图的直角△ABC中，∠BAC＝90°，AF⊥BC于点F，BD平分∠ABC交AF于点E，交AC于点D，试判定△ADE的形状并说明理由．8．已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠BAD＝∠CAE，∠ADE＝∠AED，求证：△ABC是等腰三角形．9．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E．那么△ADE是等腰三角形吗？请说明理由．10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C 重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．11．已知一个等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么该等腰三角形的周长为（）A．8cm B．10cm C．8cm或10cm D．不能确定12．等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（）A．18B．21C．20D．18或2113．在所给网格中，以格点（网格线的交叉点）A、B连线为一边构造格点等腰三角形ABC，则符合的点C的个数是（）A．6B．7C．8D．914．线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．715．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠ADE ＝∠AED，∠EDC＝20°，则∠BAD为（）度．A．20B．30C．35D．4017．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝64°，则∠C的度数为（）A．30°B．32°C．40°D．48°18．如图，已知OC＝CD＝DE，且∠BDE＝72°，则∠CDE的度数是（）A．63°B．65°C．75°D．84°19．已知：如图∠BAC＝69°，BD＝AD＝AC，则∠DAC的度数为（）A．32°B．40°C．52°D．36°20．如图，∠ACD＝120°，AB＝BC＝CD，则∠A等于（）A．10°B．15°C．20°D．30°21．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则（）A．当β为定值时，∠CDE为定值B．当α为定值时，∠CDE为定值C．当γ为定值时，∠CDE为定值D．无法确定22．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交BC于点D．设∠ADB＝α，∠CAD ＝β，则下列结论正确的是（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°23．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，AD＝AE．则∠CDE＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°24．如图，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC的度数等于（）A．B．αC．90°﹣D．90°﹣α25．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个．26．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝45°，当∠A＝时，△AOP为等腰三角形．27．如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，当∠OAP＝时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．28．如图，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是．29．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝∠B，AB＝2cm，点P从点B开始以1cm/s 的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为．30．如图所示，在△ABC中，AB＝18cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当三角形APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是．31．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．32．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为．参考答案1．解：（1）当点D在BC的中点上时，DE＝DF，证明：∵D为BC中点，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）CG＝DE+DF证明：连接AD，∵S三角形ABC＝S三角形ADB+S三角形ADC，∴AB×CG＝AB×DE+AC×DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．2．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝15°．（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝40°，∴∠BAD＝∠CAD＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠EDC＝20°．（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）（4）仍成立，理由如下∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝（∠EDC+∠C）+∠EDC ＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∴∠BAD＝2∠EDC．故分别填15°，20°，∠EDC＝∠BAD3．1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠CEF＝（180°﹣48°）＝66°；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠GFE＝∠C'EF，即△EFG是等腰三角形．4．解：如图所示：5．解：设两点同时出发x秒时，△PBQ是等腰三角形，∵长方形ABCD，∴∠B＝90°，∵△BPQ是等腰三角形，∴BP＝BQ，∴12﹣2x＝x，解得：x＝4，即两点同时出发4秒时，△PBQ是等腰三角形．6．