2021高考数学新高考版一轮习题：专题3 阶段滚动检测(二)
2021高考数学一轮复习《滚动评估检测(三)》
滚动评估检测(三)(第一至第八章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|x+1<2),则A∩B=( )A.(-∞,2)B.(0,1)C.(0,+∞)D.(1,2)【解析】选B.因为A={x|0<x<2},B={x|x<1},所以A∩B=(0,1).2.(2019·大庆模拟)已知i是虚数单位,若z(1+i)=,则z的虚部为( )A. B.- C.i D.-i【解析】选B.由z(1+i)=,得z====--i,所以z的虚部为-.3.已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(x,4),若(a-b)⊥c,则x= ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.a-b=(-4,1),c=(x,4),且(a-b)⊥c;所以(a-b)·c=-4x+4=0.所以x=1.4.已知m∈R,若p:m≤0;q:∃x∈R,m≤sin x.那么p是q的( )A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【解析】选C.因为y=sin x具有有界性质即sin x∈[-1,1],所以由p:m≤0能推出q:∃x∈R,m≤sin x成立,充分性满足;反之,由q:∃x∈R,m≤sin x成立,不一定能推出p:m≤0成立,即必要性不满足, 故由充分条件必要条件的定义可知p是q的充分不必要条件.5.(2020·三明模拟)观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128, 28=256……用你所发现的规律可得22 019的末位数字是( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.通过观察可知,末尾数字周期为 4,2 019=4×504+3,故 22 019的末位数字与 23末尾数字相同,都是8.6.若a=20.2,b=l ogπ3,c=l og2,则( )A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a【解析】选C.因为20.2>20=1,0<l ogπ3<l ogππ=1,l og2<l og21=0,所以a>b>c.7.等差数列有如下性质:若数列{a n}为等差数列,则当b n=时,数列{b n}也是等差数列;类比上述性质,相应地,若数列{c n}是正项等比数列,当d n=________________时,数列{d n}也是等比数列,则d n的表达式为( )A.d n=B.d n=C.d n=D.d n=【解析】选C.在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我们可以由数列{a n}是等差数列,则当b n=时,数列{b n}也是等差数列.类比推断:若数列{c n}是各项均为正数的等比数列,则当d n=时,数列{d n}也是等比数列.8.已知函数f(x)=sin,将其图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为( ) A. B. C. D.【解析】选B.函数f(x)=sin=sin,将其图像向右平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)=sin=sin为偶函数,可得:-2φ=kπ+,k∈Z,即:φ=-kπ-,k∈Z,由于:φ>0,故φ的最小值为.9.(2020·西北工业大学附中模拟)执行如图所示的算法框图,则输出的S的值为( )A.-B.0C.D.【解析】选B.由算法框图知该算法的功能是利用循环结构计算并输出S= sin +sin +sin π+sin+sin 的值,S=sin +sin +sin π+sin +sin =0.10.(2019·宁波模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,=(n∈N*),且a1=-,则= ( )A.2 019B.-2 019C.2 020D.-2 020【解析】选D.==(n∈N*),化为:-=-1.所以数列是等差数列,首项为-2,公差为-1.所以=-2-(n-1)=-1-n.则=-1-2 019=-2 020.11.已知函数f(x)=+l n-1,若定义在R上的奇函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),且g(1)=f(l og2 25)+f(l o),则g(2 019)=( ) 世纪金榜导学号A.2B.0C.-1D.-2【解析】选A.因为f(x)+f(-x)=++ln+ln-2=++0-2=-2,f(x)+f(-x)=-2,因为log 225=log2(52)=2·log25,l o=l o(5-1)=-2·log25,所以g(1)=f(log225)+f(l o)=f(2·log25)+f(-2·log25)=-2.又因为g(1-x)=g(1+x),即g(x)=g(2-x),且g(x)为奇函数,所以g(x)=-g(-x),所以g(2-x)=-g(-x),可知函数g(x)的周期T=4.所以g(2 019)=g(505×4-1)=g(-1)=-g(1)=2.12.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数y=在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上“缓减函数”,区间I叫做“缓减区间”.若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数f(x)的“缓减区间”的是世纪金榜导学号( )A.(-∞,2]B.[0,]C.[,2]D.[1,]【解析】选C.根据题意,对于f(x)=x2-2x+1,是二次函数,其对称轴为x=2,在区间(-∞,2]上为减函数,对于y==+-2,在区间[-,0)和(0,]上为减函数,在区间(-∞,-]和[,+∞)为增函数,若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上“缓减函数”,则f(x)在区间I上是减函数,函数y==+-2在区间I上是增函数,区间I为(-∞,-]或[,2];分析选项可得[,2]为I的子集.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020·马鞍山模拟)已知实数x,y满足约束条件若z=x+ty(t>0)的最大值恰好与幂函数y=(a-2)x4a-1中幂指数相同,则实数t=________________.【解析】因为y=(a-2)x4a-1是幂函数,所以a-2=1,即a=3,则函数为y=x11,即z=x+ty(t>0)的最大值为11,作出不等式组对应的平面区域如图:由z=x+ty得y=-x+,平移直线y=-x+,由图知,当直线y=-x+经过点A时,直线的截距最大,此时z最大为11,由得,即A(3,2),则3+2t=11,t=4.答案:414.(2019·天水模拟)如图是平面直角坐标系下y=sin x与圆O:x2+y2=π2的图像,在圆O内随机取一点,则此点落在图中阴影部分的概率是________________.【解析】依题意,图中阴影面积为S=2sin xdx=-2cos x=4,而圆的面积为S′=π×π2=π3,所以圆O内随机取一点,则此点落在图中阴影部分的概率是=.答案:15.(2020·运城模拟)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC =,AB=3,AD=,则BD的长为________________.【解析】因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°,所以∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)=cos∠BAD=,在△ABD中,AB=3,AD=,根据余弦定理得:BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=9+3-2×3××=6,则BD=.答案:16.已知正实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________________.世纪金榜导学号【解析】因为a+b=1,所以+=2a+2b++=2++,因为+=(a+b)=1+4++≥5+2=5+4=9,当且仅当=时即a=,b=时取等号,故+≥2+9=11.答案:11三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2019·绵阳模拟)已知m>0,p:x2-2x-8≤0,q:2-m≤x≤2+m.(1)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.(2)若m=5,“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数x的取值范围.【解析】(1)记p对应的集合为A=[-2,4],q对应的集合为B=[2-m,2+m],因为p是q的充分不必要条件,所以A B,所以,解得m≥4,所以m的取值范围是[4,+∞).(2)因为“p∨q”为真,“p∧q”为假,所以p与q一真一假,①若p真q假,则无解,②若p假q真,则解得x∈[-3,-2)∪(4,7].综上,x∈[-3,-2)∪(4,7].18.(12分)(2020·达州模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,关于x的不等式a1x2-S3x+5<0的解集为(1,5).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)设公差为d,关于x的不等式a1x2-S3x+5<0的解集为(1,5).即:1和5为关于x的方程a1x2-S3x+5=0的解,所以=5,=1+5=6,解得a1=1,S3=6,所以d=1,故a n=1+n-1=n.(2)由于a n=n,所以数列{b n}满足b n==2n,则T n=21+22+23+…+2n==2n+1-2.19.(12分)(2019·六安模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A.(1)求角B的大小.(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A, 可得2sin Ccos B-sin Acos B=sin Bcos A,即2sin Ccos B-sin(A+B)=0,可得cos B=,所以B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC= a.由正弦定理得a===+1.由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故1<a<4,从而<S△ABC<2.因此,△ABC面积的取值范围是.20.(12分)已知等式1×22+2×32+…+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)(an+b)(a,b∈R,且a,b是常数)对任意的n∈N*成立.(1)求a,b.(2)用数学归纳法证明这个等式.【解析】(1) 当n=1时,原式可化为a+b=8,当n=2时,原式可化为2a+b=11,由,解得a=3,b=5,(2)原式即为1×22+2×32+…+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)(3n+5),①当n=1时,左边=1×22=4,右边=×1×2×3×8=4,左边=右边,所以当n=1时成立;②假设当n=k时原式成立,即1×22+2×32+…+k(k+1)2=k(k+1)(k+2)(3k+5), 那么当n=k+1时,1×22+2×32+…+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2=k(k+1)(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=(k+1)(k+2)[k(3k+5)+12(k+2)]=(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8)=(k+1)(k+1+1)(k+1+2)[3(k+1)+5],所以当n=k+1时原式也成立,由①②可得原式成立.21.(12分)已知函数f(x)=l n x-ax+1. 世纪金榜导学号(1)当a=1时,证明:f(x)≤0.(2)若f(x)在[2,3]的最大值为2,求a的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=l n x-x+1,f′(x)=-1=(x>0),当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=0,即f(x)≤0.(2)由f(x)=ln x-ax+1,得f′(x)=-a=(x>0),若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在[2,3]上为增函数,由f(x)max=f(3)=ln 3-3a+1=2,得a=,与a≤0矛盾;若a>0,由f′(x)=0,得x=.所以f(x)在上为增函数,在上为减函数.若0<≤2,即a≥,则f(x)在[2,3]上单调递减,f(x)max=f(2)=ln 2-2a+1=2,即a=(舍去);若≥3,即0<a≤,则f(x)在[2,3]上单调递增,f(x)max=f(3)=ln 3-3a+1=2,即a=;若2<<3,即<a<,f(x)max=f=-ln a=2,即a=(舍).综上,a=.22.(12分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”.(1)判断函数f(x)=l og2x是否是“2-利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由.(2)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,求常数k的最小值.(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.【解析】(1)函数f(x)=log2x不是“2-利普希兹条件函数”;理由如下:f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),令x1=,x2=,则==|-1-(-2)|=1,而2|x1-x2|=,所以|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|,所以函数f(x)=log2x 不是“2-利普希兹条件函数”.(2)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,不妨设x1>x2,则k≥=恒成立.因为1≤x2<x1≤4,所以<<,所以k的最小值为.(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期内f(a)=M,f(b)=m, 则|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b)≤|a-b|.若|a-b|≤1,显然有|f(x1)-f(x2)|≤|a-b|≤1.若|a-b|>1,不妨设a>b,则0<b+2-a<1,所以|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b+2)≤|a-b-2|<1.综上,对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.。
测试卷02 二次函数-2021年高考数学一轮复习创优测评卷(新高考专用)(解析版)
