悖论的三种类别
数学悖论小知识
数学悖论小故事“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。
那些结论会使我们惊讶无比。
悖论主要有三种形式：1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。
悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。
下面几个例子，可以让大家体会这其中的趣味。
1、唐·吉诃德悖论小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。
一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。
”旅游者被送到国王那里。
国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。
如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。
实在是左右为难！2、强盗的难题强盗抢劫了一个商人，他将商人捆在树上，预备在杀掉他之前，先戏弄一番．强盗头子对他说："我本想立即杀掉你，但在临死之前，再给你一个机会．你说我会不会杀掉你，如果你说对了，我就放了你，决不反悔！如果说错了．我就杀掉你．"强盗以为，商人已逃不了一死，他怎么也没有想到，商人凭着自己的聪明才智逃过了这一劫．聪明的商人仔细一想，便说："你会杀掉我．"这下，轮到强盗发呆了，"如果我把你杀了，你就说对了，那么就应该放了你；如果把你放了，你就说错了，却又应该把你杀掉．"强盗想不到自己陷入了进退两难的境地，心下对商人顿生佩服的感情，于是将商人放了．这是古希腊哲学家嘴边常讲的故事．商人的一句："你会杀掉我的．"立马解除了眼前的困境，他是多么地聪明．假如他说："你会放了我的．"这样，强盗就说法，让强盗无论怎么做，都必定与许下的诺言自相矛盾．像这样有趣的问题还有许多．比如，上帝是万能的，你说上帝能创造一块他也举不起来的大石头吗？3、上帝不是万能的用反证法证明证明：假设上帝是万能的，那么上帝能造出一块他自己都举不起来的石头，否则上帝就不是万能的；但是上帝又举不起这块石头，因此上帝不是万能的，这与假设矛盾；所以原假设不成立，即上帝不是万能的4、说谎者悖论公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言："所有克里特人所说的每一句话都是谎话．"如果这句话是真实的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是断言却说：克里特人是不会说真话的．如果这句话是不真的，也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了句谎话，同时断言表明：克里特岛也有人不说谎．那么，他说的话又是真话．所以，怎样也难以自圆其说．这就是著名的说谎者悖论．公元前4世纪，希腊哲学家也提出了这个悖论："我现在正在说的这句话是谎话．"因为你说的话若是真话，按话的内容分析，那么它又应是一句谎话；反之，若你说的话是谎话，那么你的话又应是真话．说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家．说谎者悖论有许多形式．比如，我预言："你下面要讲的话是'不'，对不对？用'是'或者'不'来回答！"如果你说："不"那表明你不同意我的预言．也就是说你应说"是"，这样与你的本意相矛盾．如果你回答说："是！"这意味着你同意我的预言，那么你要的话就应当"不"，于是又产生矛盾5、梵学者的预言一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。
悖论大集合
悖论大集合悖论大集合（1）米堆悖论。
如果一粒米不算一堆米，两粒米不算一堆米，三粒米不算一堆米……那么照此逻辑，一万粒米也不算一堆米。
与之相对的是（2）沙丘悖论。
如果有一堆沙，拿走一颗沙这还是一堆沙，拿走两颗沙这还是一堆沙，那么，拿走n颗也算是一堆沙，所以一颗沙也叫一堆沙。