证明：∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝20°+20°＝40°，∵∠C＝40°，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC，即△ADC是等腰三角形．7．解：△ADE是等腰三角形．理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠BAC＝90°，AF⊥BC，∴∠ABD+∠BDA＝90°，∠CBD+∠BEF＝90°，∴∠BDA＝∠BEF，∵∠AED＝∠BEF（对顶角相等），∴∠BDA＝∠AED，∴AD＝AE．故△ADE是等腰三角形．8．证明：∵∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠CAE，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．9．答：△ADE是等腰三角形，理由如下：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵DE∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．10.解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．11．解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4+2+4＝10（cm），当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2+2，不满足三角形的三边关系，所以此时不存在三角形，故选：B．12．解：当8的边长为腰时，三角形的三边长为：8、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+8+5＝21，当5的边长为腰时，三角形的三边长为：5、8、5，满足三角形的三边关系，其周长为8+5+5＝18，故选：D．13．解：如图：故选：C．14．解：如图所示：使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，所以所有符合条件的点C的个数是6个．故选：C．15．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故选：A．16．解：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠C+20°，∠ADE＝∠AED，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠EDC＝∠C+40°．又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠C，∴∠C+40°＝∠BAD+∠C，∴∠BAD＝40°．故选：D．17．解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝64°，∴∠B＝∠ADB＝64°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝116°，∵AD＝CD，∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣116°）÷2＝32°，故选：B．18．解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝72°，∴∠ODC＝24°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝108°，∴∠CDE＝108°﹣∠ODC＝84°．故选：D．19．解：∵DB＝DA，∴∠B＝∠BAD，∵DA＝CA，∴∠ADC＝∠C，而∠ADC＝∠B+∠BAD＝2∠B，∴∠C＝2∠B，∵∠BAC＝69°，∴∠C+∠B＝3∠B＝111°，∴∠B＝37°，∴∠DAC＝180°﹣2∠ADC＝180°﹣37°×4＝32°．故选：A．20．解：∵AB＝BC，∴∠A＝∠ACB，∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∴∠DBC＝2∠A，∵BC＝CD，∴∠D＝∠DBC＝2∠A，∵∠ACD＝120°，∴∠A+∠D＝∠A+2∠A＝180°﹣120°＝60°，∴∠A＝20°，故选：C．21．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠α，∠AED＝∠C+∠CDE，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD＝∠B+∠α，即∠C+∠CDE+∠CDE＝∠B+∠α，∴2∠CDE＝∠α，∴∠CDE＝∠α．即当∠α为定值时，∠CDE为定值，故选：B．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵∠ADB＝α，∴∠B＝∠C＝90°﹣α，∵∠CAD＝β，∴α＝β+90°﹣α，∴2α﹣β＝90°．故选：D．23．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝＝70°，∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°．故选：B．24．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴2x+y＝y+α，解得x＝．∴∠EDC＝．故选：A．25．解：如图所示，分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个．故答案为：4．26．解：若△AOP为等腰三角形则有AO＝AP、AO＝OP和OP＝AP三种情况，①当AO＝AP时，则有∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°；②当AO＝OP时，则∠A＝∠APO＝＝67.5°；③当OP＝AP时，则∠A＝∠AON＝45°，综上可知∠A为45°或67.5°或90°，故答案为：45°或67.5°或90°．27．解：分为以下5种情况：①OA＝OP，∵∠AOB＝30°，OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A＝（180°﹣30°）＝75°；②OA＝AP，∵∠AOB＝30°，OA＝AP，∴∠APO＝∠AOB＝30°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣30°＝120°；③AB＝AP，∵∠AOM＝60°，AB＝AP，∴∠APO＝∠ABM＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；④AB＝BP，∵∠ABM＝60°，AB＝BP，∴∠BAP＝∠APO＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；⑤AP＝BP，∵∠ABM＝60°，AP＝BP，∴∠ABO＝∠P AB＝60°，∴∠APO＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠OAP＝180°﹣∠AOB﹣∠APO＝180°﹣30°﹣60°＝90°；所以当∠OAP＝75°或120°或90°时，以A、O、B中的任意两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形，故答案为：75°或120°或90°．