高三数学一轮复习精品教案3：三角函数的图象和性质教学设计

第4课时 三角函数的图象和性质1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间『0，2π』上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．『梳理自测』1．(教材改编)函数y ＝|sin x|的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 2．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 4．(教材精编题)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为________． 5．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________． 『答案』1.C 2.B 3.B 4.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4(k ∈Z) 5.⎣⎡⎦⎤12，1◆以上题目主要考查了以下内容：(1)三角函数的图象和性质(2)周期性①一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．③函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 及函数y ＝A cos(ωx ＋φ)；x ∈R(其中A 、ω、φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝2πω．『指点迷津』1．一点提醒求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y ＝sin x ，x ∈『0，2π』，y ＝cos x ，x ∈『0，2π』的五点是：零点和极值点(最值点)． 3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f (x ＋T )＝f (x )②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象．图象重复的x 的长度．考向一 三角函数的定义域、值域(1)函数y ＝1tan x －3的定义域为________．(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 『审题视点』 (1)使分母及tan x 都有意义的x 值． (2)换元，设t ＝sin x 转化二次函数最值． 『典例精讲』 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Ztan x ≠3，∴⎩⎨⎧x ≠k π＋π2x ≠k π＋π3，k ∈Z.∴所求函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π3，k ∈Z .(2)函数变为y ＝1－sin 2x ＋sin x . 设t ＝sin x ，⎝⎛⎭⎫|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. 函数变为f (t )＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54 ∴当t ＝12，即sin x ＝12，x ＝π6时，y max ＝54.当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝12－22. 『类题通法』 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．1．(2014·北京市海淀区高三调研)已知函数f (x )＝2－(3sin x －cos x )2. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值和f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间『－π6，π3』上的最大值和最小值．『解析』(1)因为f (x )＝2－(3sin x －cos x )2 ＝2－(3sin 2x ＋cos 2x －23sin x cos x ) ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)，所以f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2sin 2π3＝3，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)当x ∈『－π6，π3』时，2x ∈『－π3，2π3』，(2x ＋π6)∈『－π6，5π6』，所以当x ＝－π6时，函数取得最小值f (－π6)＝－1，当x ＝π6时，函数取得最大值f (π6)＝2.考向二 三角函数的单调性(1)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为________； (2)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，求函数在『－π，0』上的单调递减区间．『审题视点』 把sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3视2x ＋π6、2x －π3为一个整体，(并注意定义域)使之落在正、余弦的单调区间内求x 的区间．『典例精讲』 (1)设u ＝2x ＋π6，则y ＝cos u ，当2k π－π≤u ≤2k π(k ∈Z)时， y ＝cos u 随u 的增大而增大．又∵u ＝2x ＋π6随x 的增大而增大(x ∈R)，6即k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z)时，y 随x 的增大而增大，∴y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的单调递增区间为： ⎣⎡⎦⎤k π－712π，k π－π12(k ∈Z)． (2)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z.从而x ∈『－π，0』时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12，⎣⎡⎦⎤－π12，0. 『类题通法』 (1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．(2)图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了．2．(1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝ f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a『解析』(1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)得，k π－π6＜2x ＜k π＋5π6(k ∈Z)，212212故函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，无单调减区间．(2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7＜f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)＜f ⎝⎛⎭⎫π7， 所以c ＜a ＜b .『答案』(1)⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) (2)B考向三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性(1)(2014·泉州模拟)已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6 D ．