2021年高考数学一轮复习二次函数创优测评卷(新高考专用)一、单选题（共60分，每题5分）1．设a ，b ，k 是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax ＋b 满足：f(k －1)与f(k)异号，f(k ＋1)与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的说法中，正确的是 ( ) A ．该二次函数的零点都小于k B ．该二次函数的零点都大于kC ．该二次函数的两个零点之间差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内 【答案】D 【解析】由题意二次函数2f x x ax b =++（） 满足1f k -（） 与f k （） 异号，1f k +（） 与f k （） 异号 ∴函数在1k k -（，） 与（1k k +，） 内各有一个零点 即二次函数的二个零点都在区间11k k -+（，） 内 故选D2．若从数字0，1，2，3，4，5中任取三个不同的数作为二次函数2y ax bx c =++的系数，则与x 轴有公共点的二次函数的概率是（ ） A ．15 B ．12 C ．1350 D ．1750【答案】D 【解析】实验发生包含的事件是从0，1，2，3，4，5中任取三个不同的数作为二次函数的系数，对应二次函数共有1255100C A =个满足条件的事件是与x 轴有公共点的二次函数需满足24b ac ≥当0c =时，a b ，只需要从1，2，3，4，5中任选2个数字即可，对应的二次函数共有25A 个当0c ≠时，若3b =，此时满足条件的()a c ，取值有()12，，()21，有2种情况 当4b =时，此时满足条件的()a c ，取值有()12，，()()()132131，，，，，，有4种情况当5b =时，此时满足条件的()a c ，取值有()12，，()()()()()1314232131，，，，，，，，，，()41，，()32，，有8种情况∴共有2024834+++=种情况满足题意 ∴概率为341710050=故选D3．已知二次函数()2f x x px q =++通过点(),0α、(),0β.若存在整数n ，使1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +与14的关系为（ ）.A ．()(){}1min ,14f n f n +>B ．()(){}1min ,14f n f n +<C ．()(){}1min ,14f n f n += D ．不能确定，与n 的具体取值有关【答案】B 【解析】 【详解】由二次函数通过点(),0α、(),0β，有恒等式()()()f x x x αβ=--. ① 取x n =，()11n n n αβ+<<<+代入式①，有()()()0f n n n αβ=-->，()()()1110f n n n αβ+=+-+->.两式相乘得()()()()()()0111f n f n n n n n αβαβ<+=--+-+-()()()()11n n n n ααββ=-+--+-()()()()221122n n n n ααββ⎡⎤⎡⎤-++--+-<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦214⎛⎫= ⎪⎝⎭.从而，()(){}1min ,14f n f n +<. 选B. 4．在下列图象中，二次函数与函数的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：根据图中二次函数图象可知0c，所以二次函数为()2f x ax bx =+选项A 中，，即000a b a b >⎧⎪>⎨⎪->⎩，所以01b a <<，所以指数函数图象符合要求；选项B 中，002a b a>⎧⎪⎨->⎪⎩，即00a b >⎧⎨<⎩，不符合题意；选项C 中，，即000a b a b <⎧⎪<⎨⎪->⎩，所以1>b a ，所以图中的指数函数图象不符合题意；选项D 中，002a b a<⎧⎪⎨->⎪⎩，即00a b <⎧⎨>⎩，不符合题意．5．已知二次函数,方程的两个根为,满足,那么当时,与的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 略6．若二次函数()(1)(2)f x k x x =+-的图象与坐标轴的交点是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的顶点或焦点，则k =（ ） A ．3B ．3±C ．3D ．3±【答案】B 【解析】分析：由题意首先确定椭圆的焦点和长轴端点，据此求得b 的值，最后求解实数k 的值即可. 详解：由题意得，椭圆C 的一个焦点为(1,0)-，长轴的一个端点为（2，0）， 所以222213a b ==-=，，由（0，-2k)是椭圆C 的一个顶点， 得23k -=或23k -=-，所以3k =±. 本题选择B 选项.7．下列四个函数中，图象经过原点且对称轴在y 轴左侧的二次函数是（ ） A ．y=x 2+2x B ．y=x 2﹣2xC ．y=2（x+1）2D ．y=2（x ﹣1）2【答案】A【解析】解：A 、将（0，0）代入解析式y=x 2+2x 得0=0，故函数过原点；对称轴为x=-=-1，在对称轴的左侧，故本选项正确；B 、将（0，0）代入解析式y=x 2-2x 得0=0，故函数过原点；对称轴为x=-=1，在对称轴的右侧，故本选项错误；C 、将（0，0）代入解析式y=2（x+1）2得0≠2，故函数不过原点，故本选项错误；D 、将（0，0）代入解析式y=2（x-1）2得0≠2，故函数不过原点，故本选项错误． 故选：A ．8．下列四个关系式：（1）y =x ；（2）2y =x ；（3）y =3x ；（4）|y |=x ，其中y 不是x 的函数的是（ ） A ．（1） B ．（2）C ．（3）D ．（4）【答案】B【解析】根据对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应， （1）y=x ，（3）y=3x 满足函数的定义，y 是x 的函数，（2）2y =x ，（4）|y|=x ，当x 取值时，y 不是有唯一的值对应，y 不是x 的函数，故选：B ．9．在平面直角坐标系中，抛物线y=－12x 2+2x －1关于点（－1，2）对称的图象解析式为 ( ) A ．y=12x 2－2x+1 B ．y=12x 2+4x+11 C ．y=－12x 2－2x-1 D ．y=12x 2+4x+19【答案】B【解析】设点A （x ，y ）在新函数图象上，则点A 关于点（－1，2）对称的点B （－2－x ，4－y ）在抛物线y =－12x 2+2x －1上，∴4－y =－12（－2－x ）2+2（－2－x ）－1，∴y =12x 2+4x +11．故选B ． 10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过点（0，m ）（2，m ）（m>0），与x 轴的一个交点为1(,0)x ，且110x -<<，则下列结论：①若点1(,)2y 是函数图象上一点，则y>0；②若点11(,)2y -，25(,)2y 在该函数图象上，则21y y >；③22()a c b +<．其中正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．②③【答案】C【解析】解：∵函数图像过点（0，m ）（2，m ）（m>0）， 故该二次函数对称轴为直线1x =，又∵二次函数与x 轴的一个交点为（x 1，0）（-1＜x 1＜0）， ∴该函数的值在10x x <<时y 随x 增大而增大， ∴0a <，函数图像开口向下，∴当02x <<时，0y m >>，故①正确； 又∵该二次函数对称轴为1x =， ∴点（−12，y 1）到对称轴的距离与（52，y 2）到对称轴的距离相等， ∴有21y y =，故②错误； ∵1x =时，0y >， ∴0a b c ++>，又1x =-时，0y <， ∴0a b c -+<，∴ 有()()()220a c b a c b a c b +-=+++-< ，故③正确，故①③正确. 故选C.11．规定：log a b (a ＞0，a ≠1,b ＞0）表示a ，b 之间的一种运算,现有如下的运算法则：log a a n ＝n , log N M ＝log log n n MN（a ＞0,a ≠1,N ＞0,N ≠1，M ＞0).例如：log 223＝3，log 25＝1010log 5log 2,则log 1001000＝（ ） A ．32B ．23C ．2D ．3【答案】A【解析】根据法则，1010010log 10003log 1000log 1002==故选A12．二次函数y=x 2+px+q 中，由于二次项系数为1>0，所以在对称轴左侧，y 随x 增大而减小，从而得到y 越大则x 越小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，从而得到y 越大则x 也越大，请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若关于x 的方程x 2＋px ＋q ＋1=0的两个实数根是m 、n （m ＜n ），关于x 的方程x 2+px+q-5=0的两个实数根是d 、e （d ＜e ），则m 、n 、d 、e 的大小关系是（ ）． A ．m<d<e<n B ．d<m<n<e C ．d<m<e<n D ．m<d<n<e【答案】B【解析】由关于x 的方程x 2＋px ＋q ＋1=0的两个实数根是m 、n （m ＜n ），可知，当x=m 或x=n 时，y=-1，由关于x 的方程x 2+px+q-5=0的两个实数根是d 、e （d ＜e ），可知，当x=d 或x=e 时，y=5，根据二次函数的性质可知，d m n e ．故选B ．二、填空题（共20分，每题5分）13．已知二次函数y=x 2+2x+3，当m≤x≤0时，函数的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是_____． 【答案】-2≤m≤-1【解析】y ＝x 2+2x +3＝（x +1）2+2≥2，画出函数图象，如图示：在m≤x≤0上的最大值为3，最小值为2，则x＝0或﹣2时取到最大值3，x＝﹣1时取到最小值2，所以﹣2≤m≤﹣1．故答案为：﹣2≤m≤﹣1．14．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是__．【答案】m＝0或m＞4．【解析】从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根，即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根；从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个，当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根．|x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根．故答案为m＝0或m＞4．15．阅读材料：若a b=N，则b=log a N，称b为以a为底N的对数，例如23=8，则log28=log223=3．根据材料填空：log39=_____．【答案】2【解析】：∵32=9， ∴log 39=log 332=2． 故答案为2．16．已知二次函数的图象与抛物线y=-3x 2的开口大小和方向都相同，并且在x 轴上截得的线段长为3．又知图象过（0，6）点，则该二次函数的表达式为_____． 【答案】y=-3x 2+3x+6或y=-3x 2-3x+6． 【解析】【分析】∵二次函数的图象与抛物线y=-3x 2的开口大小和方向都相同，且图象过（0，6）点， ∴可设二次函数关系式为y=-3x 2+bx+6， ∵抛物线在x 轴上截得的线段长为3，22472b ac b a -+==3， 解得b=±3， ∴二次函数关系式为y=-3x 2+3x+6或y=-3x 2-3x+6． 三、解答题（共70分）17．（10分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象过()0,6-、()1,0和()2,6--三点．()1求二次函数解析式；()2求二次函数图象的顶点坐标；()3若点()2,810A m n mn ---在此二次函数图象上，求m 、n 的值．【答案】(1) 二次函数解析式为：2246y x x =+-；(2)() 1,8--；(3) 1m =-，12n =. 【解析】()1由已知得6604260c a b a b =-⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩，解得246a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴二次函数解析式为：2y 2x 4x 6=+-；()2∵22y 2x 4x 62(x 1)8=+-=+-，∴顶点坐标为()1,8--；()3由已知，得()28mn 102(m 2n)4m 2n 6--=-+--，22m 4n 2m 4n 20++-+=，22(m 1)(2n 1)0++-=，∴m 1=-，1n 2=． 18．（12分）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0）、B 两点， 与y 轴交于点C （0，2）， 抛物线的对称轴交x 轴于点D ． （1）求抛物线的解析式； （2）求sin ∠ABC 的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时线段EF 最长？求出此时E 点的坐标．【答案】（1）解析式为213222y x x =-++； （2）55sin ABC ∠=； （3）存在，点P 的坐标为（，52）、（，4）或（，－）． （4）当点E 坐标为（2，1）时，线段EF 最长． 【解析】（1）把A （-1，0），C （0，2）代入y=-12x 2+bx+c 列方程组即可．（2）令y=0，求出x 的值，可确定点B 的坐标，然后由点B 、C 的坐标，利用勾股定理可求出BC 的长，即可求sin ∠ABC 的值；（3）由勾股定理求出CD 的值，再以点C 为圆心，CD 为半径作弧交对称轴于P 1，以点D 为圆心CD 为半径作圆交对称轴于点P 2，P 3，作CE 垂直于对称轴与点E ，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （4）设出E 点的坐标为（x ，-12x+2），就可以表示出F 的坐标，进而求出EF 的长，由二次函数的性质可求出答案．试题解析：（1）∵抛物线212y x bx c =-++过点A （-1，0），C （0，2）， 10{22b c c --+== ∴b=32,c=2． ∴解析式为213222y x x =-++． (2)∵点B 的坐标为（4，0）， ∴BC=255sin ABC sin OBC ∴∠=∠=． (3)存在． ∵点D 的坐标为（32，0）， 52CD ∴=． ∴点P 的坐标为（32，52）、（32，4）或（32，－52）． (4)设直线BC 的解析式为,y mx n =+∵B 、C 两点坐标分别为（4，0）、（0，2）， ∴4m+n=0,n=2, ∴m=12-,n=2 ∴直线BC 的解析式为122y x =-+．设E 点坐标为1(,2)2x x -+,则F 点坐标为213,222x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭222131112-222222222EF x x x x x x ⎛⎫=-++-+=-+=--+ ⎪⎝⎭（）∴当点E 坐标为（2，1）时，线段EF 最长．19．（12分）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象过点A （2,0），B （－2，－4），对称轴为直线x=－1.（1）求这个二次函数的解析式； （2）若-3<x<3，直接写出y 的取值范围；（3）若一元二次方程ax 2+bx+c －m=0（a ≠0，m 为实数）在-3<x<3的范围内有实数根，直接写出m 的取值范围.【答案】（1）2142y x x =+-；（2）9722y -≤<；（3）9722m -≤< 【解析】（1）∵对称轴为直线x=－1，图象过点A （2,0） ∴图象过点（－4,0）设二次函数解析式为y=a(x+4)(x －2) ∵图象过点B （－2，－4） ∴－4=a(－2+4)(－2－2)∴a=12. ∴y=12(x+4)(x －2) 即2142y x x =+-（2）9722y -≤<（3）9722m -≤<20．（12分）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2mx +m +2的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B 两点，在x 轴上方且平行于x 轴的直线EF 与抛物线交于E ，F 两点，E 在F 的左侧，过E ，F 分别作x 轴的垂线，垂足是M ，N ．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）设BN＝t，矩形EMNF的周长为C，求C与t的函数表达式；（3）当矩形EMNF的周长为10时，将△ENM沿EN翻折，点M落在坐标平面内的点记为M'，试判断点M'是否在抛物线上？并说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4）；（2）C＝﹣2t2+4t+8；（3）点M'不在抛物线上．【解析】（1）由于抛物线过点A（﹣1，0），于是将A代入y＝﹣x2+2mx+m+2得﹣1﹣2m+m+2＝0，解得m＝1，函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，解析式可化为y＝﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4）．（2）因为函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，所以当y＝0时可得﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则AB＝3﹣（﹣1）＝4．又因为BN＝t，M、N关于对称轴对称，所以AM＝t．于是MN＝4﹣2t，N点横坐标为3﹣t，代入抛物线得：y F＝﹣t2+4t．于是C＝2（4﹣2t）﹣2（t﹣2）2+8，整理得C＝﹣2t2+4t+8；（3）当﹣2t2+4t+8＝10时，解得t＝1，MN＝4﹣2t＝4﹣2＝2；FN＝﹣12+4＝3，因为t＝1，所以M与O点重合，连接MM'、EN，且MM'和EN相交于K，根据翻折变换的性质，MK＝M'K．