28．解：由图可知，∵AC＝BC，∠C＝36°，∴∠BAC＝∠ABC＝72°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠C＝36°∴△CAD为等腰三角形，∵∠BDA＝∠C+∠CAD＝72°＝∠B，∴△BAD为等腰三角形，∴则图中等腰三角形（不含△ABC）的个数是2个．故答案为2．29．解：当AB＝AP时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝30°，AB＝2cm，∴BD＝AB•cos30°＝2×＝3cm，∴BC＝6cm，即运动的时间6s；当AB＝BP时，∵AB＝2cm，∴BP＝2cm，∴运动的时间2s．故答案为：2s或6s．30．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝18cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝18﹣3x，AQ＝2x，即18﹣3x＝2x，解得x＝3.6．故答案为：3.6s．31．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案为：4．32．解：如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°。
初中数学等腰三角形练习题
初中数学等腰三角形练习题1. 等腰三角形的两边长分别为7cm和3cm，则它的周长是()A.17cmB.13cmC.17cm或13cmD.10cm2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20∘，则顶角的度数是（）A.70∘B.110∘C.70∘或110∘D.20∘或160∘3. 如图，在△ABC AB=AC,∠A=30∘ ,以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D,连接BD,则∠ABD=（）A.30∘B.40∘C.45∘D.60∘4. 已知坐标平面内一点A(2,−1)，O为原点，P是x轴上一个动点，如果以点P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A.2个B.3个C.4个D.5个5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30∘，则顶角的度数为（）A.60∘B.120∘C.120∘或60∘D.150∘或120∘或60∘6. 在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（）A.9B.13C.9或13D.10或127. 等腰三角形的一个角是70∘，则它的底角是（）A.55∘B.70∘C.40∘或70∘D.55∘或70∘8. 如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有（）A.4个B.6个C.8个D.10个9. 在△ABC中，∠ABC=30∘，AB=4√3，AD⊥AB，AD交直线BC于点D，CD=1，则BC的长为________.10. 如图，已知AB=AC,AD⊥BC，垂足为点D，∠BAC=110∘，则∠1=_______.11. 若一个等腰三角形的两边长分别为2和3，则该三角形的周长是________．12. 如果一个等腰三角形的周长是28，其中底边长是8，则它的腰长为________.13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，BC=3，将劣弧BC沿弦BC翻折，刚好经过圆心O．当对角线BD最大时，则弦AB的长是________.14. 探究等边三角形“手拉手”问题．(1)如图1，已知△ABC,△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B，点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；(2)如图2，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，连接CE，BD，若∠DEC=60∘，则∠ADB+∠ADE=________度；(3)如图3，已知点E在等边三角形△ABC外，点E，点B位于线段AC的异侧，连接BE，CE．若∠BEC=60∘，猜想线段BE，AE，CE三者之间的数量关系，并说明理由．15. 如图所示，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，用轴对称的性质证明CD=AB+BD．16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55∘，∠B＝50∘，求∠DEC的度数．参考答案与试题解析初中数学等腰三角形练习题一、选择题（本题共计 8 小题，每题 2 分，共计16分）1.【答案】A【考点】三角形三边关系等腰三角形的性质【解析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3，只能为7，然后即可求得等腰三角形的周长【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别为3cm，7cm，∴由三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长不可能为3，只能为7，∴三角形的周长=7+7+3=17(cm)．故选A.2.【答案】C【考点】三角形内角和定理三角形的外角性质等腰三角形的性质【解析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90∘−20∘=70∘．当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是=90∘+20∘=110∘.故选C.3.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题关键，根据等腰三角形两底角相等得到∠ABC=∠ACB=12（180∘−∠A）=12（180∘−30∘）=75∘，再进一步求得答案.