高考数学百大经典例题——两平面垂直的判定和性质

典型例题一

例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．

（１）如图1，已知l A l ∈=?,βα．在α内作l PA ⊥于A ，在β内作l QA ⊥于A ．

（２）如图２，已知l A A l ?∈=?,,αβα．作β⊥AP 于P ，在α内作l AQ ⊥于Q ，连结PQ ．

（３）已知βαβα??=?A A l ,,．作α⊥AP 于P ，β⊥AQ 于Q ，?l 平面H PAQ =，连结PH 、QH ．

作图与证明在此省略．

说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．

典型例题二

例2. 如图，在立体图形ABC D -中，若E CD AD CB AB ,,==是AC 的中点，则下列命题中正确的是（）.

（A ）平面ABC ⊥平面ABD

（B ）平面ABD ⊥平面BDC

（C ）平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE

（D ）平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE

分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.

解：因为,CB AB =且E 是AC 的中点，所以,AC BE ⊥同理有AC DE ⊥，于是⊥AC 平面BDE .因为?A C 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于?AC 平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDE .所以选C.

说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.

典型例题三

例３．如图，P 是ABC ?所在平面外的一点，且⊥PA 平面ABC ，平面⊥PAC 平面PBC ．求证AC BC ⊥．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．

证明：在平面PAC 内作PC AD ⊥，交PC 于D ．因为平面⊥PAC 平面PBC 于PC ，?AD 平面PAC ，且PC AD ⊥，所以PBC AD 平面⊥．又因为?BC 平面PBC ，于是有BC AD ⊥①．另外⊥PA 平面ABC ，?BC 平面ABC ，所以BC PA ⊥．由①②及A PA AD = ，可知⊥BC 平面PAC ．因为?AC 平面PAC ，所以AC BC ⊥．

说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．

典型例题四

例４．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC ．

分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于C 点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．

证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有AC BC ⊥①．

因为⊥PA 平面ABC ，?BC 平面ABC ，则BC PA ⊥②．

由①②及A PA AC = ，得⊥BC 平面PAC ．

因为?BC 平面PBC ，有平面PAC ⊥平面PBC ．

说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直?线面垂直?面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．

典型例题五

例５．如图，点A 在锐二面角βα--MN 的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为 45，与面β所成的角大小为

30，求二面角βα--MN 的大小．

分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．

解：在射线AP 上取一点B ，作β⊥BH 于H ，

连结AH ，则BAH ∠为射线AP 与平面β所成的角，

30=∠∴BAH ．再作MN BQ ⊥，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面β内的射影．由三垂线定理的逆定理，MN HQ ⊥，BQH ∠∴为二面角βα--MN 的平面角．

设a BQ =，在BAQ Rt ?中，a AB BAM BQA 2,45,90=∴=∠=∠ ,在Rt △

BHQ 中，

,22,,90a BH a BQ BHQ ===∠ 2

222sin ===∠a a BQ BH BQH , BQH ∠ 是锐角， 45=∠∴BQH ,即二面角βα--MN 等于 45．

说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．

典型例题六

例６．如图，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'．

（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；

（２）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长；

（３）求C A '与平面CD C '所成的角；

（４）若二面角C AD C --'的平面角为 120，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．

分析：根据问题及图形依次解决．

解：（１）∴'⊥⊥∴⊥,,,C D AD DC AD BC AD 二面角C AD C --'的面为ADC 和面C AD '，棱为AD ，二面角的平面角为C CD '∠．

（２）若 90='∠C CD ，a C C a C D DC a AC 2

2,21,='∴='=∴= ．

（３）⊥∴⊥'⊥AD DC AD C D AD ,, 平面C C D '，D C A '∠∴为C A '与平面CD C '所成的角．在直角三角形C AD '中， 30,2

1='∠∴=

'=C DA AC C D DC ，于是 60='∠D C A ．

（４）取C C '的中点E ，连结AE 、DE ， C C DE C C AE AC C A DC C D '⊥'⊥∴='=',,, ，

AED ∠∴为二面角D C C A -'-的平面角．

1,21,120a DE a CD D C DC C =∴=='='∠ 在直角三角形AED 中，,23a AD =DE AD AED =∠∴tan 324

123==a a ．说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．

典型例题七

例7 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是AD 的中点．求二面角P BD A --1的大小．

