直角三角形在生活中的应用
《28.2解直角三角形及其应用》教案
一、教学内容
本节课选自八年级下册《28.2解直角三角形及其应用》章节。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握解直角三角形的方法，包括正弦、余弦和正切的定义及运用。
2.了解解直角三角形在实际问题中的应用，例如测量物体的高度、距离等。
具体内容包括：
（1）回顾锐角三角函数的定义，学习正弦、余弦、正切的概念。
2.加强对难点内容的讲解和练习，帮助学生克服理解上的困难。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的团队协作和沟通能力。
4.提高学生的实践操作能力，让他们在动手实践中加深对知识的理解。
在接下来的教学中，我会根据今天的反思，不断调整和优化教学方法，以期提高学生们的学习效果。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-难点三：在解决实际问题时，学生可能不知道如何选择合适的三角函数进行计算。教师应通过典型例题，教授学生分析问题、选择合适三角函数的方法，并强调在实际应用中灵活运用三角函数的重要性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《28.2解直角三角形及其应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量旗杆高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
直角三角形的性质与应用
直角三角形的性质与应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。
在数学中，直角三角形有许多独特的性质和应用。
本文将讨论直角三角形的性质以及其在几何学和实际应用中的重要性。
一、直角三角形的基本性质直角三角形有以下几个基本性质：1. 勾股定理：直角三角形的两条腰的平方和等于斜边的平方。
这条定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，被称为毕达哥拉斯定理。
其中，a、b分别表示直角三角形的两条腰，c表示斜边。
勾股定理可表示为：a² + b² = c²。
2. 角度关系：直角三角形的两个锐角之和为90度。
由于直角本身是90度，所以其他两个角的和必然为90度。
这个性质在解决各种三角形问题时非常有用。
3. 知道一个角的大小，就可以确定其他两个角的大小。
例如，如果知道一个锐角的大小，那么直角的角度为90度减去这个锐角的度数，而第三个角则为90度。
二、直角三角形的应用直角三角形的性质和定理广泛应用于实际生活和科学领域，以下是一些应用示例：1. 测量与导航：在地理和导航中，利用直角三角形原理可以计算物体或地点之间的距离。
例如，使用三角测量法可以测量远处不可抵达的高度，或者利用三角定位计算两个位置之间的距离。
2. 建筑与工程：直角三角形的应用在建筑和工程领域非常重要。
工程师和建筑师经常使用勾股定理来计算斜边的长度，以确保结构的稳固性和坚固性。
此外, 直角三角形也经常用于测量墙壁、屋顶、地板的角度以及倾斜地面的坡度。
3. 电子技术：直角三角形的应用还可以在电子技术领域中找到。
例如，电子电路中常用的升压电路中，电容和电感器件的数值选择，利用了直角三角形的原理。
此外，信号处理和图像处理中也使用了直角三角形的概念。
4. 天文学：在天文学中，直角三角形的应用包括计算恒星和行星的位置、测量天体之间的距离以及其他天文学观测参数的计算。
天文学家经常使用三角法来计算天体距离和角度，以了解宇宙的奥秘。
总结：直角三角形作为数学中的一个基本图形，具有许多重要性质和广泛的应用。
直角三角形的性质及应用
直角三角形的性质及应用直角三角形是指其中一个角为直角（即90度）的三角形。
直角三角形具有一些特殊的性质和应用，下面将详细介绍。
一、性质：1. 直角三角形的两条边相互垂直，即若ABC是直角三角形，边AB垂直于边BC，边BC垂直于边CA。
2. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即AB²+ BC²= AC²，这是著名的勾股定理。
3. 直角三角形的两条直角边长度相等的情况下，称为等腰直角三角形，其两个锐角也相等，每个锐角为45度。
4. 直角三角形的两条直角边长度和不等于斜边的长度，较短的直角边与斜边的夹角小于90度。
二、应用：1. 几何测量：直角三角形广泛应用于测量工作中。
例如，利用勾股定理可以测量无法直接测量的距离，这是三角测量的基本原理。
测量人的身高、测量不可直接达到的高度、测量具有高危险性的区域的距离都可以使用直角三角形的性质和勾股定理进行计算。
2. 建筑设计：直角三角形在建筑设计中的应用极为广泛。
例如，在设计房屋的水平垂直方向上，可以利用直角三角形来保证建筑物的垂直性和平行性。
同时，斜塔和塔尖的设计也离不开直角三角形的计算，以确保塔的稳定和结构的安全。
3. 电子技术：在电子技术中，直角三角形也有着重要的应用。
例如，正弦波和余弦波的产生可以通过三角函数以及直角三角形的性质来进行理论上和实际上的计算和实现。
另外，在信号处理中，通过FFT（快速傅里叶变换）可以将时域信号转换为频域信号，从而实现信号的滤波、特征提取等操作。
4. 地理测量：在地理测量中，利用直角三角形可以测量某一地点的纬度和经度，从而确定地理位置。
通过利用天文观测计算直角三角形的角度，结合测量一定距离的方法，可以获得地球的三角形表面，并确定地理坐标。
5. 寻找未知物体的高度：在现实生活中，很多时候我们很难直接测量到某些物体的高度，例如房子的高度、树木的高度等。
利用直角三角形的性质，我们可以通过测量某一点到物体的斜边长度和与水平线的夹角，利用勾股定理计算出物体的高度。
解直角三角形在实际生活中的应用
解直角三角形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．一、航空问题例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图1）．求A 、B1.414 1.732==）分析:要求A 、B 两个村庄间的距离,由题意知AB =PB ，在Rt △PBC 中,可求得60PBC ∠=︒，又因为PC =450，所以可通过解直角三角形求得PB.解：根据题意得：30A ∠=︒，60PBC ∠=︒，所以6030APB ∠=︒-︒，所以APB A ∠=∠，所以AB =PB .在Rt BCP ∆中，90,60C PBC ∠=︒∠=︒，PC =450，所以PB=450sin 60==︒.所以520AB PB ==≈(米) 答：A 、B 两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，QB CP A 45060︒30︒图1用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．