聚类分析之系统聚类法
五种常用系统聚类分析方法及其比较
五种常用系统聚类分析方法及其比较胡雷芳一、系统聚类分析概述聚类分析是研究如何将对象按照多个方面的特征进行综合分类的一种统计方法［１］。
然而在以往的分类学中，人们主要靠经验和专业知识作定性分类处理，许多分类不可避免地带有主观性和任意性，不能揭示客观事物内在的本质差别和联系；或者人们只根据事物单方面的特征进行分类，这些分类虽然可以反映事物某些方面的区别，但却往往难以反映各类事物之间的综合差异。
聚类分析方法有效地解决了科学研究中多因素、多指标的分类问题［２］。
在目前的实际应用中，系统聚类法和Ｋ均值聚类法是聚类分析中最常用的两种方法。
其中，Ｋ均值聚类法虽计算速度快，但需要事先根据样本空间分布指定分类的数目，而当样本的变量数超过３个时，该方法的可行性就较差。
而系统聚类法（Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ，也称层次聚类法）由于类与类之间的距离计算方法灵活多样，使其适应不同的要求。
该方法是目前实践中使用最多的。
这该方法的基本思想是：先将ｎ个样本各自看成一类，并规定样本与样本之间的距离和类与类之间的距离。
开始时，因每个样本自成一类，类与类之间的距离与样本之间的距离是相同的。
然后，在所有的类中，选择距离最小的两个类合并成一个新类，并计算出所得新类和其它各类的距离；接着再将距离最近的两类合并，这样每次合并两类，直至将所有的样本都合并成一类为止。
这样一种连续并类的过程可用一种类似于树状结构的图形即聚类谱系图（俗称树状图）来表示，由聚类谱系图可清楚地看出全部样本的聚集过程，从而可做出对全部样本的分类［３］。
二、五种常用系统聚类分析方法系统聚类法在进行聚类的过程中，需要计算类与类之间的距离。
根据类与类之间的距离计算方法的不同，我们可以将系统聚类法分为单连接法、完全连接法、平均连接法、组平均连接法与离差平方和法等。
１．单连接法（Ｓｉｎｇｌｅｌｉｎｋａｇｅ）单连接法又称最短距离法。
该方法首先将距离最近的样本归入一类，即合并的前两个样本是它们之间有最小距离和最大相似性；然后计算新类和单个样本间的距离作为单个样本和类中的样本间的最小距离，尚未合并的样本间的距离并未改变。
聚类分析
聚类分析聚类分析又称群分析，它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法，所谓类，通俗地说，就是指相似元素的集合。
聚类分析内容非常丰富，按照分类对象的不同可分为样品分类（Q-型聚类分析）和指标或变量分类（R-型聚类分析）；按照分类方法可分为系统聚类法和快速聚类法。
1. 系统聚类分析先将n 个样品各自看成一类，然后规定样品之间的“距离”和类与类之间的距离。
选择距离最近的两类合并成一个新类，计算新类和其它类（各当前类）的距离，再将距离最近的两类合并。
这样，每次合并减少一类，直至所有的样品都归成一类为止。
系统聚类法直观易懂。
1.1系统聚类法的基本步骤：第一，计算n 个样品两两间的距离 ，记作D= 。
第二，构造n 个类，每个类只包含一个样品。
第三，合并距离最近的两类为一新类。
第四，计算新类与各当前类的距离。
第五，重复步骤3、4，合并距离最近的两类为新类，直到所有的类并为一类为止。
第六，画聚类谱系图。
第七，确定类的个数和类。
1.2 系统聚类方法：1.2.1最短距离法1.2.2最长距离法1.2.3中间距离法1.2.4重心法1.2.5类平均法1.2.6离差平方和法（Ward 法）上述6种方法归类的基本步骤一致，只是类与类之间的距离有不同的定义。
最常用的就是最短距离法。
1.3 最短距离法以下用ij d 表示样品i X 与j X 之间距离，用ij D 表示类i G 与j G 之间的距离。
定义类i G 与j G 之间的距离为两类最近样品的距离，即ij G G G G ij d D j J i i ∈∈=,min设类p G 与q G 合并成一个新类记为r G ，则任一类k G 与r G 的距离是：ij G X G X kr d D j j i i ∈∈=,min ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈∈∈∈ij G X G X ij G X G X d d q j k i p j k i ,,min ,min min {}kq kp D D ,min = 最短距离法聚类的步骤如下：ij d {}ij d（1）定义样品之间距离，计算样品两两距离，得一距离阵记为)0(D ，开始每个样品自成一类，显然这时ij ij d D =。
