高二理科数学选修2-2测试题及答案doc资料

高二理科数学选修2-2测试题及答案

高二选修2-2理科数学试卷

第I 卷 （选择题, 共60分）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1、复数

i

-25

的共轭复数是( ) A 、2+i B 、2-i C 、i --2 D 、i -2 2、 已知f(x)=3x ·sinx ，则'(1)f =( )

A.31+cos1

B. 31sin1+cos1

C. 3

1

sin1-cos1 D.sin1+cos1

3、设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为()'f x ，且()'f x 是奇函数，则a 为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1

4、定积分dx e x x ?-1

)2(的值为（ ）

A ．e -2

B ．e -

C ．e

D ．e +2

5、利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)

2n －1

＝k ＋1时，左边增加了( )

A ．1项

B ．k 项

C ．2k －

1项 D ．2k 项

6、由直线y= x - 4，曲线x y 2=以及x 轴所围成的图形面积为（ ） A.

340 B.13 C.2

25

D.15 7、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ） （A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在

8、函数f(x)＝x 2－2lnx 的单调减区间是( )

A ．(0,1]

B ．[1，＋∞)

C ．(－∞，－1]∪(0,1]

D ．[－1,0)∪(0,1]

9、 已知2()

(1),(1)1()2

f x f x f f x +=

=+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式（ ）

A.4()22x f x =

+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2

()21

f x x =+. 10、 若21

()ln(2)2

f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）

A. [1,)-+∞

B. (1,)-+∞

C. (,1]-∞-

D. (,1)-∞-

11、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是

（ ）

(A) １

(C) ２ (D)

12、对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有（ ）

A ．f （0）＋f （2）< 2 f （1）

B ．f （0）＋f （2）≥ 2 f （1）

C ．f （0）＋f （2）> 2 f （1）

D ．f （0）＋f （2）≤ 2 f （1）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二．填空题（每小题5分，共20分）

13、设2,[0,1]()2,(1,2]x x f x x x ?∈=?-∈?

，则2

0()f x dx ?=

14、若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c 则三角形的面积1

2

S r a b c =++（）； 利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为124S S S 3，，S ，； 则四面体的体积V=

15、若复数z ＝

2

1＋3i

，其中i 是虚数单位，则|z |＝______. 16、已知函数f(x)＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围 _____．

三、解答题（本大题共70分）

17、（10分）实数m 取怎样的值时，复数i m m m z )152(32--+-=是：

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

18、（12分）已知函数3()3f x x x =-.

（1）求函数()f x 在3

[3,]2

-上的最大值和最小值.

（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.

19、（12分）在各项为正的数列{}n a 中,数列的前n 项和n S 满足???

? ??+=n n n a a S 121, ⑴求321,,a a a ；

⑵由⑴猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想

20、（12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在2

3

x =-与1x =时都取得极值

(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间

(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围

21、（12分）已知函数32()23 3.f x x x =-+

（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程； （2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围. 22、（12分）已知函数()2

a

f x x x

=+

，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；

（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，

求实数a 的取值范围．

参考答案

1、D

2、B

3、D

4、A

5、D

6、A

7、B

8、A

9、B 10、C 11、B 12、C 13、

5

6 14、 23413

S S ++1R （S +S ） 15、1 16、[－1,7)

17.解：（1）当01522=--m m ，即3-=m 或5=m 时，复数Z 为实数；（3分）

（2）当01522≠--m m ，即3-≠m 且5≠m 时，复数Z 为虚数；（7分） （3）当03-m ,01522=≠--且m m ，即3=m 时，复数Z 为纯虚数；（10分）

18.解：（I ）'()3(1)(1)f x x x =+-，

当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时，'()0f x >，3

[3,1],[1,]2

∴--为函数()f x 的单调增区间

当(1,1)x ∈-时，'()0f x <， [1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间

又因为39

(3)18,(1)2,(1)2,()28

f f f f -=--==-=-，

所以当3x =-时，min ()18f x =- 当1x =-时，max ()2f x = …………6分

（II ）设切点为3

(,3)Q x x x -o o o ，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=--o o o o 由于切线过点(2,6)P -，3

26(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--o

o o o ， 解得0x =o 或3x =o 所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即

30x y +=或24540x y --= …………12分

19 .解:⑴易求得23,12,1321-=-==a a a …………2分 ⑵猜想)(1*N n n n a n ∈--= …………5分 证明:①当1=n 时,1011=-=a ,命题成立

②假设k n =时, 1--=k k a k 成立, 则1+=k n 时, )1(21)1(211111k

k k k k k k a a a a S S a +-+=

-=++++ )1

11(21)1(2111--+---+=

++k k k k a a k k k a a k k -+=++)1

(2111, 所以,01212

1=-+++k k a k a , k k a k -+=

∴+11.

即1+=k n 时,命题成立. 由①②知,*

N n ∈时,1--=n n a n . …………12分

20. 解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++

由'2124

()0393

f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-

'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：

所以函数()f x 的递增区间是(,)3

-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-；…………6分

（2）321

()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=

+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈-

恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或 …………12分

21 解：（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分

∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分 （2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-

令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分

'2m +. ………………………10分

由()g x 的简图知，当且仅当(0)

,(1)0g g >??

即30

,3220m m m +>?-<<-

?+

时，

函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.

所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.…………12分

22. 解：（1）解法1：∵()2

2ln a h x x x x

=++，其定义域为()0 +∞，，

∴()221

2a h x x x

'=-+．

∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．

∵0a >，∴a =

经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，

∴a =

解法2：∵()2

2ln a h x x x x

=++，其定义域为()0+∞，，

∴()221

2a h x x x

'=-+．

令()0h x '=，即221

20a x x

-+=，整理，得2220x x a +-=．

∵2180a ?=+>，

∴(

)0h x '=

的两个实根114x -=（舍去），21

4

x -=，

当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：

依题意，11-=，即23a =，

∵0a >，∴a =

（2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的

[]12,1x x e ∈，都有()min f x ????≥()max g x ????．

当x ∈［1，e ］时，()1

10g x x

'=+>．

∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．

∴()()max 1g x g e e ==+????．

∵()()()222

1x a x a a f x x x

+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()2

0x a x a f x x +-'=

>，

∴函数()2

a f x x x

=+在［1，e ］上是增函数，

∴()()2

min 11f x f a ==+????.

由21a +≥1e +，得a

，

又01a <<，∴a 不合题意．

②当1≤a ≤e 时，

若1≤x ＜a ，则()()()2

x a x a f x x

+-'=<， 若a ＜x ≤e ，则()()()2

0x a x a f x x +-'=

>． ∴函数()2

a f x x x

=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．

∴()()min 2f x f a a ==????.

由2a ≥1e +，得a ≥12

e +，

又1≤a ≤e ，∴1

2

e +≤a ≤e ．

③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2

x a x a f x x +-'=

<，

∴函数()2

a f x x x

=+在[]1e ，上是减函数．

∴()()2

min a f x f e e e ==+????.

由2

a e e

+≥1e +，得a

又a e >，∴a e >．

综上所述，a 的取值范围为1,2e +??

+∞????

．