分析:要求AB 的高,由题意知可知CD=BE ,先在Rt △ADE 中求出AE 的长,再利用AB=BE +AE 求出AB 的长.解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE =DEAE. ∵DE =10，∠ADE =40︒.∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4. ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+=.答：旗杆AB 的高为9.9米． 三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG ，将两条路线路程之差转化为AD DG AG +-，作高线DH ,将△ADG 转化为两个直角三角形，先在在Rt DGH △中求DH 、GH ，再在Rt ADH △中求AD 、AH,此题即可得解.解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，DG CB ∥交AB 于G ．DC AB Q ∥，∴四边形DCBG 为平行四边形．FED CBA45°37°HG图3 ∴DC GB =，11GD BC ==．∴两条路线路程之差为AD DG AG +-． 在Rt DGH △中，sin37110.60 6.60DH DG =⋅≈⨯=o ， cos37110.808.80GH DG =⋅⨯o ≈≈．在Rt ADH △中，2 1.41 6.609.31AD DH =⨯≈≈．6.60AH DH =≈．∴(9.3111)(6.608.80) 4.9(km)AD DG AG +-=+-+≈． 即现在从A 地到B 地可比原来少走约4.9km ． 四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．分析:要求圆O 的半径r 的值，需在直角三角形ODH 中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH 中，根据条件5CE =、坡面CE 的坡度1:0.75i =求出EH 、CH ，然后在直角三角形ODH 中利用勾股定理列出方程，从而求出r 的值．解：由已知OC DE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=o．图41:0.75i =Q ，43CH EH ∴=． 在Rt HEC △中，222EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>， 又5CE =Q ，得222(3)(4)5k k +=，解得1k =．∴3EH =，4CH =． ∴7DH DE EH =+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+．在Rt ODH △中，222OH DH OD +=，∴222(4)7(7)r r ++=+．解得83r =．航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60o 的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30o 的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后通过解直角三角形求出CD 的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24×21=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB ，所以CB=AB=12.在Rt △CBD 中，sin ∠CBD=CBCD，所以CD=CB ·sin ∠CBD=12×3623=.∵936>所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．例2 如图2，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解. 解法一：如图3，过点B 作BM ⊥AH 于M ，则BM//AF.所以∠ABM=∠BAF=30°. 在Rt △BAM 中，AM=21AB=5，BM=35. 过点C 作CN ⊥AH 于点N ，交BD 于K. 在Rt △BCK 中，∠CBK=90°-60°=30°. 设CK=x ，则BK=3x.在Rt △CAN 中，因为∠CAN=90°-45°=45°，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN. 又NM=BK ，BM=KN ，所以x+35=5+3x.解得x=5. 因为5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图4，过点C 作CE ⊥BD 于E.所以CE//GB//FA. 所以∠BCE=∠GBC=60°，∠BCA=∠FAC=45°. 所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°. 又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°， 所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5. D图2图3图4也5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30︒，测得乙楼底部B 点的俯角β为60︒，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.分析:过点C 作CE ⊥AB 于点E, 在Rt △BCE 和Rt △ACE 中, BE 和AE 可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作CE ⊥AB 于点E,∵CE ∥DB,CD ∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD 是矩形. ∴CD=BE,CE=BD.在Rt △BCE 中, ∠β=060,CE=BD=90米.∵,tan CEBE=β∴BE=CE 39060tan 90tan 0=⨯=⋅β(米). 视线 视线水平线 俯角仰角 铅垂线图1 E图2AB图3∴CD=BE=390(米).在Rt △ACE 中, ∠α=030,CE=90米. ∵ ,tan CEAE =α ∴AE=CE 330339030tan 90tan 0=⨯=⨯=⋅α(米). ∴AB=AE+BE=3120390330=+(米). 答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米.