系统聚类分析
聚类分析聚类分析是研究“物以类聚”的一种多元统计方法。
国内有人称它为群分析、点群分析、簇群分析等。
聚类分析的基本概念聚类分析是研究对样品或指标进行分类的一种多元统计方法,是依据研究对象的个体的特征进行分类的方法。
它把分类对象按一定规则分成若干类，这些类非事先给定的，而是根据数据特征确定的。
在同一类中这些对象在某种意义上趋向于彼此相似，而在不同类中趋向于不相似。
它职能是建立一种能按照样品或变量的相似程度进行分类的方法。
聚类分析的基本思想是认为我们所研究的样本或指标（变量）之间存在着程度不同的相似性（亲疏关系）。
于是根据一批样本的多个观测指标，具体找出一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）聚合为一类，把另外一些彼此之间相似程度较大的样本（或指标）又聚合为另一类，关系密切的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到把所有样本（或指标）都聚合完毕，把不同的类型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统。
最后把整个分类系统画成一张谱系图，用它把所有样本（或指标）间的亲疏关系表示出来。
这种方法是最常用的、最基本的一种，称为系统聚类分析。
聚类分析有两种：一种是对样本的分类，称为Q型，另一种是对变量（指标）的分类，称为R型。
聚类分析给人们提供了丰富多彩的方法进行分类，这些方法大致可以归纳为：（1）系统聚类法。
首先将n个也样品看成n类（一个类包含一个样品），然后将性质最接近的两类合并成一个新类，我们得到n-1类，再从中找出最接近的两类加以合并成了n-2类，如此下去，最后所有的样品均在一类，将上述并类过程画成一张图（称为聚类图）便可决定分多少类，每类各有什么样品。
（2）模糊聚类法。
将模糊数学的思想观点用到聚类分析中产生的方法。
该方法多用于定型变量的分类。
（3）K—均值法。
K—均值法是一种非谱系聚类法，它是把样品聚集成k个类的集合。
类的个数k可以预先给定或者在聚类过程中确定。
该方法可用于比系统聚类法大得多的数据组。
系统聚类
为了便于我们理解系统聚类法的方法和步骤，下面给出一个例子逐步进行说 明：
例：为了研究辽宁等 5 省 1991 年城镇居民生活消费情况的分布规律，根据调 查资料做类型分类，用最短距离法做类间分类。数据如下：
因此将 3、4 合并为一类，为类 6，替代了 3、4 两类 类 6 与剩余的 1、2、5 之间的距离分别为：
d(3,4)1=min(d31,d41)=min(13.80,13.12)=13.12 d(3,4)2=min(d32,d42)=min(24.63,24.06)=24.06 d(3,4)5=min(d35,d45)=min(3.51,2.21)=2.21 得到新矩阵
2、选择 D（0）表中最小的非零数，不妨假设 dpq ,于是将 Gp 和 Gq 合并为一
新类，记为 Gr GP ,Gq
3、利用递推公式计算新类与其它类之间的距离，产生 D（1）表。若类的个 数等于 1，转到下一步，否则回到前一步。类推直至所有的样本点归为一类为止。
4、画聚类图 5、决定类的个数 6、聚类结果的解释和证实 由于类与类之间的距离的计算方法不同，形成了不同的系统聚类方法。
吉林 黑龙江 天津 北京 上海 河南 福建 安徽 辽宁 青海 贵州 湖南 江西 广西 宁夏
6 -+-+
7 -+ +-----+
3 ---+ +---------------------------+
1 -+-------+
|
2 -+
+-----------+
聚类算法（五）--层次聚类（系统聚类）及超易懂实例分析
聚类算法（五）--层次聚类（系统聚类）及超易懂实例分析博客上看到的，叫做层次聚类，但是《医学统计学》上叫系统聚类（chapter21）思想很简单，想象成⼀颗倒⽴的树，叶节点为样本本⾝，根据样本之间的距离（相似系数），将最近的两样本合并到⼀个根节点，计算新的根节点与其他样本的距离（类间相似系数），距离最⼩的合为新的根节点。
