高中数学：1.5.2二项式系数的性质(一) 教案 (北师大选修2-3)
高中数学第一章计数原理5第二课时二项式系数的性质教学案北师大版选修2-3
第二课时二项式系数的性质[对应学生用书P17]二项式系数的性质n依次取1,2,3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：观察此表，思考下列问题．问题1：同一行中，系数有什么规律？提示：两端都是1，与两端1等距离的项的系数相等，r n C即＝n C.－r问题2：相邻两行，系数有什么规律？提示：在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即＝Cn Cr n＋1.r－1r n C＋“杨辉三角”及其规律(1)杨辉三角(2)“杨辉三角”蕴含的规律①在同一行中，每行两端都是1.②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两数的和．即二项式系数.r n C ＋r －1n C ＝r n ＋1C 满足组合数的性质 ＝r n C 的两个二项式系数相等，即二项式系数具有对称性．”等距离“与首末两端③.－r n C1．二项式系数性质类似于组合数的两个性质：；－r n C ＝r n (1)C .r n C ＋r －1n C ＝r n ＋1(2)C 的展开式中二项式系数先增加，后减少，各二项式系数和n)b ＋a (．从表中可以看出2.n2＝n C ＋…＋2n C ＋1n C ＋0n C ，而n2等于[对应学生用书P18]与“杨辉三角”有关的问题[例1] 如图所示，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n 项和为S n ，求S 19的值．[思路点拨] 观察数列各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项展开式系数，利用组合的性质求和．[精解详析] 由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S 19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C211) ＝2＋10×92＋C312＝54＋220＝274.[一点通] 解决与杨辉三角有关问题的一般思路：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察； (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．1．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．解析：观察规律可知：第n 行的首尾两个数均为2n －1. 答案：2n －12．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.行3；第2C ，12C ，02C 行中的数是2；第1C ，01C 行中的数是1解析：由杨辉三角知，第行中从左到n 设第.n C ，…，2n C ，1n C ，0n C 行中的数是n ；第…；3C ，23C ，13C ，03C 中的数是34.＝n ，解之得3∶2＝14n C ∶13n C ，则3∶2个数的比为15与第14右第 答案：34二项展开式中系数的和[例2] (10012 2 013(1)求a 0的值；(2)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013的值； (3)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 20 13的值．[思路点拨] 可在已知的等式中分别取x ＝0,1，－1，得各系数和、差的关系，进而求解．[精解详析] (1)在等式(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x2 013中，令x ＝0，得1＝a 0.∴a 0＝1.(3分)(2)在等式中，令x ＝1，得－1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 013，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 013＝－2.(6分)(3)令x ＝－1，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧32 013＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 012－a2 013，－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＋a2 013， 相减，得－1－32 013＝2(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)．(8分)∴a 1＋a 3＋…＋a 2 013＝－12(1＋22 013)．(10分)[一点通] (1)赋值法是求二项展开式系数和问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数的和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．3．(1－2x )15的展开式中的各项系数和是( ) A ．1 B ．－1 C ．215D ．315解析：令x ＝1时(－1)15＝－1. 答案：B4．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7|. 解：(1)令x ＝0，则a 0＝－1.令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 7＝27＝128，① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129.