一次同余式解法的综述

一次同余式的解法的综述

陈明丹 （华南师范大学数学科学学院 广州 510070）

【摘要】本文系统地将解一次同余式的各种解法集中在一起，如欧拉定理算法、代入求解法、消去系数法、不定方程求解法、不定方程求解法、分式法、威尔逊定理法、求s 、t 法、矩阵求法、“倒数”求法，这样就使得学习者在学习一次同余式的时候有个系统的归纳总结，方便理解。

关键词：一次同余式；解法；欧拉定理；威尔逊定理；不定方程；综述

初等数论是师范院校数学专业学生的一门必修课，也是高中数学教师继续教育的一项重要内容，而同余式是初等数论中非常重要的一部分内容，主要研究一次同余式、二次同余式、同余式组及高次同余式的解法及解数。[1]一次同余式是学习这一部分内容的基础，且结一次同余式是学习初等数论必须要掌握的解题方法。但是在严士键

[2]的教材中只给出了如欧拉定理算法[3]等一些比较简单的方法，而且比

较散乱。本文旨在系统地整理解一次同余式的各种方法，以方便大家的学习。

1.一次同余式ax ≡ b(mod m)的解法

1.1 同余式(mod ),(,)1ax b m a m ≡= 的解法

1.1.1欧拉定理算法

李晓东[1]和李婷[3]指出欧拉定理这种算法主要是运用欧拉定理，则有()1(mod )m m a ?≡,则()(mod )m a b b m a ???≡，则

()1(mod )m x b m a ?-≡ 满足同余式(mod )ax b m ≡，故为同余式的解。李婷还指出这种解法在理论上较易分析，但当模m 较大时，求()m ?就涉及m 的标准分解，此时这种解法在计算量上较为复杂，不宜进行计算机编程计算。所以这种解法更适合模m 较小时，或()m ?较易求解时使用。王靖娜

[4]给出了详细的定理证明过程，以帮

助大家的理解。

1.1.2代入求解法 代入求解法也称为观察法[3]，当模m 较小时，可以将模m 的完全剩余系0、1、2……m-1 代入到(mod )ax b m ≡中，求出该同

余式的解。当模m 较大时，则可以利用同余式的性质[2]，将同余式的

系数减少，而且有带余除法定理[5]可保证系数在一个固定的范围内作为模m 的余数，从而再用观察法得出一次同余式的解。

李婷[3]这种解法适用于多数情况，但是当模m 及x 的系数较大时，计算量也会变得比较大，此时就不适合使用这种方法，而改用其他的方法。

1.1.3 消去系数法

在同余式(mod )ax b m ≡中，如果|a b ，则可以解出该同

余式的解，因此，将x 的系数a 消去是解一次同余式的最简捷的方

法[6]。如果在同余式中但能找到c 使得(mod )b c m ≡且

|a c ，则根据同余的传递性质有(mod )ax b c m ≡≡，可解出

(mod )c x m a

≡。或者找到(mod )ax b c m ≡≡，且,a c 有公

因数d ，(,)1d m =，则可根据引理将(mod )ax b m ≡化简为(mod )a c x m d d

≡，按照此方法逐次消去x 的系数a 。王迪吉、张维娟[6]

把消去系数法分为三种，一是直接消去x 的系数a ，一是逐次消去x 的系数，还有一种是利用辗转相除法消去x 的系数a 。这三种方法对于很多种情况的同余式都可以求解。

1.1.4 不定方程求解法

王迪吉，张维娟[6]还指出同余式(mod )ax b m ≡有解的充

分必要条件是不定方程ax my b =+有解，李婷[3] 还指出这种方法

对模m 的要求较低而且易于利用计算机编程来求解同余式。

1.1.5不定方程求解法

当(,)1a m =时，可利用辗转相除法求整数的最大公因数的方法，结合同余式的性质，可以转化为一个形如(mod )x r m ≡

的同解方程，以达到求解的目的。[3] 这种解法就叫做欧几里德算法。这种解

法本质上是：当m a >时，利用恒等变形将a 变小，直至将x 的系数变为1。[7]

1.1.6 分式法

华罗庚[7]指出：对于(m o d a x b m ≡，先把

(m o d a x b m ≡写成(mod )b x m a ≡的形式（这里的b a

只是一种形式上的写法），然后用与m 互素的数陆续乘右端的分子和分母，目的在于把分母的绝对值变小，知道变为1为止。但是需要注意的是这里的b a

只是一种形式符号，不能当一般的分数进行运算。更需要

注意的是对b a

的“分子”“分母”乘以不为零的整数或约去一个与模m 互质的数，否则所得出的结果可能不是原同余式的解。这种方法给出了一次同余式的形式解，较直观。但是这种解法只适合于模m 不太大时。[3]

