初中数学竞赛第二十三讲平面几何的定值与最值问题(含解答)
数学培优竞赛新方法-第23讲 几何定值
第23讲 几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。
解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。
例题求解【例1】 （1）如图1，圆内接ABC ∆中，CA BC AB ==，OE OD ,为圆O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC ∆的面积的31. （2）如图2，若DOE ∠保持︒120角度不变，求证：DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC ∆的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC ∆的面积的31．【例2】如图，⊙1O 和⊙2O 外切于点A ，BC 是⊙1O 和⊙2O 的公切线，C B ,为切点． （1）求证：AC AB ⊥；（2）过点A 的直线分别交⊙1O 和⊙2O 于点E D ,，且DE 是连心线时，直线DB 与直线EC 交于点F ．请在图中画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE 绕点A 旋转（DE 不与点C B A ,,重合），请另画出图形，并判断DF 与EF 是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．【例3】如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角．【例4】如图，扇形OAB 的半径3=OA ，圆心角︒=∠90AOB ，点C 是弧AB 上异于B A ,的动点，过点C 作OA CD ⊥于点D ，作OB CE ⊥于点E ，连接DE ，点H G ,在线段DE 上，且HE GH DG ==.（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在弧AB 上运动时，在DG CG CD ,,中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度； （3）求证：223CH CD +是定值．【例5】 如图，已知等边ABC ∆内接于圆，在劣弧AB 上取异于B A 、的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．以退为进【例6】如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于B A ,两点，交y 轴于D C ,两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为()8,0,2=-AE ．（1）求点C 的坐标；（2）连接BC MG ,，求证：BC MG ∥；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ．动点F 在⊙M 的圆周上运动时， PFOF 的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．学力训练基础夯实1. 阅读下列材料，然后解答问题．2. 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形． 3. 如图，已知正四边形ABCD 的外接圆⊙O ，⊙O 的面积为1S ，正四边形ABCD 的面积为2S ，以圆心O 为顶点作MON ∠，使︒=∠90MON ，将MON ∠绕点O 旋转，ON OM ,分别与⊙O 相交于点F E ,，分别与正四边形ABCD 的边相交于点H G ,．设由,,OF OE 弧EF 及正四边形ABCD 的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S . （1）当OM 经过点A 时（如图①），则21,,S S S 之间的关系为：=S （用含1S 、2S 的代数式表示）；（2）当AB OM ⊥时（如图②），点G 为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当MON ∠旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．4. 如图，在等腰三角形ABC ∆中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AC AB ,相切，切点分别为E D ,．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AC AB ,于N M ,．求证：CN BM ⋅为定值。
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题(含答案)
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在 AB 上滚动，切点为 T，⊙O 交 AO，BO 于 M，N，则 弧 MTN（ ）
A.在 0°到 30°变化
B.在 30°到 60°变化
C.保持 30°不变
D.保持 60°不变
5.如图，AB 是⊙O 的直径，且 AB=10，弦 MN 的长为 8.若 MN 的两端在圆上滑动时，始终与 AB 相交， 记点 A，B 到 MN 的距离分别为 h1，h2，则∣h1-h2∣等于（ ）
A
C
(P) O
D
B
①
D
A
C P O
B D ①
D
C
PB O
D ①
O
C A
P
①
B
O
C
P
A (B)
①
O
(D)C
A(B)
P ①
（2）已知⊙O 的半径为一定值 r，若点 P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点 P 任作一直线交⊙O 于 不重合的两点 E，F. PE·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文 字叙述出来.
（第 7 题图）
（第 8 题图）
8.如图，设 H 是等腰三角形 ABC 两条高的交点，在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的 距离变小，这时乘积 S△ABC·S△HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.
