2008年MBA数学真题及答案
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装订线 MBA联考数学真题2008年10月 一、问题求解 下列每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的。 1. 若
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(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) -3 (E) -2
答案:C [解] 设 [评析] (1)知识点：比例系数k的应用。 (2)注意事项：这里的比例系数设为t。 2. 设a，b，c为整数，且|a-b|29+|c-a|41=1，则|a-b|+|a-c|+|b-c|( )。
[评析] (1)知识点：等差数列通项公式。 (2)注意事项：形如an=an+b((a，b为常数)的数列为等差数列。 13. 某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8 人，AB型血的有3人。若从四种血型的人中各选1人去献血，则共有( )种选法。
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[解] 由于3+(-2)=1，2-3=-1，2＞-3但|2|＜|-3|，2×(-1)＜-1，可知(A) ，(B) ，(C) 都不正确。 [评析] (1)知识点：实数的性质应用。 (2)注意事项：负数。 4. 一个大干1的自然数的算数平方根为a，则与这个自然数左右相邻的两个自然数的算数平方根分 别为( )。 答案:D [解] 设n为大于1的自然数， =a，则n=a2，n-1，n+1分别为a2-1，a2+1，从而n-1，n+1的算 术平方根分别为 。 [评析] (1)知识点：自然数的性顷、算数平方根的概念。 (2)注意事项：看题要仔细。 5. 下图中，若△AEC，△DEC，△BED的面积相等，且△ABC的面积为1，则△AED的面积是( )。
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(A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 35 (E) 40
答案:A [解] 本题考查文氏图。遇到此类题目先画图，如图，设答对A题、B题、C题的人数分别为x人、y 人、z人，则根据题意有x+y=29，x+z=25，y+z=20。 从而x+y+z=37。因答对两题的人重复计算了两次，而答对三题的人即图中阴影部分计算了三 次，故总人数为：37-15-2×1=20人。 [评析] (1)知识点：集合间相互关糸问题。 (2)注意事项：解题时不重复、不遗漏。 10. |3x+2|+2x2-12xy+18y2=0，则2y-3x=( )。 (E) 答案:E [解] 由已知|3x+2|+2(x-3y)2=0，因此3x+2=0，x-3y=0,即 ，则 。 [评析] (1)知识点：非负数的应用。 (2)注意事项：该种题目一般以绝对值、平方、根号作为出题形式，以非负性作为出题“点”，所 以当出现0时，即是所有部分都为0。
答案:C [解] 设该班优秀生为x人，非优秀生为y人，则由题意 [评析] (1)知识点：应用题、平均数。 15. 若 对一切正实数x恒成立，则y的取值范围是( )。
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(A) 1＜y＜3 (B) 2＜y＜4 (C) 1＜y＜4 (D) 3＜y＜5 (E) 2＜y＜5
答案:A [解] 由知y＞0， ，由算术平均值与几何平均值的关系 时等号成立，即当x=1时， 取最小 值2，y+ ＜2×2=4，则 对一切正实数x恒成立，从而解不等式 即可。y2-4y+3＜0 1＜y＜ 3。 [评析] (1)知识点：重要不等式、一元二次不等式。 (2)注意事项：由x的条件恒成立转化到Y的取值范围，需要先处理x的相关问题。 二、条件充分性判断 (A) ：条件(1)充分，但条件(2)不充分 (B) ：条件(2)充分，但条件(1)不充分 (C) ：条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分 (D) ：条件(1)充分，条件(2)也充分 (E) ：条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分 16. 答案:E [解] 由条件(1)， ，即条件(1)不充分。由条件(2)， 即条件(2)不充分。联合条件(1)、条件 (2)，则得 。 [评析] 知识点：绝对值性质应用。 17. ax2+bx+1与3x2-4x+5的积不含x的一次方项和三次方项 (1)a:b=3:4 (2) 答案:B [解] (ax2+bx+1)(3x2-4x+5)=3ax4+(3b-4a)x3+(5a+3-4b)x2+(5b-4)x+6题干要求5b-4=0，3bfile:///C|/Documents and Settings/Administ...ocuments/My Snippets/MBA联考数学真题2008年10月.htm（第 5／8 页）[2012-12-7 12:11:11]
