《圆的方程》专题
圆的方程专题
圆的方程专题1．以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为（ ）A ．22(2)(1)3x y -++=B ．22(2)(1)3x y ++-=C ．22(2)(1)9x y -++=D ．22(2)(1)3x y ++-=2．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 3．若直线1x y a b +=与圆221x y +=有公共点，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．2211a b+≥1 4．若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．3D ． -35．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ）A ．10x y ++=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．10x y --= 6．过坐标原点且与x 2+y 2 + 4x+2y+25=0相切的直线的方程为（ ） A ．y=3x 或y=-31x B ． y=-3x 或y=31x C ．y=-3x 或y=-31x D ．y=3x 或y=31x 7．圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系是 （ ） A ． 相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切8．设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为( )A.± 2B.±2 C .±2 2 D.±49．在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．25B ．210C ．D ．22010．（2012天津））设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是（ ）A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞11 ．（2012重庆）对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222=+y x的位置关系一定是 A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心 12 ．（2012陕西）已知圆22:40C x y x +-=,l 是过点(3,0)P 的直线,则（ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能13．（2012年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是____.14 ．直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）A ．(2 3)-，B ．(2 3)，C ．(3 2)-，D (3 2)，15 ．（2013山东数学）过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=16． 已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ． 17．设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a =____________．18．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线(0)3y x x =≥相切，则这个圆的方程为 ．19．已知BC 是圆2225x y +=的弦，且6BC =，则BC 的中点的轨迹方程是______20．过点（—1,—2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________。
高中试卷-专题08 圆的方程(含答案)
专题08 圆的方程一、单选题1．（2020·湖南省高二月考）曲线方程表示一个圆的充要条件为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】表示圆的充要条件是，即.故选：C ．2．（2019·浙江省高二期中）圆心在上，半径为3的圆的标准方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】圆心在上，半径为3的圆的标准方程为：故选： B3．（2020·北京高三一模）设则以线段为直径的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.2240x y Ex y ++-+=15E >15E ³215E >215E ³()221440E +--´>215E >(2)1-，22(2)(1)3x y -++=22(2)(1)9x y -++=22(2)(1)3x y -+-=22(2)(1)9x y -+-=(2)1-，22(2)(1)9x y -++=()()2141A B -，，，，AB 22(3)2x y -+=22(3)8x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=AB ()3,02AB r ===22(3)2x y -+=A4．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）圆心为且过原点的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.5．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）已知点，，，则外接圆的圆心坐标为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.由.所以外接圆的圆心坐标为.故选：A6．（2020·陕西省陕西师大附中高一期末）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）()1,1()()22111x y -+-=()()22111x y +++=()()22112x y +++=()()22112x y -+-=()()2211(0)x y m m -+-=>()()220101(0)m m -+-=>2m =()()22112x y -+-=()3,6A ()1,4B ()1,0C ABC D ()5,2()5,2-()2,5()5,2-AB ()2,5AB 64131-=-AB 1-AB ()52y x -=--7y x =-+AC ()2,3AC 60331-=-AC 13-AC ()1323y x -=--11133y x =-+75111233y x x y y x =-+ì=ìïÞíí==-+îïîABC D ()5,2C 430x y -=xA ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x 轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．故选A7．（2020·江苏省王淦昌中学高一开学考试）已知圆M 与直线和都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】到两直线及的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得.两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为. 选.8．（2020·广东省高三月考（理））已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（ ）22(2)(1)1x y -+-=227(3)13x y æö-+-=ç÷èø22(1)(3)1x y -+-=223(1)12x y æö-+-=ç÷èø4315a b r -==12340x y -=34+100x y -=4y x =--M 22(3)(1)1x y ++-=22(3)(1)1x y -++=22(3)(1)1x y +++=22(3)(1)1x y -+-=340x y -=34100x y -+=3450x y -+=3450{4x y y x -+==--3{1x y =-=-21M ()()22311x y +++=C 221x y +=()1,0A ABC D 60BAC Ð=°B C BCA ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设中点为，圆心角等于圆周角的一半，，，在直角三角形中，由，故中点的轨迹方程是：，如图，由的极限位置可得，.故选：D9．（2020·全国高三月考（理））已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（ ）A ．100B ．25C ．50D．【答案】D 【解析】设圆的方程为，将代入可得，2212x y +=2214x y +=221122x y x æö+=<ç÷èø221144x y x æö+=<ç÷èøBC D Q 60BAC Ð=°60BOD \Ð=o BOD 1122OD OB ==D 2214x y +=BAC Ð14x <C ()()()4,6,2,2,5,5--,M N C CMN D 252C 220x y Dx Ey F ++++=()()()4,6,2,2,5,5--，解得.故圆的一般方程为，即，故的面积.面积的最大值为.故选：.10．（2019·全国高三二模（文））已知2，，成等差数列，则圆：上的点到点距离的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．【答案】C 【解析】因为2，，成等差数列，所以，可得，所以点的轨迹方程为，圆心，则圆上的点到点的最大值为.故选：C 二、多选题11．（2019·辽宁省高二期末）圆（ ）A ．关于点对称B ．关于直线对称C ．关于直线对称D ．关于直线对称【答案】ABC 【解析】，所以圆心的坐标为.A ：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以本选项正确；52460822050550D E F D E F D E F +++=ìï--+=íï+++=î2,4,20D E F =-=-=-C 2224200x y x y +---=()()221225x y -+-=CMN D 11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =Ð=´´Ð£´´´=CMN \D 252D 2m n +6-C (()2214x y -++=(),M m n 2m n +6-()2226m n +=-220m n ++=M 220x y ++=()1-C M max 325d =+=22410x y x +--=()2,00y =320x y +-=20x y -+=22224102)5(x y x x y +--=Þ+=-()2,0()2,0B ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；C ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；D ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以本选项不正确.