和我们的认识抵触。
（2）赌徒的谬误。
假设有一个赌徒，他在赌博中连续赢了9次，请问第10次他会输还是赢？这个问题一般有两种答案，第一，他会赢，因为很多人觉得前9次赢了，说明他运气来了，下一次要赢了。
第二，他会输，因为风水轮流转，不可能一直好运，这样才能平衡。
这和买彩票号码是一样的，有人认为要买前几次出现过的号码，觉得这是热门号码。
而有人则认为应该买其他号码，因为既然前几次是那个号码，那么后来就肯定不是了。
这种对不确定的事情以前面的结果进行推测就叫赌徒的谬误。
其实，第10次赌徒到底是输还是赢还是一件未知的事情，所谓运气楼主也不知道到底存不存在这种东西。
你们呢？觉得运气存在么？（3）怕老婆悖论。
电台举行节目，要求所有男性出场。
要求怕老婆的就站左边，不怕的站右边。
中国男性以怕老婆为荣。
于是纷纷走向左边。
只有唯一一个男性在右边。
主持人不解问他是不是不怕老婆，他说：“我老婆不让我去人多的地方。
”这下主持人犯了难。
到底他是怕老婆还是不怕呢？（4）万能溶液悖论。
（很多经典的悖论有可能大家见过就当复习吧，蹭）一位科学家的弟子好高骛远，于是有一天他非常骄傲的对老师说，我要发明一种能溶解任何东西的万能溶液。
他的老师只是轻轻的说：那你用什么容器装它呢？（5）鳄鱼悖论。
一头鳄鱼抓住了一个小孩，它对小孩妈妈说：“你猜我吃不吃他？猜对了我就不吃他。
猜错了我就吃了它。
”小孩妈妈说：“我猜你要吃了我的孩子。
”鳄鱼说：“哈哈，那我要吃了它。
”小孩妈妈说：“我猜对了那你就不应该吃他。
”鳄鱼这下糊涂了，如果还给她孩子，那他就猜错了我应该吃了它，但是我吃了他她就猜对了不应该吃他，最后鳄鱼还给了她孩子。
经典悖论
梵学者的“预言”
这是一个梵学者（印度的预言家）的女儿用悖论来为难她 的父亲的故事。
女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说： 纸上写的可能发生，也可能不发生。如果你预言会发生就写 “是”，反之就写“不”。
梵学者写下他的预言“是”，女儿拿出水晶球下面的纸， 念到：“你将写一个‘不’字。”学者错了。实际上，他写 个“不”字，也会错，因为预言已经发生了。
全能者悖论
“如果说上帝是万能的，他能否创造一块他举 不起来的大石头？” 这是一个流传很广的悖论。如果说能，上帝 遇到一块“他举不起来的大石头”，说明他 不是万能；如果说不能，同样说明他不是万 能。这是用结论来责难前提。 这个“全能者悖论”的另一种表达方法是： “全能的创造者可以创造出比他更了不起的 事物吗？”
理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有 那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己 理发？”理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属 于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。
反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言， 他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。
迈克必需顺次序开门,从一号门开始.他事先不知道哪个房间里有 老虎, 只有开了那扇门才知道.这只老虎将是料想不到的. 迈克看着这些门对自己说---
迈克: 如果我打开了四个空房间的门,我就知道老虎在第五个房 间.可是,国王说我事先不可能知道它在哪里.所以老虎不可能 在第五个房间里，五被排除了,所以老虎必然在其余的四个房 间之一，那么在我开了三个空房间以后，又怎么样了?老虎必 然在第四个房间里。可是，这样它就不是料想不到的了.所以 四也被排除了，按同样的道理,迈克证明了老虎不能在第三、 第二和第一个房间。 哪个门后也不可能有老虎.如果有,它就 不是料想不到的了,这不符合国王的允诺,国王总是遵守诺言的。
世界10个著名悖论