(E) 答案:B [解] 如图所示，做CF⊥AB，且交AB于F点，作DG⊥AB，且交AB于G点，由于已知 ，从而 BE=2AE，由已知 ，从而△AED的面积 [评析] (1)知识点：平面图形间的相关关系。 (2)注意事项：目的性要强，始终抓住“所要求的问题”，把题目的条件和“所要求的问题”紧紧结 合起来。 6. 若以连续掷两枚骰子分别得到的点数a与b作为点M落入圆x2+y2=18内(不含圆周)-的概率是( )。 (E) 答案:D [解] 要使(a，b)落在圆x2+y2=18内，即要求a2+b2＜18，掷两次骰子总可能性为6×6=36(种)， 满足a2+b2＜18的可能性有：(a，b)=(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4， 1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)共计10种，从而所求概率 。 [评析] (1)知识点：古典概型的扩展应用、综合性问题。 (2)注意事项：所有可能性不能遗漏。 7. 过点A(2，0)向圆x2+y2=1作两条切线AM和AN(见下图)，则两切线围成的面积(图中阴影部分) 为( )。
(E) 答案:E [解] 如图所示，连接O，N两点，则知ON=1，OA=2，从而AN= 面积为 。
，∠NOA=60°，所求阴影部分
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11. 一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调到600公里以外的乙站，每列车为125公里/小 时，若两列相邻的货车在运行中的间隔不得小于25公里，则这批物资全部到达乙站最少需要的小 时数为( )。
(A) a=1，x=-7 (B) a=2，x=-5 (C) a=2，x=7 (D) a=5，x=2 (E) a=5，x=
答案:C [解] 由已知x=1为方程 的解，从而有 ，因此 。 [评析] (1)知识点：简啦一次方程应用型问题。 9. 某班同学参加智力竞赛，共有A，B，C三题，每题或得0分或得满分，竞赛结果无人得0分，三 题全部答对的有1人，答对2题的有15人。答对A题的人数和答对B题的人数之和为29人，答对A题 的人数和答对C题的人数之和为25人，答对B题的人数和答对C题的人数之和为20人，那么该班的 人数为( )。
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(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) -3 (E) -2
答案:A [解] 直接用代入法，取a=c=1，b=0，则|a-b|+|a-c|+|b-c|=|1-0|+|1-1|+|0-1|=2。 [评析] (1)知识点：实数的性质应用。 (2)注意事项：只有其中的部分项等于1(或-1)或0才能够出现题设的情况，其他相似的题目都是 如此。 3. 以下命题中正确的一个是( )。
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(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20
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(A) 7.4 (B) 7.6 (C) 7.8 (D) 8 (E) 8.2
答案:C [解] 第一列货车从甲站到乙站需开行600公里，因相邻的货车在运行中的间隔不得小于25公里， 故第二列货车至少需开行600+25=625公里，依此类推，最后一列货车至少需开行600 +15×25=975公里。故最少需要的小时数为975÷125=7.8。 [评析] (1)知识点：典型应川题。 (2)注意事项：“至少”。 12. 下列通项公式表示的数列为等差数列的是( )。 答案:D [解] 用代入法，求出a1，a2，a3，即可知A，B，C，E都不是等差数列。若an=3n-1，则an-an1=3n-1-[3(n-1)-1]=3，所以an=3n-1是以2为首项，公差是3的等差数列。
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[评析] (1)知识点：圆切线的性质、三角函数、三角形而积公式、扇形面积公式。 (2)注意事项：此题日不难，需要对棚关知识点非常熟悉，另外，连接ON，是本题的关键点。 8. 某学生在解方程 时，误将式中的x+1看成x-1，得出的解为x=1的值和原方程的解应是( )。
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(A) 两个数的和为正数，则这两个数都是正数 (B) 两个数的差为负数，则这两个数都是负数 (C) 两个数中较大的一个其绝对值也较大 (D) 加上一个负数，等于减去这个数的绝对值 (E) 一个数的2倍大干这个数本身
2008年数二真题及标准答案及解析
证法一：假设线性相关．因为分别属于不同特征值的特征向量，故线性无
关，则可由线性表出，不妨设，其中不全为零(若同时为0，则为
0，由可知，而特征向量都是非0向量，矛盾)
，又
，整理得：
则线性相关，矛盾. 所以，线性无关.