根据同一个三角形面积相等，2×3＝2223+•MK 于是MK＝613，MM '＝1213 作M 'H ⊥MN 的延长线于H ． 设NH ＝a ，HM ′＝b ，于是在Rt △NHM '和RT △MHM '中，2222241213(2)a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎫⎨++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得a ＝1013，b ＝2413． 于是MH ＝2+1013＝3613．M '点坐标为（3613，2413），代入函数解析式y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（3613）2+2×3613+3＝147169≠2413，∴点M '不在抛物线上．21．（12分）已知：抛物线y ＝a （x 2﹣2mx ﹣3m 2）（m ˃0）交x 轴于A 、B 两点（其中A 点在B 点左侧），交y 轴于点C ．（1）若A点坐标为（﹣1，0），则B点坐标为．（2）如图1，在（1）的条件下，且am＝1，设点M在y轴上且满足∠OCA+∠AMO＝∠ABC，试求点M 坐标．（3）如图2，在y轴上有一点P（0，n）（点P在点C的下方），直线P A、PB分别交抛物线于点E、F，若23PAPE=，求PFPB的值．【答案】（1）（3，0）；（2）满足要求的M点的坐标有（0，﹣2）、（0，2）；（3）16 PFPB=．【解析】（1）将（﹣1，0）代入y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）得：1+2m﹣3m2＝0，解得：m＝1或m＝﹣13（舍），∴y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝a（x+1）（x﹣3），∴B（3，0）．故答案为：（3，0）．（2）当am＝1，1m=时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3）(3,0),B∴OB＝OC＝3，∠ABC＝45°，如图1，M在y轴负半轴上，在y轴负半轴上截取OG＝OA＝1，连AG，则∠AGO＝45°＝∠ABC，AG2，∠OCA +∠AMO ＝∠ABC ，∴∠OCA +∠AMO ＝45°，又∵∠OCA +∠GAC ＝∠AGO ＝45°， ∴∠AMG ＝∠GAC ， 又∵∠AGM ＝∠CGA ， ∴△GMA ∽△GAC ，,GA GMGC GA∴= ∴AG 2＝MG •GC ，(0,3),C - GC ＝OC ﹣OG ＝2，设M （0，a ）1,MG OM OG a ∴=-=--∴2＝（﹣1﹣a ）•2， ∴a ＝﹣2，∴M 的坐标为（0，﹣2）．根据对称性可知（0，2）也符合要求．综上所述，满足要求的M 点的坐标有：（0，﹣2）、（0，2）． （3）由抛物线解析式可得：A （﹣m ，0），B （3m ，0）． ∵23PA PE =， ∴12AE AP =， 如图2，作EG ⊥x 轴于点G ，FH ⊥y 轴于点H ，则//EG y 轴，//FH x 轴，∴ △EAG ∽P AO ，△PFH ∽△PBO ，∴12AG EG AE AO PO AP ===， ∴AG ＝12AO ＝12m ，OP ＝2EG ， ∴x E ＝﹣32m ，y E ＝94am 2，即EG ＝94am 2，∴OP ＝92am 2，∴P （0，﹣92am 2），又∵B （3m ，0）， ∴直线PB 的解析式为：y ＝32amx ﹣92am 2， ∴32amx ﹣92am 2＝a （x 2﹣2mx ﹣3m 2）， ∴2x 2﹣7mx +3m 2＝0， ∴x 1＝3m （舍），x 2＝12m ， ∴FH ＝12m ， △PFH ∽△PBO ，∴11236mPF FH PB BO m ===． 22．（12分）如图①，直线l ：y=mx+n （m ＞0，n ＜0）与x ，y 轴分别相交于A ，B 两点，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△COD ，过点A ，B ，D 的抛物线P 叫做l 的关联抛物线，而l 叫做P 的关联直线． （1）若l ：y=﹣2x+2，则P 表示的函数解析式为 ；若P ：y=﹣x 2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为 ．（2）求P 的对称轴（用含m ，n 的代数式表示）；（3）如图②，若l ：y=﹣2x+4，P 的对称轴与CD 相交于点E ，点F 在l 上，点Q 在P 的对称轴上．当以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；（4）如图③，若l ：y=mx ﹣4m ，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH 中点，连接OM ．若OM=，直接写出l ，P 表示的函数解析式．【答案】（1）y=﹣x 2﹣x+2；y=﹣4x+4．（2）P 的对称轴为x=﹣m nmn 2+． （3）点Q 坐标为Q 1（﹣1，27）、Q 2（﹣1，217）．（4）l 表示的函数解析式为：y=﹣2x+4；P ：y=﹣41x 2﹣x+8．【解析】（1）若l ：y=﹣2x+2，求出点A 、B 、D 的坐标，利用待定系数法求出P 表示的函数解析式；若P ：y=﹣x 2﹣3x+4，求出点D 、A 、B 的坐标，再利用待定系数法求出l 表示的函数解析式； （2）根据已知求得抛物线与x 轴交点的坐标，从而求得对称轴；（3）以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，则有FQ ∥CE ，且FQ=CE ．以此为基础，列方程求出点Q 的坐标．注意：点Q 的坐标有两个，如答图1所示，不要漏解；（4）如答图2所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH ，求出OG 的长度，进而由AB=2OG 求出AB 的长度，再利用勾股定理求出y=mx ﹣4m 中m 的值，最后分别求出l ，P 表示的函数解析式． 试题解析：（1）若l ：y=﹣2x+2，则A （1，0），B （0，2）． ∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△COD ， ∴D （﹣2，0）．设P 表示的函数解析式为：y=ax 2+bx+c ，将点A 、B 、D 坐标代入得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++02420c b a c c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=211c b a ， ∴P 表示的函数解析式为：y=﹣x 2﹣x+2；若P ：y=﹣x 2﹣3x+4=﹣（x+4）（x ﹣1），则D （﹣4，0），A （1，0）．∴B （0，4）．设l 表示的函数解析式为：y=kx+b ，将点A 、B 坐标代入得：⎩⎨⎧==+40b b k ，解得⎩⎨⎧=-=44b k ， ∴l 表示的函数解析式为：y=﹣4x+4． （2）直线l ：y=mx+n （m ＞0，n ＜0）， 令y=0，即mx+n=0，得x=﹣mn；令x=0，得y=n ． ∴A （﹣mn，0）、B （0，n ）， ∴D （﹣n ，0）．设抛物线对称轴与x 轴的交点为N （x ，0）， ∵DN=AN ，∴﹣mn﹣x=x ﹣（﹣n ）， ∴2x=﹣n ﹣mn ， ∴P 的对称轴为x=﹣mnmn 2+． （3）若l ：y=﹣2x+4，则A （2，0）、B （0，4）， ∴C （0，2）、D （﹣4，0）． 可求得直线CD 的解析式为：y=21x+2． 由（2）可知，P 的对称轴为x=﹣1．∵以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形， ∴FQ ∥CE ，且FQ=CE ． 设直线FQ 的解析式为：y=21x+b ． ∵点E 、点C 的横坐标相差1，∴点F 、点Q 的横坐标也是相差1． 则|x F ﹣（﹣1）|=|x F +1|=1， 解得x F =0或x F =﹣2．∵点F 在直线l ：y=﹣2x+4上，∴点F 坐标为（0，4）或（﹣2，8）． 若F （0，4），则直线FQ 的解析式为：y=21x+4，当x=﹣1时，y=27，∴Q 1（﹣1，27）；若F （﹣2，8），则直线FQ 的解析式为：y=21x+9，当x=﹣1时，y=217，∴Q 2（﹣1，217）． ∴满足条件的点Q 有2个，如答图1所示，点Q 坐标为Q 1（﹣1，27）、Q 2（﹣1，217）．（4）如答图2所示，连接OG 、OH ． ∵点G 、H 为斜边中点，∴OG=21AB ，OH=21CD ． 由旋转性质可知，AB=CD ，OG ⊥OH ， ∴△OGH 为等腰直角三角形．∵点G 为GH 中点，∴△OMG 为等腰直角三角形， ∴OG=2OM=2•10=25， ∴AB=2OG=45．∵l ：y=mx ﹣4m ，∴A （4，0），B （0，﹣4m ）．在Rt △AOB 中，由勾股定理得：OA 2+OB 2=AB 2，即：42+（﹣4m ）2=（45）2， 解得：m=﹣2或m=2，∵点B 在y 轴正半轴，∴m=2舍去，∴m=﹣2． ∴l 表示的函数解析式为：y=﹣2x+4；∴B （0，8），D （﹣8，0）．又A （4，0），利用待定系数法求得P ：y=﹣41x 2﹣x+8．。
《创新设计》2021版高考数学(浙江版文理通用)一轮复习练习：阶段滚动检测(三) Word版含答案
阶段滚动检测(三)(建议用时：90分钟) 一、选择题1.设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3B.4C.7D.8解析 由于A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，所以其真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个. 答案 C2.曲线y ＝x 2＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为( ) A.3x －y －2＝0 B.x －3y ＋2＝0 C.3x ＋y －4＝0D.x ＋3y －4＝0解析 y ′＝2x ＋1x ，故y ′|x ＝1＝3，故在点(1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，化简整理得3x －y －2＝0. 答案 A3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a x ＋1′＝（x 2＋a ）′（x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2， ∵x ＝1为函数的极值点， ∴f ′(1)＝0，即3－a ＝0，∴a ＝3. 答案 C4.(2022·金华重点中学联考)设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2≥9”是“x ＞3且y ≥3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当x ＝－4时满足x 2＋y 2≥9，但不满足x ＞3，所以充分性不成立；反之，当x ＞3且y ≥3时，肯定有x 2＋y 2≥9，所以必要性成立，即“x 2＋y 2≥9”是“x ＞3且y ≥3”的必要不充分条件，故选B. 答案 B5.(2022·杭州质量检测)如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线x ＝t (t ＞0)左侧图形的面积为f (t )，则f (t )的大致图象是( )解析 由题意得，f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2⎝⎛⎭⎪⎫0＜t ≤22，－（t －2）2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫22＜t ＜2，1（t ≥2），故其图象为C. 答案 C6.已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( )A.0B.1C.2D.3解析 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，2]时，f ′(x )＞0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1，2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0. 答案 A7.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )解析 如图所示，当x ∈(－∞，x 0)时，函数f (x )为增函数，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，函数f (x )为减函数，∴x ＝x 0是函数f (x )的极大值点，可得f ′(x 0)＝0，且当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，当x ∈(x 0，0)和x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＜0.由此对比各个选项，可得函数y ＝f ′(x )的图象只有A 项符合.答案 A8.对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.[0，1] C.[－2，0)D.[－2，1)解析 当x 2－1≥4＋x ＋1，即x ≤－2或x ≥3时，f (x )＝4＋x ，当x 2－1＜4＋x ＋1，即－2＜x ＜3时，f (x )＝x 2－1，如图所示，作出f (x )的图象，由图象可知，要使－k ＝f (x )有三个根，需满足－1＜－k ≤2，即－2≤k ＜ 1.答案 D9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )＞1，则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为( ) A.{x |x ＞0} B.{x |x ＜0}C.{x |x ＜－1或x ＞1}D.{x |x ＜－1或0＜x ＜1}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x .由于g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＞e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数.由于g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，故原不等式化为g (x )＞g (0)，解得x ＞0.答案 A10.已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.(0，1)D.(0，＋∞)解析 由题知，x >0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，故y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x >0)，则a >0.设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0，1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0，当直线l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0，则x 0＝1，从而令2a ＝1，∴a ＝12.结合函数图象知0<a <12. 答案 B 二、填空题11.已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________.解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4＋cos π4， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)cos π4＋sin π4＝1. 答案 112.(2022·杭州高三模拟)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0相互垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件. 其中真命题的序号是________.解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8明显不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不肯定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，留意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确.综上所述，真命题的序号是①④. 答案 ①④13.