多项式计算
多项式的运算
多项式的运算在数学的广袤天地中，多项式是一个非常重要的概念，而多项式的运算更是我们解决众多数学问题的有力工具。
首先，咱们来聊聊什么是多项式。
简单说，多项式就是由几个单项式相加或相减组成的式子。
比如 3x ＋ 2y 5 就是一个多项式，其中 3x、2y 和－5 就是单项式。
多项式的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
咱们一个一个来看。
多项式的加法和减法相对来说比较直观。
在进行加法或减法运算时，我们只需要将同类项（就是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项）进行合并就可以了。
比如说，计算（2x²＋ 3x 1) ＋（x² 2x＋ 5) ，先把同类项找出来，2x²和 x²是同类项，3x 和－2x 是同类项，－1 和 5 是同类项。
然后分别把同类项相加，得到 3x²＋ x ＋ 4 。
减法也是同样的道理，比如计算（4x² 3x ＋ 2) （2x²＋ x 1) ，还是先找同类项，然后同类项相减，得到 2x² 4x ＋ 3 。
接下来是多项式的乘法。
这就稍微有点复杂了，但只要掌握好方法，也不难。
比如说计算（x ＋ 2)（x 3) ，我们可以使用“ FOIL 法则”，也就是先把第一个括号里的 x 乘以第二个括号里的每一项，得到 x² 3x ，再把第一个括号里的 2 乘以第二个括号里的每一项，得到 2x 6 ，最后把这两个结果相加，得到 x² x 6 。
如果是更复杂一点的多项式相乘，比如（2x ＋ 3)（x² 2x ＋ 1) ，那就先把第一个多项式的每一项分别乘以第二个多项式的每一项，然后合并同类项。
2x 乘以 x²得到 2x³，2x 乘以－2x 得到－4x²，2x 乘以1 得到 2x ；3 乘以 x²得到 3x²，3 乘以－2x 得到－6x ，3 乘以 1 得到3 。
多项式运算初中数学知识点之多项式的四则运算法则
多项式运算初中数学知识点之多项式的四则运算法则多项式是数学中一个重要的概念，也是初中数学中需要掌握的知识点之一。
在多项式的学习中，四则运算是必不可少的一部分。
本文将介绍多项式的四则运算法则，以及它们的应用。
一、多项式的基本概念首先，我们来回顾一下多项式的基本概念。
多项式是由一系列代数式通过加法和减法运算组合而成的表达式。
它的形式可以表示为：P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0其中，P(x)为多项式的表示形式，an, an-1, …, a1, a0为常数项，n为多项式的次数，x为变量。
二、多项式的四则运算法则1. 多项式的加法运算多项式的加法运算规则非常简单，只需要将对应的系数相加即可。
例如，对于两个多项式 P(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 Q(x) = 2x^2 + 4x + 3，它们的和为：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 + 4x + 3)= 3x^2 + 2x^2 + 2x + 4x + 1 + 3= 5x^2 + 6x + 42. 多项式的减法运算多项式的减法运算也遵循类似的规则，即将对应的系数相减。
例如，对于两个多项式 P(x) = 3x^2 + 2x + 1 和 Q(x) = 2x^2 + 4x + 3，它们的差为：P(x) - Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) - (2x^2 + 4x + 3)= 3x^2 - 2x^2 + 2x - 4x + 1 - 3= x^2 - 2x - 23. 多项式的乘法运算多项式的乘法运算是比加法和减法复杂一些的运算。
多项式的乘法运算需要使用分配律的原理，将每一项相乘后再进行合并。
例如，对于两个多项式 P(x) = 3x + 2 和 Q(x) = 2x^2 + 4x + 3，它们的乘积为：P(x) * Q(x) = (3x + 2) * (2x^2 + 4x + 3)= 3x * 2x^2 + 3x * 4x + 3x * 3 + 2 * 2x^2 + 2 * 4x + 2 * 3= 6x^3 + 12x^2 + 9x + 4x^2 + 8x + 6= 6x^3 + 16x^2 + 17x + 64. 多项式的除法运算多项式的除法运算是最为复杂的一种运算，需要使用长除法的方法进行计算。
多项式的运算
多项式的运算多项式是代数中的基本概念之一，它由常数、变量和指数幂的乘积组成。
在数学中，多项式的运算是解决代数问题的重要手段之一。
本文将介绍多项式的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。
一、多项式的加法和减法多项式的加法和减法是最基本的运算，其操作规则比较简单。