【解答】解：∵ AB=AC，∠A=30∘,∴ ∠ABC=∠ACB=12（180∘−∠A）=12（180∘−30∘）=75∘，∵ 以B为圆心，BC为半径的圆弧，交AC于点D,∴ BC=BD,∴ ∠CBD=180∘−2∠ACB=180∘−2×75∘=30∘,∴ ∠ABD=∠ABC−∠CBD=75∘−30∘=45∘.故选C.4.【答案】C【考点】等腰三角形的判定【解析】根据等腰三角形的判定定理，可得出符合条件的点的个数．【解答】解：如图，①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个；②OA为等腰三角形的一条腰，符合条件的动点P有三个．综上所述，符合条件的点P 的个数共4个．故选C .5.【答案】C【考点】等腰三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60∘；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120∘．故选C .6.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【解答】解：设等腰三角形的底边长为x ，腰长为y ，则根据题意，得{x +y 2=15y +y 2=18或{x +y2=18y +y 2=15， 解得{x =9y =12或{x =13y =10， 经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13．故选C ．7.【答案】D【考点】三角形内角和定理等腰三角形的判定与性质【解析】题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．【解答】解：①当这个角是顶角时，底角=(180∘−70∘)÷2=55∘；②当这个角是底角时，另一个底角为70∘.故选D．8.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB=√10，然后即可确定C点的位置．【解答】解：如图，AB=√32+12=√10，∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个.故选C．二、填空题（本题共计 5 小题，每题 1 分，共计5分）9.【答案】7或9【考点】等腰三角形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABC=30∘，BD=2AD，由勾股定理得，BD2=AD2+AB2，即BD2=(12BD)2+(4√3)2，解得，BD=8，当点D在线段BC上时，BC=BD+CD=9，当点D在线段BC′的延长线上时，BC=BD−CD=7．故答案为：7或9．10.【答案】55∘【考点】等腰三角形的性质：三线合一【解析】根据等腰三角形的判定和性质解答即可；【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵ AD⊥BC，∴∠1=12∠BAC，∵∠BAC=110∘，∴∠1=55∘.故答案为：55∘.11.【答案】7或8【考点】三角形三边关系等腰三角形的性质【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】（2）若3为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为3+3+2＝8．故答案为：7或8．12.【答案】10【考点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：腰长=28−82=10.故答案为：10.13.【答案】√6【考点】圆内接四边形的性质翻折变换（折叠问题）【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接BD，设点O的对称点为O′，连接OO′交BC于点E.∵对角线BD最大，圆中最大的弦为直径，∴BD为直径，且∠BAD=90∘，设圆半径为r，则BD=2r，AB=AD=√2r，∵劣弧BC沿弦BC翻折，刚好经过圆心O，∴OE=12OO′=12r，BE=12BC=12×3=32，在Rt△OBE中，由勾股定理得，OB2=OE2+BE2，即r2=(12r)2+(32)2，解得：r=√3，∴AB=√2r=√2×√3=√6.故答案为：√6.三、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）14.【答案】解：(1)CE//AB.理由：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60∘，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≅△CAE(SAS)，∴∠B=∠ACE=60∘，∴∠BAC=∠ACE=60∘，∴AB//CE .180 .(3)BE=AE+EC．理由如下：在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=60∘，∵∠BEC=60∘，∴∠BAO=∠OEC=60∘，∵∠AOB=∠EOC，∴∠ABH=∠ACE，∴BA=CA,BH=CE，∴△ABH≅△ACE(SAS)，∴∠BAH=∠CAE,AH=AE，∴∠HAE=∠BAC=60∘∴△AEH是等边三角形，∴AE=EH，∴BE=BH+EH=EC+AE，即BE=AE+BC .【考点】全等三角形的性质与判定等边三角形的性质平行线的判定全等三角形的性质等边三角形的性质与判定【解析】（1）结论：CE//AB．证明△BAD≅△CAE(SAS)可得结论．根据△ABD≅≅AEC，再根据∠BEC=60∘，可得结论 .（3）结论：BE=AE+EC．在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O．利用全等三角形的性质证明△AEH是等边三角形即可．【解答】解：(1)CE//AB.理由：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60∘，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≅△CAE(SAS)，∴∠BAC=∠ACE=60∘，∴AB//CE .(2)由(1)可知，△ABD≅△ACE，∴∠ADB=∠AEC，∵△ADE是等边三角形，∴∠AED=∠ADE=60∘，∵∠DEC=60∘，∴∠AEC=∠AED+∠DEC=120∘，∴∠ADB=∠AEC=120∘，∴∠ADB+∠ADE=120∘+60∘=180∘.故答案为：180.(3)BE=AE+EC．理由如下：在线段BE上取一点H，使得BH=CE，设AC交BE于点O，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=60∘，∵∠BEC=60∘，∴∠BAO=∠OEC=60∘，∵∠AOB=∠EOC，∴∠ABH=∠ACE，∴BA=CA,BH=CE，∴△ABH≅△ACE(SAS)，∴∠BAH=∠CAE,AH=AE，∴∠HAE=∠BAC=60∘∴△AEH是等边三角形，∴AE=EH，∴BE=BH+EH=EC+AE，即BE=AE+BC .15.