反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ．要求：⑴画出测量示意图；⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算AB ．分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt △AGF 和 Rt △AEF 中, 利用三角函数可得αtan x HE =,βtan x EF = ,再根据HE-FE=CD=m 建立方程即可. 解：（1）测量图案（示意图）如图4所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠;第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C D ，之间的距离CD m =;第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AFE β=∠; 第四步：用皮尺测出测角仪的高h . （3）计算：AE F H CDB图4令AE=x,则,tan HE x =α得αtan x HE =,又,tan EF x =β得βtan x EF =, ∵HE-FE=HF=CD=m, ∴,tan tan m xx =-βα 解得αββαtan tan tan tan -⋅=m x ，∴AB=.tan tan tan tan h m +-⋅αββα反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效.快乐套餐:1.(泰安)如图5，一游人由山脚A 沿坡角为30o 的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45o ，则山高CD 等于 （结果用根号表示）2.(安徽)如图6，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45°°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度．(1.73，计算结果保留整数)参考答案:1. (300m +.2. ∵AB ＝8，BE ＝15，∴AE ＝23，在Rt △AED 中，∠DAE ＝45°,ABCD图5第19题图EDCB A450600图6∴DE＝AE＝23.在Rt△BEC中，∠CBE＝60°,∴CE＝BE·tan60°＝，∴CD＝CE－DE＝23≈2.95≈3. 即这块广告牌的高度约为3米.。
浅谈生活中三角函数的应用
浅谈生活中三角函数的应用三角函数是高中数学中的一个重要内容，它的应用范围十分广泛。
在生活中，我们可以通过三角函数解决很多实际问题。
本文将从生活中的实际问题出发，探讨一些三角函数的应用。
一、直角三角形中的应用在我们的日常生活中，我们常常会遇到一些直角三角形的问题，这时候运用三角函数就可以很好地解决这些问题。
例如，在测量一幢建筑物的高度时，我们可以站在建筑物的脚下，用一个角度计算器或手动计算，利用正切函数求出建筑物的高度。
此外，在导航和地图制作中也需要使用三角函数，计算一个地点的方向和距离。
二、正弦函数和余弦函数在单摆和波浪问题中的应用单摆和波浪问题都是涉及周期性运动的问题。
单摆就是一个质量挂在一根不可伸缩细线上的系统（一般为一个球、钩、挂钩、网）的系统。
当摆动时，其振幅和周期都与线的长度和重力有关。
正弦函数和余弦函数可以描述单摆的运动，这些函数可以计算出时间、挥动的幅度、运动的速度、周期和频率等信息。
同样的，波浪问题也涉及到周期性运动。
在物理学、电子工程等领域中都有波浪的应用。
正弦函数和余弦函数可以描述波浪的运动。
例如，我们可以用正弦函数描述海浪的形状、大小、行程和速度等。
三角函数在工程学中有广泛的应用，尤其是在机械工程和电气工程中。
在机械工程中，三角函数可以描述某些运动的曲线。
例如，在一个滑轮系统中，我们可以用正弦函数计算曲线的形状和弧度。
在电气工程中，三角函数可以用于计算交流电压和电流的频率、幅度和相位等信息。
四、三角函数在金融学和计量经济学中的应用金融学和计量经济学中有很多统计分析技术，而其中很多方法都涉及到三角函数的应用。
例如，利用正弦函数和余弦函数可以描述经济周期的波动，用它们可以统计股票和商品价格的变化。
此外，金融学和计量经济学也可以用三角函数来解决一些风险分析问题和预测市场行为的问题。
综上所述，三角函数在生活中的应用是非常广泛的。
它们可以被应用于很多领域，从机械工程到金融学、从物理学到导航、甚至于日常生活中的建筑测量和旅游规划等。
直角三角形的特征与运用
直角三角形的特征与运用直角三角形是几何学中最基本的三角形之一。
本文将介绍直角三角形的特征、性质以及其在实际运用中的一些场景。
一、直角三角形的特征与性质直角三角形的定义是指其中一个角为90度。
根据直角三角形的性质，我们可以得出以下几个重要结论：1. 边长关系：在直角三角形中，直角边的长度称为直角边，另外两条边分别称为腿和斜边。
根据勾股定理，直角三角形的直角边平方和等于斜边平方，即a² + b² = c²，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
2. 角度关系：直角三角形中，除了直角外，还有两个角，分别称为锐角和钝角。
由于直角为90度，所以锐角的度数总是小于90度，而钝角的度数总是大于90度。
3. 特殊比例关系：在直角三角形中，有几组特殊的边比例关系。
例如，在一个45度的直角三角形中，腿和斜边的长度相等，即a = b = c/√2。
二、直角三角形的运用直角三角形在实际生活中有广泛的应用。
下面列举了几个常见的运用场景：1. 测量与导航：直角三角形被广泛应用于测量和导航领域。
例如，在地理测量中，我们常常使用直角三角形的性质来确定两点之间的距离。
通过测量两点之间的直线距离和形成的夹角，可以利用三角函数计算出实际距离。
2. 建筑与工程：直角三角形在建筑和工程领域也得到了广泛的运用。
例如，在设计斜坡、楼梯和屋顶时，需要考虑直角三角形的性质来确保结构的稳定和安全。
3. 物理学与工业：直角三角形的特性在物理学和工业领域也有重要的应用。
例如，在机械设计中，直角三角形的比例关系被用来计算力的分解和合成，从而实现机械系统的优化和效率提升。
4. 角度测量：直角三角形的角度测量是另一个应用领域。
例如，在地理测量中，我们可以使用直角三角形的性质来测量地平线上的夹角，进而得到地球的曲率和高度差。
5. 三角函数的运用：直角三角形与三角函数之间有密切的关系。
三角函数包括正弦、余弦和正切等，它们可以利用直角三角形的边长关系来定义和计算。
鲁教版九年级上册数学第二章 直角三角形的边角关系 解直角三角形在实际中的一般应用
【点拨】∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴
AD
＝
AC·sin50°≈2×0.77≈1.5(m)．