1. 加法对于两个多项式的加法，只需要将相同次数的项的系数相加，保留相同的指数。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x^2 + 4x + 1将两个多项式相加得到：(A + B) = (3x^2 + 2x^2) + (5x + 4x) + (2 + 1)(A + B) = 5x^2 + 9x + 32. 减法多项式的减法与加法类似，只需将减数中各项的系数取相反数，然后按照加法的规则进行计算。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x^2 + 4x + 1将两个多项式相减得到：(A - B) = (3x^2 - 2x^2) + (5x - 4x) + (2 - 1)(A - B) = x^2 + x + 1二、多项式的乘法多项式的乘法是将两个多项式的每一项分别相乘，并将同类项合并。
例如：多项式A：3x^2 + 5x + 2多项式B：2x + 1将两个多项式进行乘法运算得到：(A * B) = (3x^2 * 2x) + (3x^2 * 1) + (5x * 2x) + (5x * 1) + (2 * 2x) + (2 * 1)(A * B) = 6x^3 + 3x^2 + 10x^2 + 5x + 4x + 2(A * B) = 6x^3 + 13x^2 + 9x + 2三、多项式的除法多项式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，在实际计算中可采用长除法的方法进行。
例如：被除多项式：6x^3 + 16x^2 + 9x + 2除数多项式：2x + 1进行除法运算得到：3x^2 + 7x + 1____________________2x + 1 | 6x^3 + 16x^2 + 9x + 2- (6x^3 + 3x^2)_______________13x^2 + 9x + 2- (13x^2 + 6.5x)______________2.5x + 2- (2.5x + 1.25)___________0.75通过长除法运算可以得到商多项式为：3x^2 + 7x + 1，余数为0.75。
求多项式系数快速方法
求多项式系数快速方法求多项式系数快速介绍多项式系数是数学中常见的概念，用于表示多项式中各项的系数。
在某些算法和计算中，我们需要快速计算多项式系数。
本文将介绍几种常用的方法。
1. 暴力法暴力法是一种简单直接的方法，适用于多项式的规模较小的情况。
1.定义一个数组coefficients，用于存储多项式的系数。
2.通过遍历多项式的每一项，将其系数依次存入coefficients数组中。
优点：实现简单。
缺点：对于规模较大的多项式，效率较低。
2. 动态规划动态规划是求解多项式系数的常用方法之一。
1.定义一个二维数组dp，用于存储多项式各项的系数。
2.初始化dp数组。
3.通过递推关系式计算dp数组中的各项系数。
优点：效率较高。
缺点：实现相对复杂。
3. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值原理的方法，适用于需要高精度计算多项式系数的情况。
1.定义一个函数，用于计算多项式在给定点上的值。
2.根据插值原理，在给定的数据点上计算多项式的系数。
优点：计算精度较高。
缺点：实现较为复杂。
4. 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效的计算多项式系数的方法，适用于多项式规模较大的情况。
1.将多项式转换为多项式在单位根上的离散傅里叶变换。
2.计算离散傅里叶变换的结果。
优点：计算速度快。
缺点：实现相对复杂。
结论本文介绍了几种常用的求解多项式系数的方法，包括暴力法、动态规划、牛顿插值法和快速傅里叶变换。
不同的方法适用于不同规模和精度要求的多项式计算。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来求解多项式系数。
多项式的加减乘除运算
多项式的加减乘除运算多项式是数学中常见的代数表达式形式，由多个项组成。
每个项由系数和指数两部分组成，例如3x^2和5y表示两个多项式的项。
多项式的加减乘除运算是数学中重要的概念，本文将详细介绍多项式的加减乘除运算规则及相应的例子。
一、多项式的加法运算多项式的加法运算是将两个多项式按照相同指数的项进行合并。
在进行加法运算时，只需将对应指数的项的系数相加即可，而不同指数的项则需要保留原样。
例如，考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x^2 - x + 3将两个多项式进行加法运算时，我们将对应指数的项的系数相加，不同指数的项保留原样。
按照这个规则，我们可以将上述两个多项式相加得到：P(x) + Q(x) = (3x^2 + 4x^2) + (2x - x) + (5 + 3)= 7x^2 + x + 8因此，P(x) + Q(x) = 7x^2 + x + 8。