世界10个著名悖论1. 贝利森悖论（Bertrand's paradox）：在概率论中，贝利森悖论指出，当从一个完美无缺的随机分布中选择一个数时，该数却不是随机的。
2. 博克斯悖论（Box paradox）：在概率论和统计学中，博克斯悖论指出，对于一个随机抽样样本，大多数情况下，样本均值将会接近总体均值；然而，对于一个随机选择的样本，样本均值却未必接近总体均值。
3. 赫拉克利特悖论（Heraclitus paradox）：赫拉克利特悖论指出，尽管我们在同一个河流中无法踏进两次，但我们却可以认为它是同一个河流。
4. 旅行者悖论（The Paradox of the Traveler）：旅行者悖论指出，在一个时间旅行的场景中，如果一个人回到过去并阻止了某个事件的发生，那么他将无法回到未来，因此也就无法阻止该事件的发生。
5. 孟德尔悖论（Mendel's paradox）：孟德尔悖论指出，在遗传学中，某些基因特征在自然选择中并未得到保留，尽管这些特征为个体带来了优势。
6. 斯巴达克斯悖论（Spartacus paradox）：斯巴达克斯悖论指出，当一个群体中的每个成员都想要自由时，整个群体可能会陷入更大的束缚。
7. 罗素悖论（Russell's paradox）：罗素悖论是一个关于集合论的悖论，指出一个集合不能包含自身，但同时也不能排除自身。
8. 艾舍尔悖论（Escher's paradox）：艾舍尔悖论指出，一些艾舍尔的作品中出现的视觉效果在逻辑上是不可能的，例如无限迭代和不可能的构造。
9. 脑力劳动悖论（The Paradox of Work and Leisure）：脑力劳动悖论指出，人们在追求更多的休闲和娱乐时间时，却发现自己更加忙碌和压力更大。
10. 尤金悖论（Eugene's Paradox）：尤金悖论指出，当人们追求幸福时，往往反而会感到更加不满和不幸福。
悖论的三种类别
悖论的三种类型——摘自《推理的迷宫》悖论，这个词有很多含义，其中最基本的含义是“矛盾”。
悖论从一系列合理前提出发，而后从这些前提推演出一个结论来颠覆其前提。
依据矛盾的生成方式和生成点（如果能找到生成点的话），可以对悖论进行粗略的分类。
第一种是谬误型悖论。
这种悖论是通过一个微妙而隐蔽的推理错误生成一个矛盾。
有很多诡计能通过代数的方法“证明”2等于1，在多数情况下这些诡计的核心在于以0为分母，用这种方法迷惑我们。
如：1.令x=12.很明显x=x3.两边取平方x2=x24.两边同时减去x2 x2-x2=x2-x25.因式分解x2-x2=（x+x）（x-x）6.消掉相同的因式（x-x）x=x+x7.即x=2x8.根据x=1，得1=2谬误型悖论中，悖论是一个假象。
一旦你发现了其中的错误，一切都恢复正常。
第二种是挑战常识型悖论。
著名的例子就是“孪生子悖论”。
相对论认为，时间流逝的速度因观察者的运动而不同。
设想一对相同的孪生兄弟，让其中一个登上火箭前往天狼星，而后返回地球。
根据相对论，此人将发现他比他的孪生兄弟年轻许多。
在日常生活中，没有任何东西令我们相信时间是相对的。
从摇篮到坟墓，一对孪生兄弟始终同岁。
在孪生子悖论问世之初，它与常识的冲突如此这剧烈，以至于很多人（包括法国哲学家享里·柏格森，Henri Bergson）引用这个悖论证明相对论是错误的。
今天，孪生子悖论已被接受为事实，其结论已被大量实验证实。
1972年，物理学家约瑟夫·黑费勒（Joseph Hafele）设计的一个实验把铯原子钟装进喷气客机环球飞行，这个实验证明，当飞机乘客回家时，要比其他所有人年轻，相差一个微乎其微但可以测量的瞬间。
如果一个宇航员用接近光速的速度旅行，他返回时，要比呆在家里的原来与他同龄的人年轻——没有哪个物理学家怀疑这个结论。
在这类悖论中，矛盾令人惊奇但可以解决，解决方法是明显的：必须放弃原来的假定。
无论最初的假定多么根深蒂固，一旦放弃它，矛盾迎刃而解。
世界十大著名悖论
世界十大著名悖论1、色盲问题世界十大著名悖论,电梯悖论解决了吗?(无解)假设：有一个人，他有一种奇怪的色盲症。
他看到的两种颜色和别人不一样，他把蓝色看成绿色，把绿色看成蓝色。
但是他自己并不知道他跟别人不一样，别人看到的天空是蓝色的，他看到的是绿色的，但是他和别人的叫法都一样，都是“蓝色”;小草是绿色的，他看到的却是蓝色的，但是他把蓝色叫做“绿色”。