分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB 垂直于平面1AD ，1BD 在平面1AD 上的射影就是1AD ．再过P 作1AD 的垂线PF ，则PF ⊥面1ABD ，过F 作B D 1的垂线FE ，PEF ∠即为所求二面角的平面角了．

解：过P 作1BD 及1AD 的垂线，垂足分别是E 、F ，连结EF ．

∵AB ⊥面1AD ，PF ?面1AD ，

∴PF AB ⊥，

又1AD PF ⊥，∴PF ⊥面1ABD ．

又∵1BD PE ⊥，∴1BD EF ⊥，

∴PEF ∠为所求二面角的平面角．

∵D AD Rt 1?∽PFA ?，∴1

1AD AP DD PF =．而2

1=AP ，11=DD ，21=AD ，∴42=PF ．在1PBD ?中，251=

=PB PD ． ∵1BD PE ⊥，∴2

321==BD BE ．在PEB Rt ?中，2222=-=

BE PB PE ，在PEF Rt ?中，2

1sin ==

∠PE PF PEF ， ∴?=∠30PEF ．典型例题八

例8 在ABC ?所在平面外有一点S ，已知AB SC ⊥，SC 与底面ABC 所成角为θ，二面角C AB S --的大小为?，且?=+90?θ．求二面角A SB C --的大小．

分析：由题设易证SD SC ⊥，由已知得SC ⊥平面SAB ，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角A SB C --的平面角，那么可能会走弯路．

解：如图所示，作SO ⊥平面ABC 于O ，连结CO 并延长交AB 于D ，连结SD ． ∵SO ⊥平面ABC ，

∴SCO ∠是SC 与平面ABC 所成角，θ=∠SCO ．

∵SO ⊥平面ABC ，AB SC ⊥，

∴CD AB ⊥，SD AB ⊥．

∴SDO ∠是二面角C AB S --的平面角，?=∠SDO ．

∵?=+90?θ，∴SD SC ⊥．

又∵AB SC ⊥，∴SC ⊥平面SAB ，

∴平面SBC ⊥平面SAB ，

∴二面角A SB C --的大小为?90．

说明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直．应注意CSB ∠不满足第(3)条，不是二面角A SB C --的平面角．

在求二面角大小时，若其平面角不易作出时，则可考虑判定两平面是否垂直，如果两平面垂直，则其二面角为?90，反之亦然．

典型例题九

例9 如果αβ⊥，αγ⊥，a =γβ ，那么α⊥a ．

分析：(1)本题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力．要证

α⊥a ，

只要证明直线a 与平面α内的两条相交直线垂直就可以了，从而借助平面与平面垂直的性质达到证明α⊥a 的目的；(2)要证α⊥a ，只要证明a 平行于平面α的一条垂线就可以了，这也可以借助面面垂直的性质加以考虑；(3)可以用“同一法”来证明．

证法一：如图所示，设b =βα ，c =γα ，

过平面α内一点P 作b PA ⊥于A ，作c PB ⊥于B ．

∵αβ⊥，∴β⊥PA ．

又a =γβ ，∴a PA ⊥，同理可证a PB ⊥．

∵P PB PA = 且α?PB PA 、，∴α⊥a ．

证法二：如图所示，

设b =βα ，在平面β内作直线b l ⊥1．

∵βα⊥，∴α⊥1l ．

设c =γα ，在平面γ内作直线c l ⊥2．同理可证a l ⊥2，因此21//l l ．

由于β?1l ，β?2l ，∴β//2l ．

而γ?2l ，γβ =a ，∴a l //2．

故由a l //2知，α⊥a ．

证法三：如图所示

过直线a 上一点P 作直线α⊥'

a ．

∵γβ =a ，a P ∈，

∴β∈P ，根据课本第37页例2（如果两个平面互相垂直，

那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内），

∴β?'a ．同理可证γ?'a ，故γβ ='a ．

椐公理2可知，直线'a 与直线a 重合．

∴α⊥a

说明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，主要用于判断直线和平面的垂直，在很多习题中都可以用到本例的结论．