5．如图，AB是伸缩式遮阳棚，CD是窗户，要想在夏 至的正午时刻阳光刚好不射入窗户，则AB的长是 ________m．(假设夏至的正午时刻阳光与地平面
的夹3角为60°)
6．如图，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好落在土 坡的坡面 CD 和地面 BC 上，如果 CD 与地面成 45°角，∠A ＝60°，CD＝4 m，BC＝(4 6－2 2) m，则电线杆 AB 的长 为________m.
12．【2019·宿迁】宿迁市政府为了方便市民绿色出 行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享 单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意 图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为 32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点 B的距离BE为15cm.
(1)求坐垫E到地面的距离；
解：如图①，过点E作EM⊥CD于点M. 由题意知∠BCM＝64°，EC＝BC＋ BE＝60＋15＝75(cm)， ∴EM＝EC·sin∠BCM＝75×sin64°≈67.5(cm)． ∵CD与地面l平行，∴CF＝32cm. 故坐垫E到地面的距离为EM＋CF≈67.5＋32＝99.5(cm)．
参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
解：如图，过点H作HN⊥BA于点N，并延长交DC 于点M，则DC⊥MN. 由题意可知MN＝CA＝10m，MC＝EF＝1.6m，HF ＝GE＝6m. ∵∠BHN＝45°，BA⊥MH， ∴BN＝NH.
设 BN＝NH＝x m， ∵HF＝6 m，∠BFN＝30°，
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的 0.8时，坐骑比较舒适，小明的腿长约为80cm，现 将 坐 垫 E 调 整 至 坐 骑 舒 适 高 度 位 置 E′ ， 求 EE′ 的 长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90， cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。
直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。
本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。
一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。
通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。
例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。
二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。
在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。
直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。
通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。
三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。
然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。
通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。
四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。
例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。
通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。
五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。
例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。
通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。
六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。
通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。
这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。
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直角三角形在生活中的应用 教学目标 (一)教学知识点
1.探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题,对结果的意义进行说明.
(二)能力训练要求
发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.
(三)情感与价值观要求
1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.
2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
教学重点
1. 探索直角三角形在生活中应用,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
教学难点
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
教学方法
探索——发现法
教具准备
多媒体演示
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.
下面我们就来看一个问题(多媒体演示).
[师]随着人民生活水平的提高，小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修 建10 m 高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m 长的斜道.(如图所示，用多媒体演示)
这条斜道的倾斜角是多少?