证法二：设存在数，使得
(1)
用左乘(1)的两边并由得
(2)
(1)—(2)得
(3)
因为是的属于不同特征值的特征向量，所以线性无关，从而，
(3)【答案】 【详解】由微分方程的通解中含有、、知齐次线性方程所对应的特征方 程有根，所以特征方程为，即. 故以已知函数为通解的微分方程是 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】 【详解】时无定义，故是函数的间断点 因为 同理 又 所以 是可去间断点，是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486.
(2)若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点 （21）（本题满分11分）
求函数在约束条件和下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证； （2）为何值，方程组有唯一解，并求； （3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）
设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足， （1）证明线性无关； （2）令，求.
于是所求函数为
本题的难度值为0.497. (20)【详解】(I) 设与是连续函数在上的最大值与最小值，即
由定积分性质，有 ，即 由连续函数介值定理，至少存在一点，使得 即
(II) 由(I)的结论可知至少存在一点，使 又由 ，知 对在上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到，得
在上对导函数应用拉格朗日中值定理，有
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
2008年数二真题及标准答案及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若22(,)uvD F u v =，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F∂= ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ）()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()4sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x d x ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得 （21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+， （1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x edx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x yy xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yvvy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)(ln 21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴ ⨯=- 1λ⇒=-本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d y e x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122220000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知2()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1l n ()y t C=+， 即t y C e= 将(0)1y =代入知1C =，故t y e =，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+ 本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。
97-2008在职MBA历年真题-数学部分
1997年全国在职攻读工商管理硕士学位入学考试数学试题（本试卷满分为100分，考试时间为180分钟）一、选择题：本大题共20个小题，每小题2.5分,共50分。
1．（1997）若某人以1000元购买A、B、C三种商品，且所有金额之比是1∶1.5∶2.5,则他购买A、B、C三种商品的金额（单位：元）依次是 A. 100, 300, 600 B. 150, 225, 400 C. 150, 300, 550 D.200, 300, 500 E. 200, 250, 550 2. （1997）某地连续举办三场国际商业足球比赛, 第二场观众比第一场少了80%, 第三场观众比第二场减少了50%,若第三场观众仅有2500人, 则第一场观众有 A. 15000人 B. 20000人 C. 22500人 D. 25000人 E. 27500人 3. （1997）用一条绳子量井深, 若将绳子折成三折来量, 井外余绳4尺, 折成4折来量, 井外余绳1尺, 则井深是 A. 6 尺 B. 7尺C. 8尺 D. 9尺 E. 12尺 4. （1997）银行的一年期定期存款利率为10%, 某人于1991年1月1日存入1000元, 1994年1月1日取出, 若按复利计算,他取出时所得的本金和利息共计是 A. 10300元B.10303元 C. 13000元 D. 13310元 E. 14641元 5. （1997）某商品打九折会使销售增加20%, 则这一折扣会使销售额增加的百分比是 A. 18% B. 10%C. 8%D. 5%E. 2% 1126.(1997)??x,x是方程6x 7x a 0的两个实根，若 的几何平均值是3,则a的值是12xx12 A. 2 B. 3 C. 4 D. –2 E. –3 98年全国在职攻读工商管理硕士学位入学考试数学试题 1.1998某种商品降价20%后,若欲恢复原价,应提价 A.20% B.25% C.22% D.15% E.24% 2.1998商店本月的计划销售额为20万元,由于开展了促销活动,上半月完成了计划的60%,若全月要超额完成计划的25%,则下半月应完成销售额A.12万元B.13万元C.14万元D.15万元E.16万元3.1998一笔钱购买A型彩色电视机,若买5台余2500元,若买6台则缺4000元,今将这笔钱用于购买B型彩色电视机,正好可购7台,B型彩色电视机每台的售价是 A.4000元 B.4500元 C.5000元 D.5500元E.6000元4.1998采矿场有数千吨矿石要运走,运矿石汽车7天可运走全部的35%,照这样的进度,余下的矿石都运走还需 A.13天 B.12天 C.11天 D.10天E.9天5.1998在有上,下行的轨道上,两列火车相向开来,若甲车长187米,每秒行驶25米,乙车长173米,每秒行驶20米,则从两车头相遇到车尾离开,需要A.12秒 B.11秒 C.10秒 D.9秒 E.8秒恰有两若方程x px 37 0(x 1)(x 1) 2126.1998个正整数解x和x,则的值是12p 1A.