(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但都是围绕“面面垂直”、“线面面垂直”的判定与性质定理来进行思考的，希望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的．典型例题十

例10 设由一点S 发出三条射线SA 、SB 、SC ，α=∠ASB ，β=∠BSC ，

θ=∠ASC ，α、β、θ均为锐角，

且θβαcos cos cos =?．求证：平面ASB ⊥平面BSC ．分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡．

证明：如图，任取点A ，作SB AB ⊥于B ，过B 作SC BC ⊥于C ，连结AC ． ∵αcos ?=AS SB ，βcos ?=SB SC ，

故βαcos cos ??=AS SC ．

又由θβαcos cos cos =?，

则θcos ?=AS SC ，从而可得?=∠90ACS ，

即SC AC ⊥，已作SC BC ⊥，故SC ⊥平面ACB ，

即有SC AB ⊥，已作SB AB ⊥，从而AB ⊥平面BSC ，

故平面ASB ⊥平面BSC ．

说明：本题易犯错误是：作SB AB ⊥于B ，作SC BC ⊥于C ，连结AC ，由三垂线定理得AC SC ⊥，∴SC ⊥平面ACB ，∴SC AB ⊥，∴AB ⊥平面SBC ．其错误原因是作SB AB ⊥后，将AB 误认为是平面SBC 的垂线．

此题的证明也可以作SB AB ⊥于B ，SC AC ⊥于C ，连结BC ．在SBC ?中，由余弦定理及条件θβαcos cos cos =?，证明2

22SC BC SB +=，从而BC SC ⊥，∴SC ⊥面ABC ，∴SC AB ⊥．由此进一步证明，平面ASB ⊥平面BSC ．

典型例题十一

例11 如果二面角βα--l 的平面角是锐角，点P 到α、β和棱l 的距离分别为22、4、24，求二面角的大小．

分析：如果二面角βα--l 内部，也可能在外部，应区别处理．

解：如图甲是点P 在二面角βα--l 的内部时，

乙是点P 在二面角βα--l 的外部时．

∵α⊥PA ，∴l PA ⊥．

∵l AC ⊥，∴面l PAC ⊥．

同理，面l PBC ⊥，

而面PAC 面PBC PC =

∴面PAC 与面PBC 应重合，

即A 、C 、B 、P 在同一平面内，

ACB ∠是二面角的平面角．

在APC Rt ?中，212422sin ===

∠PB PA ACP ， ∴?=∠30ACP ．

在BPC Rt ?中，2

2244sin ===∠PC PB BCP ， ∴?=∠45BCP ，

故?=?+?=∠754530ACB （图甲）或?=?-?=∠153045ACB （图乙）．

说明：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角．这是本题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法．

典型例题十二

例12 P 为?120的二面角βα--a 内一点，P 到α和β的距离均为10，求点P 到棱a 的距离．

分析：本题已知二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角，然后将条件揉和在一起，便可解决问题．

解：如图，

过点P 作α⊥PA 于A ，β⊥PB 于B ，

设相交直线PA 、PB 确定的平面为γ，O a =γ ，则OA =αγ ，OB =βγ 连结PO ，则10==BP AP

∵α⊥PA ，β⊥PB ，

∴γ⊥a ，而?PO 平面γ，

∴PO a ⊥，

∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离．

又∵γ⊥a ，γ?OA ，γ?OB

∴AOB ∠是二面角βα--a 的平面角，即?=∠120AOB ．

而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径．

∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用APB ?．

在APB ?中，10==BP AP ，?=∠60APB ，∴10=AB ．由正弦定理：3

32060sin 2=?==AB R PO ．说明：(1)该题寻找?120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．

(2)充分借助于四边形PAOB 为一圆内接四边形，∵OA PA ⊥，OB PB ⊥，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．

