一次同余式解法的综述

一次同余式的解法的综述陈明丹 （华南师范大学数学科学学院 广州 510070）【摘要】本文系统地将解一次同余式的各种解法集中在一起，如欧拉定理算法、代入求解法、消去系数法、不定方程求解法、不定方程求解法、分式法、威尔逊定理法、求s 、t 法、矩阵求法、“倒数”求法，这样就使得学习者在学习一次同余式的时候有个系统的归纳总结，方便理解。

关键词：一次同余式；解法；欧拉定理；威尔逊定理；不定方程；综述初等数论是师范院校数学专业学生的一门必修课，也是高中数学教师继续教育的一项重要内容，而同余式是初等数论中非常重要的一部分内容，主要研究一次同余式、二次同余式、同余式组及高次同余式的解法及解数。

[1]一次同余式是学习这一部分内容的基础，且结一次同余式是学习初等数论必须要掌握的解题方法。

但是在严士键[2]的教材中只给出了如欧拉定理算法[3]等一些比较简单的方法，而且比较散乱。

本文旨在系统地整理解一次同余式的各种方法，以方便大家的学习。

1.一次同余式ax ≡ b(mod m)的解法1.1 同余式(mod ),(,)1ax b m a m ≡= 的解法1.1.1欧拉定理算法李晓东[1]和李婷[3]指出欧拉定理这种算法主要是运用欧拉定理，则有()1(mod )m m a ϕ≡,则()(mod )m a b b m a ϕ⋅⋅≡，则()1(mod )m x b m a ϕ-≡ 满足同余式(mod )ax b m ≡，故为同余式的解。

李婷还指出这种解法在理论上较易分析，但当模m 较大时，求()m ϕ就涉及m 的标准分解，此时这种解法在计算量上较为复杂，不宜进行计算机编程计算。

所以这种解法更适合模m 较小时，或()m ϕ较易求解时使用。

王靖娜[4]给出了详细的定理证明过程，以帮助大家的理解。

1.1.2代入求解法 代入求解法也称为观察法[3]，当模m 较小时，可以将模m 的完全剩余系0、1、2……m-1 代入到(mod )ax b m ≡中，求出该同余式的解。

当模m 较大时，则可以利用同余式的性质[2]，将同余式的系数减少，而且有带余除法定理[5]可保证系数在一个固定的范围内作为模m 的余数，从而再用观察法得出一次同余式的解。

李婷[3]这种解法适用于多数情况，但是当模m 及x 的系数较大时，计算量也会变得比较大，此时就不适合使用这种方法，而改用其他的方法。

1.1.3 消去系数法 在同余式(mod )ax b m ≡中，如果|a b ，则可以解出该同余式的解，因此，将x 的系数a 消去是解一次同余式的最简捷的方法[6]。

如果在同余式中但能找到c 使得(mod )b c m ≡且|a c ，则根据同余的传递性质有(mod )ax b c m ≡≡，可解出(mod )c x m a≡。

或者找到(mod )ax b c m ≡≡，且,a c 有公因数d ，(,)1d m =，则可根据引理将(mod )ax b m ≡化简为(mod )a c x m d d≡，按照此方法逐次消去x 的系数a 。

王迪吉、张维娟[6]把消去系数法分为三种，一是直接消去x 的系数a ，一是逐次消去x 的系数，还有一种是利用辗转相除法消去x 的系数a 。

这三种方法对于很多种情况的同余式都可以求解。

1.1.4 不定方程求解法王迪吉，张维娟[6]还指出同余式(mod )ax b m ≡有解的充分必要条件是不定方程ax my b =+有解，李婷[3] 还指出这种方法对模m 的要求较低而且易于利用计算机编程来求解同余式。

1.1.5不定方程求解法当(,)1a m =时，可利用辗转相除法求整数的最大公因数的方法，结合同余式的性质，可以转化为一个形如(mod )x r m ≡的同解方程，以达到求解的目的。

[3] 这种解法就叫做欧几里德算法。

这种解法本质上是：当m a >时，利用恒等变形将a 变小，直至将x 的系数变为1。

[7]1.1.6 分式法华罗庚[7]指出：对于(mod )ax b m ≡，先把(mod )ax b m ≡写成(mod )b x m a ≡的形式（这里的b a只是一种形式上的写法），然后用与m 互素的数陆续乘右端的分子和分母，目的在于把分母的绝对值变小，知道变为1为止。

但是需要注意的是这里的b a只是一种形式符号，不能当一般的分数进行运算。

更需要注意的是对b a的“分子”“分母”乘以不为零的整数或约去一个与模m 互质的数，否则所得出的结果可能不是原同余式的解。

这种方法给出了一次同余式的形式解，较直观。

但是这种解法只适合于模m 不太大时。

[3]1.1.7 威尔逊定理法威尔逊定理：p 为质数，则有(1)!10(mod)p p -+≡。

[3] 当(mod ),(,)1,0,ax b p a p a p p ≡=<<为质数，则由威尔逊定理有：(1)!(mod )ax b p p ≡--,则有(1)!(mod )p x b p a-≡-⋅。