(2022·杭州重点中学联考)对于任意x ∈R ，满足(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0恒成立的全部实数a构成集合A ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 的解集为空集的全部实数a 构成集合B ，则A ∩(∁R B )＝________．解析 对于任意x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0恒成立，则a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）＜0，解得－2＜a ≤2，所以集合A ＝(－2，2]．当不等式|x －4|＋|x －3|＜a 有解时，a ＞(|x －4|＋|x －3|)min ＝1，所以解集为空集的全部实数a 构成集合B ＝(－∞，1]， 则∁R B ＝(1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(－2，2]∩(1，＋∞)＝(1，2]． 答案 (1，2]14.若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，则a ≤h (x )min ＝4，故实数a 的取值范围是(－∞，4]. 答案 (－∞，4] 三、解答题15.已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)争辩f (x )的单调性，并求f (x )的极大值. 解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减. 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2.) 16.(2022·南山中学月考)已知函数f (x )＝sin x (x ≥0)，g (x )＝ax (x ≥0). (1)若f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a 取(1)中的最小值时，求证：g (x )－f (x )≤16x 3. (1)解 令h (x )＝sin x －ax (x ≥0)， 则h ′(x )＝cos x －a .①若a ≥1，h ′(x )＝cos x －a ≤0，h (x )＝sin x －ax (x ≥0)单调递减，h (x )≤h (0)＝0， 则sin x ≤ax (x ≥0)成立.②若0<a <1，存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x 0＝a ，当x ∈(0，x 0)，h ′(x )＝cos x －a >0，h (x )＝sin x －ax (x ∈(0，x 0))单调递增，h (x )>h (0)＝0，不合题意.③当a ≤0，结合f (x )与g (x )的图象可知明显不合题意. 综上可知，a ≥1.即实数a 的取值范围是[1，＋∞). (2)证明 当a 取(1)中的最小值为1时， g (x )－f (x )＝x －sin x .设H (x )＝x －sin x －16x 3(x ≥0)，则H ′(x )＝1－cos x －12x 2.令G (x )＝1－cos x －12x 2， 则G ′(x )＝sin x －x ≤0(x ≥0)，所以G (x )＝1－cos x －12x 2在[0，＋∞)上单调递减，此时G (x )＝1－cos x －12x 2≤G (0)＝0， 即H ′(x )＝1－cos x －12x 2≤0，所以H (x )＝x －sin x －16x 3在x ∈[0，＋∞)上单调递减.所以H (x )＝x －sin x －16x 3≤H (0)＝0， 则x －sin x ≤16x 3(x ≥0).所以，当a 取(1)中的最小值时，g (x )－f (x )≤16x 3. 17.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. (1)求a ，b 的值；(2)假如当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞ln x x －1＋kx，求k 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x（x ＋1）2－bx 2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1，1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f ′（1）＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以 f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＝11－x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x . 考虑函数h (x )＝2ln x ＋（k －1）（x 2－1）x (x ＞0)，则h ′(x )＝（k －1）（x 2＋1）＋2xx 2.(ⅰ)设k ≤0，由h ′(x )＝k （x 2＋1）－（x －1）2x 2知，当x ≠1时，h ′(x )＜0，而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0.可得11－x 2h (x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0. 从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x －1＋k x ＞0，即f (x )＞ln x x －1＋kx.(ⅱ)设0＜k ＜1，由于当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0.故h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，11－k 时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0.与题设冲突.(ⅲ)设k ≥1，此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0，与题设冲突.综合得k 的取值范围为(－∞，0]. 18.(2022·陕西检测)设函数f (x )＝e x －ax －1.(1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围； (2)当a ＞0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证： g (a )≤0；(3)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＜(n ＋1)n ＋1.(1)解 由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 均成立，又e x ＞0(x ∈R )，故a 的取值范围为(－∞，0].(2)证明 由a ＞0，及f ′(x )＝e x －a 可得，函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ， 故当a ∈(0，1)时，g ′(a )＞0，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又g (1)＝0，故g (a )≤0. (3)证明 当a ＝1时，f (x )＝e x －x －1，由(2)可知，e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立. ∴当x ≠0时，总有e x ＞x ＋1.于是，可得当x ≠0时，(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n ＋1)x (n ∈N *). 令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜e －n；令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －1)；令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝－n －2n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －2)；……令x ＋1＝n n ＋1，即x ＝－1n ＋1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －1.对以上各式求和可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －1＝e －n （1－e n ）1－e ＝e －n －11－e ＝1－e －n e －1＜1e-1＜1.故对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n＋1＜(n ＋1)n ＋1.阶段。
2021高考数学新高考版一轮习题：专题3 阶段滚动检测(二) (含解析)
一、单项选择题1．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2－3x ≤0}，则A ∪B 等于( ) A ．[－2,3] B ．[－2,0] C ．[0,3]D ．[－3,3]2．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≥－1D ．a ≤－33．(2020·重庆模拟)命题p ：∃x 0>0，x 0＋1x 0＝2，则綈p 为( )A ．∀x >0，x ＋1x ＝2B ．∀x >0，x ＋1x ≠2C ．∀x ≤0，x ＋1x＝2D ．∀x ≤0，x ＋1x≠24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋m )－1，x ≥0，12 019，x <0的图象经过点(3,0)，则f (f (2))等于( )A ．2 019 B.12 019C ．2D ．15．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)的值为( )A ．2B ．－2C ．6D ．－66．三个数a ＝0.312，b ＝log 20.31，c ＝20.31之间的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <a <cD ．b <c <a7．(2019·湖南师大附中博才实验中学月考)函数f (x )＝e x ＋1x (1－e x )(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )8．函数f (x )＝2e x －a (x －1)2有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫e 4，1 B ．(1,2e] C.⎝⎛⎭⎫0，e 32 D.⎝⎛⎭⎫－∞，e 32 二、多项选择题9．已知a >b >0，c >1，则下列各式不成立的是( ) A ．sin a >sin b B ．c a >c b C ．a c <b cD.c －1b <c －1a10．下列命题为假命题的是( ) A ．“A ∩B ＝A ”的充要条件是“A ⊆B ”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分不必要条件C ．若椭圆x 216＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，且弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为16D ．“a ＝1”是“函数f (x )＝a －e x1＋a e x 在定义域上是奇函数”的充要条件11．在下列函数中，其中最小值为2的函数的是( ) A ．y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x B ．y ＝x 2＋2x 2＋1C ．y ＝log 2x ＋log x 2(x >0且x ≠1)D ．y ＝tan x ＋1tan x ，0<x <π212．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0”成立的是( )A ．f (x )＝－x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x －1xC ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝12log (2)x ＋1三、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，5]上为减函数，则实数a 的取值范围为________；当a ＝2时，函数f (x )在[－3,2]上的值域为________．14．在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________． 15．设函数f (x )＝e x －1e x －2x ，若f (a －3)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围为________．16．对一定义域为D 的函数y ＝f (x )和常数c ，若对任意正实数ξ，∃x ∈D 使得0<|f (x )－c |<ξ成立，则称函数y ＝f (x )为“敛c 函数”，现给出如下函数：①f (x )＝x (x ∈Z )；②f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋1(x ∈Z )；③f (x )＝log 2x ；④f (x )＝x －1x .其中为“敛1函数”的有________．(填序号)四、解答题17．设函数f (x )＝6＋x ＋ln(2－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |2x >1}． (1)求A ∪B ；(2)若集合{x |a <x <a ＋1}是A ∩B 的子集，求实数a 的取值范围．18．计算：(1)(3－1)0＋(3－π)2＋1318-⎛⎫⎪⎝⎭；(2)2lg 5＋lg 25＋2log32.19．(2019·天津调研)设函数f (x)＝lgax＋1(a∈R)，且f (1)＝0.(1)求a的值；(2)求f (x)的定义域；(3)判断f (x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．20．为了落实国务院“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费．已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x %，则用户人数会增加x8万人．(1)若要保证该公司月总收入不减少，试求x 的取值范围；(2)为了布局“5G 网络”，该公司拟定投入资金进行5G 网络基站建设，投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求x 的值．(总盈利资金＝总收入资金－总投入资金)21．已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若13x 3＋ax ＋b ≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．22．(2019·北京四中期中)已知函数f (x )＝ln x ＋1x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1，证明：当x >0且x ≠1时，x －1与g (x )同号．答案精析1．A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8．C 9.ACD 10.CD11．ABD [对于A ，y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2，当且仅当x ＝±1时取等号，正确； 对于B ，y ＝x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x ＝0时取等号，正确；对于C ，当x ∈(0,1)时，log x 2<0，log 2x <0，得y ＝log 2x ＋log x 2(x >0且x ≠1)的最小值不可能为2，错误；对于D ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan x ∈(0，＋∞)，令tan x ＝t ，所以t ∈(0，＋∞)，所以y ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取等号，正确．]12．