第二章 无机材料的受力形变

各向异性材料的各个方向的弹性模量都不相同。 当各向异性材料同时受到三向应力作用时，各个 方向的形变也是不同的，因而各个方向的泊松系 数也随着应力的方向变化。 除正应力对应变有影响外，剪应力也会对应变产 生影响。 除剪应力对剪应变有影响外，正应力也会对剪应 变产生影响。

弹性形变的三个特点：
强度、刚度和稳定问题
强度——不因发生断裂或塑性变形而失效； 刚度——不因发生过大的弹性变形而失效； 稳定性——不因发生因平衡形式的突然转
变而失效。
第一节 应力和应变
应力问题
应力问题
单位面积上所受的内力称为内应力。
简称应力，一般用σ表示。 名义应力： F

A0
materialpoisson's ratio rubber~ 0.50; saturated clay0.40–0.50 titanium0.34; aluminium-alloy0.33; stainless steel0.30–0.31; cast iron0.21–0.26; concrete0.20; foam0.10–0.40; auxeticsnegative
xx
yy
u x
v y
xy yz zx
zz
w z
u v y x v w z y w u x z
无机材料的弹性变形行为
材料的受力形变有三种情况： 脆性材料（非金属材料）：只有弹性形变，
料，介于1/5到1/4之间。
y x x
E
z
x
E
1 x [ x ( y Z )] E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
x
x
E
L x L
泊松 （Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）法国数学家、物理学家和力 学家。1781 年6月21日生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国 索镇。1798年入巴黎综合工科学校深造。因优秀研究论文被指定为讲师。受到 P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日赏识。1800年毕业后留校任教，1802年任副教授 ,1806年接替J.-B.-J.傅里叶任该校教授。1808年任法国经度局天文学家,1809年 任巴黎理学院力学教授。31岁巴黎科学院院士。 泊松科学生涯开始于研究微分方程及其在摆运动和声学理论中应用。应用数学 方法研究各类力学和物理问题。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性 理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。 泊松18岁就发表一篇关于有限差分论文，受到勒让德好评。他一生成果累累， 发表论文300多篇，其中包括： 1811年《力学教程》 1831年《弹性固体和流体的平衡和运动一般方程研究报告》 1829年《弹性体平衡和运动研究报告》 1837年《关于判断的概率之研究》 1837年《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》 以及《热的数学理论》、《关于球体引力》、《关于引力理论方程》和《毛细 管作用新论》等等。 以他姓名命名有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊 松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、泊松核、泊松括 号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法…… 泊松比在材料和力学领域最为熟知，应用也最为广泛。泊松比是基本材料参数 之一，衡量固体在垂直加载方向变形与加载方向变形之间比值（见下图），变 化范围0.5与-1之间。
剪切模量和体积模量
定义各向同等的压力除以体积变化为材料的体积模量
xy
xy
G yz yz G zx zx G
1 P x y z [ P (2 P)] (2 1) E E
V (1 )(1 )(1 ) 1 V

核磁-样品饱水后，孔径越大T2弛豫时间越长，孔径越小T2弛豫时间越短
水泥基材料中应用
第二节 无机材料的塑性形变
基本概念及现象:
塑性形变 屈服极限 延展性 滑移带的形成 临界分切应力
塑性形变

塑性形变是指在外力移去后 不能恢复的形变。
无机材料屈服极限
屈服极限:

当应力足够大，材料便开始发生塑 性变形，产生塑性变形的最小应力就 称为屈服极限(yield limit)或屈服强度 (σs)。应力超过σs后，应力-应变曲线 开始弯曲。
屈服极限
延展性
延展性是指材料受塑性性变而
不破坏的能力。
滑移带
滑移：晶体受力后,晶体的一部
分相对另一部分发生平移滑动. 滑移带的形成：弹性变形-外力 克服单晶原子间的键合力，使 原子偏离其平衡位置，试样开 始伸长。
势能较高，而内力平衡时，原子处于势 能最低位置，要滑移，必须要克服H势垒 高度。要克服势垒高度h“较h大为降 低”，可由升高温度或外力做功来提供， 当在滑移面存在分剪应力τ时，势能曲线 不对称，此时，要迁移所要克服的势垒 h(τ)又小于h’。即τ可使h‘降低，从而使C2 原子迁移到空位更容易。刃型位错线向 右移动更容易。
P E E K V / V 3(2 1) 3(1 2 )
E G 2(1 )
弹性模量