9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 1 x 2 4 x 10 与 x 轴的交点为点 A，与 y 轴的交点 18 9
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）
【例 1】 如图，已知 P 为正方形 ABCD 的外接圆的劣弧A⌒D上任意一点.求证： PA PC 为定值. PB
人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题(包含答案)
人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值.【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变C.等分DB⌒ D.随C 点的移动而移动【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.P AB CDAPB【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（图1）（图2）【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.【能力训练】1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则BOACE HG D A=+21S S _______.（第1题图） （第3题图） （第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A.30°B.40°C.50°D.60°5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ） A ．在平分AB 的某直线上移动 B.在垂直AB 的某直线上移动 C.在弧AMB 上移动 D.保持固定不移动（第5题图） （第6题图） 6.如图，A ，B 是函数xky =图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A.3 B.6 C.9 D.127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.A ABCDEFAB'（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.⑥⑤④③②①P(B )A PB9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图） （第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证： （1）2222DK CK BK AK +++是定值； （2）2222DA CD BC AB +++是定值.11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.P D CB A A折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋ ）A. ∠1＋∠2＝900°－2α B. ∠1＋∠2＝1080°－2α C. ∠1＋∠2＝720°－α D. ∠1＋∠2＝360°－21α（第3题图） （第4题图）4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则弧MTN （ ）A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8.若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A.5B.6C.7D.8（第5题图） 12GF EDCHBAB6.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明：FC （AC +EC ）为定值.7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（第7题图） （第8题图）8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.NKMB AC HCBA（第9题图） （第10题图） 10.已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变. 参考答案例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点． 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角． 例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 .DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN ＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = .∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值． 例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OFPF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35． 例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •P A ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴P A ＝PB ＋PC ，从而P A 2＋ PB 2＋ PC 2＝ (PB ＋PC )2＋ PB 2＋ PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×()23＝6．故P A 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273 提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝x B •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22.5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP •2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP •2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a ＋2a )，从而21AP BPCP DP+=-+为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设F A 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD ＝2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD ＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1 ⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PMEC PC=，即()2112x x EC--=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989)⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥P A ，故只要QC ＝P A 185． ⑶即可，而P A ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4.5．