AD [根据题意，“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0”，则函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，据此依次分析选项：对于选项A ，f (x )＝－x 2－2x ＋1为二次函数，其对称轴为x ＝－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意；对于选项B ，f (x )＝x －1x ，其导数f ′(x )＝1＋1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于选项C ，f (x )＝x ＋1为一次函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于选项D ，f (x )＝12log (2)x ＋1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．] 13．(－∞，－4] [1,10] 14.x －y －1＝0 15.⎣⎡⎦⎤－32，1 解析 根据题意，函数f (x )＝e x －1e x －2x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1e x －2，f ′(x )＝e x ＋1e x －2≥0恒成立，则函数f (x )在R 上为增函数，又因为f (－x )＝e －x －e x ＋2x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，原式等价于f (a －3)≤－f (2a 2)， f (a －3)≤f (－2a 2)，a －3≤－2a 2,2a 2＋a －3≤0， (2a ＋3)(a －1)≤0，－32≤a ≤1.16．②③④解析 由新定义知，对任意正实数ξ，∃x ∈D 使得0<|f (x )－c |<ξ成立， 即0<|f (x )－c |<ξ有解．对于函数①解得，1－ξ<x <1＋ξ，且x ≠1，x ∈Z ，因为ξ为任意正实数，所以无解，故函数①不是“敛1函数”；对于函数②解得，x >－log 2ξ且x ∈Z ，故函数②是“敛1函数”；对于函数③解得，21－ξ<x <21＋ξ，且x ≠2，故函数③是“敛1函数”；对于函数④解得，|x |>1ξ，故函数④是“敛1函数”．因此正确答案为②③④.17．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧6＋x ≥0，2－x >0得，－6≤x <2，由2x >1得，x >0，∴A ＝[－6,2)， B ＝(0，＋∞)， ∴A ∪B ＝[－6，＋∞)． (2)A ∩B ＝(0,2)，∵集合{x |a <x <a ＋1}是A ∩B 的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≤2，解得0≤a ≤1，∴a 的取值范围是[0,1]．18．解 (1)原式＝1＋|3－π|＋2＝1＋π－3＋2＝π. (2)原式＝lg 25＋lg 25＋3＝lg ⎝⎛⎭⎫25×25＋3＝4.19．解 (1)根据题意，函数f (x )＝lgax ＋1(a ∈R )，且f (1)＝0， 则f (1)＝lg a 2＝0，则a2＝1，解得a ＝2.(2)根据题意，f (x )＝lg2x ＋1， 必有2x ＋1>0，解得x >－1，即函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)． (3)根据题意，f (x )＝lg 2x ＋1在(0，＋∞)上的单调递减， 证明：设0<x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝lg2x 1＋1－lg 2x 2＋1＝lgx 2＋1x 1＋1＝lg(x 2＋1)－lg(x 1＋1)， 又由0<x 1<x 2，则lg(x 2＋1)>lg(x 1＋1)，即f (x 1)－f (x 2)>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 20．解 (1)根据题意，设该公司的总收入为W 万元， 则W ＝50⎝⎛⎭⎫10＋x 8⎝⎛⎭⎫1－x100，0<x <100， 若该公司月总收入不减少， 则有50⎝⎛⎭⎫10＋x 8⎝⎛⎭⎫1－x100≥10×50， 解得0<x ≤20.(2)设该公司盈利为y 万元，则y ＝50⎝⎛⎭⎫10＋x 8⎝⎛⎭⎫1－x 100－2⎝⎛⎭⎫10＋x 8＝－x216＋x ＋480,0<x <100， 结合二次函数的性质分析可得，当x ＝8时，该公司的总盈利最大． 21．解 (1)f ′(x )＝x 2＋a ， 由f ′(2)＝0得a ＝－4，由f (2)＝－43得b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0得x >2或x <－2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． (2)由f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，所以f (x )在[－4,3]上的最大值为283，要使13x 3＋ax ＋b ≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，只要f (x )max ≤m 2＋m ＋103就可以了，即283≤m 2＋m ＋103， 解得m ≥2或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 22．(1)解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)， 又f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表，所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)． (2)证明 函数g (x )的定义域是(0，＋∞)， 又g ′(x )＝ln x ＋x ＋1x －1＝ln x ＋1x ＝f (x )，由(1)可知，f (x )min ＝f (1)＝1， 所以当x >0时，g ′(x )>0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为g(1)＝0，所以当x>1时，g(x)>g(1)＝0且x－1>0；当0<x<1时，g(x)<g(1)＝0且x－1<0，所以当x>0且x≠1时，x－1与g(x)同号．。
2021版新高考数学人教B版一轮滚动评估检测(三)
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滚动评估检测(三)(第一至第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|x+1<2),则A∩B= ( )A.(-∞,2)B.(0,1)C.(0,+∞)D.(1,2)【解析】选B.因为A={x|0<x<2},B={x|x<1},所以A∩B=(0,1).2.已知i是虚数单位,若z(1+i)=,则z的虚部为 ( )A. B.-C.iD.-i【解析】选B.由z(1+i)=,得z====--i,所以z的虚部为-.3.已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(x,4),若(a-b)⊥c,则x= ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选A.a-b=(-4,1),c=(x,4),且(a-b)⊥c;所以(a-b)·c=-4x+4=0.所以x=1.4.已知m∈R,若p:m≤0;q:∃x∈R,m≤sin x.那么p是q的( )A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【解析】选C.因为y=sin x具有有界性质即sin x∈[-1,1],所以由p:m≤0能推出q:∃x∈R,m≤sin x成立,充分性满足;反之,由q:∃x∈R,m≤sin x成立,不一定能推出p:m≤0成立,即必要性不满足,故由充分条件必要条件的定义可知p是q的充分不必要条件.5.若a=20.2,b=logπ3,c=log2,则( )A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a【解析】选C.因为20.2>20=1,0<logπ3<logππ=1,log2<log21=0,所以a>b>c.6.已知函数f(x)=sin,将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选B.函数f(x)=sin=sin,将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到的函数g(x)=sin=sin为偶函数,可得:-2φ=kπ+,k∈Z,即:φ=-kπ-,k∈Z,由于:φ>0,故φ的最小值为.7.(2019·宁波模拟)设数列{a n}的前n项和为S n,=(n∈N*),且a1=-,则= ( )A.2 019B.-2 019C.2 020D.-2 020【解析】选D.==(n∈N*),化为:-=-1.所以数列是等差数列,首项为-2,公差为-1.所以=-2-(n-1)=-1-n.则=-1-2 019=-2 020.8.已知函数f(x)=+ln-1,若定义在R上的奇函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),且g(1)=f(log2 25)+f(l o),则g(2 019)= 世纪金榜导学号( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2【解析】选A.因为f(x)+f(-x)=++ln+ln-2=++0-2=-2,f(x)+f(-x)=-2,因为log225=log2(52)=2·log25,l o=l o(5-1)=-2·log 25,所以g(1)=f(log225)+f(l o)=f(2·log25)+f(-2·log25)=-2.又因为g(1-x)=g(1+x),即g(x)=g(2-x),且g(x)为奇函数,所以g(x)=-g(-x),所以g(2-x)=-g(-x),可知函数g(x)的周期T=4.所以g(2 019)=g(505×4-1)=g(-1)=-g(1)=2.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.对于下列四个选项,其中正确的是( )A.若A是B的必要不充分条件,则 B也是 A的必要不充分条件B.“”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件C.“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件D.“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件【解析】选ABD.因为“A⇐B,A B”,所以故A正确.“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件是故B正确.因为x≠1x2≠1,例如x=-1,故C错误.因为x+|x|>0⇒x≠0,但x≠0x+|x|>0,例如x=-1.故D正确.10.若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有( ) A.g(0)<0<f(2) B.0<f(3)<f(2)C.f(2)<0<f(3)D.0<f(2)<f(3)【解析】选AD.由题意得f(x)-g(x)=e x,f(-x)-g(-x)=e-x,即-f(x)-g(x)=e-x,由此解得f(x)=,g(x)=-,g(0)=-1,函数f(x)=在R上是增函数,且f(3)>f(2)=>0,因此g(0)<0<f(2)<f(3).11.若将函数y=tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=tan的图象重合,则ω的值可以为( )A. B. C. D.【解析】选BD.本题考查正切函数的图象的平移变换.将函数y=tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度,得到的函数为y=tan=tan,由题意得=kπ+,由选项可得ω=或.12.如果函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数y=在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓减函数”,区间I叫做“缓减区间”.若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数f(x)的“缓减区间”的是世纪金榜导学号( )A.(-∞,-]B.[0,]C.[,2]D.[1,]【解析】选AC.根据题意,对于f(x)=x2-2x+1,是二次函数,其对称轴为x=2,在区间(-∞,2]上为减函数,对于y==+-2,在区间[-,0)和(0,]上为减函数,在区间(-∞,-]和[,+∞)为增函数,若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则f(x)在区间I上是减函数,函数y==+-2在区间I上是增函数,区间I为(-∞,-]或[,2].三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确★★★答案★★★填在题中横线上)13.设直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为________.【解析】由已知条件可得k=(ln x)′==,得切点的横坐标x=2,切点坐标为(2,ln 2),由点(2,ln 2)在切线y=x+b上可得b=ln 2-1.★★★答案★★★:ln 2-114.(2020·运城模拟)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC, sin∠BAC=,AB=3,AD=,则BD的长为________. 世纪金榜导学号【解析】因为AD⊥AC,所以∠DAC=90°,所以∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°,所以sin∠BAC=sin(∠BAD+90°)=cos∠BAD=,在△ABD中,AB=3,AD=,根据余弦定理得:BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=9+3-2×3××=6,则BD=.★★★答案★★★:15.如图,E是平行四边形ABCD边AD上一点,且=,F为BE与AC 的交点.设=a,=b,若=k,=h,则k=________,h=________.【解析】=+=a+b,所以=h=h a+h b,=+=-a+h a+h b= (h-1)a+h b,又=k=k(+)=k(-a+b)=-k a+b,所以(h-1)a+h b=-k a+b,所以解得★★★答案★★★:16.已知正实数a,b满足a+b=1,则+的最小值为________.世纪金榜导学号【解析】因为a+b=1,所以+=2a+2b++=2++,因为+=(a+b)=1+4++≥5+2=5+4=9,当且仅当=时即a=,b=时取等号,故+≥2+9=11.★★★答案★★★:11四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a∈R).(1)若不等式的解集为(x1,x2),且x2-x1=,求实数a的值.(2)若a<0,解关于x的不等式.【解析】(1)根据题意,不等式的解集为(x1,x2),则方程x2-2ax-8a2=0的两根为x1,x2,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,又由x2-x1=,则(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=36a2=6,解得a=±.(2)根据题意,方程x2-2ax-8a2=0的两根为x=4a,或x=-2a,若a<0,则4a<-2a,则x2-2ax-8a2<0的解集为(4a,-2a).18.(12分)(2020·达州模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,关于x 的不等式a1x2-S3x+5<0的解集为(1,5).(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)设公差为d,关于x的不等式a1x2-S3x+5<0的解集为(1,5).即:1和5为关于x的方程a1x2-S3x+5=0的解,所以=5,=1+5=6,解得a1=1,S3=6,所以d=1,故a n=1+n-1=n.(2)由于a n=n,所以数列{b n}满足b n==2n,则T n=21+22+23+…+2n==2n+1-2.19.(12分)(2019·六安模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A.(1)求角B的大小.(2)若△ABC为锐角三角形,且c=2,求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A,可得2sin Ccos B-sin Acos B=sin Bcos A,即2sin Ccos B-sin(A+B)=0,可得cos B=,所以B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC= a.由正弦定理得a===+1.由于△ABC为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故1<a<4,从而<S△ABC<2.因此,△ABC面积的取值范围是.20.