所以，他自己和别人都不知道他和别人的不同。
第一问：怎么让他知道自己和别人不一样?第二问：你怎么证明你不是上述问题中的主人公?2、祖父悖论世界十大著名悖论,电梯悖论解决了吗?(无解)一个人回到了过去，在他祖母能遇到祖父之前就杀了他的祖父。
这就意味着这个人的父母之中有一个不会出生;依次这个人自己也不会出生;这就意味着他没有机会进行时光旅游挥刀过去;这就意味着他的祖父依然还活着;这就意味着这个人能构思回到过去，并杀了自己的祖父。
3、全能悖论世界十大著名悖论,电梯悖论解决了吗?(无解)上帝能造出一个重到他自己也举不起的东西吗?如果他能，那么他不能举起这个东西，就证明他力量方面不是全能的。
如果他不能，那么不能创造出这样一个东西，就证明他在创造方面不是全能的4、蚂蚁和橡皮绳世界十大著名悖论,电梯悖论解决了吗?(无解)一只蚂蚁沿着一条长100米的橡皮绳以每秒1厘米的匀速由一端向另一端爬行.每过1秒钟，橡皮绳就拉长100米，比如10秒后，橡皮绳就伸长为1000米了.当然，这个问题是纯数学化的，既假定橡皮绳可任意拉长，并且拉伸是均匀的.蚂蚁也会不知疲倦地一直往前爬，在绳子均匀拉长时，蚂蚁的位置理所当然地相应均匀向前挪动.现在要问，如此下去，蚂蚁能否最终爬到橡皮绳的另一端?5、无法预料的考试悖论世界十大著名悖论,电梯悖论解决了吗?(无解)一位老师宣布说，在下一星期的五天内(星期一到星期五)的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。
世界10大悖论
世界10大悖论悖论是指在逻辑上似乎自相矛盾、难以理解的陈述或情境。
世界上有许多悖论，以下是其中一些比较著名的：1.薛定谔的猫悖论（Schrodinger's Cat Paradox）：描述了量子力学的现象，一个在特定情况下既被认为是死亡又被认为是活着的猫。
2.巴塞尔悖论（The Basel Problem）：是数学上的一个悖论，涉及到级数的求和问题，由皮埃尔·德·费马引起。
3.爱普斯坦悖论（The Epimenides Paradox）：是古代希腊哲学家爱普斯坦提出的一个悖论，涉及到说谎的问题，即“克里特人说他们所有的克里特人都是说谎者”。
4.俄巴马悖论（The Barber Paradox）：涉及到一个理发师修剪所有不修剪自己的人的悖论，提出了自指的问题。
5.维特根斯坦的悖论（Wittgenstein's Paradox）：维特根斯坦在他的《逻辑哲学论》中提出的悖论，涉及到语言的自指问题。
6.莱布尼兹悖论（Leibniz's Paradox）：是一个关于单子和单子的集合的悖论，由哲学家莱布尼兹提出。
7.薛定谔的量子纠缠悖论（Quantum Entanglement Paradox）：描述了两个或多个粒子之间发生纠缠的量子现象，即使它们之间的距离很远，改变一个粒子的状态也会立即影响到其他粒子。
8.巴纳姆悖论（Barnum Effect）：也称为“福尔摩斯效应”，指的是人们倾向于接受模糊或广义的描述，认为这些描述适用于自己。
9.罗塞塔石碑的解读悖论：涉及到对古埃及罗塞塔石碑上文字的解读问题，为了理解其中的埃及象形文字和希腊文，需要通过解读其中一个文字来推导出另一个文字的含义。
10.强可计数悖论（The Strong Law of Small Numbers）：是由数学家理查德·加德纳提出的，指的是人们在处理小样本数据时容易陷入的一种认知偏误，即过于相信在小样本中看到的模式。
人类历史上经典的7大悖论
历史上经典的7大悖论包括：1．祖父悖论：这是一种时间旅行的悖论，举例来说，假设你回到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死，由于祖父母死了，就不会有你的父亲，而没有你的父亲，就不会有你，而你没有出生，那么杀死祖父母的行为就不存在。
这个悖论涉及到时间旅行和因果关系的矛盾。
2．理发师悖论：这是罗素悖论的通俗举例。
假设一个城市里唯一的理发师立下规定：只帮那些自己不理发的人理发。
那么问题来了：理发师应该为自己理发吗？如果理发师不给自己理发，他需要遵守规则，帮自己理发；如果理发师给自己理发，他需要遵守规则，不给自己理发。