以此类推对于样本X=（x1，x2，，，x m），共n个样品，m个特征，我们可以考虑两种情形聚类R型聚类：m个特征之间的聚类，可以理解为⼀种降维。
Q型聚类：n个样品之间的聚类，这就是⼀般意义上机器学习中的系统聚类（⽂中的下标i、j在R型、Q型中的含义不⼀样，聪明的读者⾃⾏分辨）相似系数：R型（真正意义上的相似系数）（r）$r_{ij}=\frac{\left | \sum \left ( X_{i}-\bar{X_{i}} \right )\left ( X_{j}-\bar{X_{j}} \right ) \right |}{\sqrt{\sum \left ( X_{i}-\bar{X_{i}} \right )^{2}\sum \left ( X_{j}-\bar{X_{j}} \right )^{2}}}$可以看到$r_{ij}$越⼤标明两特征相似程度越⾼Q型（真正意义上的样品距离）（d）闵可夫斯基（Minkowski）距离：$\sqrt[p]{\left | x-\mu _{i} \right |^{p}}$Minkowski距离没有考虑变量之间的相关关系。
引进马⽒距离：$d_{ij}={\mathbf{X}}'\mathbf{S}^{-1}\mathbf{X}$其中$X=(X_{i1}-X_{j1} \right , X_{i2}-X_{j2} \right, X_{im}-X_{jm})$（不明原因的公式不正确显⽰）类间相似系数:最⼤相似系数法r=Max(r)D=Min(d)最⼩相似系数法r=Min(r)D=Max(d)可以看出，就是⼈为规定了，当某两个指标或样品合并后，新的样本（或指标）与上⼀节点样品（或指标）的距离（或相似系数）的选取现举实例说明测量了300名成年⼥⼦⾝⾼（X1）、下肢长（X2）、腰围（X3）、胸围（X4）得到相似系数矩阵可以看到X1,X2的相似系数最⼤，所以将X1,X2合并为G5X3变为G3，X4变为G4G3与G4的相似系数不变，为0.73G5与G3、G5与G4的类间相似系数采⽤最⼤相似系数法G5与G3的类间相似系数r = Max r即$r_{53}=Max(r_{13},r_{23})=Max(0.09,0.05)=0.09$$r_{54}=Max(r_{14},r_{24})=Max(0.23,0.17)=0.23$所以有根据上述步骤，直到所有的类都归为⼀类。
聚类分析的方法
聚类分析的方法一、系统聚类法系统聚类分析法就是利用一定的数学方法将样品或变量（所分析的项目）归并为若干不同的类别（以分类树形图表示），使得每一类别内的所有个体之间具有较密切的关系，而各类别之间的相互关系相对地比较疏远。
系统聚类分析最后得到一个反映个体间亲疏关系的自然谱系，它比较客观地描述了分类对象的各个体之间的差异和联系。
根据分类目的不同，系统聚类分析可分为两类：一类是对变量分类，称为R型分析；另一类是对样品分类，称为Q型分析。
系统聚类分析法基本步骤如下（许志友，1988）。
（一）数据的正规化和标准化由于监测时所得到的数值各变量之间相差较大，或因各变量所取的度量单位不同，使数值差别增大，如果不对原始数据进行变换处理，势必会突出监测数据中数值较大的一些变量的作用，而消弱数值较小的另一些变量的作用，克服这种弊病的办法是对原始数据正规化或标准化，得到的数据均与监测时所取的度量单位无关。
设原始监测数据为Xij (i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m；n为样品个数，m为变量个数)，正规化或标准化处理后的数据为Zij (i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m)。
1. 正规化计算公式如下：（7-32）（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）2. 标准化计算公式如下：（7-33）（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）其中：（二）数据分类尺度计算为了对数据Zij进行分类，须对该数据进一步处理，以便从中确定出分类的尺度，下列出分类尺度计算的四种方法。
1.相关系数R两两变量间简单相关系数定义为：（7-34）（i，j＝1，2，…，m）其中一般用于变量的分类（R型）。