(12分)设公差不为零的等差数列{a n}的前5项和为55,且a2,,a4-9成等比数列. 世纪金榜导学号(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为S n,求证:S n<. 【解析】(1)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,则解得,或(舍去),故数列{a n}的通项公式为a n=7+(n-1)×2=2n+5.(2)由a n=2n+5,得b n===,所以S n=++…+=<.21.(12分)已知函数f(x)=ln x-ax+1. 世纪金榜导学号(1)当a=1时,证明:f(x)≤0.(2)若f(x)在[2,3]的最大值为2,求a的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)=ln x-x+1,f′(x)=-1=(x>0),当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=0,即f(x)≤0.(2)由f(x)=ln x-ax+1,得f′(x)=-a=(x>0),若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在[2,3]上为增函数,由f(x)max=f(3)=ln 3-3a+1=2,得a=,与a≤0矛盾;若a>0,由f′(x)=0,得x=.所以f(x)在上为增函数,在上为减函数.若0<≤2,即a≥,则f(x)在[2,3]上单调递减,f(x)max=f(2)=ln2-2a+1=2,即a=(舍去);若≥3,即0<a≤,则f(x)在[2,3]上单调递增,f(x)max=f(3)=ln3-3a+1=2,即a=;若2<<3,即<a<,f(x)max=f=-ln a=2,即a=(舍).综上,a=.22.(12分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”. 世纪金榜导学号(1)判断函数f(x)=log2x是否是“2-利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由.(2)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,求常数k的最小值.(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1-利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.【解析】(1)函数f(x)=log2x不是“2-利普希兹条件函数”;理由如下:f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),令x1=,x2=,则==|-1-(-2)|=1,而2|x1-x2|=,所以|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|,所以函数f(x)=log2x 不是“2-利普希兹条件函数”. (2)若函数f(x)=(1≤x≤4)是“k-利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立,不妨设x1>x2,则k≥=恒成立.因为1≤x2<x1≤4,所以<<,所以k的最小值为.(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期内f(a)=M,f(b)=m, 则|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b)≤|a-b|.若|a-b|≤1,显然有|f(x1)-f(x2)|≤|a-b|≤1.若|a-b|>1,不妨设a>b,则0<b+2-a<1,所以|f(x1)-f(x2)|≤M-m=f(a)-f(b+2)≤|a-b-2|<1.综上,对任意的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤1.关闭Word文档返回原板块感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2021版高考数学苏教版(新课程版)一轮复习滚动评估检测(二)
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滚动评估检测(二)(第一至第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-1<0},B=,则A∩B= ( )A.(-1,1)B.(1,+∞)C. D.【解析】选D.A={x|x2-1<0}={x|-1<x<1},B=,所以A∩B=.2.“<1”是“>1”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由题意得,根据<1,解得x>0,又由>1,解得0<x<1,所以“<1”是“>1”的必要不充分条件.3.(2020·苏州模拟)已知向量a=(,1),b=(-3,),则向量b在向量a方向上的投影为( )A.-B.C.-1D.1【解析】选A.由投影的定义可知:向量b在向量a方向上的投影为:|b|·cos<a,b>,又因为a·b=|a|·|b|·cos<a,b>.所以|b|·cos<a,b>===-.4.设a=,b=,c=ln,则( )A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【解析】选B.由<1可得c=ln<0,由题意可得a>0,b>0,又因为函数f(x)=在区间(0,e)上单调递增,故f>f,即:>,则ln>ln,据此有:ln>ln,结合对数函数的单调性有:>,即a>b,综上可得:a>b>c.5.(2019·扬州模拟)已知向量a=(1,m),b=(m,1),则“m=1”是“a∥b”成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.向量a=(1,m),b=(m,1),若a∥b,则m2=1,即m=±1,所以“m=1”是“a∥b”的充分不必要条件.6.(2020·嘉兴模拟)函数y=sin x+sin2x的部分图象大致是 ( )【解析】选C.由奇函数的定义得y=sin x+sin2x是奇函数,排除选项B,又y=sin x+sin2x=sin x+sin xcos x=sin x(1+cos x),所以当x∈(0,π)时,函数y=sin x(1+cos x)>0,当x∈(π,2π)时,y=sin x(1+cos x)<0,排除选项D,又y′=cos x+cos2x,当x=π时,y′=0,所以函数在点(π,0)处的切线为x轴,排除选项A,故选C.7.已知A(2,1),B(6,x),C(10,0),D(3,8),若在上的投影为,则实数x的值为 ( )A.2B.-2C.4D.-4【解析】选C.依题意,=(4,x-1),=(7,-8),则在上的投影为===,解得x=4,故选C.8.△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,则= ( )A.+B.+C.+D.+【解析】选C.建立如图所示的直角坐标系,可得:C(0,0),A(0,3),B(4,0),由图知=λ,解得=λ+(1-λ)=(4-4λ,3λ),又⊥,=(4,-3),所以4×(4-4λ)+(-3)×3λ=0,λ=,所以=+.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.已知集合A={0,1,2},B={a,2},若B⊆A,则a的值为( )A.0B.1C.2D.【解析】选AB.由B⊆A可知B={0,2}或B={1,2},所以a=0或1.10.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x).则以下说法正确的是( )A.函数f(x)的周期是4B.f(x)的图象关于直线x=2对称C.f(x)是偶函数D.f(x)是奇函数【解析】选ABC.由f(x)+f(x+2)=0得f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期是4,又由f(4-x)=f(x)得f(x)的图象关于直线x=2对称;由f(4-x)=f(x)与f(x+4)=f(x)得f(4-x)=f(-x),f(-x)=f(x),即函数f(x)为偶函数.11.在△ABC中,内角A,B所对的边分别为a,b,若acos A=bcos B,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选AB.由acos A=bcos B可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,故2A=2B或2A+2B=π,故A=B或A+B=,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.12.若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则下列结论不正确的是( )A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0【解析】选BCD.因为x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,所以f′(1)=0,所以a+=0,所以a=-1,所以f(1)=-1,f′(x)=-1+=,当x>1时,f′(x)<0,当0<x<1时,f′(x)>0,因此f(x)有极大值-1. 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知函数f(x)=sin (ωx+φ)的图象过点,若f(x)≤f对x∈R恒成立,则ω的值为______;当ω最小时,函数g(x)=f-在区间[0,22]的零点个数为________. 【解析】由题意得φ=,且当x=时,函数f(x)取到最大值,故ω+=+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈N,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,因此,g(x)=f-=sin x-在区间[0,22]上的零点个数是8个.答案:1+12k(k∈N) 814.(2019·菏泽模拟)如图,有5个全等的小正方形,=x+y,则x+y的值是________.【解析】因为=-,=2,=+=2-,所以=-=2-(2-)=3-2,又,不共线,=x+y,所以x+y=3-2,所以x=3,y=-2,x+y=1. 答案:115.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-log2x,则不等式f(x)<0的解集是______________. 世纪金榜导学号【解析】由题意得,f(x)<0等价于或即或解得x>2或-2<x<0,所以不等式的解集是(-2,0)∪(2,+∞).答案:(-2,0)∪(2,+∞)16.函数y=f(x)=x2e x在区间(a,a+1)上存在极值点,则实数a的取值范围为________.【解析】y′=2xe x+x2e x=xe x·(x+2),令y′=0,则x=0或-2,当-2<x<0时,f(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,所以0或-2是函数的极值点.因为f(x)=x2e x在(a,a+1)上存在极值点,所以a<-2<a+1或a<0<a+1,所以-3<a<-2或-1<a<0.答案:(-3,-2)∪(-1,0)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·石家庄模拟)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数g(x)=-4ln x的零点个数.【解析】(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},所以f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0,f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1. 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.(2)因为g(x)=-4ln x=x--4ln x-2(x>0),所以g′(x)=1+-=.令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如表:x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)g′(x) + 0 - 0 +g(x) ↗极大值↘极小值↗当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0.又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,所以g(x)在(3,+∞)上只有1个零点.所以g(x)在(0,+∞)上只有1个零点.18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccos B+bcos C=2acos A.(1)求A;(2)若a=2,且△ABC的面积为,求△ABC的周长.【解析】(1)因为ccos B+bcos C=2acos A,所以sin Ccos B+sin Bcos C=2sin Acos A.所以sin(B+C)=2sin Acos A,sin A=2sin Acos A.因为A∈(0,π),所以sin A≠0,cos A=,所以A=.(2)因为△ABC的面积为,所以bcsin A=bc=,bc=4.由a=2,A=及a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+c2-4,所以b2+c2=8,又bc=4,所以b=c=2,所以△ABC的周长为6.19.(12分)(2019·大庆模拟)已知向量a=,b=(sin x,cos x),f(x)=a·b.(1)求f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的取值集合M.(2)在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,若+∈M且c=1,求△ABC的周长的取值范围.【解析】(1)a=(cos x,-cos x),f(x)=a·b=sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x-=sin-,所以f(x)的最大值为1-,此时2x-=2kπ+,即x=kπ+,k∈Z,所以M=.(2)因为+∈M,所以+=kπ+,k∈Z,C=2kπ+,k∈Z,因为C∈(0,π),所以C=,因为c=1,由c2=b2+a2-2abcos C得c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-=,所以a+b≤2,又因为a+b>1,所以2<a+b+c≤3,即△ABC的周长的取值范围为(2,3].20.(12分)(2019·泰州模拟)已知函数f(x)=e x cos x-x. 世纪金榜导学号(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)=e x·cos x-x,所以f(0)=1,f′(x)=e x(cos x-sin x)-1,所以f′(0)=0,所以y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y-1=0·(x-0),即y=1.(2)f′(x)=e x(cos x-sin x)-1,令g(x)=f′(x),则g′(x)=-2e x sin x≤0在上恒成立,且仅在x=0处等号成立,所以g(x)在上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,所以f′(x)≤0且仅在x=0处等号成立,所以f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f=-.21.(12分)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)当a=时,求f(x)的极值.(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【解析】(1)当a=时,f(x)=ln x-x,f(x)定义域为(0,+∞),f′(x)=-=,令f′(x)=0,得x=2,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表.x (0,2) 2 (2,+∞)f′(x) + 0 -f(x) ↗ln 2-1 ↘所以f(x)极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值.(2)由(1)知,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a=(x>0).①当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值点;②当a>0时,当x∈时,f′(x)>0,当x∈时,f′(x)<0,所以f(x)在x=处有极大值.综上,当a≤0时,f(x)无极值点,当a>0时,f(x)有一个极大值点x=.22.(12分)(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),其中A>0,ω>0,φ∈(0,π),x∈R,且f(x)的最小值为-2,f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π,f的图象关于原点对称. 世纪金榜导学号(1)求函数f(x)的解析式和单调递增区间.(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且(4a2-2ac)cos B=a2+b2-c2,求f(B).【解析】(1)由已知,A=2,因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π,所以T==4π,解得ω=,又因为f的图象关于原点对称,所以f(x)的图象关于对称,所以×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=+kπ,k∈Z,又因为φ∈(0,π),所以φ=,所以f(x)=2sin.由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(2)在△ABC中,由已知及余弦定理得(4a2-2ac)=a2+b2-c2,即a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=,f(B)=f=2sin=.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
