线性控制系统分析

(1)
线性自治系统、非线性自治系统、时不变自治系统、时变自治系统等都 可由(1)式统一描述 。比如线性时变自治系统为：
d X (t) A(t)X (t) 具有（1）式的形式。
dt
对于方程(1),假设在给定的初始条件下有唯一解,则此解既与 X0有关,
又与 t0 有关,记为
X (t) (t;t0, X0)
(4)
dt
和线性时不变系统 d X (t) AX (t)
(5)
dt
来说,它们的稳定性有些特殊性.
定理4 线性系统(4)的零平衡点稳定,则其所有其它非 零平衡点也都稳定.
证:设 Xe 0 为系统(4)的任一非零平衡点,令 X (t) X (t) Xe
则由 A(t)Xe 0, t t0 可得
(t
)u(
)d
t
0
g(t ) u( ) d
t
k1 0
g (t
)d
k1 0
g (
)d
k1k
所以, y(t) 是有界的.
[必要性] 反证法:设
g( ) d
0
1, g(t ) 0,
取
u(
)
sgn(
g
(t
))
0,
g(t ) 0,
1, g(t ) 0
显然, u(t)是有界的输入.由它引起的输出为:
第二章 线性控制系统分析
§1 稳定性
稳定性描述的是初始条件下系统方程的解是否具有收敛性, 是系统的重要特性,一个不稳定的系统是不能付诸实用的.
本部分内容重点是理解稳定性概念;掌握输入-输出描述下 的稳定性判据和状态方程描述下的稳定性判据.
1.1 输入-输出描述下的稳定性判据
定义1:对于一个系统,如果对任何有界的输入,其输出都是有
0
gij ( ) d
k
定理3：由传递函数G(s)描述的SISO系统BIBO稳定的充分
必要条件是，G(s) 既约分式的所有极点均有负实部。
证：将G(s)展开为部分分式之和，则各项的形式为
(s i )k
或一常数，其中 i 是 G(s)的极点，因而 g(t) 是有限个tk1eit
之和，和式中也可能包含 函数项。当且仅当所有 i 具有负实部时， 有：
如果存在某个 0 0 ,不论 0 怎样小,总有某个 Xe满足 X0 Xe , 但(1)式的由 X (t0) X0 所确定的解(2)至少在某一时刻 t1 t0使得
(t1;t0, X0 ) Xe ,
则称 (1)的平衡状态 Xe 是不稳定的.
Example 1 设一阶非线性系统为
(2)
定义2: 对于系统（1），若有某个状态 Xe ，满足
F(Xe,t) 0, (t t0),
则称 Xe 为系统的一个平衡点或平衡状态。
说明：1. Xe 为系统（1）的常量解；
2.在许多情形下，系统的平衡点即为状态空间的原点，亦即 Xe 0 。
如果 Xe 非零，则可通过坐标平移使平衡点转变为0。所以有些教材只研 究0平衡点的稳定性；
界的,则称该系统BIBO(Bounded-Input Bounded Output)稳 定。
定理1：一个线性时不变的SISO系统BIBO稳定的充分必要
条件是，存在一个常数 k ，使得
0
g( ) d
k
证明:[充分性] 设 u(t)为系统的输入,且 u(t) k1, t R.
那么,由
y(t)
t
0
g
3.平衡点的个数可有有限多，也可有无限多。对于
d X (t) AX (t) dt
当A非奇异时，系统只有一个零平衡点，当A奇异时，有无穷多平衡点。
定义3: 如果对任意给定的 0,存在 0 ( 一般与 和 t0 有关 ),使
得当 X0满足
X0 Xe
时,方程(1)由初始条件 X (t0) X0所确定的解(2)都有
当 t 时,有
y(t)
t
0 g(t
)u(
)d
t
0
g(t
) d
lim y(t) lim t g(t ) d g( )d .
t
t 0
0
与 y(t)有界矛盾.
对多变量系统,设有 r 个输入, m个输出,其输入-输出关系式为:
Y
(t
)
t
0
G(t
)U
(
)d
,
这里, U 是 r 1 输入向量, Y 是 m 1 输出向量, G(t )是 m r脉冲 响应阵,可表示为
g11(t )
G(t
)
g21
(t
)
gm1(t
)
g12 (t ) g22 (t )
gm2(t )
g1r (t )
g
2r
(t
)
gmr (t )
其中, gij 表示第 j 个输入对第 i 个输出的脉冲响应.
定理2：一个线性时不变的MIMO系统BIBO稳定的充分必
要条件是，存在一个常数 k ，使 G 的每一个元素均有
d X (t) A(t)X (t), dt
(t;t0, X 0 ) X e , t t0,
则称系统(1)的平衡状态 Xe 是稳定的.
如果 Xe
是稳定的平衡状态,且满足
lim
t
(t; t0 ,
X0)
X
e
(3)
则称 Xe 是渐近稳定的.
如果平衡状态 Xe 是渐近稳定的,且存在域 D0 ,当且仅当 X0 D0 时,满足 X (t0) X0 的解(2)都有(3)式成立,则称域 D0为渐近稳定域 或吸引域,若吸引域为全空间Rn ,即 ,则称平衡状态 是全局渐 近稳定的.
dx 2x x2 dt
, x(0) x0.
试求其平衡状态,并讨论平衡状态的稳定性.
解:易得两个平衡状态为: xe1 0, xe2 2.这是两个常数解.
将方程改写为
dx dt x(2 x)
然后积分得
ln x ln x 2 2t C,
利用初始条件得
C ln x0 x0 2
,从而得到方程满足初始条件的解为:
x
2
1
2 x0
1e2t
解的分布如图所示. 当 x(0) x0 0 时,有
lim
t
x(t)
2
xe2
;
当 x(0) x0 0 时,有
lim x(t) ;
t t0
t0
1 2
ln(1
2 x0
)
由图可知, xe2 2. 为稳定的平衡状态, xe1 0 为不稳定的平衡状态.
对于线性时变系统 d X (t) A(t)X (t)
0g ()源自dk由定理1，知命题成立。
1.2 用状态方程描述的系统稳定性
系统的稳定性完全由系统本身的结构决定的,与外部的输入 U (t) 无关.
因此,在研究由状态方程所描述的系统的稳定性时,我们只考察如下所 求的自治系统(或自由系统)
d X (t) F(X ,t), dt
X (t0) X0,t t0