说明P在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝P A ＋AF ＝P A ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋2＝244414255=．∴t ＝ 4145－2． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝224．由于224≈15，又0≤5t ≤22.5，∴－8≤5t －8≤14.5，14.52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，当t ＝4145－2时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ．容易证明△AEM ≌△ACH ，△B G N ≌△BCH ．从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ．这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点，连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线，从而OP ⊥AB ，OP ＝12(EM ＋G N )＝ 12(AH ＋BH )＝12AB ．∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．。
数学竞赛中平面几何最值问题的解法
（９８ 武 汉 市 中学 数 学 竞 赛 ） １５ ，
解 ： 图 ３ 如 ，
Ｏ
设 Ｏ Ｂ为扇形 ， Ａ 有 Ａ Ｂ＝１０ ， Ｏ ２￣
ＯＡ ＝ １． Ｃ ＤＥＦ
．
为 其 内 接矩 形 ．
设 Ｃ ＝ ， Ｄ
图 ３
Ｏ ＝Ｙ 过 ０ 作 Ｄ ，
即 Ａ＋Ｏ 的最小值为 Ｏ Ｃ
．
４ 二 次 函数 法
３ 判 别 式 法
利 用 二 次 函数 的性 质 求 得 结 果 ．
例 ４ 已知 △ Ａ Ｃ 是 边 长 为 １的 正 三 角 Ｂ
根据 问 题 的 条 件 ， 欲 求 最 值 的 几 何 对 将
象 变 为 某 实 二 次 方 程 的 系 数 ， 方 程 的 根 为 由
１ 综 合 法
又 Ｏ ：１ 故 ０ ≥√ Ｍ ， ， ２—１ ．
即 Ｄ ，的最 小 值 为 √ ２—１ ．
２ 猜 测 法
根 据 已 知 条 件 ， 接 利 用 平 面 几 何 中 的 直
有关知识求得结 果 ． 例 １ 在 Ｒ △ Ａ ｔ ＢＣ 中 ， 边 Ａ ：２ ０ 斜 Ｃ ， 为Ａ Ｃ的 中点 ， 是 △ Ａ ， ＢＣ的 内心 ． Ｄ 求 ，的最 小值 ． 解 ： 图 １ 以 ０ 为 如 ， 圆心、 Ａ为半径 作 圆， Ｏ 连 延 长 交 ｏ 于 Ｍ ． ｃ ０
ＡＣ ： ２． ＭＡ ： ． ＭＩ： ＭＡ ： ．
平 面几 何 问 题 是 数 学 竞 赛 的 重 要 内 容 ，
而其 中的最 值 问题 更 是 数学 竞 赛 中的难 点 ， 且 题 目均 具 有 较 大 难 度 ． 文 将 结 合 具 体 实 本 例 ， 其解法作一介 绍 ． 对
九年级数学中考典型及竞赛训练专题25平面几何的最值问题2(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题25 平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值.求几何最值问题的基本方法有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证.2.几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理.3.数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等.例题与求解【例1】在RtA ABC中，CB=3, C4=4, M为斜边AB ±一动点.过点M作MD丄AC于点D,过M 作ME丄CB于点E,则线段DE的最小值为__________________ .（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDMF为矩形，连结CM,则DE= CM,将问题转化为求CM的最小值.【例2】如图，在矩形ABCD中，4B=20cm, BC=10cm.若在AC, AB上各取一点M, N,使BM+M/V 的值最小，求这个最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：作点8关于&C的对称点连结B'M, B'A,贝'J BM= B'M,从而BM+MN= B'M+MN.要使BM+MN的值最小，只需使FM十M/V的值最小，当B', M, N三点共线且B7V丄AB时，B'M+MN的值最小.【例3】如图，己知DABCD, AB=a, BC=b（a>b）, P为边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q.求AP+BQ的最小值. （永州市竞赛试题）解题思路：设AP=x,把AP, BQ分别用x的代数式表示，运用不等式以a2+b2>2ab或a+b》2范 (当且仅当a=b时取等号)来求最小值.【例4］阅读下列材料：问题如图1, 一圆柱的底面半径为5dm,高为5dm, BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线.小明设计了两条路线：沿AB剪开路线1：侧面展开图中的线段AC.如图2所示.设路线I的长度为/i，则/i2=AC2=AB2 +BC2 =25+(571)2=25+25n2.路线2：高线AB十底面直径BC.如图1所示.设路线 / 的长度为b，则 F = (BCMB)2=(5+10)2 =225.••/I2-/22 = 25+257T2-225=257r2-200=25(7T2-8), /. 42 >/22 , /. h>l2 .所以，应选择路线2.(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米"继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算：路线1：h2=AC2= ____________ :路线2： /22= (AB+BC) 2= __________ .•••/『______ 於，・・・h___ /2(填“〉"或“<"),所以应选择路线__________ (填“1"或"2")较短.(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为门高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点&出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短. (衢州市中考试题)解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题•比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便.比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减.【例5】如图，己知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2, BF=1.