新高考高三滚动测试卷数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的图像与x轴的交点个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S6 = 36，则该数列的公差d 为（）A. 2B. 3C. 4D. 63. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 不确定4. 下列函数中，在定义域内是单调递增的是（）A. f(x) = x^2 - 2x + 1B. f(x) = 2x - 3C. f(x) = x^3D. f(x) = -x^2 + 4x5. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则该数列的第5项a5为（）A. 18B. 54C. 162D. 4866. 若log2(3x - 1) = log2(4 - x)，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/58. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[1, 3]上单调递减，则该函数的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知函数f(x) = log2(x - 1) + log2(3 - x)，则该函数的定义域为（）A. (1, 3)B. (1, 2)C. (2, 3)D. (2, 4)10. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 400，则该数列的首项a1为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，则f(x)的最小值为______。
12. 已知等比数列{an}的首项a1 = 3，公比q = 2，则该数列的第4项a4为______。
2021高考数学一轮复习《滚动评估检测(一)》
滚动评估检测(一)(第一至第三章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={x|2l g x<1},B={x|x2-9≤0},则A∩B= ( )A.[-3,3]B.(0,)C.(0.3]D.[-3,)【解析】选C.因为集合A={x|2l g x<1}={x|0<x<},B={x|x2-9≤0}={x|-3≤x ≤3},所以A∩B={x|0<x≤3}=(0,3].2.设函数y=f(x)的定义域为I,则“f(x)在I上的最大值为M”是“∀x∈I,f(x)≤M”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若“f(x)在I上的最大值为M”,则“∀x∈I,f(x)≤M”成立.如函数f(x)=sin x≤2恒成立,但“f(x)在I上的最大值不是2, 即必要性不成立,所以“f(x)在I上的最大值为M”是“∀x∈I,f(x)≤M”的充分不必要条件.3.已知命题 p :函数f(x)=l og0.5(3-x)的定义域为(-∞,3);命题q:若 k<0,则函数h(x)=在(0,+∞)上是减函数,则下列结论:①命题“p且q”为真;②命题“p或q ”为假;③命题“p或q”为假;④命题“p 且q”为假,其中错误的是( )A.①②③④B.①②③C.②④D.①②【解析】选B.由3-x>0得x<3,故命题p为真,p为假.又由k<0,得函数h(x)=在(0,+∞)上是增函数,命题q为假,q为真,所以命题“p且q”为假,命题“p或q”为真,命题“p或q”为真,命题“p且q”为假.4.函数f(x)=+l n(2x+1)的定义域为( )A. B.C. D.【解析】选D.要使函数f(x)=+l n(2x+1)有意义,需满足解得-<x<2,即函数的定义域为.5.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy=0,则x≠0”B.“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为真命题C.命题“∃x∈R,使得2x2-1<0”的否定是:“∀x∈R,均有2x2-1<0”D.命题“若cos x=cos y,则x=y”的逆否命题为真命题【解析】选B.若xy=0,则x=0的否命题为:若xy≠0,则x≠0,故A错误.若x+y=0,则x,y互为相反数的逆命题为:若x,y互为相反数,则x+y=0,为真命题,故B正确.∃x∈R,使得2x2-1<0的否定是:“∀x∈R,均有2x2-1≥0,故C错误.若cos x= cos y,则x=y为假命题,则根据互为逆否命题的真假相同可知逆否命题为假命题,故D错误.6.已知f(x)满足对∀x∈R,f(x+2)=f(x),且x∈[1,3)时,f(x)=l og2x+1,则f(2 019)的值为 ( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.因为f(x)满足对∀x∈R,f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的最小正周期为2,又x∈[1,3)时,f(x)=l og2x+1,因此f(2 019)=f(1)=l og21+1=1.7.(2020·芜湖模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x)+f(2-x)=0;②f(x-2)=f(-x);③当x∈[-1,1]时,f(x)=则函数y=f(x)-在区间[-3,3]上的零点个数为( )A.5B.6C.7D.8【解析】选A.由①f(x)+f(2-x)=0可得f(x)的图像关于点(1,0)对称;由②f(x-2)=f(-x)可得f(x)的图像关于直线x=-1对称.如图,作出f(x)在[-1,1]上的图像,再由对称性,作出f(x)在[-3,3]上的图像,作出函数y=在[-3,3]上的图像,由图像观察可得它们共有5个交点,即函数y=f(x)-在区间[-3,3]上的零点个数为5.8.(2020·泉州模拟)函数f(x)=x3e x的图像大致为( )【解析】选C.当x<0时,x3e x<0,故排除B;f(1)=e>1,故排除D;f′(x)=(x3+3x2)e x,令f′(x)=0,得x=0或x=-3,则当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:x (-∞,-3) -3 (-3,0) 0 (0,+∞)f′(x) -0 + 0 +极小值单调递增单调递增f(x) 单调递减f(-3)又因为f′(0)=0,故f(x)在x=0的切线为x轴,故排除A.9.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且对任意x1,x2∈(0,3)都有<0,若a=,b=l og23,c=e l n 4,则下面结论正确的是( ) A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(c)<f(a)<f(b)C.f(c)<f(b)<f(a)D.f(a)<f(c)<f(b)【解析】选C.因为f(3-x)=f(3+x),得函数f(x)关于x=3对称, 又对任意x1,x2∈(0,3)都有<0,所以函数f(x)在x∈(0,3)上单调递减,因为0<a=<20=1<b=l og23<2,所以f(a)>f(b)>f(2),又c=e ln 4=4,f(4)=f(2),所以f(c)=f(2),所以f(c)<f(b)<f(a).10.(2020·延安模拟)曲线y=在点(0,-1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A. B. C. D.1【解析】选B.因为y′=,所以y′|x=0=2,所以曲线在点(0,-1)处的切线方程为y+1=2x,即y=2x-1,与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),,所以与两坐标轴围成的三角形的面积S=×|-1|×=.11.若0<x1<x2<1,则( )A.->l n x2-l n x1B.-<l n x2-l n x1C.x2>x1D.x2<x1【解析】选C.令f(x)= ,则f ′(x)==.当0<x<1时, f ′(x)<0,即f(x) 在(0,1)上单调递减,因为0<x1<x2<1,所以f(x2)<f(x1),即<,所以x2>x1.12.若函数f(x)=e x-ax2在区间(0,+∞)上有两个极值点x1,x2(0<x1<x2),则实数a 的取值范围是世纪金榜导学号( )A.a≤B.a>eC.a≤eD.a>【解析】选D.f(x)=e x-ax2,可得f′(x)=e x-2ax,要使f(x)恰有2个正极值点, 则方程e x-2ax=0有2个不相等的正实数根,即2a=有两个不同的正根,令g(x)=,y=2a.即g(x)=,y=2a的图像在y轴右边有两个不同的交点,求得g′(x)=,由g′(x)<0可得g(x)=在(0,1)上递减,由g′(x)>0可得g(x)=,在(1,+∞)上递增,g(x)min=g(1)=e,当x→0时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g(x)→+∞.所以,当2a>e,即a>时,g(x)=,y=2a的图像在y轴右边有两个不同的交点,所以使函数f(x)=e x-ax2在区间(0,+∞)上有两个极值点x1,x2(0<x1<x2)的实数a的取值范围是a>.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知幂函数f(x)=x a的图像过点,则f(x)的定义域为__________.【解析】依题意,得:2a==,所以a=-,f(x)==,所以f(x)的定义域为(0,+∞).答案:(0,+∞)14.若函数f(x)=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则l og a+l o=________________.【解析】当0<a<1时,函数f(x)=递增,又函数f(x)的定义域和值域都是[0,1], 则此方程组无解.当a>1时,函数f(x)=递减,又函数f(x)的定义域和值域都是[0,1],则解得a=2,所以log a+l o=log2+l o=log2-log2=log2=-1.答案:-115.如图,已知点A,点P(x0>0)在曲线y=x2上移动,过 P点作PB 垂直x轴于B,若图中阴影部分的面积是四边形AOBP面积的,则P点的坐标为________________.【解析】设P(a>0),则四边形AOBP的面积为a,阴影部分的面积为x2dx = = a3,所以a3=×a,所以a=1.所以点P的坐标为(1,1).答案:(1,1)16.若函数f(x)=x2e x-a恰有3个零点,则实数a的取值范围是________________.世纪金榜导学号【解析】函数y=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x=xe x(x+2),令y′=0,则x=0或-2,所以函数y在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,所以0或-2 是函数y的极值点,函数的极值为:y1=0,y2=4e-2=,函数f(x)=x2e x-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设p:A={x|a+1≤x≤2a-1},B={x|x≤3或x>5},A⊆B;q:函数f(x)=x2-2ax+1在上为增函数,若“p∧q”为假,且“p∨q”为真,求实数a的取值范围.【解析】当命题p为真时,即A⊆B,则有下列两种情况:①A=∅,即2a-1<a+1,即a<2时满足A⊆B,②A≠∅,即或满足A⊆B,即a=2或a>4,综合①②得:实数a的取值范围为:a≤2或a>4,当命题q为真时,即函数f(x)=x2-2ax+1在上为增函数,则a≤,又“p∧q”为假,且“p∨q”为真,则命题p、q一真一假,即或,即<a≤2或a>4.18.(12分)已知2x≤256且l og2x≥.(1)求x的取值范围.(2)在(1)的条件下,求函数f(x)=(l og 2)×(l o2x)的最大值和最小值.【解析】 (1)由2x≤256得x≤8,l og2x≥得x≥,所以≤x≤8.(2)由(1)≤x≤8得≤log2x≤3,f(x)=(log 2)×(l o2x)=×2(1+log2x)=log2x(1+log2x),所以f(x)=log2x(1+log2x)=- ,当log2x=时,f(x)min= .当log2x=3时,f(x)max=12.19.(12分)已知函数f(x)=(m∈R).(1)当m=3时,判断并证明函数f(x)的奇偶性.(2)当m>1时,判断并证明函数f(x)在R上的单调性.【解析】(1)函数f(x)=为奇函数.由题意知f(x)的定义域为R,且f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)当m>1时,函数f(x)==-1+在R上为减函数.理由:设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-1++1-=(m-1),由m>1,可得m-1>0,x1<x2,可得->0,且(1+)(1+)>0,即有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),可得当m>1时,f(x)在R上为减函数.20.(12分)(2020·辽南五校联考)函数f(x)=xe x-l n x-ax.(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2(e-1)(x-1)平行,求实数a的值.(2)若函数f(x)在[1,+∞)上递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=(x+1)e x--a(x>0),f′(1)=2e-1-a=2(e-1),所以a=1.(2)由函数f(x)在[1,+∞)上递增,可得f′(x)=(x+1)e x--a≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤(x+1)e x-在[1,+∞)上恒成立,令g(x)=(x+1)e x-,则g′(x)=(x+2)e x+>0,所以g(x)在[1,+∞)上递增,所以g(x)min=g(1)=2e-1,所以a≤2e-1.即a的取值范围为(-∞,2e-1].21.(12分)(2020·福州模拟)已知函数f(x)=xe x+a(x-1)2+b在点(0,f(0))处的切线方程为3x-y-1=0. 世纪金榜导学号(1)求a,b的值.(2)证明:当x>0时,f(x)>2e l n x+1.【解析】(1)由题可知,点(0,f(0))在直线3x-y-1=0上,则有a+b=-1.又因为f′(x)=(x+1)e x+2a(x-1)且f′(0)=3,所以1-2a=3,所以可求出.(2)令g(x)=f(x)-2eln x-1=xe x-(x-1)2-2eln x-1,所以g′(x)=(x+1)e x-2(x-1)-.令h(x)=(x+1)e x-2x-+2,所以h′(x)=(x+2)e x-2+=2(e x-1)+xe x+>0,所以y=h(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为h(1)=0,所以当0<x<1时,h(x)<0,当x>1时,h(x)>0,所以y=g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=e-1>0,所以g(x)>0,即f(x)>2eln x+1.【变式备选】已知函数f(x)=l n x的图像与g(x)=ax+的图像交于点P(1,0),且在P点处有公共切线.