故选：ABC12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知点，直线，下列结论正确的是（ ）A ．恒过定点B ．（为坐标原点）C ．到直线的距离有最小值，最小值为3D ．到直线的距离有最大值，最大值为5【答案】ABD 【解析】直线，当时，，故A 正确；，故B 正确；点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，直线过定点，位置如图：由图可知，点到直线的距离最小值为0，当直线与轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4，所以到直线的距离有最大值，最大值为5.故C 错误，D 正确.故选：ABD.13．（2019·福建省高一期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波0y =320x y +-=20x y -+=()()cos ,sin P R q q q Î:40l x my +-=l ()4,01OP =O P l P l :40l x my +-=0y =4x =1OP ==P ()0,0()4,0P l x P l ,A B ()1l l ¹罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系中,点.设点的轨迹为,下列结论正确的是（ ）A ．的方程为B ．在轴上存在异于的两定点,使得C ．当三点不共线时,射线是的平分线D ．在上存在点,使得【答案】BC 【解析】设点，则，化简整理得，即，故A错误；当时，，故B 正确；对于C 选项，，,要证PO 为角平分线，只需证明，即证，化简整理即证，设，则，，则证，故C 正确；对于D 选项，设,由可得，而点M 在圆上，故满足，联立解得，无实数解，于是D 错误.故答案为BC.三、填空题14．（2019·江苏省南京师大附中高三一模）圆关于直线的对称圆的方程为_____.xOy ()()2,0,4,0,A B -12PA P PB=满足P C C ()2249x y ++=x ,A B ,D E 12PD PE=,,A B P PO APB ÐC M 2||MO MA =(),P x y 12PA PB=2280x y x ++=()22416x y ++=()()1,0,2,0,D B -12PDPE =222cos =2AP PO AO APO AP PO+-Ð×222cos =2BP PO BO BPO BP PO +-Ð×cos =cos APO BPO ÐÐ22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO +-+-=××2228PO AP =-(),P x y 222PO x y =+()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+cos =cos APO BPO ÐÐ()00,M x y 2||MO MA =220003316+160x y x ++=2280x y x ++=0=2x 0y 22:(1)(2)4C x y ++-=21y x =-【答案】【解析】的圆心为，关于对称点设为，则有: ，解得，所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为.故答案为：15．（2020·广东省红岭中学高二期末）方程表示圆C 中，则圆C 面积的最小值等于________.【答案】【解析】当故答案为16．（2020·全国高三月考（理））已知点，，是圆上一点，则的最小值为_________【答案】【解析】设点，则又因为，则，22(3)4x y -+=22:(1)(2)4C x y ++-=(1,2)-21y x =-(,)x y 2121222112y x y x +-ì=´-ïïí-ï=-ï+î30x y =ìí=î(3,0)22(3)4x y -+=22(3)4x y -+=22230x y x my m +-+--=3p ()222222301424m m x y x my m x y m æö+-+--=\+++=++ç÷èø()222142344m R m m =++=++2m =-23R p p =3p(0,0)O (4,0)A M 22:(2)1C x y -+=||||OM AM 13(,)M x y 222222||||(4)OM x y AM x y +=-+22(2)1x y -+=221(2)y x =--故，，易得函数在上单调递增.则的最小值为，故的最小值为.故答案为：17．（2019·山东省高三期中）已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的方程为______，则点到圆上动点的距离最大值为______.【答案】 8 【解析】设圆的方程为由题意可得，解得，所以圆的方程为；设点到圆心的距离为，则点到圆上动点的距离最大值为.故答案为：；8四、解答题18．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．【答案】(x －3)2＋(y －3)2＝18.【解析】设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．由题意得解得∴圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.22||43101||413413OM x AM x x -==-+-+-+[1,3]x Î101413y x =-+-+[1,3]22||||OM AM 19||||OM AM 131330x y -=C y x C ()6,5P C Q ()()22319x y -+-=222()()x a y b r -+-=(0,0)a b >>22308a b a r b r -=ìï=íï+=î313a b r =ìï=íï=î()()22319x y -+-=()6,5P (3,1)C 5d ==()6,5P C Q 538d r +=+=()()22319x y -+-=222222(6)a b r a b r a b ì+=ï+-=íï=î点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．19．（2019·吉林省东北师大附中高一月考）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，求此圆的方程.【答案】，【解析】设圆的方程为：，则：，，所以或，因此圆的方程为：，. 20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）已知圆：，圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为.（1）求圆的方程；（2）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.或【解析】分析：(,)a b r ,,a b r ,,a b r y y x =30x y -=22(3)(1)9x y -+-=22(3)(1)9x y +++=222()()x a y b r -+-=||a r =30a b -==313a b r =ìï=íï=î313a b r =-ìï=-íï=î22(3)(1)9x y -+-=22(3)(1)9x y +++=（1）通过圆关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为，得到关于的方程组，求解方程组，选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程；（2）分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径求解直线方程。
圆的方程专题讲义
圆的方程专题讲义一、知识梳理圆的定义与方程注意：1确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()题组二：教材改编2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝13．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______．题组三：易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±46．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1三、典型例题题型一：圆的方典例 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________． 思维升华：(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．题型二：与圆有关的最值问题典例 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值． 2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．思维升华：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练：已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值与最小值．题型三：与圆有关的轨迹问题典例已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．思维升华：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．注意：利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．四、反馈练习1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0 3．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝44．若a ∈}431,0,2{ ，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C．1＋22D．2＋226．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．9．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．10．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为2 3. (1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|P A|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．14．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为55，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为_________________．。