[9] 这种解法和欧拉定理解法一样，也是给出了一次同余式的一组公式解，但是此时要求模p 为质数且不能太大，否则计算阶乘时将比较麻烦。

1.1.8求s 、t 法因为(,)1a m =的充分必要条件是存在s 、t 使得1as mt +=，则对同余式(mod )ax b m ≡有1(mod )as m ≡，所以有()(mod )a sb b m ≡，即(mod )x sb m ≡满足同余式(mod )ax b m ≡。

[10]这种解法主要是要求出s 、t ，但是s 、t 在某些时候是不容易求出的。

1.1.9矩阵求法毛毓球，陈永林[11]指出(mod )ax b m ≡也可以用矩阵方法去解，此时可以把基本矩阵取为0a b A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再对A 施以行初等变换，使它的某一行变为(1,)u 的形式时，此时(mod )x u m ≡是原一次同余式的解。

袁虎延[12]给出了五种类型的一次同余式的不同类型的矩阵的解法，这会使学习者更容易理解。

1.1.10“倒数”求法我们知道，当我们求解一元一次方程时，是通过恒等变形或同解变形，将一元一次方程化成最简方程(0)ax b a =≠的形式，然后再用未知数x的系数a 的倒数去乘方程两边，得出方程的解b x a =。

龙盛鼎[13]类比于这种解法，解一次同余式。

设想在求解一次同余式的时候也引入未知数x 的系数a 的“倒数”的概念。

他定义：设a 是整数，m 是一个给定的正整数，如果存在整数*a ，使得*1(mod )a m a ⋅≡，则称*a 为a 对于模m 的倒数。

则根据定理：若(,)1a m =，令*a 是a 对于模m 的倒数，则一次同余式(mod )ax b m ≡的解是*(mod )x b m a ≡。

[14]1.2 同余式(mod ),(,)1,|axb m a m d d b ≡=≠的解法同余式(mod ),(,)1,|ax b m a m d d b ≡=≠的解法是基于同余式(mod ),(,)1ax b m a m ≡= 的解法，这种题目的解题步骤是[1]： 、先判断同余式(mod )ax b m ≡是否有解，及解的个数。

②、再化为(,)1a m=类型的同余式。

③、根据前面提到的各种方法求解(,)1a m=类型的同余式。

④、在此基础上写出原同余式的所有解根据以上的步骤解题就可以求解出一次同余式(mod),ax b m≡(,)1,|a m d d b=≠的解。

2．结论一次同余式(mod)ax b m≡的解法一直以来都有学者在研究，所以他们在这一方面已有很深入的研究，上面的这些解法就是他们对解一次同余式(mod)ax b m≡的理解，各种解法各有千秋，在使用的时候还需要灵活变通，根据不同的类型而选择使用不同的方法，甚至是将各种方法融合在一起共同使用，以达到解题的目的。

参考文献：[1] 李晓冬,. 一次同余式解法的研究 [J]. 阴山学刊(自然科学版),2006,(2).[2] 严士健, 闵嗣鹤. 初等数论( 第三版) [M] 高等教育出版社, 2003: 74- 76.[3] 李婷.一次同余式解法的特点及其分析 [J]. 黑龙江科技信息,2008,(19).[4] 王靖娜.详析一次同余式求解定理的证明[J]. 陕西教育(高教版),2009,(4).[5] 张禾瑞，郝柄新.高等代数（第五版）[M].高等教育出版社，2007：31-32.[6] 王迪吉,张维娟.关于一次同余式的解法[J]. 新疆师范大学学报(自然科学版),2007,(4).[7] 华罗庚.数论导引[M].北京：高等教育出版社，1986,4:115-122.[8] 李复中.初等数论选讲[M].长春：东北师范大学出版社，1984,12:93-112.[9] 柯召，孙琦.数论讲义[M].北京：高等教育出版社，1986,4:115-122.[10] 冯克勤，余红兵.初等数论[M].北京：中国科技技术出版社，1999.[11] 毛毓球，陈永林.求解不定方程与同余式（组）的矩阵方法[J].数学通报（北京师范大学出版社）,1990,(4).[12] 袁虎廷.一次同余式的初等变换解法[J]. 山西大学学报(自然科学版),1998,(4).[13] 龙盛鼎.一次同余式的另一解法[J]. 内江师范学院学报,1987,(S1).[14] 潘承洞，潘成彪.初等数论（第二版）[M].北京：北京大学出版社，2002：:162-167.检索策略如下：1、试检索：在中国期刊全文数据库中检索，检索项为“篇名”，检索词为“同余式”，检索得出123条结果。

2、二次检索：然后再把检索词改为“解法+求解”进行二次检索得到31条结果。

3、最后从所检索出来的31条结果中挑选出与自己课题相关的论文，并下载。

总的检索表达式为：同余式*(解法+求解)检索的数据库为：中国期刊全文数据库。