典型例题十三

例13 如图，正方体的棱长为1，O BC C B =11 ，求：

(1)AO 与11C A 所成的角；

(2)AO 与平面AC 所成角的正切值；

(3)平面AOB 与平面AOC 所成的角．

解：(1)∵AC C A //11，

∴AO 与11C A 所成的角就是OAC ∠．

∵OB OC ⊥，⊥AB 平面1BC ，

∴OA OC ⊥（三垂线定理）．

在AOC Rt ?中，2

2=OC ，2=AC ，

∴?=∠30OAC ．

(2)作BC OE ⊥，平面1BC ⊥平面AC ．

∴OE ⊥平面AC ，OAE ∠为OA 与平面AC 所成的角．

在OAE Rt ?中，2

1=OE ，25)21(122=+=AE ． ∴5

5tan ==∠AE OE OAE ． (3)∵OA OC ⊥，OB OC ⊥，∴⊥OC 平面AOB ．

又∵?OC 平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC ．

说明：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题．求角度问题主要是求两条异面直线所成角??? ??2,0π，直线和平面所成角??

????

2,0π，二面角(]π,0三种．典型例题十四

例14 如图，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2=PB ，PB 与平面PCD 所成的角为?45，PB 与平面ABD 成?30角，求：

(1)CD 的长；

(2)求PB 与CD 所在的角；

(3)求二面角D PB C --的余弦值．

分析：从图中可以看出，四面体BCD P -是一个基础四面体，前面已推导出平面PBC 与平面BCD 所成的二面角的余弦值为333

221=??=??BD PC BC PD ，可见，基础四面体作为一部分，经常出现在某些几何体中．

解：(1)∵⊥PD 平面ABCD ，∴BC PD ⊥．

又⊥BC 平面PDC ，

∴BPC ∠为PB 与平面PCD 所在的角，

即?=∠45BPC ．

同理：PBD ∠即为PB 与平面ABD 所成的角，

∴?=∠30PBD ，

在PBC Rt ?中，∵2=PB ，∴2==PC BC ．

在PBD Rt ?中，?=∠30PBD ，∴1=PD ，3=BD ．

在BCD Rt ?中，2=BC ，3=BD ，∴1=CD ．

(2)∵CD AB //，∴PB 与CD 所成的角，

即为PB 与AB 所成的角，PBA ∠即为PB 与AB 所成的角

∵⊥PD 平面ABCD ，AB AD ⊥，∴AB PA ⊥（三垂线定理）．

在PAB Rt ?中，1==CD AB ，2=PB ，∴?=∠60PBA ．

(3)由点C 向BD 作垂线，垂足为E ，由点E 向PB 作垂线，垂足为F ，连结CF ． ∵⊥PD 平面ABCD ，∴CE PD ⊥．

又BD CE ⊥，∴⊥CE 平面PBD ，

CF 为平面PBD 的斜线，由于PB EF ⊥，

∴由三垂线定理：CF PB ⊥．

∴CEF ∠为二面角D PB C --的平面角

在BCD Rt ?中，2=BC ，1=DC ，3=BD ， ∴3

6=?=BD CD BC CE ．在PCB Rt ?中，2=

BC ，2=PC ，2=PB ， ∴1=?=PB

CP BC CF ， ∴3

6sin ==∠CF CB CFE ． ∴3

3cos =∠CFE ， ∴二面角D PB C --的余弦值为

33．说明：解空间几何计算问题，一般要做两件事：一件是根据问题的需要作必要证明，如本题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须说清楚究竟是谁；

另一件事才是计算，这两件事是根据问题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的．

典型例题十五

例15 过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，?=∠90BSC ，?=∠=∠60ASB ASC ，若截取a SC SB SA ===

(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ；

(2)求S 到平面ABC 的距离．

分析：要证明平面ABC ⊥平面BSC ，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC 或平面BSC 内找到一条与另一个平面垂直的直线．