二、多项式的减法运算多项式的减法运算是将两个多项式按照相同指数的项进行合并，并将减数的项的系数取负。
也就是说，我们将第二个多项式的各项的系数取相反数，然后按照相同指数的项进行合并。
考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x^2 - x + 3我们将P(x) - Q(x)展开运算：P(x) - Q(x) = (3x^2 - 4x^2) + (2x + x) + (5 - 3)= -x^2 + 3x + 2所以, P(x) - Q(x) = -x^2 + 3x + 2。
三、多项式的乘法运算多项式的乘法运算是将两个多项式的各项进行配对相乘，并将同指数的各项相加。
例如，考虑以下两个多项式：P(x) = 3x^2 + 2x + 5Q(x) = 4x - 1我们将P(x) * Q(x)展开运算：P(x) * Q(x) = (3x^2 * 4x) + (3x^2 * -1) + (2x * 4x) + (2x * -1) + (5 * 4x) + (5 * -1)= 12x^3 - 3x^2 + 8x^2 - 2x + 20x - 5= 12x^3 + 5x^2 + 18x - 5所以，P(x) * Q(x) = 12x^3 + 5x^2 + 18x - 5。
数学课程多项式运算练习题及答案
数学课程多项式运算练习题及答案1. 多项式的基本概念在数学中，多项式是由常数项、幂函数和系数的乘积相加而成的表达式。
多项式运算是数学的一个重要部分，它们在代数、几何等领域都具有广泛的应用。
接下来，我们将为你提供一些多项式运算的练习题及其答案。
2. 多项式的加减法练习题题目1：将多项式 P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x + 3 与 Q(x) = -x^3 + 3x - 2 相加。
题目2：计算多项式 P(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5 和 Q(x) = -2x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 8x - 10 之差。
答案1：P(x) + Q(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x + 3 - x^3 + 3x - 2 = x^3 - 4x^2 + 8x + 1答案2：P(x) - Q(x) = (x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) - (-2x^4 + 4x^3 -6x^2 + 8x - 10) = 3x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 12x + 153. 多项式的乘法练习题题目3：计算多项式 P(x) = 2x^2 - 3x + 1 和 Q(x) = x^3 - 2x + 3 的乘积。
题目4：将多项式 P(x) = (x^2 + 2x + 3)(2x^2 - x - 1) 展开并进行合并同类项。
答案3：P(x) * Q(x) = (2x^2 - 3x + 1) * (x^3 - 2x + 3) = 2x^5 - 4x^3 + 6x^2 - 3x^4 + 6x^2 - 9x + x^3 - 2x + 3 = 2x^5 - 3x^4 + x^3 + 12x^2 - 11x + 3答案4：(x^2 + 2x + 3)(2x^2 - x - 1) = 2x^4 - x^3 - x^2 + 4x^3 - 2x^2 - 2x + 6x^2 - 3x - 3 = 2x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 5x - 34. 多项式的除法练习题题目5：将多项式 P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 4 除以 Q(x) = x - 2，并求商和余数。
多项式的运算练习题及解析
多项式的运算练习题及解析一、综合练习题1. 计算多项式 P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1 在 x = 2 时的值。
解析：将 x = 2 代入多项式 P(x) 中，得到：P(2) = 3(2)^3 - 2(2)^2 + 5(2) - 1= 3(8) - 2(4) + 10 - 1= 24 - 8 + 10 - 1= 25因此，在 x = 2 时，多项式 P(x) 的值为 25。
2. 将多项式 P(x) = 2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x + 6 与多项式 Q(x) = x^3 - 2x + 5 相加，并将结果化简。