高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)
高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
专题复习：圆的方程
第五讲圆的方程一学习目标1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．二疑难辨析1．关于圆的定义和确定圆的几何要素(1)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．()(2)确定圆的几何要素是圆的半径．()2．关于圆的标准方程和一般方程(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2，不论t 为什么实数都表示一个圆的方程．()(2)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．()3．关于圆的直径式方程已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()三典例分析例1(1)已知圆经过A(2，－3)，B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，则圆的标准方程是________．(2)△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则其外接圆的一般方程是________．例2在△OAB中，已知O(0,0)，A(8,0)，C(0,6)，△OAB的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P是圆上一点．(1)求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值；(2)若S＝|PO|2＋|P A|2＋|PB|2，求S 的最大值和最小值．变式题实数x，y满足x2＋y2＋2x －4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值：(1)yx－4；(2)3x－4y；(3)x2＋y2.1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x －y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设点(x ，y )与圆C 1的圆心(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，则⎩⎨⎧y －1x ＋1＝－1，x －12－y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2. 从而可知圆C 2的圆心为(2，－2)，又知其半径为1，故所求圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案：A3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0， ∴直线恒过定点(－1,2)，∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C4．方程x 2＋y 2－4kx －2y －k ＝0表示圆的充要条件是( )A.14＜k ＜1B ．k ＜14或k ＞1C ．k ∈RD ．k ＝14或k ＝1解析：此方程表示圆的充要条件是(－4k )2＋(－2)2＋4k ＞0，即4k 2＋k ＋1＞0.(*)∵Δ＝12－4×4×1＜0，∴(*)式恒成立，∴k ∈R .答案：C5．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(0,0)，直线AB 的斜率为k AB ＝－1，则过点C 且垂直于AB 的直线方程y ＝x ，圆心坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得y ＝x ＝1， 从而圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2，因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.答案：C6．(2013·福州调研)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)，且被x 轴分成两段弧长之比为2，则圆的方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43B.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13 解析：(排除法)由圆心在y 轴上，则排除A 、B ，再由过(1,0)，故半径大于1，排除D.答案：C二、填空题7．若圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0关于直线x －y ＋1＝0对称，则实数a 的值为__________．解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay－a ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－12，－a ， 所以－a 2－12＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1.当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3.答案：38．若圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点(x ，y )都使不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：据题意圆x 2＋(y －1)2＝1上所有的点都在直线x ＋y ＋m ≥0的右上方．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ≥0，|1＋m |2≥1.∴m 的取值范围是m ≥－1＋ 2.答案：m ≥－1＋ 29．(2013·南通调研)已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是圆x 2＋y 2＝2上两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则x 1x 2＋y 1y 2＝__________.解析：O A →＝(x 1，y 1)，O B →＝(x 2，y 2)，〈O A →，O B →〉＝120°， 则x 1x 2＋y 1y 2＝O A →·O B →＝|O A →|·|O B →|cos120°＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. 答案：－1三、解答题10．(2013·衡阳质检)根据下列条件求圆的方程．(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；(3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．解析：(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝r 2，(a －1)2＋(b －1)2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－3，r 2＝25.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)方法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)方法一 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.方法二：由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0.同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2， 即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝(1－1)2＋(2－12)2＝10.∴所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.11．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解析：方法一：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在OM 所在的直线上的情况)． 方法二：设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则由已知可得OP →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(－3,4)＋(x 0，y 0)∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－3y ＝y 0＋4，⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应去掉⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285. 12．(2013·烟台调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O 、C 两点的斜率k OC ＝b a ＝－1，故b ＝－a ，又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2.结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ (m －4)2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意.。
专题06 圆的方程(知识梳理+专题过关)(原卷版)