有一1≤≤1且愈接近1时，则此两变量愈亲近，愈接近-1，则关系愈疏远。
2.相似系数相似系数的意义是，把每个样品看做m维空间中的一个向量，n个样品相当于m维空间中的n个向量。
第i个样品与第j个样品之间的相似系数是用两个向量之间的夹角余弦来定义，即：（7-35）（i，j＝1，2，…，m）常用于样品间的分类（Q型）。
系统聚类法的原理和具体步骤
系统聚类法（Hierarchical Clustering）是一种常用的聚类分析方法，用于将样本或对象根据相似性或距离进行层次化的分组。
其原理和具体步骤如下：
原理：
系统聚类法通过计算样本或对象之间的相似性或距离，将它们逐步合并为不同的聚类组。
该方法基于一个假设，即相似的样本或对象更有可能属于同一个聚类。
具体步骤：
距离矩阵计算：根据选定的相似性度量（如欧氏距离、曼哈顿距离等），计算样本或对象之间的距离，并生成距离矩阵。
初始化聚类：将每个样本或对象视为一个初始聚类。
聚类合并：根据距离矩阵中的最小距离，将距离最近的两个聚类合并为一个新的聚类。
更新距离矩阵：根据合并后的聚类，更新距离矩阵，以反映新的聚类之间的距离。
重复步骤3和4，直到所有的样本或对象都合并为一个聚类或达到指定的聚类数目。
结果展示：将合并过程可视化为一棵聚类树状图（树状图或树状图），以显示不同聚类之间的关系和层次结构。
需要注意的是，系统聚类法有两种主要的实现方式：凝聚层次聚类和分裂层次聚类。
凝聚层次聚类从单个样本开始，逐步合并为更大的聚类；分裂层次聚类从一个整体聚类开始，逐步分裂为更小的聚类。
以上步骤适用于凝聚层次聚类。
系统聚类法在数据分析、模式识别、生物学分类等领域广泛应用。
通过系统聚类法，可以将样本或对象进行有序的分组，帮助发现数据中的模式和结构，并为进一步的分析和解释提供基础。
第一节系统聚类分析
第一节系统聚类分析第五章聚类分析(一)教学目的通过本章的学习，对聚类分析从总体上有一个清晰地认识，理解聚类分析的基本思想和基本原理，掌握用聚类分析解决实际问题的能力。
(二)基本要求了解聚类分析的定义，种类及其应用范围，理解聚类分析的基本思想，掌握各类分析方法的主要步骤。
(三)教学要点1、聚类分析概述;2、系统聚类分析基本思想，主要步骤;3、动态聚类法基本思想，基本原理，主要步骤;4、模糊聚类分析基本思想，基本原理，主要步骤;5、图论聚类分析基本思想，基本原理。
(四)教学时数6课时五)教学内容 (1、聚类分析概述2、系统聚类分析3、动态聚类法4、模糊聚类分析5、图论聚类分析统计分组或分类可以深化人们的认识。
实际应用中，有些情况下进行统计分组比较容易，分组标志确定了，分组也就得到了，但是，有些情况下进行统计分组却比较困难，特别是当客观事物性质变化没有明显标志时，用于确定分组的标志和组别就很难确定。
聚类分析实际上给我们提供了一种对于复杂问题如何分组的统计方法。
第一节聚类分析概述一、聚类分析的定义聚类分析是将样品或变量按照它们在性质上的亲疏程度进行分类的多元统计分析方法。
聚类分析时，用来描述样品或变量的亲疏程度通常有两个途径，一是把每个样品或变量看成是多维空间上的一个点，在多维坐标中，定义点与点，类和类之间的距离，用点与点间距离来描述样品或变量之间的亲疏程度;另一个是计算样品或变量的相似系数，用相似系数来描述样品或变量之间的亲疏程度。
二、聚类分析的种类(一)聚类分析按照分组理论依据的不同，可分为系统聚类法，动态聚类法，模糊聚类、图论聚类、聚类预报等多种聚类方法。
1、系统聚类分析法。
是在样品距离的基础上定义类与类的距离，首先将个样品自成n一类，然后每次将具有最小距离的两个类合并，合并后再重新计算类与类之间的距离，再并类，这个过程一直持续到所有的样品都归为一类为止。
这种聚类方法称为系统聚类法。
根据并类过程所做的样品并类过程图称为聚类谱系图。
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系统聚类法过程
1
最短距离系统聚类法
根据五个学生的六门课的成绩，对这五个学生进行分类
ID 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5
数学 65 77 67 80 74
物理 61 77 63 69 70
化学 72 76 49 75 80