解析：将 P(x) 和 Q(x) 相加，得到：P(x) + Q(x) = (2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x + 6) + (x^3 - 2x + 5)= 2x^4 + 3x^3 + x^3 - 5x^2 - 2x + x + 6 + 5= 2x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 2x + 11因此，将多项式 P(x) 和 Q(x) 相加后化简后得到 2x^4 + 4x^3 - 5x^2 - 2x + 11。
3. 将多项式 P(x) = 4x^5 - 6x^4 + 2x^3 - x^2 + 8x - 3 与多项式 Q(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5 相乘，并将结果化简。
解析：将 P(x) 和 Q(x) 相乘，得到：P(x) * Q(x) = (4x^5 - 6x^4 + 2x^3 - x^2 + 8x - 3) * (2x^3 - 3x^2 + 5)= 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 2x^5 + 16x^4 - 6x^3 - 3x^5 + 4x^4 -x^3 + 5x^2 + 8x - 3化简后，将同类项合并得：P(x) * Q(x) = 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 5x^5 + 20x^4 - 7x^3 + 5x^2 + 8x - 3因此，将多项式 P(x) 和 Q(x) 相乘并化简后得到 8x^8 - 12x^7 + 4x^6 - 5x^5 + 20x^4 - 7x^3 + 5x^2 + 8x - 3。
多项式计算
2. 多项式的四则运算 1 多项式的加减运算
多项式的加减运算非常简单，即相应向量相加减。 2 多项式乘法
conv(P1,P2)：多项式相乘，其中，P1、P2是两个多项式系数向量。 3 多项式除法
[Q,r]=deconv(P1,P2)：多项式相除，其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返 回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函 数，因此有下式成立。
例4 某工业过程需要对工件进行高温加热，热量由一个燃烧装置产生。该装置中共有两条输送管 道，一条管道按固定量提供燃料，一条管道注入空气。空气能够帮助燃烧，但是过高的空气流量 又会带走热量，降低加热效率。经过数十次空气流量实验，技术部门取得了相应的结果数据，并 通过曲线拟合得知空气流量与加热效率在[0, 2]范围内基本满足多项式p(x)=-38.89x2+126.11x3.42（x表示空气流量），请推算空气流量在[0, 2]范围内什么水平时，加热效率为最高。
3 -5 0 -4 10 3 >> f-g1 ans =
3 -5 0 -10 0 9 >> conv(f,g) ans=
9 0 -34 -6 -20 64 15 -18 >> [Q,r]=deconv(f,g) Q=
1.0000 -3.3333 6.5556 -16.5926 r=
0 0 0 0 107.6296 -43.7778 >> conv(g,Q)+r ans =
5.2 多项式计算 多项式的表示 多项式的四则运算 多项式的求导 多项式的求值 多项式的求根
专题五 数据分析与多项式计算
1. 多项式的表示
在MATLAB中，n次多项式用一个长度为n+1的行向量表示。如有n次多项式：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在MATLAB中创建多项式向量时，要注意三点： （1）多项式系数向量的顺序是从高到低。 （2）多项式系数向量包含0次项系数，所以其长度为多项式最高次数 加1。 （3）如果有的项没有，系数向量相应位置应用0补足。
2. 多项式的四则运算 （1）多项式的加减运算
>> p=[-38.89,126.11,-3.42]; >> q=polyder(p) q=
372 >> polyder(d) ans =
12 21 4
-6 -12 -6
>> [p,q]=polyder(a,b)
p=
6 19 4 6 思考：对于[p,q]=polyder(a,b)，如
q=
果换成先求商再求导，结果一样吗？
144
4. 多项式的求值
polyval(p,x)：代数多项式求值，其中，p为多项式系数向量，x可以 是标量、向量或矩阵。若x为标量，则求多项式在该点的值；若x为向 量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值。
>> conv(g,Q)+r
ans =
3.0000 -5.0000 0 -7.0000 5.0000 6.0000 =f