专题06圆的方程【知识梳理】1、圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中(),a b 为圆心，r 为半径．2、点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为(),C a b ，半径为r ，则有（1）若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=（2）若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->（3）若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<3、圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-．它表示一个点(,)22D E--．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆．4、用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组．（3）解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．5、轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．（3）求轨迹方程的步骤：①建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标；②列出关于,x y 的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答．【专题过关】【考点目录】考点1：圆的标准方程考点2：圆的一般方程考点3：点与圆的位置关系考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系考点5：定点问题考点6：轨迹问题【典型例题】考点1：圆的标准方程1．（2021·广东·深圳市南山区华侨城中学高二期中）已知以点()2,,0C t t R t t ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ､B ，其中O 为坐标原点.(1)试写出圆C 的标准方程；(2)求证：OAB 的面积为定值；(3)设直线24y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，若=OM ON ，求圆C 的标准方程.2．（2020·内蒙古·包头市第四中学高二期中）已知点(4,2)A 和(0,2)B -(1)求直线AB 的方程；(2)若圆C 经过,A B 两点，且圆心在直线23x y -=上，求圆C 的方程3．（2021·河北唐山·高二期中）圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A （1，0）、B （3，0）两点，则圆的方程为________．4．（2022·上海金山·高二期中）过直线2x y +=与直线0x y -=的交点，圆心为(1,1)C -的圆的标准方程是_____.5．（2022·全国·高二期中）已知点()6,8C ，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程是______．6．（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆224670x y x y +-++=同圆心且过点(1,1)P -的圆的方程是_____________．7．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））圆22(1)(2)4x y -++=关于直线y x =对称的圆的方程为______________.8．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知ABC 顶点的坐标为43(5,2),()1,(,0)A B C ，，则其外接圆的标准方程为_________．9．（2021·福建宁德·高二期中）某圆经过()()010610A B ，，，两点，圆心在直线21x y -=上，则该圆的标准方程为（）A ．()()223534x y +++=B ．()()223534x y -++=C ．()()223534x y ++-=D ．()()223534x y -+-=考点2：圆的一般方程10．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）已知ABC 的三个顶点分别为()()()4,0,0,2,2,2A B C --，求：(1)AB 边中线所在的直线方程(2)ABC 的外接圆的方程11．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））一圆经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．12．（2021·四川成都·高二期中（理））在平面直角坐标系中，有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,D a -四点，若它们在同一个圆周上，则=a ________．13．（2020·上海·华师大二附中高二期中）已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为________14．（2021·江苏无锡·高二期中）直线142xy+=与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A ．22420x y x y +--=B ．224210x y x y +---=C ．224210x y x y +--+=D ．22240x y x y +--=15．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆22620x y x y ++-=，则该圆的圆心和半径分别是（）．A ．()3,1--B ．()3,1-，10C ．()3,1-D ．()3,1-，1016．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点(2,1)M -，且经过圆224440x y x y +--+=与圆2240x y +-=的交点的圆的方程为（）A ．2260x y x y +++-=B ．2280x y x y ++--=C ．2220x y x y +-+-=D ．2240x y x y +---=考点3：点与圆的位置关系17．（2021·湖北宜昌·高二期中）若点()1,1A -在圆2220x y x y a +---=外，则实数a 的取值范围为（）A ．3a <B ．3a <-C ．534a <<D ．534a -<<考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系18．（2021·全国·高二期中）已知关于x ，y 的二元二次方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=．（1）当t 在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．19．（2021·四川巴中·高二期中）已知方程[)()2222cos 4sin 4sin sin 100,2x y x y αααααπ+-⋅-⋅+-+=∈表示圆.(1)求α的取值范围.(2)求该圆半径的最大值.20．（2021·福建宁德·高二期中）已知方程222450x y mx y +-++=表示圆，则m 的取值范围是____________.21．（2021·山东省实验中学高二期中）若曲线222:245160C x y ax ay a +-++-=上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围是______．22．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞23．（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．3(,)2-+∞24．（2020·四川巴中·高二期中（文））若方程2222210x y ax a a +++-+=表示圆，则a 的取值范围为（）A ．0a ≠B ．0a >C ．1a >D ．12a >25．（2021·湖南·高二期中）若方程22210x y y m +-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),0∞-D ．()0,∞+26．（2021·重庆·高二期中）若方程2220x y kx k ++-+=表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(1,7)B ．[1,7]C ．(,1)(7,)-∞+∞D ．(,1][7,)-∞⋃+∞考点5：定点问题27．（2021·全国·高二期中）已知动圆C 经过坐标原点O ，且圆心C 在直线:24l x y +=上.（1）求半径最小时的圆C 的方程；（2）求证：动圆C 恒过一个异于点O 的定点.28．（2020·湖南娄底·高二期中）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．（1）当a 取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．29．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（）A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1考点6：轨迹问题30．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点A 在圆C 上运动，求线段OA 的中点M 的轨迹方程.31．（2020·四川巴中·高二期中（文））已知圆C 经过点A （3，1）、B （－1，3），且它的圆心在直线320x y --=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若点D 为圆C 上任意一点，且点E （3，0），求线段ED 中点M 的轨迹方程.32．（2021·四川巴中·高二期中）已知圆C 经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点158,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，且点M 满足2AM MB =，求点M 的轨迹方程.33．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知圆22:4O x y +=上的一定点()2,0A ，点()1,1B 为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若90PBQ ∠=︒，求线段PQ 中点的轨迹方程．34．（2021·四川省江油市第一中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两条坐标轴的三个交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)若过点T （2，0）的直线l 与圆C 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，求M 的轨迹方程.35．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）1.已知圆C 过点(2,3)-，(0,3)-，(0,1)-.(1)求圆C 的标准方程；(2)已知点P 是直线210x y +-=与直线210x y ++=的交点，过点P 作直线与圆C 交于点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.36．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC 的顶点(3,0)B -，(3,0)C ，且||2||AB AC =，(1)设ABC 的外接圆为M ，请写出M 周长最小时的M 标准方程．(2)设顶点(,)A x y ，求顶点A 的轨迹方程及ABC 面积的最大值．37．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高二期中）已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．38．（2021·山西·侯马市第一中学校高二期中）已知圆C :()()22119x y -+-=，过点A (2，3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________________.39．（2021·四川·树德中学高二期中（文））若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π40．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）已知点A 的坐标是（-1，0），点M 满足|MA |=2，那么M 点的轨迹方程是（）A ．x 2+y 2+2x -3=0B ．x 2+y 2-2x -3=0C ．x 2+y 2+2y -3=0D ．x 2+y 2-2y -3=0。