[生]在Rt △ABC 中，BC=10 m ，AC ＝40 m ，
sinA ＝4
1 AB BC .我们查表就可求出∠A. [师]我们知道，给定一个锐角的度数，这个锐角的三角函数值都唯一确定.给定一个
锐角的三角函数值，这个锐角的大小也唯一确定吗?为什么?
Ⅱ.讲授新课
下面请大家再来看一个问题(多媒体演示).
海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南
偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往
东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?
[生]应该是“上北下南，左西右东”.
[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.
[生]首先我们可将小岛A 确定，货轮B 在小岛A 的南偏西55°的B 处，C 在B 的正东方，
且在A 南偏东25°处.示意图如下.
[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?
[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A 的
最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A 到BC 所在直
线的最短距离为过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足，即AD 的长度.我们需根据题意，计算出AD 的长
度，然后与10海里比较.
[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看
AD 如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?
[生]已知BC °＝20海里，∠BAD ＝55°，∠CAD ＝25°.
[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt △ABD 和Rt △ACD.你能在哪一个三角形中求出
AD 呢?
[生]在Rt △ACD 中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.
[生]在Rt △ABD 中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC ＝20海里，但它不是Rt △ABD 的边，也不能求出AD.
[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?
[生]我发现这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边.而且BC 是这两个直角三角
形BD 与CD 的差，即BC ＝BD-CD.BD 、CD 的对角是已知的，BD 、CD 和边AD 都有联系.
[师]有何联系呢?
[生]在Rt △ABD 中，tan55°＝AD BD ，BD=ADtan55°；在Rt △ACD 中，tan25°＝AD
CD ，CD ＝ADtan25°.
[生]利用BC ＝BD-CD 就可以列出关于AD 的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝
20.
[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方
都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.
下面我们一起完整地将这个题做完.
[师生共析]解：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D.得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而BD=AD tan55°，CD ＝ADtan25°，由BD-CD ＝BC ，又BC ＝20海里.得
ADtan55°-ADtan25°＝20.
AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=︒-︒25tan 55tan 20≈20.79(海里). 这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.
活动与探究
如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A
处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必
须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40
海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心
200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?
(供选用数据：2≈1.4，3 ≈1.7) [过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征.在转化、抽象成数学问题上下功夫.
[结果](1)过点B 作BD ⊥AC.垂足为D.
依题意，得∠BAC ＝30°，在Rt △ABD 中，BD= 21AB=2
1×20×16=160＜200， ∴B 处会受到台风影响.
(2)以点B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E 、F ，由勾股定理可求得DE=120. AD=1603.
AE=AD-DE=1603 -120，
∴40
1203160-=3.8(小时). 因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.
Ⅲ.随堂练习
1.一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m ，再爬30°的山坡100 m ，求山高.(结果精确到0.01 m)
解：如图，根据题意，可知
BC=300 m ，BA=100 m ，∠C=40°，∠ABF=30°.
在Rt △CBD 中，BD=BCsin40°
≈300×0.6428
＝192.8(m)； 在Rt △ABF 中，AF=ABsin30°
=100×
2
1
2.如图，一灯柱AB 被
一钢缆CD 固定，CD 与地面
成40°夹角，且DB ＝5 m ， 现再在C 点上方2m 处加固
另一条钢缆ED ，那么钢缆
ED 的长度为多少?
解：在Rt △CBD 中，∠CDB=40°,DB=5 m ，
sin40°= DB
BC ，BC=DBsin40°=5sin40°(m). 在Rt △EDB 中，DB=5 m ，
BE=BC+EC ＝2+5sin40°(m).
根据勾股定理，得DE=2222)40sin 52(5︒++=+BE DB ≈7.96(m). 所以钢缆ED 的长度为7.96 m.
Ⅳ.课堂小结
本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和 解决实际问题的能力.
其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣.
V.课后作业
1.(2003年江苏盐城)
如图，Rt △ABC 是一防
洪堤背水坡的横截面
图，斜坡AB 的长为
12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力， 现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)
2. 如图，某地夏日一天中午，太阳光线
与地面成80°角，房屋朝南的窗户高
AB=1.8 m ，要在窗户外面上方安装一个水
平挡板AC ，使光线恰好不能直射室内，
求挡板AC 的宽度.(结果精确到0.01 m)
[过程]根据题意，将实际问题转化为数
学问题，在窗户外面上方安装一个水平
挡板AC ，使光线恰好不能直射室内即光线
应沿CB 射入.所以在Rt △ABC 中，AB ＝1.8 m ， ∠ACB ＝80°.求AC 的长度.
[结果]tan80°＝671
.58.180tan ,≈︒=AB AC AC AB ＝0.317≈0.32(米). 所以水平挡板AC 的宽度应为0.32米.。