(1)证明：∵a SC SB SA ===，

又?=∠=∠60ASB ASC ，

∴ASB ?和ASC ?都是等边三角形，

∴a AC AB ==，

取BC 的中点H ，连结AH ，∴BC AH ⊥．

在BSC Rt ?中，a CS BS ==，

∴BC SH ⊥，a BC 2=

， ∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴2

2a SH =．在SHA ?中，∴22

a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴SH AH ⊥，

∴⊥AH 平面SBC ．

∵?AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．

或：∵AB AC SA ==，

∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为BSC ?的外心，

又BSC ?为?Rt ，∴H 在斜边BC 上，

又BSC ?为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，

∴⊥AH 平面BSC ．

∵?AH 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．

(2)解：由前所证：AH SH ⊥，BC SH ⊥，∴⊥SH 平面ABC ，

∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 2

22==， ∴点S 到平面ABC 的距离为a 2

2．典型例题十六

例16 判断下列命题的真假

(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面．

(2)两个平面垂直，分别在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；

(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直．

分析：(1)若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体C A 1中，平面

AC ⊥平面1AD ，

平面 AC 平面1AD AD =，在AD 上取点A ，连结1AB ，则AD AB ⊥1，即过棱上一点A 的直线1AB 与棱垂直，但1AB 与平面ABCD 不垂直，其错误的原因是1AB 没有保证在平面11A ADD 内．可以看出：线在面内这一条件的重要性；

(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体C A 1中，平面1AD ⊥平面AC ，1AD ?平面11A ADD ，AB ?平面ABCD ，且1AD AB ⊥，即AB 与1AD 相互垂直，但1AD 与平面ABCD 不垂直；

(3)如上图，正方体C A 1中，平面11A ADD ⊥平面ABCD ，1AD ?平面11A ADD ，?AC 平面ABCD ，1AD 与AC 所成的角为?60，即1AD 与AC 不垂直．

说明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直．

典型例题十七

例17 如图，在?60二面角βα--a 内有一点P ，P 到α、β的距离分别为3和5，

求P 到交线a 的距离．

解：作α⊥PA 于A ，β⊥PB 于B ，

设PA ，PB 所确定的平面为γ，Q a = γ，

连AQ ，BQ ，∵α⊥PA ，

∴a PA ⊥．

同理a PB ⊥，∴⊥a 平面γ，

∴PQ a ⊥，则PQ 是P 到a 的距离．

在四边形PAQB 中，?=∠=∠90B A ，

∴PAQB 是圆的内接四边形，且R PQ 2=．

又∵?=∠60BQA ，?=∠120BPA ， ∴7120cos 53253=???-+=AB ，

33143

2760sin 2=?=?==AB R PQ ．说明：本例作二面角的平面角用作垂面法，避免了再证明P 、B 、A 、Q 四点共面，同时用到正弦定理和余弦定理．

典型例题十八

例18 如图，四面体SABC 中，A B C ?是等腰三角形，a BC AB 2==，?=∠120ABC ，且⊥SA 平面ABC ，a SA 3=．求点A 到平面SBC 的距离．

分析：考虑利用两个平面垂直的性质定理作出点A 到SBC 的垂线，先确定一个过点A 和平面SBC 垂直的平面，∵⊥SA 平面ABC ，故作BC AD ⊥于D ，连结SD ，则平面SAD ⊥平面SBC ，平面SAD 实际上就是二面角A BC S --的平面角SDA 所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角A BC S --的平面角的作图过程完全相同．

解：作BC AD ⊥交BC 于D ，连结SD ，

∵⊥SA 平面ABC ，根据三垂线定理有BC SD ⊥，又D AD SD = ，

∴BC ⊥平面SAD ，又BC ?平面SBC ，

∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC 平面ADS SD =，

∴过点A 作SD AH ⊥于H ，由平面与平面垂直的性质定理可知：⊥AH 平面SBC ．在SAD Rt ?中，a SA 3=，a AB AD 360sin =??=， ∴2

3)3()3(332222a a a a a AD SA AD

SA AH =+?=+?=，即点A 到平面SBC 的距离为2

3a ．说明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两．从本例可以看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与已知平面垂直的平面，则点面距即可根据面面垂直的性质作出．

(完整版)数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ．请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ．那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

小升初数学训练典型例题分析-找规律篇

名校真题测试卷找规律篇时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题）如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题）观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律，然后填写20012＋（）＝20022 3 （12年西城实验考题）一串分数：12123412345612812,,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题）在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。