为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD内截取一个矩形块MD/VP,使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率. (中学生数学智能通讯赛试题)解题思路：设DN* PN=y,则S=xy.建立矩形MD/VP的面积S与x的函数关系式，利用二次函数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率.【例6】如图，在四边形ABCD 中,AD=DC=1, Z DAB=A DCB=90°, BC, AD 的延长线交于P,求AB& PAB 的最小值.（中学生数学智能通讯赛试题）AR PA解题思路：设PD=x （x>l ）,根据勾股定理求出PC,证RtA PCD- RtA PAB,得到 ——=——，求出 P AB,根据三角形的面积公式求出y=AB^P AB .整理后得到y$4,即可求出答案.能力训练A 级1. 如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形.容易知道当两张纸条 垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ________________ .（烟台市中考试题）2. D 是半径为5cm 的O0内一点，且OD=3cm,则过点0的所有弦中，最短的弦 _______________ cm.（广州市中考试题）3. 如图，有一个长方体，它的长BC=4,宽AB=3,高BBi=5. —*只小虫由A 处出发，沿长方体表面 爬行到G ，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ___________ .（"希望杯"邀请赛试题）4.如图，Uh ABC 中，AB=1Q, BC=6,经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB, CA 分别相交于点E, F,则线段EF 长度的最小值是（）（兰州市中考试题）5. 如图，圆锥的母线长04=6,底面圆的半径为2. —小虫在圆锥底面的点&处绕圆锥侧面一周又第1题图A. 4A /2B. 4.75C. 5D. 4.8第4題图回到点则小虫所走的最短距离为（）（河北省竞赛试题）A. 12B. 4TIC. 6 VID. 6 羽6. 如图，已知Z MON= 40°, P 是Z MO N 内的一定点，点A, B 分别在射线OM, OA/上移动，当△网3 周长最小时，ZAPB 的值为（）（武汉市竞赛试题）A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°7. 如图，血是以等边三角形ABC-边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点.若4C=5, 则四边形ACBP 周长的最大值是（）（福州市中考试题）A. 15B. 20C. 15+5V2D. 15+5 石交AB 于M,交DC 与N.⑴设AE=x,四边形ADNM 的面积为S,写出S 关于x 的函数关系式. （2）当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？（山东省中考试题）9. 如图，六边形ABCDEF 内接于半径为/•的O0,其中AD 为直径，且AB=CD=DE=FA.（1）当Z BAD=75°时，求处的长； （2）求证：BCII 40II FE ：⑶设AB=X t 求六边形ABCDEF 的周长/关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，/取得最大值.10. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2, BC=3,点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）. Q 是BC第6题图&如图，在正方形ABCD 中，AB=2,第8題图E 是AD 边上一点（点E 与点A, D 不重合），BE 的垂直平分线第7題图边上任意一点.连结AQ ，DQ,过P 作PEII DQ 交于AQ 于F,作PF//AQ 交DQ 于F.（1） 求证：△&PE-厶 ADQ ；（2） 设&P 的长为X,试求APEF 的面积关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，取得 最大值？最大值为多少？（3）当Q 在何处时，AADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）11. 在等腰AABC 中，AB=AC=5, BC=6.动点M, N 分别在两腰AB, AC 上（M 不与B 重合，N 不与A, C 重合），且M/VII BC.将NAMN 沿M/V 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P.（1） 当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？（2）设MN=x, △ MNP 与等腰NABC 重叠部分的面积为y,试写出y 与x 的函数关系式，当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）B 级1. 己知凸四边形ABCD 中，AB+AC+CD= 16,且S 馳彤MCO =32,那么当AC= _____________________ , BD= 时，四边形4BCD 面积最大，最大值是 _________ .（“华杯赛"试题）2. 如图，已知ZkABC 的内切圆半径为门Z4=60°, BC=2y[3 ,则/■的取值范围是 ___________ •（江苏 省竞赛试题）3. 如图O0的半径为2, O0内的一点P 到圆心的距离为1,过点P 的弦与劣弧金组成一个弓形,则此弓形面积的最小值为 __________4. 如图，A4BC 的面积为 1,点 D, G, E 和 F 分别在边 AB, AC, BC 上，BD<DA, DGII BC, DEWAC,A B第2题图 第3题图第4题图GFIIAB,则梯形DEFG面积的最大可能值为.（上海市竞赛试题）5.已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A, B分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结0C,则0C的最大值是____________ •（潍坊市中考试题）6.已知直角梯形ABCD中，ADW BC,丄BC, AD=2, BC=DC=5,点P在BC上移动，则当必+ PD取最小值时，"PD中边AP上的高为（）（鄂州市中考试题）D. 3第6題图第7题图第8题图7.如图，正方形&BCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B, C重合的任意一点，连结AP,过点P 作PQ丄&P交DC于点Q.设BP的长为xcm, CQ的长为ycm.（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2）当尸丄cm时，求x的值. （河南省中考试题）4&如图，y轴正半轴上有两点A（0, a）, 8（0, b）,其中a>b>0.在x轴上取一点C,使乙ACB最大, 求C点坐标. （河北省竞赛试题）9.如图，正方形&BCD的边长为1,点M, /V分别在BC, CD上，使得△ CMN的周长为2.求:（1）Z MAN的大小；（2）△MAN的面积的最小值. （“宇振杯"上海市竞赛试题）10,如图，四边形ABCD中，AD= CD, Z DAB=A ACB=90°,过点D作DE丄AC于F, DE与相交于GFIIAB,则梯形DEFG 面积的最大可能值为 .（上海市竞赛试题）点E.