3. 多项式的求导 在MATLAB中，多项式求导函数为polyder()，其调用格式为： （1）p=polyder(P)：求多项式P的导函数。 （2）p=polyder(P,Q)：求P×Q的导函数。 （3）[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母 存入q。
polyvalm(p,x)：矩阵多项式求值，其调用格式与polyval相同，但含 义不同。polyvalm函数要求x为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。
设A为方阵，P代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是： A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))
而polyval(P,A)的含义是： A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))
例4 某工业过程需要对工件进行高温加热，热量由一个燃烧装置产生。该装置中共有两条输送管 道，一条管道按固定量提供燃料，一条管道注入空气。空气能够帮助燃烧，但是过高的空气流量 又会带走热量，降低加热效率。经过数十次空气流量实验，技术部门取得了相应的结果数据，并 通过曲线拟合得知空气流量与加热效率在[0, 2]范围内基本满足多项式p(x)=-38.89x2+126.11x3.42（x表示空气流量），请推算空气流量在[0, 2]范围内什么水平时，加热效率为最高。
>> f+g1
ans =
3 -5 0 -4 10 3
>> f-g1
ans =
3 -5 0 -10 0 9
>> conv(f,g)
ans=
9 0 -34 -6 -20 64 15 -18
>> [Q,r]=deconv(f,g)
Q=
1.0000 -3.3333 6.5556 -16.5926
r=
0
0
0
0 107.6296 -43.7778
-8.0194 + 0.0000i 1.0344 + 0.0000i
-0.5075 + 0.9736i -0.5075 - 0.9736i
若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多 项式，其调用格式为：
p=poly(x) 例如，在以上语句之后，继续输入命令： >> p=poly(x) p= 1.0000 8.0000 0.0000 0.0000 -10.0000 =a
-17.0000 5.8976 70.0000 -46.1584
>> y2=polyvalm(a,x) y2=
-60.5840 50.6496 84MATLAB中，多项式求根函数为roots(p)，其中p为多项式的系数向量。 例如，求多项式 x4+8x3-10的根。 >> a=[1,8,0,0,-10]; >> x=roots(a) x=
思考：polyval(p,x)与polyvalm(p,x)有没有可能相等？如果有可 能，在什么情况下相等？
例3 以多项式x4+8x3-10为例，取一个2×2矩阵为自变量，分别用 polyval和polyvalm计算该多项式的值。
>> a=[1,8,0,0,-10]; >> x=[-1,1.2;2,-1.8]; >> y1=polyval(a,x) y1=
5.2 多项式计算 多项式的表示 多项式的四则运算 多项式的求导 多项式的求值 多项式的求根
专题五 数据分析与多项式计算
1. 多项式的表示 在MATLAB中，n次多项式用一个长度为n+1的行向量表示。如有n次多项式：
p( x) an x n an1xn1 an2 xn2 a1x a0 则在MATLAB中，p(x)表示为向量形式：
P1=conv(Q,P2)+r
例1 设 f (x) 3x5 5x4 7 x2 5x 6，g(x) 3x2 5x 3 ，求
f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)/g(x)。
>> f=[3,-5,0,-7,5,6]; g=[3,5,-3]; g1=[0,0,0,g];
多项式的加减运算非常简单，即相应向量相加减。 （2）多项式乘法
conv(P1,P2)：多项式相乘，其中，P1、P2是两个多项式系数向量。 （3）多项式除法
[Q,r]=deconv(P1,P2)：多项式相除，其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返 回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函 数，因此有下式成立。
例2 已知两个多项式：
a(x) 3x3 x2 6
b(x) x 2
计算两个多项式的乘积的导函数、商的导函数。
>> a=[3 1 0 -6]; >> b=[1 2]; >> polyder(a) ans =
920 >> c=polyder(a,b) c=
12 21 4 -6
这个语句等价于： >> d=conv(a,b) d=