这个悖论涉及到自指命题的矛盾。
3．辛普森悖论（Simpson's Paradox）：在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。
这个悖论涉及到统计推理和因果关系的矛盾。
4．上帝悖论：这个悖论是几个世纪前罗马教廷出的一本书中提出的，用当时最流行的数学推论导出“上帝是万能的”。
一位智者针锋相对地问：“上帝能创造出一块他搬不动的石头吗？”如果教廷回答说能的，那上帝不能搬动他创造的那块石头，所以上帝不是万能的；如果教廷回答说不能，那么上帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上帝也不是无所不能的。
这个悖论涉及到对“万能”和“不可能”的定义及其相互关系的矛盾。
5．外祖母悖论：也叫“祖父悖论”，和祖父悖论类似，也是时间旅行带来的矛盾。
6．摩尔悖论：这个悖论涉及到自指命题的矛盾。
假设一个命题是真的，那么它的逆命题也是真的。
但是，如果一个命题是假的，它的逆命题却不一定是假的。
这个悖论就产生于这种逻辑矛盾。
7．意外绞刑悖论：这个悖论涉及到对“意外”的定义及其与“必然性”的关系的矛盾。
假设一个绞刑犯被判处绞刑，但是他在行刑前突然感到一阵头晕，于是他伸手去扶住绞刑架以免自己摔倒。
这时，执行绞刑的人问他：“你知道你为什么要被绞刑吗？”绞刑犯回答：“当然知道，我不是因为偷窃而杀人。
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悖论的三种类型
——摘自《推理的迷宫》
悖论，这个词有很多含义，其中最基本的含义是“矛盾”。
悖论从一系列合理前提出发，而后从这些前提推演出一个结论来颠覆其前提。
依据矛盾的生成方式和生成点（如果能找到生成点的话），可以对悖论进行粗略的分类。
第一种是谬误型悖论。
这种悖论是通过一个微妙而隐蔽的推理错误生成一个矛盾。
有很多诡计能通过代数的方法“证明”2等于1，在多数情况下这些诡计的核心在于以0为分母，用这种方法迷惑我们。
如：
1.令x=1
2.很明显x=x
3.两边取平方x2=x2
4.两边同时减去x2 x2-x2=x2-x2
5.因式分解x2-x2=（x+x）（x-x）
6.消掉相同的因式（x-x）x=x+x
7.即x=2x
8.根据x=1，得1=2
谬误型悖论中，悖论是一个假象。
一旦你发现了其中的错误，一切都恢复正常。
第二种是挑战常识型悖论。
著名的例子就是“孪生子悖论”。
相对论认为，时间流逝的速度因观察者的运动而不同。
设想一对相同的孪生兄弟，让其中一个登上火箭前往天狼星，而后返回地球。
根据相对论，此人将发现他比他的孪生兄弟年轻许多。
在日常生活中，没有任何东西令我们相信时间是相对的。
从摇篮到坟墓，一对孪生兄弟始终同岁。
在孪生子悖论问世之初，它与常识的冲突如此这剧烈，以至于很多人（包括法国哲学家享里·柏格森，Henri Bergson）引用这个悖论证明相对论是错误的。
今天，孪生子悖论已被接受为事实，其结论已被大量实验证实。
1972年，物理学家约瑟夫·黑费勒（Joseph Hafele）设计的一个实验把铯原子钟装进喷气客机环球飞行，这个实验证明，当飞机乘客回家时，要比其他所有人年轻，相差一个微乎其微但可以测量的瞬间。
如果一个宇航员用接近光速的速度旅行，他返回时，要比呆在家里的原来与他同龄的人年轻——没有哪个物理学家怀疑这个结论。
在这类悖论中，矛盾令人惊奇但可以解决，解决方法是明显的：必须放弃原来的假定。
无论最初的假定多么根深蒂固，一旦放弃它，矛盾迎刃而解。
第三种是本质型悖论
这类本质型悖论是难以解决的。
其解决难度远远超过了谬误型悖论和挑战常识型悖论。
“说谎者悖论”是一个非常简单的例子。
比如：
“我说的这句话是假的”。
这个语句是真的还是假的？假定“我说的这句话是假的”为真。
既然此语句为真，那么它陈述的内容是真的，但它说的就是这个语句是假的，于是得出这个语句是假的！
既然如此，这个语句必须为假。
然而，如果“我说的这句话是假的”为假，它就必须是真的，所以它不可能是假的。
这个悖论是本质性的，难以消除。