圆的标准方程专题
圆的标准方程专题(六十一)1．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案 A解析设该直径的两个端点分别为P(a，0)，Q(0，b)，则A(2，－3)是线段PQ的中点，所以P(4，0)，Q(0，－6)，圆的半径r＝|PA|＝（4－2）2＋32＝13.故圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.2．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是() A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案 C解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2.∴a＝1，b＝1.∴r＝2.∴方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.3．(优质试题·贵州贵阳一模)圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4答案 A解析由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x －1)2＋(y－2)2＝2，故选A.4．(优质试题·沧州七校联考)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4答案 C解析 依题意，设圆C 的圆心坐标为(2，b)，(b<0)．则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2＋b －22|2＝2，∴b ＝－2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.选C.5．(优质试题·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1答案 B解析 C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1，1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.6．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D<0”是“圆C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C 与y 轴相切于原点⇔圆C 的圆心在x 轴上(设坐标为(a ，0))，且半径r ＝|a|.∴当E ＝F ＝0且D<0时，圆心为(－D 2，0)，半径为|D2|，圆C 与y 轴相切于原点；圆(x ＋1)2＋y 2＝1与y 轴相切于原点，但D ＝2>0，故选A.7．过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA 、OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( ) A ．点P(a ，b)一定在单位圆内 B ．点P(a ，b)一定在单位圆上 C ．点P(a ，b)一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P(a ，b)在单位圆上答案 B解析 由题意得|OC|＝a 2＋b 2＝1，所以点P(a ，b)在单位圆上，故选B.8．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0，1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋(y±33)2＝43B ．x 2＋(y±33)2＝13C ．(x±33)2＋y 2＝43D ．(x±33)2＋y 2＝13答案 C解析 方法一：(排除法)由圆心在x 轴上，则排除A ，B ，再由圆过(0，1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.方法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a)2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A(0，1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan60°＝|OA||OC|＝1|OC|，所以a＝|OC|＝33，即圆心坐标为(±33，0)，r 2＝|AC|2＝12＋(33)2＝43.所以圆的方程为(x±33)2＋y 2＝43，选C. 9．(优质试题·山东青岛一模)若过点P(1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB|＝( ) A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案 A解析 如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴OA ⊥AP.∵P(1，3)，O(0，0)， ∴|OP|＝1＋3＝2.又∵|OA|＝1，∴在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12.∴∠AOP ＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin ∠AOP ＝ 3.10．已知点P 在圆x 2＋y 2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2－x ＝0 B ．x 2＋y 2＋y －1＝0 C ．x 2＋y 2－y －2＝0 D ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0答案 B解析 设P(x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简，得x 2＋y 2＋y －1＝0.11．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2 B ．10 2 C ．15 2 D ．20 2答案 B解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD|＝12×210×25＝10 2. 12．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ) A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.13．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________． 答案 2<m<4 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1解析 ∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m)2＝－m 2＋6m －8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，∴2<m<4.当m ＝3时，r 最大为1， 圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.14．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________． 答案 (x ＋2)2＋(y －32)2＝254解析 对于直线3x －4y ＋12＝0，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－4.即以两点(0，3)，(－4，0)为端点的线段为直径，则r ＝32＋422＝52，圆心为(－42，32)，即(－2，32)． ∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝254.15．从原点O 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P ，Q ，则圆C 上两切点P ，Q 间的劣弧长为________． 答案 π解析 如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C(3，0)，半径r ＝32.在Rt △POC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.16．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8解析 由题意可设圆心A(a ，a)，如图，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.17．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析 方法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C(3a ，a)，半径为r ＝3|a|. 又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C(3a ，a)到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a|12＋12.∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.