-2 B.-1 C.- D.1 E.22 7.1998若在等差数列中前5项和S=15,前15项和S=120,则前10项和S 51510 A.40 B.45 C.50 D.55E.60 n+128.1998在(2+x)的展开式里,x的系数是n(n-1)n-2n-1n-2A. B.2n(n+1) C.2n(n+1) D.n(n-1) E.2n(n-1)2 9.1998若一球体的表面积增加到原来的9倍,则它的体积A.增加到原来的9倍 B.增加到原来的27倍C.增加到原来的3倍 D.增加到原来的6倍E.增加到原来的8倍 10.1998已知等腰直角三角形ABC和等边三角形BDC(如图),设 ABC的周长为22+4,则 BDC的面积是A.32B.62C.12D.23E.43 D C C A D A B B18.1998将3人分配到4间房的每一间中,若每人被分配到这4间房的每一间房中的概率都相同，则第一、二、三号房中各有1人的概率是33333 A. B. C.D. E.48163264 19.1998掷一枚不均匀的硬币，正面朝上的概率为2/3，若将此硬币掷4次，则正面朝上3次的概率是8832126 A. B. C. D. E.812781227数学试题1999年全国在职攻读工商管理硕士学位入学考试2．（1999）甲、乙、丙三名工人加工完一批零件，甲工人完成了总件数的34%，乙、丙两工人完成的件数之比是6:5，乙知丙工人完成了45件，则甲工人完成了： A．48件 B．51件C．60件D．63件E．132件52．解：正确的选择是B 45(6 5) 0.66 0.34 513．（1999）一列火车长75米，通过525米长的桥梁需要40秒，若以同样的速度穿过300米的隧道，则需要A．20秒B．约23秒C．25秒D．约27秒E．约28秒300 75 40 25525 753．解：正确的选择是C 4．（1999）某商店将每套服装按原价提高50%后再作7折“优惠”的广告宣传，这样每售出一套服装可获利625元。
2008—数二真题、标准答案及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y +=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ）()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. ()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin limx x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭O O O ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T nX x x =L ，()1,0,,0B =L ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+， （1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x edx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-， 将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒2311351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)21)- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yvvy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)(ln 21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=Q 3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+Q 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d y e x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122220000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知2()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1ln(y t C =+， 即t y Ce =将(0)1y =代入知1C =，故t y e =，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x x y f x e e -==+本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a a a a A r ar aaa a =-=O O L OO O OO O OO OO121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a an a a n a r ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++O K O OO OO 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a-=-OO O OO21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=L即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+L1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102*********n n n nn n a a a aa a a a D na a a a a --⨯-⨯-===O O OO O OO O OO OO所以 11(1)n n D nx D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭M O OM 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +L L为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)Q 11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案
（Ⅱ）记 则 可逆，
即 .
