第二章知识点1

第二章 统计
简单随机抽样
1．总体和样本：

1.研究对象的全体叫做总体．
2.每个研究对象叫做个体．
3.总体中个体的总数叫做总体容量．

4.样本容量：一般从总体中随机抽取一部分：， ， ，
研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2．简单随机抽样：
从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。
特点：
每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联
性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在 总体单位之间差异程度较小和数目
较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；
⑵随机数表法；
⑶计算机模拟法；
⑷使用统计软件直接抽取。
4．抽签法的步骤:
（1）编号：给调查对象群体中的每一个对象编号；
（2）写签：将这N个号码写到大小、形状相同的号签上。
（3）搅拌均匀：将写好的号签放入一个不透明的容器内，搅拌均匀。
（4）抽签：从容器内每次抽取一个号签，连续抽取n次，并记录其编号。
（5）确定样本：从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本。
5．随机数表法的步骤：
（1）编号。将N个个体编号，编数字号码，例如：将100个个体编号成00,01,02，…..99
（2）选定初始值（数）为了保证所选数字的随机性，在查看数表前就指出开始数字的横、纵位置。
（3）选号，从选定的数字开始按照一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中或已被选用，则跳过，
直到选满n个为止。
（4）确定样本。按照步骤（3）选出的号码从总体中找出与其对应的个体，组成样本。
提醒：（1）用随机数表法抽取样本时，任选一个数作为开始，读数的方向可以向左，也可以向右、向上
或向下，因此根据同一个随机数表所抽取的样本并不是唯一的。
（2）由于随机数表中各数出现的机会相等，因此利用随机数表法抽取的样本保证了每个个体被抽到的可
能性是相等的。
（3）若个体的编号是三位数，则从随机数表中选定的数字开始，每次连续读取三个数为一个号码。
（4）由于需要编号，如果个体数目太多，采用随机数表法进行抽样就显得不太方便了。
辨析抽签法和随机数表法：
1、二者的相同点：
（1）都是简单的随机抽样 （2）都是要求被抽取样本的总体的个数是有限的。（3）都是从总体中逐个地
进行抽取，都是不放回抽取。（4）都是等可能抽样，每个个体被抽中的概率为样本容量n总体容量N
抽签法的优缺点：优点：抽签法简单易行，当总体中的个数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较
容易，这时，每个个体有均等的机会被抽到，从而能够保证样本的代表性。
缺点：（1）当总体的个数较多时，制作号签的成本就会增加，使得抽签的成本增加。（2）号签很多时，把
它们搅拌均匀比较困难，很难保证每个个体入选的等可能性，从而产生坏样本的可能性增加。
随机数表法的优缺点 ： 优点 ：简单易行，不论总体容量是多少都可以使用，它很好的解决了当总体容
量比较大时用抽签法制签难的问题。
缺点：当总体容量很大，需要的样本容量也很大时，利用随机数表法抽取样本扔不方便。
注意：用随机数表法时的编号的位数要相同，而抽签法不要求编号的位数相同。
判定简单随机抽样的方法：有限性，逐一性，不放回性，等可能性。
系统抽样
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样
本采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
系统抽样的步骤：（1）将总体的N个个体编号，有时可直接利用个体自身所带的号码；
（2）确定分段间隔k，对编号进行分段。当Nn（n是样本容量）是整数时，取k=Nn。如果遇到Nn不是整数时，
可以先从总体中剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除，在剔除个体，可以采用简单
随机抽样的方法。
（3）在第1段用用简单随机抽样确定确定第一个个体编号l（l≤k）
（4）按照一定的规则抽取样本。通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l+k）,再加k得到第3个个
体编号（l+2k）,依次进行下去，直到获取整个样本。
系统抽样的特点：
（1）适用于个体数较多，且个体之间无明显差异的总体。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，
这里的间隔一般为k=[Nn]([Nn]表示不大于Nn的最大整数)
（3）在第一部分的抽样采用简单随机抽样。
（4）在系统抽样中，每个个体被抽取的可能性相等，均为Nn（N为总体容量，n为样本容量）。
（5）抽取的个体按从小到大的顺序排列时，从第二个号码起，每个号码与前面一个号码的差是同一个常
数。
分层抽样
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个

类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体
的样本。
两种方法：
（1）按比例分层抽样：
根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取样本的方法。
（2）不按比例分层抽样：
有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次
的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体 时，则需要先对各层的数据资料进
行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。
分层抽样的步骤：（1）分层，根据已经掌握的信息，将总体分成互补交叉的层。
（2）求比。根据总体中个体数N和样本容量n计算抽样比k=nN
(3)定数。确定第i层应该抽取的个体数为n
i=Ni

k (

(4)抽样，按步骤（3）中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本。
茎叶图的概念：一种表示数据的图；茎是指基本不变或变化不大的位，叶就是从茎的旁边生长出来得数。
茎叶图的绘制步骤
（1）将数据分为“茎”、“叶”两部分。如：可以将两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”。
（2）将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序（一般由小到大）排成一列，茎相同者共用一个茎，再画
上竖线作为分界线。
（3）将各个数据的“叶”按大小顺序在分界线的一侧对应茎处同行列出。
什么情况下适合茎叶图：
1、对于样本数据较少，但较为集中的一组数据：若数据是两位数，则将十位数字作为茎，个位数字作为
叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位作叶；若样本数据是小数，则将整数部分作茎，
小数部分作叶。
2、对于样本数据比较少，但较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎。
茎叶图的统计意义：茎叶图反映数据的大致集中趋势，并能直接得到中位数，对于数据的稳定性做出判断。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

1、平均值：nxxxxn21

2、．样本标准差：nxxxxxxssn222212)()()(
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
2.3.2两个变量的线性相关
1、概念: （1）回归直线方程 （2）回归系数

2．回归直线方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进
行估计，即可得到个体Y值的容许区间。
线性相关关系和回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直
线叫做回归直线。 y=bx + a

B= ∑(xi－x)(yi－y)ni=1∑(xi－x)²ni a = y－bx 回归线一定过点（x,y）.