方法二：设所求的圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2， 则圆心(a ，b)到直线x －y ＝0的距离为|a －b|2.∴r 2＝(|a －b|2)2＋(7)2.即2r 2＝(a －b)2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9. 故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.方法三：设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F.令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F.④又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E 2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E)2＋56＝2(D 2＋E 2－4F)．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1. 故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0 或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 答案 (1)y 2－x 2＝1(2)x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3 解析 (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r. 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 02－x 02＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 02－x 02＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 02－x 02＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.1．(优质试题·河南天一大联考)以(a ，1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5 D ．x 2＋(y －1)2＝5答案 A解析 由题意，圆心在直线2x －y －1＝0上，将点(a ，1)代入，得a ＝1，即圆心为(1，1)，半径r ＝|2－1＋4|5＝ 5.∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.2．(优质试题·湖北宜昌月考)已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方． (1)求圆M 的方程；(2)设A(0，t)，B(0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值． 答案 (1)(x －1)2＋y 2＝1 (2)最大值是152，最小值274解析 (1)设圆心M(a ，0)，由已知，得M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－（32）2＝12，∴|8a －3|82＋62＝12，又∵M 在l 的下方， ∴8a －3>0，∴8a －3＝5，∴a ＝1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.。
圆的方程-2023届高考数学二轮专题必考点专练(含解析)
专专9.2圆的专专一、单选题1. 已知圆1C ：22()(2)1x a y ++-=与圆2C ：22()(2)4x b y -+-=相外切，a ，b为正实数，则ab 的最大值为 ( )A. B.94C.32D.22. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A. [2,6]B. [4,8]C.D.3. 已知圆2260x y x +-=，过点(1,2)D 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点(0,4)P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A. 30B. 40C. 60D. 805. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点，，若动点M 满足||2||MA MO =，则OM ON ⋅的取值范围是( )A.B.C.D.6. 若平面内两定点A ，B 之间的距离为2，动点P 满足|||PB PA =，则tan ABP∠的最大值为( )A.2B. 1C.D. 7. 已知圆22:2220M x y x y +---=，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为( )A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ++= 8. 已知圆221x y +=，点(1,0)A ，ABC 内接于圆，且60BAC ︒∠=，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是( )A. 2212x y +=B. 2214x y +=C. 2211()22x y x +=<D. 2211()44x y x +=<9. 已知线段AB 是圆C ：224x y +=上的一条动弦，且||23AB =，若点P 为直线40x y +-=上的任意一点，则的最小值为( )A. 1B. 1C. 2D. 2二、多选题10. 已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则( ) A. 点P 到直线AB 的距离小于10 B. 点P 到直线AB 的距离大于2C. 当PBA ∠最小时，||PB =D. 当PBA ∠最大时，||PB =11. 已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1:2，则圆C的方程为( )A. 224()33x y ++= B. 224(33x y +-=C. 224(3x y +=D. 224(3x y ++=12. 关于圆2221:2104C x y kx y k k +-++-+=，下列说法正确的是( ) A. k 的取值范围是0k >B. 若4k =，过(3,4)M 的直线与圆C 相交所得弦长为125160x y --=C. 若4k =，圆C 与圆221x y +=相交D. 若4k =，0m >，0n >，直线10mx ny --=恒过圆C 的圆心，则128m n+恒成立13. 圆C ：224630x y x y ++--=，直线:3470l x y --=，点P 在圆C 上，点Q在直线l 上，则下列结论正确的是( )A. 直线l 与圆C 相交B. ||PQ 的最小值是1C. 若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D. 从Q 点向圆C 引切线，切线长的最小值是314. 已知222{(,)|}A x y x y r =+=，222{(,)|()()}B x y x a y b r =-+-=，1122{(,),(,)}A B x y x y ⋂=，则( )A. 22202a b r <+<B. 1212()()0a x x b y y -+-=C. 1212,x x a y y b +=+=D. 221122a b ax by +=+三、填空题15. 已知P ，Q 分别为圆M ：22(6)(3)4x y -+-=与圆N ：22(4)(2)1x y ++-=上的动点，A 为x 轴上的动点，则||||AP AQ +的最小值为__________.16. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：2y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点.D 若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为__________.17. 已知圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，圆C 与抛物线24y x =的准线和x 轴都相切，则圆C 的方程为__________.18. 已知圆O ：221x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)(2)B b b ≠-和常数λ满足，对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=__________.19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直角ABC 中，直角顶点A 在直线60x y -+=上，顶点B ，C 在圆2210x y +=上，则点A 横坐标的取值范围是__________. 四、解答题20. 已知两个定点(4,0)A -，(1,0)B -，动点P 满足||2||.PA PB =设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ： 4.y kx =-()Ⅰ求曲线E 的轨迹方程；()Ⅱ若l 与曲线E 交于不同的C ，D 两点，且90(COD O ︒∠=为坐标原点)，求直线l的斜率；()Ⅲ若12k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点．答案和解析1.【答案】B解：由已知，得圆1C ：22()(2)1x a y ++-=的圆心为1(,2)C a -，半径1 1.r = 圆2C ：22()(2)4x b y -+-=的圆心为2(,2)C b ，半径2 2.r =圆1C ：22()(2)1x a y ++-=与圆2C ：22()(2)4x b y -+-=相外切，1212,||C C r r ∴=+即3a b +=， 由基本不等式，得29()24a b ab +=，取等号时32a b ==， 故选：.B2.【答案】A解：直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，∴令0x =，得2y =-，令0y =，得2x =-，(2,0)A ∴-，(0,2)B -，||4422AB =+=，点P 到直线20x y ++=的距离为ABP 的高h ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，圆心到直线的距离为：，所以点P 到直线的距离h 的最大值为22232+=，最小值为2222-=，则ABP 面积为，最大值为1223262⨯⨯=， 最小值为122222⨯⨯=， 所以ABP 面积的取值范围为[2,6]. 故选.A解：由圆的方程可得圆心坐标(3,0)C ，半径3r =，且点D 在圆内，设圆心到直线的距离为d ，则过(1,2)D 的直线与圆的相交弦长||AB = 当d 最大时||AB 最小，当直线与CD 所在的直线垂直时d 最大，这时||d CD ===所以最小的弦长||2AB ==， 故选.B4.