微分中值公式 - 云南大学数学分析精品课程

ba
(a, b) (0,1), 有 f (b) f (a) f (a (b a))(b a).
③
若a x，b x x，b a x，则
f ( x x) f ( x) f ( x x)x,
0 1.
x [1,1]
f ( x)
1 1 x2
(
1 1 x
) 0. 2
f ( x) C ,
x [1,1]

2 , 即C

2 .
又 f (0) arcsin 0 arccos 0
arcsin x arccos x
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o a
y ( x)

b
x
f (b) f ( a ) . ba
微分中值公式
§1. 中值定理 注1. Rolle 定理是 Lagrange 定理当 f (a) f (b) 时的特殊情况. 注2. 几何意义：如图
k AB f (b) f (a) tan , ba
直线 AB 的方程
f (b) f (a ) y f (a) ( x a ). ba
若[a, b]上有定义的连续曲线 y f ( x)在每一点
都存在切线，则曲线上 至少存在一点 ( , f ( )) ，过该
点的切线平行于直线 AB, 即两者斜率相等 .
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§1. 中值定理 2. Lagrange定理（微分中值定理）
若f ( x)满足：
（ 1 ）在 [a, b]上连续 ;
（ 2 ）在(a, b)内可导 ,
则至少存 在一点
y
P( , f ( ))


y f ( x)
B
A
(a, b)， 使 得
f ( )

2
.
§1. 中值定理 三、 柯西(Cauchy)定理
若f ( x)与g ( x)在[a, b]上连续，在 (a, b)内可导，且
x (a, b)，g ( x) 0，则至少存在一点 (a, b)，使得
f (b) f (a) f ( ) . g (b) g (a) g ( )
（或 (a) (b) 0. ） 由 Rolle 定理得证.
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§1. 中值定理 微分中值公式的其它形式: ① f (b) f (a) f ( )(b a), (a, b).
a ② 将表为 a (b a), 0 1, 即：
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§1. 中值定理 二、拉格朗日(Lagrange)定理 1. 洛尔( Rolle )定理
y
若f ( x)满足：
y f ( x)
(1) 在[a, b]ห้องสมุดไป่ตู้连续 ;
(2) 在(a, b)内可导 ;
(3) f (a) f (b).
o
a

b
x
则至少存在一点 (a, b), 使得 f ( ) 0.
但 f ( x) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 故x0为唯一实根 .
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§1. 中值定理 例2. 证明 : arcsin x arccos x

2
(1 x 1).
证明: 设 f ( x) arcsin x arccosx,
且x O( x0 , )恒有
f ( x) f ( x0 ) (或者 f ( x) f ( x0 ));
(ii) f ( x)在x0点可导，则有
f ( x0 ) 0.
注1. 条件(i)表明 f ( x)在x0具有局部极大值 (极小值） .
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§1. 中值定理
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§1. 中值定理
1的 例1. 证明方程x 5 x 1 0 有且仅有一个小于
5
正实根 .
证明：设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1 0, f (1) 3 0. 由零点存在定理，知
则新曲线 y ( x)上一点 ( , ( ))的切线平行于 x 轴.
y f ( x) 上一点 ( , f ( )) 的切线平行于直线 AB.
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§1. 中值定理 证明： ⑴
f (a) f (b)，Rolle定理.
f (b) f (a) x. ⑵ f (a) f (b)，作辅助函数 ( x) f ( x) ba f (b) f (a) ( x a). （或 ( x) f ( x) f (a)
在(2,2)内不可导， f (2) f (2)，即三个条件均不满足 ，
但 0 (2,2), 使得 f (0) 0.
说明： Rolle 定理的三个条件都是充分条件. 证明：由⑴ f ( x) 在 [a, b] 必有最大值 M 和最小值 m . 若 M = m，则 M 和 m 中至少有一个不等于f (a) f (b), 于是在 (a, b) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) M （或 f ( ) m ），从而对x (a, b)有 f ( x) f ( ) （或 f ( x) f ( )）. 据 Fermat 定理，得 f ( ) 0.
§1. 中值定理
注3. 微分中值定理是沟通函数及其导数之间的桥梁，是 应用导数的局部性质研究函数全局性质的重要工具.
如 f ( )
f (b) f (a) 表明了函数在一点的导 数与函数在 ba
整个(a, b)上的平均变化率之间的 关系.
注4. 定理的条件是充分的，但不是必要的. Rolle注3.
如 y cos x, x0 但

[0, ], x ( , ), f ( x) f ( x0 ) 0, 2 2 2 2



f ( x0 ) f ( ) sin 1 0. 2 2


证明： 由定义及函数极限性质可证.
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0. x x0 0 x x0
f (0) f (1).
y
y
y
O
x
1
-1
O
1
x
O
1
x
由图像可见，三个函数 Rolle 定理都不成立.
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§1. 中值定理
0, 2 x 1, | x | 1, 在[2,2]上 不 连 续 ， 又 如 f ( x) x 2 , 1, 1 x 2,
Chapt 5. 微分学基本定理及其应用
中值定理 导数 函数性质
§1. §2. §3. §4. §5.
中值定理 泰勒公式 函数的升降、凸性与极值 平面曲线的曲率 待定型
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§1. 中值定理 一、费尔马( Fermat )定理
若(i) f ( x)在x0点的某领域 O( x0 , )内有定义，
定理的几何意义： 若曲线 y f ( x)在x0取 注2. Fermat
局 部 极 大 （ 小 ） 值 ，在 且( x0 , f ( x0 ))点 存 在 切 线 ， 则该切线平行于 x轴.
y
水平切线P
y f ( x)
o
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x0
x
§1. 中值定理 注3. x0是区间的内点 . 若x0为区间的端点，结论不 成立 .
注3. 三条件缺一，则Rolle定理可能不成立.
x, 0 x 1 例如： f ( x) 0, x 1
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在[0,1]上不连续 .
§1. 中值定理
f ( x) x ,
f ( x) x,
1 x 1, 在(1,1)内不可导 .
0 x 1,
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§1. 中值定理
f (a) f (b) 0，则有：在一个函数的 两根 注1. 特别，
之间，其一阶导数至少 有一个根 . 点 不唯一 .
y f ( x) 在 每 注2. 几何意义: 若[a, b]上 的 连 续 曲 线 一点都存在切线，且 f (a) f (b)， 则 该 区 间 上 至少有一点，过该点切 的线平行于 x轴.
ba f (b) f (a) ( x) f ( x) f (b) ( x b). ba f (b) f (a) l AB : y f (b) ( x b). ） ba bf ( a ) af (b) 则 (a) (b). ba
作 平 移
f ( x) C，C const，x (a, b).
即导数恒为零的函数必是常数函数. Corollary 2. 若对x (a, b)有 f ( x) g ( x)，则
f ( x) g ( x) C，C const，x (a, b).
证明：
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x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 此即为方程的小于1的正实根.
设另有x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
则在 [ x0 , x1 ]或[ x1, x0 ]上, 应用罗尔定理 , 知