(1) 求证：AB AF=CB ・CD ；(2) 已知AB=15cm, 8C=9cm, P 是射线DE 上的动点，设DP=xcm(x>0),四边形BCDP 的面积为ycm 2. ① 求y 关于x 的函数关系式；② 当x 为何值时，NPBC 的周长最小？求出此时y 的值.(南通市中考试题)11. 如图，己知直线/： y = Rx+2 — 4R 伙为实数).(1) 求证：不论k 为任何实数，直线/都过定点M,并求点M 的坐标；(2) 若直线/与x 轴、y 轴的正半轴交于A, B 两点,求AAOB 面积的最小值.(太原市竞赛试题)12. 如图，在RtA ABC 中，Z C=90°, BC=2, AC=x,点F 在边AB ±,点G, H 在边BC 上，四边形 EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE=AC.(1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最人值.(上海市竞赛试题)第6题图第9题图专题25 平面几何的最值问题12~5提示：当CM丄AB时，CM值最小，CM =警詈例2如图.蜩+ M/V的最小值为点厅到离B'F, BE= ABBC = 4^5 cm, BB' = 8>/5 cm , AE = ACJ AB'_ BE'= 8>/5cm.在△ABF中，由丄BB，2AB的距•处=丄AB'B'F,得B'F=16cm.故BM + MN的最小值为216旳例3由5DS△呻得話喘’即话畔:.AP+BQ=x+--b. \'x+ — >2jx— = 2y/ab,・••当且仅当x x V x= 俪时，上式等号成立.故当AP=y^b时.AP+BQ最小，其最小值为2他（例5题图）-b.例4⑴£=25 + *, /； =49, /i</2,故要选择路线/较短.（2）/；=//+（〃）'，f =（方+ 2r）‘，一g=r[（沪一4”一4/?].当r=斗时，/f = 1},当r> 严厶时,I； > I；,当r<-^—时，/； < 7；. 例 5 设DN=x, PN=y,贝！）S=xy.由厶APQc^^ABF,得=丄_兀__4 _2-（4-x） 2即x=10—2y,代入S=xy 得S=xy=y（10—2y）,即S=-2（y-# 25 5+ —.因3<y<4,而）/=空不在自变量y的取值范围内，所以y=仝不是极值点.当y=3时.S（3）=12.当y=4时，S（4）=&故Smax=12.此2时，钢板的最大利用率——j ---------- =80%. 例6设PD=x（x〉l）,则PC= ,由RtAPCDcoA42— x2xl2咙得妇警.眉，令FS.则尸敎5如=斜’求y的最小值有时’y有最小值4.②运用基本不等式"弓+占S23222 r-1 2口+心•••当〒=口即当口时宀有最小值丄③借用判别式.去分母’得塔+2 (1—y) x+l+2y=0,由A=4 (1—y) 2—4 (l+2y) =4y (y —4) >0,得y>4, .'.y 的最小值为 4. A 级1. 17提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2.83. >/744.D5.D6. B7. C 提示：当点P 与点D 重合时.四边形ACBP 的周长最大.& ⑴连结 ME,过N 作 NF 丄ABTF.可证明 R^EBA^Rt^MNF,得 MF=AE=x.\'ME 2=AE 2+AM 2, 故 .即(2-AM) —X+AM, AM=1 一丄x 2,.・.S=人“十xAD=人“十力尸 x2422=AM+AM+MF=2AM+AE=2 (1 一丄F) +/= — 丄x 2+x+2.42(2) S=~- (x 2-2x+l) +-= 一丄(x-1)计？.故当胚=x=l 时，四边形ADNM 的面积最大,2 2 2 2 此时最大值为-.29. (1) BC 长为迥.(2)提示：连结BD (3)过点B 作BM 丄AD T M ・由 ⑵ 知四边形ABCD3AB ， x 2,W为等腰梯形.从而 BC=AD-2 AM=2r-2AM.由厶BAM^^DAB,得 AM=・・・BC=2/•—一.AD 2rr最大值6 r.10. (1) Z.APE= Z.ADQ, Z.AEP=Z.AQD.・'.^APE^^ADQ. (2)由厶APE^>^ADQ, 'PDFs'1 1 13 3 3ADQ, S\PEF = — SmPfQf,得 S APEF = — — x~~^~x =—— (x — — )，+—.故当 x=—时，即 P 是 AD 的中点2 3 3 2 4 2 时，Sw 取得最大值.(3)作A 关干直线BC 的对称点A f.连结D 川交BC 干Q,则这个Q 点就是使 △AD0周长最小的点，此时0是BC 的中点.11. (1)点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是厶4肚 的中位线・・••当MN=^BC=3时，点P 在r"r"x同理.EF=2r- — .l=4x+2 (2 r-—)=--r r r(x-r) 2+6r (0<v<V2 r)..当 x=r^, l 取得(第8題图)5. 卑丄4提示：当04=03时.0C 的长最大.6.CBC 上.( 2）由已知得"BC 底边上的高力=J5L32 =4.①当0＜疋3时.如图1,连结AP 并延长交BC 干点D, AD 与MN 交干点0.2 12 1 1由MAWC,得A 。
初中平面几何中的定值问题讲课讲稿
平面几何中的定值问题开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。
这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角边AB=AC=1，P 是斜边BC 上的一动点，过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则PE+PF= 。
方法1：特殊值法：把P 点放在特殊的B 点或C 点或BC 中点。
此种方法只适合小题。
方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE 。
方法3：等面积法：连接AP ，ABC ABP APC S S S AB AC AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅AB PE PF ⇒=+总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB的不变性和PE,PF 与BE,AE 的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。
设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。
此题可叫差生或中等偏下的学生回答（赛比艳，艾科）（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。
）过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为 等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6， 过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则PE+PF 还是定值吗？若是，是多少？若不是，为什么?方法1：三角形相似进行量的转化ABM PBE PCF∆∆∆,AM PE PF AM PB AM PCPE PF AB PB PC AB AB⋅⋅⇒==⇒==()462455AM PB PC AM BC PE PF AB AB +⋅⋅⇒+====（板书） （M 为BC 中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF 与AM 之间的联系，化动为静）方法2：等面积法：ABC ABP APC S S S BC AM AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅642455BC AM PE PF AB ⋅⋅⇒+===（M 为BC 中点） （板书）（解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。