－π3(2)(2014·湖南六校联考)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0＜ω＜5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________．『审题视点』 (1)利用f (－x )＝f (x )恒成立求φ. (2)利用对称轴、对称中心及周期公式求解． 『典例精讲』 (1)由已知得f (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤－3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3恒成立，展开得sin 3x sin(φ＋π3)＝0恒成立，故sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3＝0恒成立，只有选项D 符合． (2)由题设，有f ⎝⎛⎭⎫π4ω＝±a 2＋b 2， 即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，由此得到a ＝b . 又f ′⎝⎛⎭⎫π8＝0，所以aω⎝⎛⎭⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0， 从而tan ωπ8＝1，ωπ8＝k π＋π4，k ∈Z ，即ω＝8k ＋2，k ∈Z ，而0＜ω＜5，所以ω＝2，于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x ) ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故f (x )的最小正周期是π. 『答案』 (1)D (2)π『类题通法』 (1)三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．(2)三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴通过它们的极值点，对称中心是图象的零点．y ＝tan x 的对称中心是它的零点或间断点．3．(1)(2014·石家庄高三模拟)已知函数f (x )＝|sin(2x －π6)|，下面说法正确的是( )A ．函数的周期为π4B ．函数图象的一条对称轴方程为x ＝π3C ．函数在区间『2π3，5π6』上为减函数D ．函数是偶函数『解析』选B.若x ＝π3，则f (x )＝1，∴x ＝π3是函数图象的一条对称轴，故选B.(2)(2014·荆州市高三质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，且函数图象关于点(－3π8，0)对称，则函数的解析式为________．『解析』由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，2×(－3π8)＋φ＝k π，∴φ＝k π＋3π4，又0＜φ＜π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin(2x ＋3π4)．『答案』y ＝sin(2x ＋3π4)三角函数单调性忽视x 的系数致错求函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3的单调区间为________． 『正解』 原函数变形为y ＝－12sin ⎝⎛⎭⎫2x 3－π4，令u ＝2x 3－π4，则只需求y ＝sin u 的单调区间即可．∴y ＝sin u 在2k π－π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，即3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z)上单调递增；y ＝sin u 在2k π＋π2≤u ＝2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，即3k π＋9π8≤x ≤3k π＋218π(k ∈Z)上单调递减．故y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3的递减区间为⎣⎡⎦⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z)，递增区间为⎣⎡⎦⎤3k π＋9π8，3k π＋21π8(k ∈Z)．『答案』 递减区间为⎣⎡⎦⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z)，递增区间为⎣⎡⎦⎤3k π＋9π8，3k π＋21π8(k ∈Z)『易错点』 由于受思维定式影响，本题容易出现仍然按照函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的单调区间的判断方法进行，如认为当x 满足2k π－π2≤π4－23x ≤2k π＋π2(k ∈Z)时函数单调递增，就会求错函数的单调区间．『警示』 (1)对于其它形式的三角函数，首先要变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)才可．(2)求单调区间要注意定义域．1．(2013·高考浙江卷)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件『解析』选B.先判断由f (x )是奇函数能否推出φ＝π2，再判断由φ＝π2能否推出f (x )是奇函数．若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z)，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．2．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2』 『解析』选A.由π2＜x ＜π得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin α在⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤32π，解得12≤ω≤54，故选A.3．(2013·高考全国大纲卷)已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 『解析』选C.逐项分析检验，确定答案． A 项，因为f (2π－x )＝cos(2π－x )sin(4π－2x ) ＝cos(－x )sin(－2x )＝－cos x sin 2x ＝－f (x )， 所以y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称，故正确． B 项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin(2π－2x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故正确．C 项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝－2sin 3x ＋2sin x ，令sin x ＝t ，则高三数学一轮复习教案11 t ∈『－1，1』，f (x )的最大值问题转化为求h (t )＝－2t 3＋2t 在t ∈『－1，1』上的最大值．h ′(t )＝－6t 2＋2，令h ′(t )＝0，得t ＝－33或33，经计算比较得最大值为h ⎝⎛⎭⎫33＝439，故错误． D 项，由f (－x )＝cos(－x )sin(－2x )＝－cos x sin 2x ＝－f (x )知其为奇函数，综合选项A 、B 知f (x )为周期函数，故正确．4．(2013·高考江西卷)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 『解析』由于y ＝sin 2x ＋23sin 2x＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝2π2＝π. 『答案』π。