语文 84 64 65 74 84
历史 81 70 67 74 81
重心法: (Centroid clustering)
D (G p , Gq ) d ( x p , xq )
两个类的重心如下：
xp
xp2
x p1 x p 2 2
D(G p , Gq )
xq
xq1 xq 2 2
xq 2
x p1
xq1
ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学 物理 65 76 67 84 74 78 66 77 83 86 61 77 63 95 70 84 71 71 100 94
绝对值距离：
p d ( x1 , x2 ) | x1k x2 k | 27 k 1
欧氏距离：
d ( x1 , x2 )
分类准则
距离近的样品聚为一类 数据的一般的格式
样品与样品之间的常用距离（样品i与样品j）
p 绝对值距离：d ( xi , x j ) | xik x jk | k 1
欧氏距离：d ( x i, xj )
2 ( x x ) ik jk k 1
1 q
p
p Minkowski距离： d ( xi , x j ) ( xik x jk )q k 1
英语 79 55 57 63 74
1.写出样品间的距离矩阵(以欧氏距离为例）
0 G1 38.9 G 0 2 D0 39.7 32.2 G3 0 26.5 15.9 32.4 0 G4 15.8 30.9 43.6 18.2 0 G 5
引例3 下表是中国大陆地区31个省级行政区域的月人均消费 数据（单位：元），请根据消费水平对这31个省级行政区域 进行分类。
城市 北京 天津 河北 …… 青海 宁夏 新疆 人均 粮食 支出 21.3 21.5 18.25 …… 20.33 19.75 21.03 人均副 食支出 124.89 122.39 90.21 …… 75.64 70.24 78.55 人均烟、 酒、饮 料支出 35.43 29.08 24.45 …… 20.88 18.67 14.35 人均 衣着 支出 93.01 55.04 62.48 …… 53.81 61.75 64.98 人均日 人均水 人均其他 用杂品 电燃料 非商品支 支出 支出 出 20.58 11.3 7.45 …… 10.06 10.08 9.83 43.97 54.88 47.5 …… 32.82 40.26 33.87 433.73 288.13 178.84 …… 171.32 165.22 161.67
p
ki kj p
x
=0.983
2 2 x x ki kj k 1
类与类之间的常用距离
1.由一个样品组成的类是最基本的类；如果每一类都由一 个样品组成，那么样品间的距离就是类间距离。 2.如果某一类包含不止一个样品，那么就要确定类间距 离，类间距离是基于样品间距离定义的，大致有如下几种 定义方式： 记号：G p 和 Gq 是两个类，D(G p , Gq )是这两个类的距离。 xi G p x j Gq d ( xi , x j ) 是这两个样品的距离。
历史 81 70 67
英语 79 55 57
相关系数： (数学, 语文)
x
k 1 p k 1
p
ki
xi xkj x j
2 p 2
xki xi xkj x j
k 1
= 0.663
夹角余弦：r (数学, 语文)
x
k 1 p k 1
最短距离法: (Nearest Neighbor)
D (G p , Gq ) min d ( xi , x j )
D(G p , Gq )
最长距离法: (Furthest Neighbor)
D(G p , Gq ) max d ( xi , x j )
D(G p , Gq )
Chebyshev距离：d ( x i , x j ) max | xik x jk |
1 k p
1 马氏距离： d ( x i , x j ) ( xi x j ) ( xi x j ) 其中： xi ( xi1 , xi 2 ,, xip ) x j ( x j1 , x j 2 ,, x jp ) 为样本的协方差矩阵
组间平均连接法: (Between-group Linkage)
d1 d 2 d3 d 4 D (G p , Gq ) 4
组内平均连接法 (Within-group Linkage)