(1)请你说明：11这个数必须选出来； (2)请你说明：37和73这两个数当中至少要选出一个； (3)你能选出55个数满足要求吗？【附答案】 1 【解】分解质因数，找出质因数再分开，所以分组为33、35、30、169和14、39、75、 143。 2 【解】上面的规律是：右边的数和左边第一个数的差正好是奇数数列3、5、7、9、11……，所以下面括号中填的数字为奇数列中的第2001个，即4003。 3 【解】分母为3的有2个，分母为4个，分母为7的为6个，这样个数2+4+6+8… 88=1980<2000，这样2000个分数的分母为89，所以分数为20/89。 4 【解】：第一次写后和增加5，第二次写后的和增加15，第三次写后和增加45，第四次写后和增加135，第五次写后和增加405，…… 它们的差依次为5、15、45、135、405……为等比数列，公比为3。它们的和为5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为1820+2+3＝1825。 5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就9个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长数的就是1~9某个单一的数比如111…11…，只出现11，因此11必选，同理要求前述9个数必选。 (2)，比如这个数3737…37…，同时出现且只出现37和37，这就要求37和73必须选出一个来。 (3)，同37的例子， 01和10必选其一，02和20必选其一，……09和90必选其一，选出9个 12和21必选其一，13和31必选其一，……19和91必选其一，选出8个。 23和32必选其一，24和42必选其一，……29和92必选其一，选出7个。 ……… 89和98必选其一，选出1个。

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1．故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在

小升初数学测试题经典十套题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* （人教版）小升初入学考试数学试卷(一) 班级______姓名______得分______ 一、选择题：（每小题4分，共16分） 1、在比例尺是1：4000000的地图上，量得A、B两港距离为9厘米，一艘货轮于上午6时以每小时24千米的速度从A开向B港，到达B港的时间是（）。 A、15点 B、17点 C、19点 D、21点 2、将一根木棒锯成4段需要6分钟，则将这根木棒锯成7段需要（）分钟。 A、10 B、12 C、14 D、16 3、一个车间改革后，人员减少了20%，产量比原来增加了20%，则工作效率（）。 A、提高了50% B、提高40% C、提高了30% D、与原来一样 4、A、B、C、D四人一起完成一件工作，D做了一天就因病请假了，A结果做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，若按天数计算劳务费，则这48元中A就分（）元。 A、18 B、19.2 C、20 D、32 二、填空题：（每小题4分，共32分） 1、学校开展植树活动，成活了100棵，25棵没活，则成活率是（）。 2、甲乙两桶油重量差为9千克，甲桶油重量的1/5等于乙桶油重量的1/2，则乙桶油重（）千克。 3、两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是（）。 4、一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：6，圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是（）厘米。

5、如图，电车从A站经过B站到达C站，然后返回。去时B站停车，而返回时不停，去时的车速为每小时48千米，返回时的车速是每小时（）千米。 6、扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步，分发左中右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。这时小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是（）。 7、前30个数的和为（）。 8、如图已知直角三角形的面积是12平方厘米，则阴影部分的面积是（）。三、计算：（每小题5分，共10分）

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年高考江苏卷试题 11 ）已知函数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则满足不等式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年高考天津卷理科 16) 设函数 f ( x ) = x 2 - 1 ，对任意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长）梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围；（Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

高考数学百大经典例题曲线和方程(新课标)

典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三

例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21<--k k ，即21k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五

(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ．当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ．那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++

通用版小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇(含答案)

测试卷找规律篇时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________ 1 （12年清华附中考题）如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，那么分组的情况是什么？ 2 （13年三帆中学考题）观察1+3=4 ； 4+5=9 ； 9+7=16 ； 16+9=25 ； 25+11=36 这五道算式，找出规律，然后填写20012＋（）＝20022 3 （12年西城实验考题）一串分数：12123412345612812 , ,,,,,,,,,,,.....,,,......,33,55557777779991111 其中的第2000个分数是 . 4 （12年东城二中考题）在2、3两数之间,第一次写上5,第二次在2、5和5、3之间分别写上7、8(如下所示),每次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有数之和是多少? 2......7......5......8 (3) 5 (04年人大附中考题) 请你从01、02、03、…、98、99中选取一些数，使得对于任何由0～9当中的某些数字组成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。为了达到这些目的。