(2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋…＋a 6－a 7＝(－4)7，② 由①－②得，2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7， ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8256. (3)∵T r ＋1＝Cr 7(3x )7－r(－1)r，∴a 2k －1>0(k ∈N ＋)，a 2k <0(k ∈N ＋)． ∴|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 7| ＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－…－a 6＋a 7 ＝47＝16 384.解决与杨辉三角有关的问题的注意事项：(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．的应用．m －1n C ＋m n C ＝m n ＋1C ，－m n C ＝m n C 注意二项式系数性质(2)[对应课时跟踪训练八]1．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( ) A ．－2 048 B ．－1 023 C ．－1 024D ．1 024解析：令f (x )＝(x －1)11，偶次项系数之和是f1＋f －12＝－2112＝－1 024.答案：C2．若C1n x ＋C2n x 2＋…＋Cn n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5解析：由C1n x ＋C2n x 2＋…＋Cn n x n＝(1＋x )n－1分别将选项A ，B ，C ，D 代入检验知，仅有x ＝5，n ＝4适合．答案：C3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：由2n＝64，得n ＝6，∴T k ＋1＝Ck 6x 6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝Ck 6x6－2k(0≤k ≤6，k ∈N )．由6－2k ＝0，得k ＝3.∴T 4＝C36＝20. 答案：B4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x 4的展开式中各项系数之和是16.则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．－1或3解析：由题意可得(a －1)4＝16，a －1＝±2，解得a ＝－1或a ＝3.答案：D5．若(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．解析：令x ＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.答案：－26．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)·(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4＝(2－3)4，于是(2＋3)4·(2－3)4＝1.答案：17．已知(1＋3x )n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知Cn n ＋Cn －1n ＋Cn －2n ＝121， 即C0n ＋C1n ＋C2n ＝121， ∴1＋n ＋n n －12＝121，即n 2＋n －240＝0， 解得n ＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x )15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项． 且T 8＝C715(3x )7＝C71537x 7，T 9＝C815(3x )8＝C81538x 8.8．对二项式(1－x )10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和．(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和． 解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T 6＝C510(－x )5＝－252x 5.(2)C010＋C110＋C210＋…＋C1010 ＝210＝1 024.(3)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0.令x＝0，得a0＝1.∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.。
【北师大版】数学选修2-3教案：第一章 第十三课时 二项式系数的性质(一)
一、教学目标：1、知识与技能：掌握二项式系数的四个性质.2、过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力.3、情感、态度与价值观：要启发学生认真分析课本图提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明.二、教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 三、教学方法：探析归纳，讨论交流 四、教学过程 （一）、复习引入： 1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++.2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 （二）、探解新课1、二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 2、二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n nC C -=）．直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+==⋅， ∴knC 相对于1k n C-的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC-，12n nC+取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n nC C C C C =++++++（三）、探析范例例1、在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nn n n n nC C C C C -=-+-++-， 即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213n n n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2、已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例4、在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数 解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，∴此展开式中x 的系数为240 例5、已知n2)x2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180（四）课堂小结：本课学习了二项式系数的性质，二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个揭破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.（五）、课堂练习：课本第27页练习（六）、课后作业：课本第28页习题1-5中B 组1、2；练习册P30页4、5、8。
二项式系数的性质(说课课件)定稿剖析
根据分类计数原理得：
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
C0n C1n Cn2
Cnn 2n
教 学 过 程
【问题拓展】 你能求二项式展开式中所有奇数项的二项式 系数的和与偶数项的二项式系数的和吗？
在展开式
(a b)n C0nan C1nan1b C2nan2b2 Cnnbn
教 学
重点： 杨辉三角中数字规律的探究。
重
点 与 难点： 二项式系数的性质归纳及简单证明，
赋值法的应用。
难
点 难点突破： 组合数的性质和二项式定理的应用。
导教 法 选 择 与 学 法 指
教法:
为了实现本节课的教学目标，在教法上采用“观察、 猜想、归纳、论述、证明、合作交流”的方法。让学 生通过对低阶杨辉三角的观察,猜想并归纳出二项式系 数的性质。
通过课外学习，了解“杨辉三角”， 弘扬我国古代 数学文化；探究与发现杨辉三角中数字规律。
感知规律 领悟性质
【问题提出】 怎样理解 (a b)n展开式的二项式系数
具有递推性和对称性呢？
教
老教材：从整体到局部
学
新教材： 从局部到整体
过 【反思教材】 培养学生观察和归纳能力，减轻论证的难
程
度，降低学习的门槛，提高学习的兴趣， 让学生学的简单、自然、快乐。
这样的设计遵循认知的渐进性原则，让学生更好的理解赋值法
交流合作 贯彻模式
教 学 过 程
理解结论 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
可以看作是 n元集 个数；分成n+1类。 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
a1, a2 , , an 的所有元素子集
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
中，令 a 1,b 1
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-3 5.2二项式系数的性质》2
教学重点
二项式系数的性质的得出与证明，赋值法的引入及灵活运用。
教学难点
从杨辉三角中观察出组合数的相关性质并进行验证。
课时安排
1课时
教学过程的设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
（一）复习回顾
引入新课
（二）讲解新课
1．“杨辉三角”的来历
在二项式定理之后学习“杨辉三角”与二项式系数的性质，是由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。同时，又对后面学习随机变量及其分布作准备。
教学目标
（1）通过对杨辉三角及相关背景的介绍，让学生感受我国古代数学上的成就，提高学生学习数学的兴趣；
（2）通过对杨辉三角有关规律的研究，深化学生对二项式系数性质的理解，培养学生观察、发现、归纳、探索的能力；
2．运用杨辉三角探究二项式系数的性质
（三）课堂小结
（四）课后拓展
1什么是二项式定理？写出二项展开式通项的表达式。
2什么是二项式系数？
介绍杨辉及的规律？你能用组合数的性质去解释它们吗？
杨辉三角中常见的几个性质：
1.杨辉恒等式
2.对称性
3.增减性与最大值
4.组合加法的推广
复习巩固，给出杨辉三角，引入新课。
进行数学史及数学文化的教育，引发学生学习的兴趣。
通过探究，引导学生自己发现规律，并想办法去解释或证明。培养学生的探究能力和思维能力。如两个性质可以由学生自己回答并解释。5可以考虑老师讲解，并以此为背景介绍赋值法。
回顾小结本节知识点和数学思想方法，
让有兴趣的学生充分运用网络平台拓展知识面，培养学生学习的兴趣。
北师大版选修2《二项式系数的性质》教案及教学反思
北师大版选修2《二项式系数的性质》教案及教学反思一、教学目标1. 知识目标：了解二项式系数的定义，掌握二项式系数的计算公式，掌握二项式系数的基本性质。
2. 能力目标：培养学生的逻辑思维和运算能力。
3. 情感目标：培养学生对于数学思想的兴趣和热爱，增强学生数学信心。
二、教学重难点重点：1.二项式系数的定义 2.二项式系数的计算公式 3. 二项式定理的证明难点： 1. 二项式系数的递推公式的推导2.证明二项式定理的几种方法 三、教学内容1. 二项式系数的定义定义：对于非负整数 n 和 k ，二项式系数 C n k 表示从 n 个不同元素中取 k 个元素的组合数。
它的值可以用下式来计算： $C_n^k=\\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$2. 二项式系数的计算公式公式1：C n k =C n−1k−1+C n−1k公式2：Ck=C n n−kn公式3：$\\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$3. 二项式系数的基本性质性质1：二项式系数Ck是整数。
n性质2：Ck=C n n−kn性质3：C0=C n n=1n性质4：$\\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$四、教学方法本课采用讲授、演示、练习三种教学方法相结合。
主要通过讲解理论知识、演示例题以及组织思考和解决实际问题的案例来提升学生的数学运算和逻辑思维能力。
五、教学步骤步骤1：引入引入二项式系数的定义和意义，解释二项式系数在实际应用中的意义，并且给出几个简单的例子。
步骤2：讲解和演示讲解二项式系数的计算公式和基本性质，并演示三个公式的证明。
步骤3：例题演练给出一些例题进行练习，帮助学生掌握二项式系数的计算方法和性质。
步骤4：小组讨论分小组进行讨论，在讨论的过程中，加强学生的交流和思考能力，让他们理解和掌握二项式系数的相关性质。
步骤5：课堂互动通过问答环节，检查学生对二项式系数概念、性质的掌握情况，加深学生对知识点的理解。
六、教学反思本课教学反思如下：1.整个课程安排合理，授课内容层次清晰，有助于学生轻松理解和掌握二项式系数的性质和计算方法。
北师版数学高二-选修2-3教学设计二项式系数的性质
二项式系数的性质教学目标知识与技能1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．过程与方法1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．情感、态度与价值观1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．教学难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程引入新课前面我们学习了二项式定理，请回顾：(1)(a＋b)n＝__________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的__________________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做____________，通项是指展开式的第________________项，展开式共有______________项．(2)什么是二项式系数？什么是系数？活动设计：学生先独立回忆，然后独立发言，其他同学进行补充，必要时可以看书．活动结果：(答案展示)(1)(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)、展开式、二项式系数、r＋1、n＋1.(2)二项式系数是C r n，系数是变量前的常数．设计意图：通过复习二项式定理的有关知识，为发现杨辉三角的有关性质打下基础，形成知识储备，引出本节课要研究的内容．提出问题：计算(a＋b)n展开式的二项式系数并填入下表活动设计：通过学案或者投影展示表格，学生填空，学生之间可以交流，教师指导．活动成果：设计意图：当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．通过计算填表，让学生发现其中的规律．探究新知提出问题：当表示形式为“三角形”时，该表格有什么规律？活动设计：学生自主解决，自由发言，自主探究．活动成果：(这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就出现了，称为杨辉三角．但是在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表称为帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的)设计意图：为了使学生建立“杨辉三角”与二项式系数的性质之间关系的直觉，要求学生填表，观察表格，探索规律，体会“表示形式的变化有时能帮助我们发现规律”这句话的深刻哲理与方法，由学生自己说说其中的规律．理解新知提出问题1：观察杨辉三角的每一行，正数第1个数与倒数第1个数，正数第2个数与倒数第2个数，正数第3个数与倒数第3个数，…它们有什么样的等量关系？你能把你的想法概括成一句话吗？活动设计：通过展示表格与杨辉三角，让学生自己观察，发现结论，踊跃发言，勇于探索．活动成果：正数第1个数与倒数第1个数相等，正数第2个数与倒数第2个数相等，正数第3个数与倒数第3个数相等，…(板书)二项式系数的性质.(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等，即C m n＝C n－mn 设计意图：引导学生猜想，猜想是发现的开始．通过杨辉三角得到“对称性”，进一步加深学生对二项式系数性质的掌握，这条性质实际上是组合数的一个性质．提出问题2：观察杨辉三角的相邻两行，看看下一行中除了“1”之外的数与上一行中的数有什么关系？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：表中任一不为1的数都等于它肩上的两个数的和，即(板书)(2)C r n＋1＝C r－1n＋C r n.设计意图：通过新发现(杨辉三角)，重新验证旧知识，能够提升学生对此公式的理解与掌握，加深学生对二项式系数性质的理解，能够在最大程度上提升学生的认知水平，这条性质实际上是组合数的另外一个性质．提出问题3：观察每一行中的二项式系数的大小变化情况，有单调性吗？有最值吗？活动设计：学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，让他们积极参与．教师始终是引导者，学生始终是课堂的主体．引导学生从多个方面分析二项式系数的大小关系，如利用特殊值法观察归纳、利用函数图象画图观察等等．先由学生独立完成，然后组织全班讨论，学生之间可以相互求助．活动成果：因为C k n ＝n(n －1)(n －2)…(n －k ＋1)(k －1)！k＝C k －1nn －k ＋1k， 所以C k n 相对于C k －1n 的增减情况由n －k ＋1k 决定．由 n －k ＋1k >1 k<n ＋12可知，当k<n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n ，即C n －12n ，C n ＋12n最大．(板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大．设计意图：由于二项式系数组成的数列是一个离散函数，所以我们应该引导学生从函数的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质．这样处理便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，体会由特殊到一般的化归思想．难点是需要根据n 的奇偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是k ＝n2，从而学生可以比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到．提出问题4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式．活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已．活动成果：已知(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n，令x ＝1，则2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n .即二项式系数之和等于2n.我们把这样的方法称为赋值法，赋值法是一类解决二项式系数的性质的优越办法．(板书)(4)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n.设计意图：本环节的设置与本节的大环境一致，都是通过特殊的例子发现最一般的结论，提高学生的认知能力、观察能力及化归能力，加深对二项式系数性质的掌握与应用．实际上这条性质，我们在组合数或者集合的子集中遇到过，教师也可以从这方面入手进行引导，能够进一步加深学生对这一部分知识的理解与掌握，让学生体会到数学知识的前后联系，能够最大限度地达到教学目标．运用新知例1下面的二项展开式中，哪些项的二项式系数最大？是多少？填在相应的横线上．(1)(a＋b)20第________________项的二项式系数最大，是______________________；(2)(a＋b)19第________________项的二项式系数最大，是______________________．思路分析：根据二项式系数的性质(3)即可解决，但要分清n的奇偶性．解：(1)若n＝20，则当r＝10时，二项式系数最大，所以第11项的二项式系数最大，是C1020.(2)若n＝19，则当r＝9或10时，二项式系数最大，所以第10或11项的二项式系数最大，是C919＝C1019.点评：通过n的奇偶性的不同，考查了二项式系数的性质(3)，但是要注意这是二项式系数的最大值，不一定就是系数的最大值．【巩固练习】(1＋2x)n的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．【解析】由题意C4n＝C7n，所以n＝4＋7＝11，从而展开式中二项式系数最大的项是中间两项，即第6项与第7项．例2证明：在(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．思路分析：奇数项的二项式系数的和为C0n＋C2n＋C4n＋…，偶数项的二项式系数的和为C1n＋C3n＋C5n＋…，由于(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N)中的a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和．这一点可以从性质(4)的推导来获得．证明：在展开式(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n(n ∈N )中，令a ＝1，b ＝－1，则得(1－1)n ＝C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ，即0＝(C 0n ＋C 2n ＋…)－(C 1n ＋C 3n ＋…)，所以C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…，即在(a ＋b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．点评：赋值法是解决二项式定理与二项式系数的一种很重要的方法，凡是与二项式系数和或者系数和有关的问题，都有可能通过赋值法获得解决．实际上我们还可以利用函数思想解决这个问题，即令f(x)＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋C n n x n，由f(－1)＝0，即可很容易地得到要证明的结果． 【巩固练习】C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝__________ 【解析】因为C 07＋C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝27＝128，所以 C 17＋C 27＋C 37＋…＋C 77＝128－1＝127. 【变练演编】1．当C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2 048时，n ＝________. 2．当C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2 048时，n ＝________.3．当C x n ＝C y n 时，其中n≥x ，n≥y ，x ，y ，n ∈N *，则x ，y 所满足的关系式是__________． 4．当(1＋2x)n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大时，n ＝________________. 请将你所能想到的所有答案都一一列举出来． 1．【解析】由2n ＝2 048＝211，得n ＝11. 2．【解析】由2n －1＝2 048＝211，得n ＝12. 3．【解析】由题意x ＝y 或x ＋y ＝n.4．【解析】由性质(3)知，n 2＋1＝7，所以n ＝12.设计意图：本环节的设计源于一种非常好的教学方法：变练演编．这种开放性的设计，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维．一堂好的数学课必须让学生创新，使得学生有所收获．通过这种方式的训练，让学生去创造题目，解决问题，增加了中学生学习数学的兴趣，进一步掌握了“杨辉三角”的有关性质，能力得到了提高．【达标检测】1．展开式1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝________.2．(x y －12y x)13展开式的中间项是__________．3．已知(x 3＋1x2)n 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求展开式中不含x 的项．1．【解析】在(1＋x)10＝r ＝010C r 10x r 中， 令x ＝2，得1＋2C 110＋4C 210＋…＋210C 1010＝(1＋2)10＝310＝59 049.2．【解析】中间项是第7、8项，即42916x 10y 192、－42932y 10x 192.3．【解析】由题意n ＝10，展开式的通项为C r 10x30－5r，所以当r ＝6时，不含x 的项是210.课堂小结活动设计：给学生2分钟的时间，让学生总结出本节课所学的主要知识、方法与技能，教师尽量不要代劳，能让学生说的教师绝不可以“越俎代庖”．活动成果：(板书)1．知识收获：杨辉三角的发现，二项式系数的四个主要性质．2．方法收获：如何求二项式系数的最大值以及理解赋值法的实质及其应用． 3．思维收获：增强爱国主义情感，使学生对我们国家古代的伟大数学成就有所了解，进一步增强其民族自豪感；通过杨辉三角的发现，体会推理—猜想的重要性，体会函数思想、化归思想．设计意图：学生能自己表达的就让他自己表达，学生能自己解决的就让他自己解决，学生能自己总结的就让他自己总结，通过让学生自己总结本节课的学习内容与方法，不但可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！这样不但能充分体现新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁”精神，真正体现了学生的主体地位．补充练习【基础练习】1．C 110＋C 310＋C 510＋C 710＋C 910＝______________.2．C 111＋C 211＋C 311＋C 411＋C 511＝________________________.3．若(a ＋b)n 的展开式中，各项的二项式系数和为8 192，则n 的值为( ) A ．16 B ．15 C ．14 D ．134．一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( )A ．20B ．219C ．220D ．220－1 【答案或解答】 1．5122．利用对称性，原式为2112－1＝1 0233．D 4.D 【拓展练习】5．若(31x ＋51x 2)n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，求它的中间项．6．已知(2x ＋x lgx )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1 120，求x 的值． 答案：5.【解析】系数之和即为二项式系数之和，由2n －1＝1 024，得n ＝11，所以展开式的中间项为第6、7项，分别为462x －4、462x －6115.6．【解析】依题意T 5＝C 48(2x)4(x lgx )4＝1 120， 整理得x 4(1＋lgx)＝1，两边取对数，得lg 2x ＋lgx ＝0，解得lgx ＝0或lgx ＝－1. ∴x ＝1或x ＝110.备课资料 伟大的数学家——杨辉杨辉(约1238年～约1298年)，字谦光，钱塘(今浙江杭州)人，是中国南宋时的数学家．杨辉生于宋理宗嘉熙二年(1238年)，卒于元成宗大德二年(1298年)，是中国南宋末年的数学家、数学教育家，大约在13世纪中叶活动于苏杭一带．杨辉的数学著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年)．在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法．杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了构成规律的数学家．除此成就之外，他还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”．大家认识杨辉的名字，基本上都是从“杨辉三角形”上来的．其实，所谓的“杨辉三角形”，并不是杨辉首创，而是北宋的贾宪在他的著作《黄帝九章算经细草》中提出的．此书成于公元1050年左右，其中的“开方做法本源图”就是杨辉三角形的原型，所以也被称为“贾宪三角形”．这个三角形的每一行，对应的是二项式(a＋b)n展开式的系数．杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面．杨辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，有的还编成了歌诀，如“九归”口诀．杨辉创“纵横图”之名，在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法．垛积术，是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究．杨辉的“纂类”中，是将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类．杨辉是一位杰出的数学教育家，重视数学的普及，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的一项重要文献．另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格．这些资料亦对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助．在《乘除通变算宝》中，杨辉创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘除的各种速算法等等．在《续古摘奇算法》中，杨辉列出了各式各样的纵横图(幻方)，它是宋代研究幻方和幻圆的最重要的著述．杨辉对中国古代的幻方，不仅有深刻的研究，而且还创造了一个名为攒九图的四阶同心幻圆和多个连环幻圆．杨辉在数学上的另一个重要的贡献是提出了幻方的构造方法．所谓的幻方，就是指在N×N的格子中填入1到N平方的自然数，使每一行每一列的和都相等．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫图或者洛书，写成数字的形式，就是：四九二三五七八一六还有一个口诀：“二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央．”传说是黄帝时代，洛水中浮起一只大龟，背上刻着这样的图案．洛书配上八卦，用在风水学上，被称为洛书轨迹，用在奇门遁甲中，则形成了“休死伤杜开惊生景”八门．诸葛亮最擅长的八阵图就是源于此．杨辉收集整理了很多不同阶的幻方，称其为“纵横图”，并写到了自己的著作《续古摘奇算法》一书中，可以说是世界上第一个给出如此多的幻方并讨论了它们的组成规律的数学家．幻方的构造可以按照一个固定的规律，按奇数阶和偶数阶的不同，构造的方法也不一样．奇数阶的构造很容易．首先从最后一行的中间开始填起，从一开始递增，向斜下方延伸．如果超出了边界，就从相对边的位置继续．如果遇上已经填过的格子，就从填过的格子上方的格子继续．大家可以对照三阶幻方来看出这个规律．对于偶数阶幻方，如果是四的倍数，很容易，只要首先把从1到N平方的数字先按照行的方向填好，变成下面的样子：12345 6 7 89 10 11 1213 14 15 16然后除了对角线上面的数字不动以外，其他的数字跟中心对称位置的数字对调：1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16这样就构造好了．对于阶数是4m＋2的幻方，构造的方法比较复杂．不过步骤是先构造好中心的幻方，然后在周围加上一圈数字就可以了．由于杨辉在数学上的杰出成就，他和秦九韶，李冶，朱世杰一起被后人并称为“宋元数学四大家”．。
北师大高中数学二项式系数的性质教学设计
《二项式系数的性质》教学设计北师大版选修2-3第一章第5节第2课时一、教学内容解析1．《二项式系数的性质》是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。
以前面学习的二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力； 通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。
这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。
2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。
3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。
对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。
4．从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。
故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。
另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。
二、教学目标设置教学目标：1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法；2．通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情. 同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。
《1.5.2 二项式系数的性质》 课件 1-优质公开课-北师大选修2-3精品
【例1】试展开 ( x 1 )4．
2x
【审题指导】展开一个二项式即直接应用二项式定理，但
应注意本题 x 为a，而b是 1 ．
2x
【规范解答】方法一：
(
x
1 2x
)
4
C04 (
x )4 C14 (
x )3
1 2x
C24 (
x)2 ( 1 )2 2x
［x 1 1］n xn.
二项式系数与某项的系数问题 二项式系数与某项的系数的区别及求法
(1)二项展开式中某项的二项式系数和该项的系数是两个不 同的概念，前者是指组合数 Crn，实际上是同类项的个数， 而后者是指该项字母的系数，其值可正、可负． (2)求某项的二项式系数、系数或含xr的系数，通常是先利 用通项公式求出相应的项，再根据题目条件确定．
【规范解答】(1)二项展开式的通项为：
Crn (3
x )nr
( 3 )r 3x
n 2r
3 r Crnx 3 ，
∵第６项为常数项，∴当r=5时，
n 2r 0，得n 10． 3
(2)根据通项公式，由题意得
n 0
2r Z 3 r 10
,
r Z
《1.5.2 二项式系数的性质》 课件 1
二项式定理的简单应用 二项式定理直接应用的策略
二项式定理的简单应用首先体现为正用二项式定理展开二 项式或逆用二项式定理化简展开式，熟记二项式(a+b)n的 展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂 的二项式，有时可先化简再展开，往往更简捷．
C34
x
(
2
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“教材分析与导入设计”
本节教材分析
课本通过杨辉三角这个历史素材，引入了二项式系数的讲解．课本分别对杨辉三角中的二项式系数进行观察、归纳发现结论的。
第一条性质是递推性，它表明杨辉三角中任何一个不为1的二项式系数都是它“肩上”的两个二项式系数的和；第二条性质是对称性，它表明杨辉三角中与首末“等距离”的两个二项式系数相等.其次在性质的推导基础上进行了简单应用.
三维目标：
知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项式系数性质
过程与方法：能解决与二项系数有关的简单问题
情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及系数性质的掌握及运用
教学难点：二项式定理及系数性质的掌握及运用
教学建议：
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．
新课导入设计
导入一：（复习引入）
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ，
（2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L .
2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
导入二：情境导入
通过课本上的阅读材料，了解杨辉，继而画出杨辉三角
让学生观察这个图形，并结合上节内容研究观察二项式系数
性质.。