2024年中考数学专题复习定值与最值问题
定值与最值问题1、平面几何最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
线段最值问题的解决通常方法：应用几何性质．①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．基本类型有：将军饮马、选址造桥、线段之差的最大值，隐圆最值，瓜豆原理，胡不归最值，阿氏圆等。
2、立体几何最值问题：展开平面图形，根据平面几何最值问题方法去做！3、代数最值问题：无非就是根据完全平方公式或者二次函数的知识去求解！例1．如图，A、B两个机离线l的距离分别是3米，5米，CD＝6米，若由l上一点分别向A，B连线，最短为()A．11米B．10米C．9米D．8米1．如图Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED、EB，则△BDE周长的最小值为()A．2 5 B．2 3 C．25＋2 D．23＋22．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB 的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为__ ．3．直线l1、l2交于点O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从点P到l2上一点Q，再回到点B，求作P、Q两点，使四边形APQB周长最小．4．A、B是位于河流两旁的两个村庄，要在这条宽度为d的河上建一条垂直的桥，使得从A村到B村的距离之和最短．试着画出桥应该建在何处？例2．如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到点D的最短距离是（）A．6 B．8 C．403D．2451．如图，点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（21-，21-）C ．（22，22-）D ．（22-，22-） 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （﹣4，0）、B （0，4），⊙O 的半径为1，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为_________．例3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点P 、M 、N 分别为对角线BD 及边BC ，CD 上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__ ．1．如图，∠ABC ＝45°，BC ＝42，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，M 、N 分别是BD 和BC 上的动点(M 与B ，D 两点不重合，N 与B ，C 两点不重合)，则CM ＋MN 的最小值为__ ．2．如图，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一定点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA ，OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值为__ ．例4．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．1．如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A ．1(,0)2B ．(1,0)C ．3(,0)2D ．5(,0)22．点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP *OQ = ．例5．在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC =2．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是_________．1．如图, △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于E 、F ，则EF 的最小值为 ．2．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF =90°，则EF 的最小值是_____________．例6．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+1．如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．13cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm2．如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm ．第1题 第2题例7．求二次三项式2x 2x +3的最小值．1．求代数式﹣2x 2+3x +5的最大值．例9．如果P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点且PE ⊥DB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则PE ＋PF ＝__ __．1．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定2．如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动．点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t =2秒时PQ =52．（1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E ,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F ,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值．1．如图，在正方形ABCD 中，G 是正方形内一点，AD =4，P 是BC 的中点，且BG =BP ，则DG +12GC 的最小值是__________．（提示：考虑用相似转化，系数需要化成相同）。
平面几何的定值与最值问题