【答案】B解：圆 M 的标准方程为 22(3)(4)25x y -+-=， 即圆是以 (3,4)M 为圆心，5为半径的圆，且由 22(03)(44)925-+-=<，即点 (0,4)P 在圆内， 则最短的弦是以 (0,4)P 为中点的弦， 所以 225()92AC =+，所以 8AC =， 过 (0,4)P 最长的弦 BD 为直径， 所以 10BD =，且 AC BD ⊥， 故而故选.B5.【答案】D解：设(,)M x y ，因为动点M 满足||||MA MO = 则222222(2)22(2)8x y x y x y ++=+⇒+-=，即(,)(1,0)[OM ON x y x ⋅=⋅=∈-， 故选.D解：以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 如图，则(1,0)A ，(1,0)B -，设，2222(1)2(1)x y x y ++=-+，整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+=，根据图象可知，当BP 为圆C 切线时，tan ABP ∠取得最大值， 此时BP == 则tan 1PC ABP PB ∠===， 故选：.B7.【答案】D解：圆M 方程的圆心(1,1)M ，半径2r =， 根据切线的性质及圆的对称性可知PM AB ⊥， 则||||42||||PAMPM AB SPA AM ⋅==⋅，要使||||PM AB ⋅最小，只需最小，即最小，此时PM l ⊥，min |212|||55PM ++∴==，22||||||1PA PM AM =-=， 过点M 且垂直于l 的方程为11(1)2y x -=-，将其与l 的方程联立，解得(1,0)P -， 以PM 为直径的圆的方程为，结合圆M 的方程两式相减可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故选.D(,)P x y8.【答案】D解：设BC 中点是D ，圆周角等于圆心角的一半，120BOC ︒∴∠=，60BOD ︒∠=，在直角三角形BOD 中，有12OD =， 故中点D 的轨迹方程是：2214x y +=， 考虑A ，B 重合的极限情况，此时30OAC ︒∠=， 则直线AC 所在的方程为3333y x =-， 联立，得或故C 的横坐标为12-，AC 的中点横坐标为1.4因为A ，B 不重合，所以D 点横坐标14x <， 故选：.D9.【答案】C解：由题意，过圆心C 作CD AB ⊥交AB 于点D ，又圆C ：224x y +=，圆心为(0,0)C ，半径2r =， 所以，则||||2||2||PA PB PC CA PC CB PC CD PD +=+++=+=， 当PC AB ⊥时，且D 在线段PC 上时，||PD 取最小值， 由点C 到直线40x y +-=的距离，所以，所以的最小值为42 2.-故选.C10.【答案】ACD解：由点(4,0)A ，(0,2)B ， 可得直线AB 的方程为240.x y +-=则圆心(5,5)=，故P 到直线AB 410<，42<，所以A 正确，B 错误.由题意可知，当直线PB 与圆相切时，PBA ∠最大或最小， 由于圆心到B 的距离为，此时，故C ，D 都正确.故选.ACD11.【答案】AB解：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π， 设圆心(0,)a ，半径为 r ， 则sin13r π=，cos||3r a π=，解得r =243r =，||3a =，即3a =±，故圆C 的方程为224(.33x y +±= 故选.AB12.【答案】ACD解：对于A ，若方程22212104x y kx y k k +-++-+=表示圆，则，化简得0k >，故A 正确；对于B ，若4k =，则圆22:4210C x y x y +-++=，即，圆心为，半径为2.过(3,4)M 的直线的斜率不存在时，直线方程为3x =，圆心到直线3x =的距离为1，则过(3,4)M 的直线与圆 C 相交所得弦长为2222123-=； 过(3,4)M 的直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ， 则直线方程为，即430kx y k -+-=，设圆心到直线430kx y k -+-=的距离为d ，因为弦长为23，则222223d -=，解得1d =， 故，解得125k =， 所以直线方程为，即125160x y --=，故满足条件的直线方程为3x =或125160x y --=， 故B 错误；对于C ，若4k =，则圆22:4210C x y x y +-++=，即，圆心为，半径为2.圆221x y +=的圆心为，半径为1，所以两圆心间的距离为，又21521-<<+，故两圆相交，故C 正确；对于D ，若4k =，则圆C 的圆心为，又直线10mx ny --=恒过圆C 的圆心，则21m n +=，又0m >，0n >， 则444248m n m n m n m=++⨯= 当且仅当224n m =，即11,42m n ==时等号成立， 故D 正确. 故选.ACD13.【答案】BCD解：圆的方程化为标准形式为，圆心为，半径 4.r =圆心C 到直线l 的距离为22|3(2)437|543(4)d ⨯--⨯-==>+-，∴直线l 与圆C 相离，不相交，故选项A 错误；||PQ 的最小值为541-=，故选项B 正确；圆C 上的点到l 的距离最小值为541-=，最大值为549+=，2(1,9)∈，∴圆C 上到直线l 的距离为2的点P 有2个，故选项C 正确；Q 到圆C 的切线QT ，T 为切点，则，当||QC 最小时||QT 最小，||QC 的最小值等于C 到直线l 的距离5d =，22||543QT ∴=-=最小值，故选项D 正确.故选.BCD14.【答案】BCD解：设两圆相交于111(,)P x y ，222(,)P x y ，圆，圆C ：222()()x a y b r -+-=，则02||OC r <<，即22204a b r <+<，故A 错误，两圆方程相减可得直线12P P 的方程为：22220a b ax by +--=，即2222ax by a b +=+， 分别把111(,)P x y ，222(,)P x y 两点代入2222ax by a b +=+得：221122ax by a b +=+，222222ax by a b +=+，两式相减得：12122()2()0a x x b y y -+-=，即1212()()0a x x b y y -+-=，故BD 正确； 由圆的性质可知：线段12P P 与线段OC 互相平分，12x x a ∴+=，12y y b +=，故C 正确，故选：.BCD15.【答案】3解：如图所示，因为圆N ：22(4)(2)1x y ++-=关于x 轴对称的圆为圆G ：22(4)(2)1x y +++=， 则||||AP AQ +的最小值为22||12105355 3.MG --=+-=-故答案为55 3.-16.【答案】3解：设(,2)A a a ，0a >，(5,0)B ，5(,)2a C a +∴， 则圆C 的方程为(5)()(2)0.x x a y y a --+-=联立2(5)()(2)0y x x x a y y a =⎧⎨--+-=⎩，解得(1,2).D223215(5,2)(,2)240.22a a a AB CD a a a a a ----∴⋅=--⋅-=+-= 解得：3a =或 1.a =-又0a >， 3.a ∴=即A 的横坐标为3.故答案为：3.17.【答案】22(1)(2)4x y -+-=解：圆C 的圆心在第一象限，且在直线2y x =上，故可设圆心为(,2)C a a ，0a >，圆C 与抛物线24y x =的准线1x =-和x 轴都相切，故有|1||2|a a +=，解得1a =，或1(3a =-舍去)，故半径为2， 则圆C 的方程为22(1)(2)4x y -+-=，故答案为：22(1)(2) 4.x y -+-=18.【答案】12解：根据题意，设(,)M x y ，若||||MB MA λ=，变形可得222||||MB MA λ=，即222222()(2)x b y x y λλ-+=++，又由221x y +=，则变形可得：2221245b bx x λλ+-=+， 则有2225142b bλλ⎧=+⎨=-⎩， 解可得1(2λ=负值舍去)，12b =-； 故答案为：1.219.【答案】[4,2]--解：如图过直线60x y -+=上点P 作圆2210x y +=的切线，当两条切线垂直时，根据，得4OPB π∠=， 所以， 则由题意得，设(,6)A x x +，则22(6)25x x ++，即2680x x ++，解得42x --，所以点A 横坐标的取值范围是[4,2].--故答案为[4,2].--20.【答案】解：(1)设点P 坐标为(,)x y ，由||2||PA PB ==， 平方可得22228164(21)x y x x y x +++=+++，整理得：曲线E 的轨迹方程为224x y +=； (2)直线l 的方程为4y kx =-，依题意可得三角形COD 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为1||2CD =则d ==，k ∴=；(3)由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上， 设1(,4)2Q t t -，以OQ 为直径的圆的方程为1()(4)02x x t y y t -+-+=， 即：22(4)02t x tx y y -+--=，又M ，N 在曲线E ：224x y +=上，可得MN 的方程为1(4)402tx t y +--=， 即()4(1)02y x t y +-+=，由0210y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线MN 过定点1(,1).2-。