【难易度】★★
【详解】
解析：
则 。记 ，则
则 ，正、负惯性指数相同，故选
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数 连续，且 ，则
【答案】2
【考点】等价无穷小
【难易度】★★
【详解】
解析：利用等价无穷小因子替换有
.
（10）微分方程 的通解是 .
【答案】y＝Cx－xe－x，其中C为任意常数
2个无穷间断点
2个跳跃间断点
【答案】
【考点】函数间断点的类型
【难易度】★★
Hale Waihona Puke 【详解】解析： 的间断点为 ，而 ，故 是可去间断点；
， ，故 是跳跃间断点
故选 .
（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
【详解】
解析：令
得方程组 即 ，解得 或
得 .
.
（22）（本题满分11分）
设 元线性方程组 ，其中 ， ， .
（Ⅰ）证明行列式 ；
（Ⅱ）当 为何值时，该方程组有唯一解，求 ；
（Ⅲ）当 为何值时，该方程组有无穷多解，求通解.
【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）证明：消元法．记
．
（Ⅱ）由克莱姆法则， 时方程组有唯一解，故 时方程组有唯一解.
由克莱姆法则，将 得第一列换成 ，得行列式为
所以， ．
（Ⅲ）当 时，方程组为
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ，其中 为任意常数．
2008—数二真题、标准答案及解析
( B) E − A 不可逆， E + A 可逆.
(C ) E − A 可逆， E + A 可逆.
( D) E − A 可逆， E + A 不可逆.
（8）设
A
=
⎛ ⎜ ⎝
1 2
2 1
⎞ ⎟ ⎠
，则在实数域上与
A
合同的矩阵为（
）
(
A)
⎛ ⎜ ⎝
−2 1
1⎞
−2
⎟ ⎠
.
(
B)
⎛ ⎜ ⎝
2 −1
−1⎞
2
本题的难度值为 0.537.
(6)【答案】 A
【详解】用极坐标得
( ) 所以 ∂F = vf u2 ∂u
本题的难度值为 0.638.
(7) 【答案】 C
∫∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) F
u, v
=
D
f
u2 + v2 u2 + v2
dudv =
v
dv
0
u 1
f
(r r
2
)rdr
=v
u 1
f
(r2 )dr
⎟ ⎠
.
(C
)
⎛ ⎜ ⎝
2 1
1⎞
2
⎟ ⎠
.
(
D
)
⎛ ⎜ ⎝
1 −2
−2 ⎞
1
⎟. ⎠
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
已知函数
f
(
x)
连续，且
lim
x→0
1− cos[xf (ex2 −1) f
( x)] (x)
2008年1月MBA考试综合能力真题和答案
14、若从原点出发的质点M向轴的正向移动一个和两个坐标单位的概率分别是，则该质点移动3个坐标单位，到达的概率是：
A.B.C.D.E.