【答案】证明：作点B关于AD的对称点E，连接AE．∵AD⊥BC，∴点E在BC上．由轴对称的性质可知，BD=ED,AB=AE，∠AED=∠B．∵∠AED=∠CAE+∠C，∴∠CAE=∠C，∴AE=CE，∴CD=CE+DE=AE+BD=AB+BD．【考点】等腰三角形的判定与性质全等三角形的性质【解析】此题暂无解析【解答】证明：作点B关于AD的对称点E，连接AE．∵AD⊥BC，∴点E在BC上．由轴对称的性质可知，BD=ED,AB=AE，∠AED=∠B．∵∠AED=∠CAE+∠C，∠B=∠AED=2∠C，∴∠CAE=∠C，∴AE=CE，∴CD=CE+DE=AE+BD=AB+BD．16.【答案】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝50∘，∴∠C＝50∘，∴∠BAC＝180∘−50∘−50∘＝80∘，∵∠BAD＝55∘，∴∠DAE＝25∘，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90∘，∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115∘．【考点】等腰三角形的性质【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C＝50∘，进而得到∠BAC＝80∘，由∠BAD＝55∘，得到∠DAE＝25∘，由DE⊥AD，进而求出结论．【解答】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝50∘，∴∠C＝50∘，∴∠BAC＝180∘−50∘−50∘＝80∘，∵∠BAD＝55∘，∴∠DAE＝25∘，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90∘，∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115∘．。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50。
，则其顶角为________ ・2.如图，HABC中…13=∕C, BC=6cm, JD 平分ZBAC.则BD= _________________ c m.第3题图3.如图，'ABC中，-lδ=FC, D为EC中点，ZBAD=35。
,则ZC的度数为（）A.35oB. 45。
C・ 55。
D・ 60o4.已知等腰三角形的一个内角为50。
，则这个等腰三角形的顶角为（）A・ 50o B. 80oC. 50。
或80。
D・ 40。
或65。
5.如图，在Z∖J5C 中，D 是BC 边上一点，^AB=.-ID=DC, ZAW=40°,求ZC 的度数.6.如图，ΔJBCΦ, .IB=AC9 D 是EC 的中点，E, F分别是.1B. JC±的点，且AE=AF. 求证：DE=DF.1. 在 ∕∖ABC 中，ZJ=40% Z5 = 70o ,则 MBC 为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形2. 已知ΔJPC 中，Z5=50% ZJ = 80c , -lδ=5cm.则 AC= _________________ ・3. 如图，在ΛABC 中，-Q 丄BC 于点Zh 请你再添加一个条件，使苴可以确定AlSC 为等腰三角形，则添加的条件是 ________ ・第3题图4. 如图，已知NlBC 中，ZJ = 36% AB=AC, BD 为ZABC 的平分线，则图中共有 _______________ 个等腰三角形.5. 如图，D 是ZXJ5C 的BC 边上的中点，DE 丄AC. DFLAB.垂足分别是E, F,且DE=DF 求证:AB=AC.6.如图，肋〃 CZ λ直线/交,松于点E,交CD 于点F, FG 平分ZEFD 交直线曲于点G 求证：ZLEFG 是等腰三角形.第4题图13・3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1. ____________________________________________________________ 如图，a∕∕b.等边MBC的顶点D C在直线b上，则Zl的度数为_______________________第1题图第3题图2.在∕∖ABC中，ZJ=60°,现有下面三个条件：®ZB=ZC;③ZA=ZB.能判定Z∖J5C为等边三角形的有____________________________ .3・如图，在等边AABC中，BD丄AC于D∙若,松=4,则AD= ________________ ・4.如图，ΔJ J9C是等边三角形，ZCBD=90°. BD=BC.连接.10交BC于点求ZBAD 的度数.5・如图，E是等边AABC中JC边上的点，Z1 = Z2, BE=CD.求证: (I)ZUEE 竺ZUS⑵AADE为等边三角形.第2课时含30。
完整版)等腰三角形专项练习题
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1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，已知∠A=36°，求∠1的度数。
解：由BD平分∠XXX可知∠ABD=∠CBD，又因为AB=AC，所以∠BAC=2∠ABD=2∠CBD，即∠1=180°-∠BAC=108°。
2.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求该等腰三角形的周长。
解：设等腰三角形的底边为x，则根据勾股定理可得x²=6²-(5/2)²=31.25，即x=√31.25，所以周长为2x+5+6=2√31.25+11≈17.5.3.在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积。
解：如图，设剪下的等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=10，BC=x，则根据勾股定理可得x²=16²-10²=196，即x=14.所以△ABC的面积为(1/2)×10×14=70平方厘米。
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，判断下列结论的正确性：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE。
解：①正确，因为∠XXX∠XXX∠XXX∠XXX∠BAC/2，所以△BDF、△CEF都是等腰三角形；②正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE，即DE=2BD；③错误，因为AB+AC=2AB≠AD+DE+EA=AD+2BD；④正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE。