4章优化总结
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工程优化 第4章-4
优点：计算量较少，而且总能收敛到一个局部极小点。 缺点：收敛速度较慢
牛顿法（Newton）---基本思想
牛顿法是一种函数逼近法，基本思想是：在极小点附近用 函数的二阶泰勒多项式近似代替目标函数，从而求得目标函数 的极小点的近似值。 对 f (x) 在 x k 点二阶泰勒展开：
f ( x) f ( xk ) f '( xk )( x xk )
从极值的必要条件 P x a1 2a2 x 0
求得
x a1 / 2a2
求出系数 a1 和 a2 ，就可得到极小点的表达式。
x a1 / 2a2
1 x 2 x
2 2 2
2 x3 f1 x32 x12 f 2 x12 x22 f 3
P x1 a0 a1 x1 a2 x12 f1 f x1
（1） （2） （3）
P x2 a0 a1 x2 a2 x22 f2 f x2
P x3 a0 a1 x3 a2 x32 f3 f x3
插值法---求二次插值多项式的极小点
0, 令 k 1 。 步骤1：给定初始点 x1 R，
步骤2：计算 f '( xk ), f ''( xk ) 。
步骤3：若 f '( xk ) ，停止，x* xk ，否则转步骤4。 步骤4：计算
f '( xk ) xk 1 =xk f ''( xk )
令 k k 1，转步骤2。 特点：收敛速度快，局部二阶收敛。 缺点：须计算二次导数，工作量大；对初始点要求高，要求初 始点离极小点不太远，否则有可能使极小化发散或收敛到非极 小点；局部收敛。
《SEO实战密码》第4章、 网站结构优化(整理笔记)
http://192.186.23.243
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refresh等（被认为作弊行为）
一切正常；404--页面不存在；302--临时性转向；500--内部程序错误
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最优化方法第四章(1)概要
（4.7）
D {x si ( x) 0, i 1,2, , 对于约束问题（4.7），设 x D 。若 x 使得 某个不等式约束有 si ( x ) 0 ，则该不等式约束 si ( x ) 0 称为是关于容许点 x 的起作用约束；否则，若 si ( x ) 0 ， 则该不等式约束称为是关于容许点 x 的不起作用约束。
*
*
G( x* ) S ( x* ) * * p C ( x ) ， 证 根据引理4.3，若 p G( x ) ，则 * * C ( x ) S ( x ) , 从而 G( x* ) C( x* ) 。又根据定理4.5，有 故必有 G( x* ) S ( x* ) 。
j 1
l
Lagrange 函数（4.4)的梯度是
x L L L
其中
x L f ( x ) j h j ( x )
l
L h1 ( x ), h2 ( x ),
最优性必要条件
j 1
hl ( x )
T
L( x* , 1* , 2* ,
C 是凸集，则称为凸锥。
显然，由 的集合
n 维向量 v1, v2 ,
m i 1
, vm 的全部非负组合构成
C {x x i vi , i 0}
是一个以原点为顶点的凸锥。由于这样的凸锥的边界是 （超）平面或直线，所以也称为由 v1 , v2 , , vm 张成的 凸多面锥。 n 是 D 定义4.3 设 R 中的非空集，且 x D。对于非零 n 向量 p R ，若存在 0 ，当 t (0, ) 时，必有 x tp D ，则 p 称为点 x 的容许方向向量，其方向 称为点 x 的容许方向。由点 x 的全部容许方向向量构成的 集合称为点 x 的容许方向锥，记作 C ( x* )
鲁科物理必修1课件：第4章本章优化总结
也错．
【答案】 A
栏目 导引
第4章 相互作用
受力分析
1．受力分析
把研究对象(指定物体)在指定的物理环境中受 到的外力都分析出来，并画出物体所受力的 示意图，这个过程就是受力分析．
栏目 导引
第4章 相互作用
2．受力分析的依据
(1)条件判断：根据力的产生条件是否满足来 判断物体是否受到某个力的作用； (2)效果判断：根据力的作用效果是否得以体 现来判断物体是否受到某个力的作用； (3)相互作用来判断：利用力的作用的相互性, 即施力物体同时也是受力物体，从一个物体 是否受到的某个力的作用来判断另一个物体
M的接触点处有线的拉力T1、T2，方向沿线的 方向竖直向上；物体m与斜梁的接触面有对斜
梁的压力，方向垂直于斜梁向下．
(3)物体m有下滑的趋势，故M受到m对它斜向 下的静摩擦力f的作用．
在这五个力作用下使得斜梁处于平衡状态，如
图所示为其受力分析图．
栏目 导引
第4章 相互作用
【答案】
见精讲精析
【规律方法】
D．若v1＞v2，A、B之间无滑动摩擦力
栏目 导引
第4章 相互作用
【精讲精析】
若v1 ＝v2 ，两物体间就没有相
对运动，A、B之间无摩擦力，即A选项正确.
若v1＞v2，以A为研究对象,A相对B向右运动,故 A受到B所施加的向左的滑动摩擦力,所以B、D
选项均错．
若v1＜v2，以B为研究对象,B相对A向右运动,所 以B受到A施加的向左的滑动摩擦力，故C选项
是否受到相应的力的作用．
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第4章 相互作用
3．受力分析的方法 (1)整体法与隔离法 整体法 隔离法
将运动状态相同的 将研究对象与周围 概念 几个物体作为一个 物体分隔开的方法 整体来分析的方法
第4章最优化方法运筹学
回收的本利金相等)
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 ≤ 80 x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知：
项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的
决策变量：
1
2345
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
Байду номын сангаасD
x24
例题分析5：投资问题
Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11(第二年的投资与第一年投资
x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 ) x33 ≤ 80 x24 ≤ 100 xij ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ
1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元
资源限制
300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能 使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解 （Excel，lingo）
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知：
项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%；
项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；
B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的
决策变量：
1
2345
A x11 x21 x31 x41 x51
B x12 x22 x32 x42
C
x33
Байду номын сангаасD
x24
例题分析5：投资问题
Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11(第二年的投资与第一年投资
2013年物理选修3-4册课件：第4章本章优化总结
图4－8
A．屏上c处是紫光 B．屏上d处是红光 C．屏上b处是紫光 D．屏上a处是红光 解析：选D.由公式可知，光的波长越长，折射率 越小．而在太阳光的可见范围内，从红光到紫光 的波长越来越短，即折射率越来越大，所以a处 是 红 光 ， d 处 是 紫 光 ， 则 A 、 B 、 C 错 误 ， D正 确．
4．(2011年高考福建理综卷)如图4－7，半圆形玻璃 砖置于光屏PQ的左下方．一束白光沿半径方向从A 点射入玻璃砖，在O点发生反射和折射，折射光在 光屏上呈现七色光带．若入射点由A向B缓慢移动， 并保持白光沿半径方向入射到O点，观察到各色光 在光屏上陆续消失．在光带未完全消失之前，反射 光的强度变化以及光屏上最先消失的光分别是( ) A．减弱，紫光 B．减弱，红光 C．增强，紫光 D．增强，红光
如图 4－3 所示，直角玻璃三棱镜置于 空气中，已知∠A＝60° ，∠C＝90° ，一束极细 的光于 AC 的中点 D 垂直 AC 面入射，AD＝a， 棱镜的折射率 n＝ 2，求：
例3
图4－3
(1)光从棱镜第一次射入空气时的折射角； (2)光从进入棱镜到它第一次射入空气所经历的时 间(设光在真空中传播速度为c)．
2．(2011年高考重庆理综卷)在一次讨论中，老师问 道：“假如水中相同深度处有a、b、c三种不同颜色 的单色点光源，有人在水面上方同等条件下观测发现， b 在水下的像最深，c照亮水面的面积比a的大．关于 这三种光在水中的性质，同学们能做出什么判断？” 有同学回答如下： ①c光的频率最大 ②a光的传播速度最小 ③b光的 折射率最大 ④a光的波长比b光的短 根据老师的假定，以上回答正确的是( ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④
结合在一起考查．
两束不同频率的单色光a、b从空气射入 水中，发生了如图4－1所示的折射现象 (α>β)．下列结论中正确的是( )
数学模型复习-第4章离散优化模型
第4章离散优化模型【内容总结与思考】§1数学规划（最优化模型）概述。
规划模型（最优化模型）的三要素:决策（设计，控制）变量,约束条件和目标函数,最优化模型就是在满足约束条件的集合中（可行集）求目标函数的最优值。
按目标函数分分为多目标规划和单目标规划。
单目标规划模型的一般形式：max （min） Z = f（x）,x = （x{,x2,...,x n）Ts.t.（x） < 0, i = 1.2,...m线性规划:目标函数和约束条件都是线性的称为线性规划。
不是线性规划统称为非线性规划。
二次规划:目标函数是二次的，约束条件是线性的称为二次规划。
整数规划:决策变量均取整数值的规划称为整数规划。
部分决策变量取整数，其它取实数则称为混合整数规划。
只取0,1 的变量称为0-1变量。
实际问题建模（生产计划•线性规划）。
建模.软件计算，结果分析:对偶价格。
敏感性分析结果应用：系数变化范围（目标函数系数,约束右端项系数）例题1最优化模型的三姜素为（）■最优化问题就规划问题,整数规划是（)o§1生产计划建模:决策变量为目标为利润（费用），约束为生产要素限制，一般为线性规划。
例题1 一般的生产规划模型的目标函数是（），决策变量是（）,约束条件为（）。
其一般模型为（）§2运输问题建模（自来水输运与装机）lo 一般运输问题建模。
第，个供应点（源）第丿个需求点（汇）的量为®,则模型为m nmin（ max）i=l j=ln m ms.t. 2L x u -a i»Z x ij -lb j^x ij - ub j»j=l i=l i=l目标为费用最小（或利润最大），约束包括两类，供应约束（源点,始点）需求约束（终点•汇）。
一般运输问题的数据表结构:利润表+右边表示供应点的数据+底边表示各需求点的数据。
2O运输问题编程「水库送水问题Idefine set and variable;sets: gong/1..3/:a;xu/1..4/:bl f bu;link(gon g f xu):x f c;en dsets•evaluate to known variable;data:a=100,120,100;bl 二30,70,10,10;bu=80,140,30,50;c 二290,320,230,280,310,320,260,300,260,250,220,-1000;enddatamax=@sum(link(i,j):c(ij)*x(ij));@for(gong(i):@sum(xu(j):x(ij))<=a(i)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))>=bl(j)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))<=bu(j)); end例题1 一般运输问题的模型( 厂目标函数的形式为( )，约束条件是( )例题2 Lingo编程中重要的三部分是:set段，data段，和砂段。
印章管理年度总结(3篇)
第1篇一、前言随着社会经济的快速发展，各类企事业单位对印章管理的需求日益增加。
印章作为企事业单位的重要凭证，其使用和管理直接关系到企事业单位的合法权益。
本年度，我单位高度重视印章管理工作，严格按照国家法律法规和上级单位的要求，不断完善印章管理制度，加强印章使用监管，确保印章使用的安全、规范和高效。
现将本年度印章管理工作总结如下：二、印章管理制度建设1. 完善印章管理制度：根据《中华人民共和国印章管理条例》和相关法律法规，结合我单位实际情况，制定了《印章管理办法》，明确了印章的审批、制作、使用、保管、销毁等各个环节的具体要求。
2. 规范印章使用流程：明确了印章使用申请、审批、备案、登记、存档等流程，确保印章使用过程中的透明度和可追溯性。
3. 加强印章管理培训：定期组织印章管理人员进行业务培训，提高其业务水平和管理能力。
三、印章管理执行情况1. 印章审批：严格按照审批流程，对印章使用申请进行审批，确保印章使用符合规定。
2. 印章制作：选择正规厂家制作印章，确保印章质量。
3. 印章使用：加强对印章使用的监管，确保印章使用安全、规范。
4. 印章保管：设立专门的印章保管室，配备专门的保管人员，严格执行印章保管制度。
5. 印章销毁：按照规定程序销毁废旧印章，防止印章流失。
四、印章管理成效1. 印章使用安全：通过加强印章管理，有效防范了印章被滥用、盗用等风险。
2. 印章使用规范：印章使用流程规范，确保了印章使用的合法性和有效性。
3. 印章管理效率：通过优化印章管理流程，提高了印章管理的效率。
4. 印章管理监督：建立了完善的印章管理监督机制，确保印章管理的规范性和透明度。
五、存在问题及改进措施1. 存在问题：（1）部分印章管理人员对印章管理制度掌握不全面，导致印章使用过程中出现不规范现象。
（2）印章保管设施有待进一步完善。
2. 改进措施：（1）加强对印章管理人员的培训，提高其业务水平和管理能力。
（2）加大印章保管设施投入，提高印章保管的安全性。
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【点评】 直线与圆的位置关系分 为相交、相切、相离，牢记各种位置关 系的条件和性质，判断它们的位置关系 时可根据圆心到直线的距离与半径的关 系，也可根据它们构成的方程组的实数 解的个数进行判断．
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【点评】 求圆的方程有两类方法：(1)几 何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆 的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2) 代数法：即用“待定系数法”求圆的方程，其一 般步骤是： ①根据题意选择方程的形式：标准形式或 一般形式； ②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F 的方程组； ③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方 程或一般方程．
本章优化总结
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热点一 直线的倾斜角与斜率
1．要正确理解倾斜角的定义，明确 倾斜角的范围0°≤α<180°，熟记斜率公 y2－ y1 式k＝ ，该公式与两点顺序无 x2 － x1 关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可
以求出经过两点的直线斜率，当x1＝x2，
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(3)法一：设圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝10. 由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a，⑥ 由圆在直线x－y＝0上截得弦的长为4 2， 将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10， 整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0. 由弦长公式得＝ 2 (a＋b)2－2(a2＋b2－10) 4 2， 化简得a－b＝±2，⑦ 解⑥⑦得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋ 2)2＋(y＋4)2＝10.
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又圆的半径r＝OC＝5， 所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3) 2＝25.Fra bibliotek 高考热点探究
(2)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，① 将P、Q点的坐标分别代入①得 4D-2E+F=-20 D-3E-F=10
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令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④ 由已知|y1－y2|＝4 3，其中y1、y2是方程 ④的两根， 所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2 ＝E2－4F＝48，⑤ 解②、③、⑤组成的方程组得 D＝－2，E＝0，F＝－12， 或D＝－10，E＝－8，F＝4， 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0 或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
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【思路点拨】 (1)由截距式设出直 线方程，再将圆的方程化为标准形式， 利用圆心到直线的距离求证．(2)设出AB 中点坐标代入(1)即可．(3)利用三角形面 积公式结合(1)的结论可解．
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【解】 (1)证明：由题意，知直线l 的方程为 x ＋ y ＝1， a b 即bx＋ay－ab＝0. 圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1. ∵直线l与圆C相切， ∴圆心C到直线l的距离等于1. |a＋b－ab| 即 a2＋b2 ＝1. 化简整理得(a－2)(b－2)＝2.
在l1上取一特殊点(2,0)，它关于直线 l的对称点(x0，y0)应在所求直线l2上． 2＋x0 y0 3× ＋4× －1＝0， 2 2 由 y0 ＝4， x0－2 3
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4 x0＝5， 解得 y0＝－8. 5 y＋ 2 由两点式，得直线l2的方程为 8 x－ 3 － ＋2 5 ＝ 4 ， －3 5 即为2x＋11y＋16＝0.
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【点评】 常见的直线的对称有以下几种 情况： 直线l：Ax＋By＋C＝0， 关于x轴的对称直线为Ax＋B(－y)＋C＝0； 关于y轴的对称直线为A(－x)＋By＋C＝0； 关于y＝x的对称直线为Bx＋Ay＋C＝0； 关于直线y＝－x的对称直线为A(－y)＋B (－x)＋C＝0.
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热点二 直线的位置关系
1．两直线的位置关系在高考题中出 现频繁，且多在填空题中进行考查．在 两条直线的位置关系中，讨论最多的还 是平行与垂直，它们是两条直线的特殊 位置关系．另外，解题时认真画出图形， 有助于快速准确地解决问题．
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2．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1， B1不全为0)． 直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不 全为0)， 则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2 C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)． l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0， l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－ A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)．
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热点四
直线与圆的位置关系
在解决直线与圆的位置关系的问题时，一 定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何 特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置 关系时，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心 到直线距离d<r，d＝r，d>r，分别确定相交、相 切、相离的位置关系． 涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与 切线垂直，计算弦长时，要用半径、弦心距、 半弦构成直角三角形．
y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线倾 斜角为90°.
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2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系 时，要根据正切函数k＝tanα的增区间 π [0， )，当α取值在此区间内由0增大到 2 (≠ π )时，k由0增大到＋∞；当α∈( π，π) 2 2 时，k也是关于α的单调递增函数，当α在此 π π 区间内由 (≠ )增大到π(≠π)时，k由－∞增 2 2 大到0(≠0)．当然，解决此类题时，也可利用 数形结合思想，借助图形，直观地作出判断
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【思路点拨】 结合圆的几何性质 或待定系数法解之．
【解】 (1) 显然，所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上， OP 的垂直平分线方 程为： x2＋y2＝ (x－1)2＋(y－1)2， 即 x＋y－1＝0. x＋y－1＝0 解方程组 ，得圆心 C 2x＋3y＋1＝0 的坐标为(4，－3)．
程为 y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. ∵A、B两点在直线的两侧或其中一点的 直线l上， ∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0， 1 即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5或k≤－ . 2 即直线l的斜率k的取值范围是 (－∞，－ 1 ]∪[5，＋∞)． 2
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【点评】 法一运用了数形结合思 想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及 由直角变到钝角时，需根据正切函数y＝t anα的单调性求k的范围，数形结合是解 析几何中的重要方法．解题时，借助图 形及图形性质直观判断，明确解题思路， 达到快捷解题的目的．法二则巧妙利用 了不等式所表示的平面区域的性质使问 题得以解决．
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例3
根据下列条件求圆的方程： (1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆 心在直线2x＋3y＋1＝0上； (2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两 点，且在y轴上截得的线段长为4 3，求圆 的方程； (3)已知圆的半径为 10 ，圆心在直线y ＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为 4 2.
热点三
圆的方程
如果已知条件中圆心的位置不能确定， 可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程 也含有三个独立的参数，因此，必须具备 三个独立的条件，才能确定圆的一般方程， 其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方 程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由三个条 件得到关于D、E、F的一个三元一次方程 组，解方程组，求出参数D、E、F的值即 可．
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【解】 法一：设点A(x，y)是直线l 2上任意一点，它关于l的对称点为A′(x0， y0 ) ，
y－ y0 ＝ 4 ， x－x0 3 则 x＋x0 y＋ y0 3× ＋4× －1＝0， 2 2 7x－24y＋6 ， x0＝ 25 解得 y ＝－24x－7y＋8. 25 0
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∵点A′(x0，y0)在直线l1：2x＋y－4 ＝0上，
7x－24y＋6 －24x－7y＋8 ∴2· ＋ －4 25 25
＝0. 化简，得2x＋11y＋16＝0.
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法二：特殊点法 2x＋y－4＝0， 由 可解得l1与l的交点 3x＋4y－1＝0， M(3，－2)．
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法二：根据图形的几何性质：半径、 弦长的一半、弦心距构成直角三角 形．由勾股定理，可得弦心距
4 22 d＝ r －( ) ＝ 10－8＝ 2. 2 ∵弦心距等于圆心(a，b)到直线 x－ y＝0 的距离， |a－b| |a－b| ∴d＝ ，∴ ＝ 2.⑧ 2 2
2
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又已知b＝2a，⑨ 解⑧⑨得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4， ∴可求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或 (x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
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(2)设AB的中点为M(x，y)，则a＝2x， b＝2y， 代入(1)的结论得(2x－2)(2y－2)＝2， 1 即(x－1)(y－1)＝ (x>1，y>1)． 2 1 (3)由(1)的结论及S△AOB＝ ab，有 2 1 S△AOB＝ · [－2＋2(a＋b)] 2 ＝－1＋a＋b＝(a－2)＋(b－2)＋3 ≥2 (a－2)(b－2)＋3＝2 2＋3， ∴S△AOB的最小值为2 2 ＋3.
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例4 已知圆C：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0， 与圆C相切的直线l交x轴、y轴的正方向 于A、B两点，O为原点，OA＝a，OB＝b (a>2，b>2)． (1)求证：圆C与直线l相切的条件是 (a－2)(b－2)＝2； (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)求△AOB面积的最小值．
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当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平 行的位置PC时，它的斜率变化范围是[5， ＋∞)； 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位 置时，它的斜率的变化范围是(－∞， － 1 ]． 2 ∴直线l的斜率的取值范围是(－∞， 1 － ]∪[5，＋∞)． 2