(1)求a,b的值.(2)对任意x>0,试比较f(x)与g(x)的大小.【解析】(1)因为函数f(x)=l n x的图像与g(x)=ax+的图像交于点P(1,0),所以g(1)=a+b=0①,又f′(x)=,g′(x)=a-,由f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线,所以g′(1)=f′(1)=1,即a-b=1②,由①②得a=,b=-.(2)令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=ln x-=ln x-x+,所以F′(x)=--=-≤0,所以F(x)在(0,+∞)上为减函数.当0<x<1时,F(x)>F(1)=0即f(x)>g(x);当x=1时,F(1)=0,即f(x)=g(x);当x>1时,F(x)<F(1)=0,f(x)<g(x).22.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+2l n x(a为常数). 世纪金榜导学号(1)若f(x)是定义域上的单调函数,求a的取值范围.(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且|x1-x2|≤,求|f(x1)-f(x2)|的最大值.【解析】(1)因为f(x)=x2+ax+2ln x,x∈(0,+∞),所以f′(x)=2x+a+=. 设g(x)=2x2+ax+2,x∈(0,+∞),因为f(x)是定义域上的单调函数,函数g(x)的图像为开口向上的抛物线,所以f′(x)≥0在定义域上恒成立,即g(x)=2x2+ax+2≥0在(0,+∞)上恒成立.又二次函数图像的对称轴为x=-,且图像过定点(0,2),所以-≤0,或,解得a≥-4.所以实数a的取值范围为[-4,+∞).(2)由(1)知函数f(x)的两个极值点x1,x2满足2x2+ax+2=0,所以x1·x2=1,x1+x2=-, 不妨设0<x1<1<x2,则f(x)在(x1,x2)上是减函数,所以f(x1)>f(x2),所以|f(x1)-f(x2)|=f(x1)-f(x2)=+ax1+2ln x1-(+ax2+2ln x2)=-+a(x1-x2)+2ln=--2(x1+x2)(x1-x2)+2ln=-+2ln=--2ln ,令t=,则t>1,又|x1-x2|=x2-≤ ,即2-3x2-2≤0,解得1<x2≤2,故1<≤4,所以1<t≤4.设h(t)=t--2ln t(1<t≤4),则h′(t)=1+-=≥0,所以h(t)在(1,4]上为增函数.所以h(t)≤h(4)=-2ln 4=-4ln 2, 即|f(x1)-f(x2)|≤-4ln 2.所以|f(x1)-f(x2)|的最大值为-4ln 2.。
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一、单项选择题1．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2－3x ≤0}，则A ∪B 等于( ) A ．[－2,3] B ．[－2,0] C ．[0,3]D ．[－3,3]2．已知条件p ：|x ＋1|>2，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≥－1D ．a ≤－33．(2020·重庆模拟)命题p ：∃x 0>0，x 0＋1x 0＝2，则綈p 为( )A ．∀x >0，x ＋1x ＝2B ．∀x >0，x ＋1x ≠2C ．∀x ≤0，x ＋1x＝2D ．∀x ≤0，x ＋1x≠24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x ＋m )－1，x ≥0，12019，x <0的图象经过点(3,0)，则f (f (2))等于( )A ．2019B.12019C ．2D ．15．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)的值为( )A ．2B ．－2C ．6D ．－66．三个数a ＝0.312，b ＝log 20.31，c ＝20.31之间的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <a <cD ．b <c <a7．(2019·湖南师大附中博才实验中学月考)函数f (x )＝e x ＋1x (1－e x )(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )8．函数f (x )＝2e x －a (x －1)2有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫e 4，1B ．(1,2e] C.⎝⎛⎭⎫0，e 32 D.⎝⎛⎭⎫－∞，e 32 二、多项选择题9．已知a >b >0，c >1，则下列各式不成立的是( ) A ．sin a >sin b B ．c a >c b C ．a c <b cD.c －1b <c －1a10．下列命题为假命题的是( ) A ．“A ∩B ＝A ”的充要条件是“A ⊆B ”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分不必要条件C ．若椭圆x 216＋y 225＝1的两个焦点为F 1，F 2，且弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为16D ．“a ＝1”是“函数f (x )＝a －e x1＋a e x 在定义域上是奇函数”的充要条件11．在下列函数中，其中最小值为2的函数的是( ) A ．y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x B ．y ＝x 2＋2x 2＋1C ．y ＝log 2x ＋log x 2(x >0且x ≠1)D ．y ＝tan x ＋1tan x ，0<x <π212．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0”成立的是( )A ．f (x )＝－x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x －1xC ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝12log (2)x ＋1三、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，5]上为减函数，则实数a 的取值范围为________；当a ＝2时，函数f (x )在[－3,2]上的值域为________．14．在曲线f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的所有切线中，斜率为1的切线方程为________．15．设函数f (x )＝e x －1e x －2x ，若f (a －3)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围为________．16．对一定义域为D 的函数y ＝f (x )和常数c ，若对任意正实数ξ，∃x ∈D 使得0<|f (x )－c |<ξ成立，则称函数y ＝f (x )为“敛c 函数”，现给出如下函数：①f (x )＝x (x ∈Z )；②f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋1(x ∈Z )；③f (x )＝log 2x ；④f (x )＝x －1x .其中为“敛1函数”的有________．(填序号)四、解答题17．设函数f (x )＝6＋x ＋ln(2－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |2x >1}． (1)求A ∪B ；(2)若集合{x |a <x <a ＋1}是A ∩B 的子集，求实数a 的取值范围．18．计算：(1)(3－1)0＋(3－π)2＋1318-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)2lg5＋lg 25＋2log 32.19．(2019·天津调研)设函数f (x)＝lgax＋1(a∈R)，且f (1)＝0.(1)求a的值；(2)求f (x)的定义域；(3)判断f (x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．20．为了落实国务院“提速降费”的要求，某市移动公司欲下调移动用户消费资费．已知该公司共有移动用户10万人，人均月消费50元．经测算，若人均月消费下降x%，则用户人数会增加x8万人．(1)若要保证该公司月总收入不减少，试求x的取值范围；(2)为了布局“5G网络”，该公司拟定投入资金进行5G网络基站建设，投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金，若使该公司总盈利最大，试求x的值．(总盈利资金＝总收入资金－总投入资金)21．已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若13x 3＋ax ＋b ≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．22．(2019·北京四中期中)已知函数f (x )＝ln x ＋1x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1，证明：当x >0且x ≠1时，x －1与g (x )同号．答案精析1．A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8．C 9.ACD 10.CD11．ABD [对于A ，y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2，当且仅当x ＝±1时取等号，正确； 对于B ，y ＝x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x ＝0时取等号，正确；对于C ，当x ∈(0,1)时，log x 2<0，log 2x <0，得y ＝log 2x ＋log x 2(x >0且x ≠1)的最小值不可能为2，错误；对于D ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan x ∈(0，＋∞)，令tan x ＝t ，所以t ∈(0，＋∞)，所以y ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取等号，正确．]12．AD [根据题意，“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0”，则函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，据此依次分析选项：对于选项A ，f (x )＝－x 2－2x ＋1为二次函数，其对称轴为x ＝－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意；对于选项B ，f (x )＝x －1x ，其导数f ′(x )＝1＋1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于选项C ，f (x )＝x ＋1为一次函数，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意；对于选项D ，f (x )＝12log (2)x ＋1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．] 13．(－∞，－4] [1,10] 14.x －y －1＝0 15.⎣⎡⎦⎤－32，1 解析 根据题意，函数f (x )＝e x －1e x －2x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1e x －2，f ′(x )＝e x ＋1e x －2≥0恒成立，则函数f (x )在R 上为增函数，又因为f (－x )＝e －x －e x ＋2x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，原式等价于f (a －3)≤－f (2a 2)， f (a －3)≤f (－2a 2)，a －3≤－2a 2,2a 2＋a －3≤0， (2a ＋3)(a －1)≤0，－32≤a ≤1.16．②③④解析 由新定义知，对任意正实数ξ，∃x ∈D 使得0<|f (x )－c |<ξ成立， 即0<|f (x )－c |<ξ有解．对于函数①解得，1－ξ<x <1＋ξ，且x ≠1，x ∈Z ，因为ξ为任意正实数，所以无解，故函数①不是“敛1函数”；对于函数②解得，x >－log 2ξ且x ∈Z ，故函数②是“敛1函数”；对于函数③解得，21－ξ<x <21＋ξ，且x ≠2，故函数③是“敛1函数”；对于函数④解得，|x |>1ξ，故函数④是“敛1函数”．因此正确答案为②③④.17．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧6＋x ≥0，2－x >0得，－6≤x <2，由2x >1得，x >0，∴A ＝[－6,2)， B ＝(0，＋∞)， ∴A ∪B ＝[－6，＋∞)． (2)A ∩B ＝(0,2)，∵集合{x |a <x <a ＋1}是A ∩B 的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≤2，解得0≤a ≤1，∴a 的取值范围是[0,1]．18．解 (1)原式＝1＋|3－π|＋2＝1＋π－3＋2＝π. (2)原式＝lg25＋lg 25＋3＝lg ⎝⎛⎭⎫25×25＋3＝4.19．解 (1)根据题意，函数f (x )＝lg ax ＋1(a ∈R )，且f (1)＝0，则f (1)＝lg a 2＝0，则a2＝1，解得a ＝2.(2)根据题意，f (x )＝lg 2x ＋1，必有2x ＋1>0，解得x >－1，即函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(3)根据题意，f (x )＝lg 2x ＋1在(0，＋∞)上的单调递减，证明：设0<x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝lg2x 1＋1－lg 2x 2＋1＝lg x 2＋1x 1＋1＝lg(x 2＋1)－lg(x 1＋1)，又由0<x 1<x 2，则lg(x 2＋1)>lg(x 1＋1)，即f (x 1)－f (x 2)>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 20．解 (1)根据题意，设该公司的总收入为W 万元， 则W ＝50⎝⎛⎭⎫10＋x 8⎝⎛⎭⎫1－x100，0<x <100， 若该公司月总收入不减少， 则有50⎝⎛⎭⎫10＋x 8⎝⎛⎭⎫1－x100≥10×50， 解得0<x ≤20.(2)设该公司盈利为y 万元，则y ＝50⎝⎛⎭⎫10＋x 8⎝⎛⎭⎫1－x 100－2⎝⎛⎭⎫10＋x 8＝－x216＋x ＋480,0<x <100， 结合二次函数的性质分析可得，当x ＝8时，该公司的总盈利最大． 21．解 (1)f ′(x )＝x 2＋a ， 由f ′(2)＝0得a ＝－4，由f (2)＝－43得b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0得x >2或x <－2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． (2)由f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，所以f (x )在[－4,3]上的最大值为283，要使13x 3＋ax ＋b ≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，只要f (x )max ≤m 2＋m ＋103就可以了，即283≤m 2＋m ＋103， 解得m ≥2或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 22．(1)解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)， 又f ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表，所以f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)． (2)证明 函数g (x )的定义域是(0，＋∞)， 又g ′(x )＝ln x ＋x ＋1x －1＝ln x ＋1x ＝f (x )，由(1)可知，f (x )min ＝f (1)＝1， 所以当x >0时，g ′(x )>0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为g(1)＝0，所以当x>1时，g(x)>g(1)＝0且x－1>0；当0<x<1时，g(x)<g(1)＝0且x－1<0，所以当x>0且x≠1时，x－1与g(x)同号．快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。