弹性模量
x E A x L
F
L
弹性模量的单位和应力的单位相同为Pa。 对于同一种各向同性体材料弹性模量是一个常数 弹性模量E是一个重要的材料常量，是原子间结 合强度的标志之一。弹性模量实际上和原子间结 合力曲线上任一点的曲线斜率有关。在不受外力 作用的情况下，tgα反映了弹性模量E的大小。
无塑性形变或塑性形变很小。 延性材料（金属材料）：有弹性形变和塑 性形变。 弹性材料（橡胶）：弹性变形很大，没有 残余形变（无塑性形变）
拉伸试验的试样
单向应力下的虎克定律
对于各向同性体，正应力不会引起长方体的 角度改变即无剪切形变，只会产生法向应 变，而且应力与应变成线性关系，即：
比弹性模量
航空用材料不但要求材料弹性好，而且也要轻， 所以选材时还要用比弹性模量来衡量材料，即 要求材料的弹性模量与材料密度的比值高。 几种常见材料的比弹性模量 (×108cm)

Cu
Mo Fe
Ti
2.7
Al
Be
Al2O SiC
3
1.3 2.7 2.6
2.7 16.8 10.5 17.5
广义虎克定律
E E0 (1 1.9P 0.9P )
2

E0是气孔率为零时的E值，P为气孔率，当P 不 超过50%时候，公式适用。
各种材料的弹性模量
材料
E (GPa) 铁 200 铜 100 铝 70 聚乙烯 3 橡胶 1 × 10-2－10-3 氧化铝晶体 380
泊松比 0.28 0.35 0.37 0.38 0.49 0.22
单晶锌变形后滑移带的照片
晶格滑移理论
滑移产生的条件：晶面指数小的面，
原子的面密度大，因此面间距大，原 子间的作用力越小，越易产生滑移。 从几何因数考虑，滑移方向上同号离 子间柏氏矢量较小；从静电作用因数 考虑，滑移过程中不会遇到同号离子 的巨大排斥力。
晶格滑移理论
晶格滑移的基本规律： 滑移的距离必然是晶格常数的整数倍； 滑移总是出现在主要晶面和主要晶向上；

塑性变形的位错运动理论
如果沿滑移面滑移，所需要应力为
10Gpa，与晶格能同一数量级。实 际上，晶格能超过产生塑性形变所 需能量几个数量级。 晶体中，位错在滑移面上沿滑移方 向移动，不是晶体内两部分整体相 互错动 。位错运动的力比晶体两部 分互相滑移所需力小得多。
位错是一种缺陷，在原子排列有缺陷处，
泊松比作为基本弹性常数，可由体积模量K和剪切模量 G比值来确定，满足如下关系： 泊松比表征材料在载荷作用下发生形状畸变或者体积变 形之间竞争。 Nature Materilas这篇纪念文章，关注泊松比在材料领 域的应用，比如： 泊松比与原子堆积密度关系 负泊松比材料，生物材料和一些特殊设计人工复合材料 泊松比与材料各向异性 相变过程中泊松比效应 泊松比与波色峰 泊松比与玻璃液体易碎性与固体弹性 泊松比与韧-脆转变 强调泊松比可变性，（通常认为泊松比在过程中是常数 ）。展望泊松比在新材料设计方面的深远前景。
卸载后形变完全可逆； b 应力和形变量间呈线性关系(虎克定律)， 模量 E、G、 为重要材料常数； c 较小的负荷就可以引起弹性形变，但一般 只限制在很小的形变范围之内(低于3%)。
a
粘弹性与滞弹性
所谓粘弹性，是粘性和弹性结合起来的一 种性能。粘性指固体在加载时形变随时间而增 大的现象。这种形变在卸载后继续保留下来， 固体不再恢复到加载前状态。应力与应变速率 相联系。 滞弹性，与时间有关的弹性，表现为应变 的产生与消除需要有限时间。弹性模量是时间 的函数(随时间的增加而降低)。当弹性形变有 可测出的时间上的滞后，则称为滞弹性行为。

影响弹性模量的因素
1）共价键、离子键晶体，结合力强，E大；
分子键结合力弱，这样键合的物体E较低。 2）改变原子间距离，影响弹性模量。温度 变化，影响原子间距离，E也发生变化。 3）两相系统中，总弹性模量在高弹性模量 成分与低弹性模量成分的数值之间。
弹性摸量与气孔率的关系

陶瓷的弹性摸量随气孔率的表达式：
粘弹性与滞弹性
理想弹性：受到外力后，平衡形变是瞬时
达到的，与时间无关。 理想粘弹性：受到外力后，形变是随时间 线性发展的。 粘弹体：非晶体、多晶体在比较小的应力 时可以同时表现出弹性和粘性。 滞弹性：无机固体和金属，这种与时间有 关的弹性。
蠕变和弛豫
蠕变(蠕滑、徐变)：在一定温度下，对粘弹性体 施加恒定应力σ0时，其应变随时间增加而增加， 叫蠕变。此时弹性模量Ec也将随时间增加而减少。 Pb、Zn、沥青、混凝土，钢铁在300℃以上。 Ec（t）=σ0/ε(t) 弛豫：对材料施加恒定应变ε0，其应力随时间而 减小的现象。此时弹性模量也随时间而降低。状 态趋于平衡过程。电容器放电。 Er（t）=σ(t)/ε0