平面几何的定值平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1 已知△ABC 内接于⊙O,D 是BC•或其延长线上一点,AE 是△ABC 外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE 为定值.证明 如图 (1),当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时,连结BE, 则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD, ∴△ABE ∽△ADC. ∴AB AEAD AC=,即AD ·AE=AB ·AC 为定值. 如图 (2),当点D 在BC 的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB. ∴△AEB ∽△ACD,∴AB AEAD AC= 即AD ·AE=AB ·AC 为定值.综上所述,当点D 在BC 边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD ·AE 为定值.先探求定值,当AD ⊥BC,AE 为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD 这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD ·AE=AB ·AC,因为已知AB,AC 均为定值.•再就一般情况分点D•在BC 上,点D 在BC 的延长线上两种情况分别证明.练习1.已知MN 是⊙O 的切线,AB 是⊙O 的直径.求证:点A 、B 与MN 的距离的和为定值. (答案)定长为圆的直径;2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.2.利用特殊位置探求定值(当PC构成直径时)(R,r是两圆的半径).3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.求证:∠EQF为定值.因∠E,∠F为定角(大小固定)易得∠EQF为定值.26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y=x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2(0)y ax x c a=+≠经过A,B,C三点．（1）求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使⊿ABC为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点，使得⊿BMF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．26．解：（1）直线y=x轴交于点(10)A∴-，，(0C·························1分 点A C，都在抛物线上，0a cc⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩ac⎧=⎪∴⎨⎪=⎩x∴抛物线的解析式为233y x x =-················ 3分 ∴顶点13F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ··························· 4分 （2）存在 ································ 5分1(0P ······························· 7分2(2P ······························· 9分 （3）存在 ································ 10分理由： 解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ························· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线2y x =-上，(30)B ∴，在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=，(3B '∴--， ·············· 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x ∴=···························· 13分xy x ⎪∴⎨=⎪⎩解得7y ⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，． ·· 14分 解法二：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求． ········· 11分过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOC FGH ∴∠=∠= ，BCO FHG ∠=∠ HFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B ，． 在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，可求得GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC的对称点．0H ⎛∴- ⎝⎭，·············· 12分 设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y ∴=···························· 13分xy y =-⎪∴⎨⎪=⎩解得7y ⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，． ·· 14分。
初中数学培优之平面几何的定值问题
【阅读与思考】
所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内 变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）. 几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动 的元素，固定元素也就是“不变量” ，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化 的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.
5
y A M y=x B O N C
（济宁市中考试题） 9.如图，AB 是半圆的直径，AC⊥AB，AC=AB.在半圆上任取一点 D，作 DE⊥CD，交直线 AB 于点 E， BF⊥AB，交线段 AD 的延长线于点 F. （1）设弧 AD 是 x°的弧，若要点 E 在线段 BA 的延长线上，则 x 的取值范围是_______. （2）不论点 D 取在半圆的什么位置，图中除 AB＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线 段，并予证明. （江苏省竞赛试题）
解题思路：延长 OG 交 CD 于 N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线 段 ON 转化成线段 CH 的倍分关系，再以 Rt△OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.
B
E O
C H G D A
【例 5】 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 在 x 轴的正半轴上，⊙M 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C，D 两点，且 C 为弧 AE 的中点，AE 交 y 轴于 G 点.若点 A 的坐标为（-2，0） ，AE=8. （1）求点 C 的坐标； （2）连接 MG，BC，求证：MG∥BC； （3）如图 2，过点 D 作⊙M 的切线，交 x 轴于点 P.动点 F 在⊙M 的圆周上运动时， 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.