d1 d 2 d3 d 4 d5 d 6 D(G p , Gq ) 6
引例2 下表是30个学生的六门课的成绩。根据这30个人的成 绩，将六门课程分为两类。
序号 1 2 3 …… 28 29 30 数学 65 77 67 …… 77 91 78 物理 61 77 63 …… 90 82 84 化学 72 76 49 …… 85 84 100 语文 84 64 65 …… 68 54 51 历史 81 70 67 …… 73 62 60 英语 79 55 57 …… 76 60 60
2
x
k 1
p
ki
xi
x
k 1
p
kj
xj
2
夹角余弦： r ( X i , X j )
x
k 1 p k 1
p
ki kj p
x
2 2 x x ki kj k 1
序号 1 2 3
数学 65 77 67
物理 61 77 63
化学 72 76 49
语文 84 64 65
序号 1 2 3 …… 28 29 30 数学 65 77 67 …… 77 91 78 物理 61 77 63 …… 90 82 84 化学 72 76 49 …… 85 84 100 语文 84 64 65 …… 68 54 51 历史 81 70 67 …… 73 62 60 英语 79 55 57 …… 76 60 60
如何分类
引例1中，如果只考虑数学成绩（取 前十个学生的成绩来分析），可以 将十个人的分数画在x轴上，然后把 接近的点放入一类。 ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学 65 76 67 84 74 78 66 77 83 86
引例1中，如果考虑数学成绩和物理成绩 （取前十个学生的成绩来分析），可以 将十个人的两个分数看作是 xoy 平面上 的点，然后把接近的点分为一类。 ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学 物理 65 76 67 84 74 78 66 77 83 86 61 77 63 95 70 84 71 71 100 94
2.将每一个样品看做是一个类，即 G1 , G2 , G3 , G4 , G5 观察 D(G1 , G5 ) 15.8最小，故将G1与G5聚为一类，记为G6 . 计算新类与其余各类之间的距离，得到新的距离矩阵 D1 D(G6 , G2 ) max{D(G1 , G2 ), D(G5 , G2 )} max{38.9,30.9} 38.9 D(G6 , G3 ) max{D (G1 , G3 ), D(G5 , G3 )} max{39.7, 43.6} 43.6 D(G6 , G4 ) max{D(G1 , G4 ), D (G5 , G4 )} max{26.5,18.2} 26.5
2.将每一个样品看做是一个类，即 G1 , G2 , G3 , G4 , G5
观察 D(G1 , G5 ) 15.8最小，故将G1与G5聚为一类，记为G6 . 计算新类与其余各类之间的距离，得到新的距离矩阵 D1
D(G6 , G2 ) min{D(G1 , G2 ), D(G5 , G2 )} min{38.9,30.9} 30.9 D(G6 , G3 ) min{D(G1 , G3 ), D(G5 , G3 )} min{39.7, 43.6} 39.7 D(G6 , G4 ) min{D(G1 , G4 ), D(G5 , G4 )} min{26.5,18.2} 18.2
0 G6 30.9 G 0 2 D1 39.7 32.2 G3 0 18.2 15.9 32.4 0 G4
3.观察 D(G2 , G4 ) 15.9最小，故将G2与G4聚为一类，记为G7 . 计算新类与其余各类之间的距离，得到新的距离矩阵D2 D(G7 , G6 ) min{D(G2 , G6 ), D(G4 , G6 )} min{30.9,18.2} 18.2 D(G7 , G3 ) min{D(G2 , 2
2 ( x x ) 1k 2k 19.416 k 1 p
Minkowski距离：
3 d ( x1 , x2 ) ( x1k x2 k ) 17.573 k 1
p 1 3
Chebyshev距离： d ( x1 , x2 ) max | x1k x2 k | 16
数学模型与数学建模之
聚类分析之 系统聚类法及其SPSS实现