15、某乒乓球男子单打决赛在甲乙两选手间进行比赛用7局4胜制。已知每局比赛甲选手战胜乙选手的概率为0.7，则甲选手以4：1战胜乙的概率为：
ABCDE
4、某单位有90人，其中65人参加外语培训，72人参加计算机培训，已知参加外语培训而未参加计算机培训的有8人，则参加计算机培训而未参加英语培训的人数是（）
A5B8C10D12E15
5、方程的两根分别为等腰三角形的腰和底（）,则该三角形的面积是（）
ABCDE
6、一辆出租车有段时间的营运全在东西走向的一条大道上，若规定向东为正向，向西为负向。且知该车的行驶的公里数依次为-10、6、5、-8、9、-15、12，则将最后一名乘客送到目的地时该车的位置是（）
10、直角边之和为12的直角三角形面积最大值等于：
A16B18C20D22E以上都不是
11、如果数列的前n项的和，那么这个数列的通项公式是：
ABCDE以上都不是 12、以Leabharlann 线为对称轴且与直线对称的直线方程为：
ABC
DE以上都不是
13．有两排座位，前排6个座，后排7个座。若安排2人就坐。规定前排中间2个座位不能坐。且此2人始终不能相邻而座，则不同的坐法种数为：
一、问题求解（本大题共15小题，每小题3分，共45分。下列每题给出的五个选项中，只有一项是符合试题要求的。请在答题卡上将所选项的字母涂黑。）
1、
ABCDE以上都不对
2、若的三边为满足，则为（）
A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形E以上都不是
2008年数二真题及标准答案及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--,则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3(2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ )()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积。
(3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ） （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛。
()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛。
()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛。
（6）设函数f 连续,若22(,)uvD F u v =，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F∂= （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵。
若30A =，则（ ()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。
()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。
()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭。
30676 77D4 矔 29252 7244 牄27551 6B9F 殟-25596 63FC 揼：二、填空题：9—14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.(10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =。
2008MBA数学真题及解析完整版3
17.两直线y = x +1, y = ax + 7与x轴所围成的面积是 27 . 4
(1) a=-3
(2) a=-2
解析：17.条件（2）a=-2代入，则
y
=
2x
+
7与y
=
x
+ 1交点为(
2，3)，则如下图面积为⎛⎜⎝
7 2
解析：9. 选（C）
（本题：需强调混合以后总价值不变）
设：这样混合后售价为x，则甲售价为x+3，乙
售价为x-1
总质量= 200 + 480 = 680 从选项代入x = 17满足 x +3 x −1 x
10. 直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于（）。 A.16 B.18 C.20 D.22 E.不能确定
+1⎞⎟⎠
×
3 2
=
27 4
选B
18.f ( x)有最小值2.
(1) f ( x) = x − 5 + x − 1
12
12
(2) f (x)= x − 2 + 4− x
解析：18.y = x − a + x − b 的最小值为 a − b ,故条件（2）充分 选B
19.申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过。若在同一批学员中有 70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考，则最后领到驾驶执照的人有 60%。 （1）10%的人两种考试都没有通过。 （2）20%的人仅通过了路考。
7、如图所示，长方形 ABCD 中，AB = 10厘米, BC = 5厘米 ，以 AB ，AD 为半径做 1 圆， 4
详解2008年MBA联考数学真题
主持人：郑老师老师你刚才说今年的这份题目在数学方面，比往年相比难了，你认为难在什么地方？
郑家俊：那么我现在具体解析一下今年的考题。
你比方说第一题，我们看看这个题，它究竟什么意思。一加三乘以一加三的平方，是这样吧，然后一加三的立方，一直是乘，最后一个是一加上三的三十二次方，不是十二次方。然后加一个二分之一，这个二分之一很有用，没有他这个题解不出来。
我们推出这样一个式子，中括弧里面三个都是非负的数，我们推出a=b=c。那么三角形三边相等，等边三角形。
这个题我们讲过，你挪过去之后，就差一个二分之一。这个不算难。
郑家俊：这个第三题是个容易做错的题。它也不难。咱们一道题一张纸。
一个正方形那题，一个正方形，你什么都不需要做，你看一眼就行了。你把这个、这个连起来了，你看出来现在的是原来的一半，一半一半一半下去就完了。因为什么呢？弄清楚头一个是a的平方。第二个是二分之a方，这就是它说的p1，它求的是p6。其实不是第六项，是第七项，这个不能错，这个第二项是2的一次方，这个第三项是2的平方的a方，第四项是2的三次方的a方，就是八分之a方。一直往后，你就不用问了，第七项就是2的6次方分之a方。那么就等于64分之a方，千万别选32分之a方。那么就白忙活了，这个不是第六项，是第七项。它是一个等比数列，公比是2分之1。这就是第三题。