九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解
九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解知识点，重点，难点所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。
平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。
一般来说，求解定值问题的方法有：图形分析法。
画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证明。
特殊位置法。
不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位置）加以探求。
参数计算法。
图形运动中，选取其中的变量（如线段长、角度、面积等）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。
例题精讲例1：如图，已知⊙O 及弦AB ，P 为⊙O 上任一点，PA 、PB 分别交AB 中垂线于E 、F ，求证：OE ·OF 为定值。
分析 若在⊙O 上的点P 运动到特殊位置点Q ，则点E ，点F 都和Q 点重合，于是得到OE ·OF =OQ 2，由此可推想，该定值可能为⊙O 半径的平方。
证明 因为OE 是弦AB 的中垂线，所以 AQ BQ=，所以∠AOE=∠BOE ， 所以 1.2mAOE AB ∠=又因为 1,2m PAB BP ∠= 1,2m PBA AP ∠=∠EPB =∠PAB ＋∠ABP ，所以∠AOE = ∠EPB ，所以A 、O 、F 、P 四点共圆，所以∠OFB =∠OAE .又因为∠FOB =∠AOE ，所以△FOB ∽△OAE ，所以,OF OB OA OE =即OE ·OF ＝OA ·OB .因为OA =OB ，所以OE ·OF =OA 2（定值）。
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第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析 由三角形面积S=12absinC 和正弦定理sin c C =2R,∴c=2RsinC. ∴abc S =2sin c C =4sin sin R CC=4R 是定值. 点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2如图,已知⊙O 的半径为⊙O 上一点,过A 作一半径为r=3的⊙O ′,问OO ′何时最长?最长值是多少?OO ′何时最短?最短值是多少?解析 当O ′落在OA 的连线段上(即⊙A 与线段OA 的交点B 时)OO ′最短,且最短长度为当O ′落在OA 的延长线上(即⊙O 与OA 的延长线交点C 时)OO ′最长,且最长的长度为点评⊙O ′是一个动圆,满足条件的⊙O ′有无数个,但由于⊙O ′过A 点,所以⊙O ′的圆心O ′在以A 为圆心半径为3的⊙A 上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P 为定角O 的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A 、B 两点.求证:OA+OB 是定值.证明 连结AP 、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x 1=OA,x 2=OB.对△POA 应用余弦定理,得x 12+OP 2-2OP ·cos ∠AOP ·x 1=r 2.故x 1为方程x 2-2OP ·cos 12∠AOB ·x+(O P 2-r 2)=0的根,同理x 2亦为其根. 因此x 1,x 2为此方程的两根,由韦达定理,得x 1+x 2=2OP(12∠AOB)是定值.点评当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC•相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值. 解析 设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =252π;当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2, 从而.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD 的边长为1,•点P 为边BC 上任意一点(可与点B 或点C 重合),分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线,•垂足分别为点B ′、C ′、D ′.求BB ′+CC ′+DD ′的最大值和最小值.解析 ∵S △DPC = S △APC =12AP ·CC ′, 得S 四边形BCDA = S △ABP + S △ADP + S △DPC=12AP(BB ′+DD ′+CC ′), 于是BB ′+CC ′+DD ′=2AP.又1≤APBB ′+CC ′+DD•′≤2,∴BB ′+CC ′+DD最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求. 例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC 内接于⊙O,D 是BC•或其延长线上一点,AE 是△ABC 外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE 为定值.证明 如图 (1),当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时,连结BE, 则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD, ∴△ABE ∽△ADC. ∴AB AEAD AC=,即AD ·AE=AB ·AC 为定值. 如图 (2),当点D 在BC 的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB. ∴△AEB ∽△ACD,∴AB AEAD AC=即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC的周长为2p,在AB、AC上分别取点M和N,使MN•∥BC,•且MN与△ABC的内切圆相切.求:MN的最值.AM NBA 级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)(R,r 是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2.所以所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a .此时当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2（）. 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2rh),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ahp p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2aa p p⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p ,当且仅当a p =1-ap,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p .B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )E D CAB PSQA B PM(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB•延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D,设此两圆的半径为R 1,R 2.求证:AC:AD=R 1:R 2.B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ. 又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B. 5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,① AB ·AD=AN ·2R 2 .② ①÷②,得12R AC AD R,∴AC:A D=R 1:R 2.。