1.1.7 威尔逊定理法

威尔逊定理：p 为质数，则有(1)!10(mod )p p -+≡。[3] 当(mod ),(,)1,0,ax b p a p a p p ≡=<<为质数，

则由威尔逊定理有：

(1)!(mod )ax b p p ≡--,则有(1)!(m o d )p x b p a

-≡-?。[9] 这种解法和欧拉定理解法一样，也是给出了一次同余式的一组公式解，但是此时要求模p 为质数且不能太大，否则计算阶乘时将比较麻烦。

1.1.8求s 、t 法

因为(,)1a m =的充分必要条件是存在s 、t 使得1as mt

+=，则对同余式(m o d a x b m ≡有1(mod )as m ≡，所以有()(m o d a s b b m ≡，即(mod )x sb m ≡满足同余式

(mod )ax b m ≡。[10]这种解法主要是要求出

s 、t ，但是s 、t 在某些时候是不容易求出的。

1.1.9矩阵求法

毛毓球，陈永林[11]指出(mod )ax b m ≡也可以用矩阵方法

去解，此时可以把基本矩阵取为0a b A m ??= ???

，再对A 施以行初等变换，

使它的某一行变为(1,)u 的形式时，此时(mod )x u m ≡是原一次同余式的解。袁虎延[12]给出了五种类型的一次同余式的不同类型的矩阵的解法，这会使学习者更容易理解。

1.1.10“倒数”求法

我们知道，当我们求解一元一次方程时，是通过恒等变形或同解变形，将一元一次方程化成最简方程(0)ax b a =≠的形式，然后再用未知数

x 的系数a 的倒数去乘方程两边，得出方程的解b x a =。龙盛鼎[13]类比于这种解法，解一次同余式。设想在求解一次同余式的时候也引入未知数x 的系数a 的“倒数”的概念。他定义：设a 是整数，m 是一个给定的正整数，如果存在整数*a ，使得*1(m o d )a m a ?≡，则称*a 为a 对于模m 的倒数。则

根据定理：若(,)1a m =，令*a 是a 对于模m 的倒数，则一

次同余式(mod )ax b m ≡的解是*(mod )x b m a ≡。[14]

1.2 同余式(mod ),(,)1,|ax

b m a m d d b ≡=≠的解法

同余式(mod ),(,)1,|ax b m a m d d b

≡=≠的解法是基于同余式(mod ),(,)1ax b m a m ≡= 的解法，这种题目的解题步骤是[1]

： 、先判断同余式(mod )ax b m ≡是否有解，及解的个数。

②、再化为(,)1

a m=类型的同余式。

③、根据前面提到的各种方法求解(,)1

a m=类型的同余式。

④、在此基础上写出原同余式的所有解

根据以上的步骤解题就可以求解出一次同余式(mod),

ax b m

≡(,)1,|

a m d d b

=≠的解。

2．结论

一次同余式

(mod)

ax b m

≡的解法一直以来都有学者在研

究，所以他们在这一方面已有很深入的研究，上面的这些解法就是他

们对解一次同余式

(mod)

ax b m

≡的理解，各种解法各有千秋，

在使用的时候还需要灵活变通，根据不同的类型而选择使用不同的方法，甚至是将各种方法融合在一起共同使用，以达到解题的目的。

参考文献：

[1] 李晓冬,. 一次同余式解法的研究 [J]. 阴山学刊(自然科学版),2006,(2).

[2] 严士健, 闵嗣鹤. 初等数论( 第三版) [M] 高等教育出版社, 2003: 74- 76.

[3] 李婷.一次同余式解法的特点及其分析 [J]. 黑龙江科技信息,2008,(19).

[4] 王靖娜.详析一次同余式求解定理的证明[J]. 陕西教育(高教版),2009,(4).

[5] 张禾瑞，郝柄新.高等代数（第五版）[M].高等教育出版社，2007：

31-32.

[6] 王迪吉,张维娟.关于一次同余式的解法[J]. 新疆师范大学学报(自然科学版),2007,(4).

[7] 华罗庚.数论导引[M].北京：高等教育出版社，1986,4:115-122.

[8] 李复中.初等数论选讲[M].长春：东北师范大学出版社，1984,12:93-112.

[9] 柯召，孙琦.数论讲义[M].北京：高等教育出版社，1986,4:115-122.

[10] 冯克勤，余红兵.初等数论[M].北京：中国科技技术出版社，1999.

[11] 毛毓球，陈永林.求解不定方程与同余式（组）的矩阵方法[J].数学通报（北京师范大学出版社）,1990,(4).

[12] 袁虎廷.一次同余式的初等变换解法[J]. 山西大学学报(自然科学版),1998,(4).

[13] 龙盛鼎.一次同余式的另一解法[J]. 内江师范学院学报,1987,(S1).

[14] 潘承洞，潘成彪.初等数论（第二版）[M].北京：北京大学出版社，2002：:162-167.

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到31条结果。

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