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《圆的方程》专题2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名1．圆的定义及方程❶标准方程强调圆心坐标为(a ，b )，半径为r .❷(1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (2)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.二、常用结论汇总——规律多一点(1)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.(2)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x －a )2＋(y －b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＝0不一定表示圆．( )(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (二)选一选1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 因为圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D.3．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－3，3) C ．(－2，2)D.⎝⎛⎭⎫－22，22 解析：选C ∵点(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，∴(0－m )2＋(0＋m )2＜4，解得－2＜m ＜ 2.故选C.(三)填一填4．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．解析：法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 法二：画出示意图如图所示， 则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x ＝05．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________． 解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝－34a 2－a ＋1，因为该方程表示圆，所以－34a 2－a ＋1>0，即3a 2＋4a －4<0，所以－2<a <23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23考点一 求圆的方程[典例] (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝4(2)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________． [解析] (1)根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)法一：几何法设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三：待定系数法设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. [答案] (1)A (2)x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0[解题技法]1．求圆的方程的两种方法2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[题组训练]1．已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254解析：选C 法一：根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ，则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，a 2＋(－1)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝34，r 2＝2516，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 法二：设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.法三：因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 2．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 答案：(x －1)2＋(y ＋4)2＝83．已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④联立①②④，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 考点二 与圆有关的轨迹问题[典例] (1)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．[解析](1)设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. (2)设P (x ，y )，圆心C (1,1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以⊥. 又因为＝(2－x,3－y )，＝(1－x,1－y )． 所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0. 所以点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54[变透练清]1.(变条件)若将本例(2)中点A (2,3)换成圆上的点B (1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，圆心C (1,1)．当点P 与点B 不重合时，因为P 点是过点B 的弦的中点，所以⊥.又因为＝(1－x,4－y )，＝(1－x,1－y )． 所以(1－x )·(1－x )＋(4－y )·(1－y )＝0. 所以点P 的轨迹方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝94； 当点P 与点B 重合时，点P 满足上述方程．综上所述，点P 的轨迹方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝94. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝942．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [解题技法] 与圆有关的轨迹问题的3种常用求法[课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2. ∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.3．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5解析：选A 由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2x －y ＋4＝0的距离d ＝|2a －1＋4|5＝|2a －1－6|5，解得a ＝1，d ＝5，∵直线与圆相切，∴r ＝d ＝5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.4．(2019·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.5．已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( )A ．(－2，－4)B.⎝⎛⎭⎫－12，－1 C ．(－2，－4)或⎝⎛⎭⎫－12，－1 D ．不确定解析：选A ∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0.配方，得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，此时方程不表示圆．故选A.6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)． 根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离， 即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.7．圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________． 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝28．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．解析：设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |，得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.半径r＝|CA|＝(2＋1)2＋12＝10.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.由题意知(m－2)2＋(6)2＜10，解得0＜m＜4.答案：(0,4)9．若一个圆的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，且该圆与直线y＝x＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝r2(r>0)，因为该圆与直线y＝x＋3相切，所以r＝d＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x2＋(y－1)2＝2.答案：x2＋(y－1)2＝210．(2019·德州模拟)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的标准方程为________________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝911．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P 于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①所以|PA |＝210.所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2， 所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3， 所以y x ＋1·y x －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．B 级——创高分自选1．(2019·伊春三校联考)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C 1为(－1,1)，半径为1.易知点C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称的点为C 2，设C 2(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以C 2(2，－2)，所以圆C 2的圆心为C 2(2，－2)，半径为1，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.2．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝23．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴·＝0.又∵＝(3－x ，－y )，＝(－x ，－y )，∴x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255. 把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．。