5.2二项式系数的性质
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二项式系数的性质课件
[解] 由题设 m＋n＝19，
∵m，n∈N＋，
∴mn＝＝118，，
m＝2， n＝17，
…
m＝18， n＝1.
x2 的系数为 C2m＋C2n＝12(m2－m)＋12(n2－n)＝m2－19m＋171．
1234 5
∴当 m＝9 或 10 时，x2 的系数取最小值 81，此时 x7 的系数为 C79 ＋C710＝156．
B．82 020－1
C．22 020
D．82 020
B [由已知，令 x＝0，得 a0＝1，令 x＝3，得 a0＋a1·3＋a2·32＋…
＋a2 020·32 020＝(1－9)2 020＝82 020，所以 a1·3＋a2·32＋…＋a2 020·32 020＝ 82 020－a0＝82 020－1，故选 B．]
1234
3．若二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为－1，则含 x2 的项的系数为________．
1234
560 [取 x＝1，得二项式x2＋ax7的展开式中的各项系数之和为(1 ＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得 a＝－2．二项式x2＋ax7的展开式的通项 为 Tr＋1＝C7r·(x2)7－r·－2xr＝C7r·(－2)r·x14－3r．令 14－3r＝2，得 r＝4．因 此，二项式x2－2x7的展开式中含 x2 项的系数为 C47·(－2)4＝560．]
1234 5
3．设复数 x＝1－2i i(i 是虚数单位)，则 C21 019x＋C22 019x2＋C32 019x3＋…
＋C22 001199x2 019 等于(
)
A．i
B．－i
C．－1＋i
D．－1－i
D [x＝1－2i i＝
1＋
二项式系数的性质
的定义和性质进行证明
利用递推关系进行简化
• 例如，证明二项式定理时，
可以利用递推关系进行证明
05
二项式系数在概率论与数理统计中的应用
二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) *
p^k * (1-p)^(n-k)
二项分布的概率质量函数与二项式系数
密切相关
• 其中X表示二项分布的随机变量，n
• 其中P(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的排列数
二项式系数的计算公式
• 二项式系数的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 当k为0或n时，C(n, k)有简化公式
• C(n, 0) = 1
• C(n, n) = 1
• 当n和k较大时，可以使用递推公式计算二项式系数
性质进行证明
性进行简化
• 例如，计算二项分布的概率时，可以
利用奇偶性进行简化
二项式系数的递推关系
二项式系数具
有递推关系，
即C(n, k) =
C(n-1, k-1) +
C(n-1, k)
二项式系数的
递推关系在组
合数学和概率
论中有广泛应
用
01
02
• 证明方法：根据二项式系数
• 例如，计算组合数时，可以
• 可以使用二项式系数计算二项分布的
表示试验次数，p表示成功概率，k表示
概率质量函数
成功次数
• 可以使用二项分布的概率质量函数计
算二项分布的期望和方差
二项分布的期望与方差
二项分布的期望为E(X) = np
• 其中n表示试验次数，p表示成功概率
二项分布的方差为Var(X) = np(1-p)
二项式系数的性质课件
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用 。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些组合数学问题，如排 列、组合、概率等。在物理中，二项式定理可用于描述量子 力学和统计力学的某些现象。在工程中，二项式定理可用于 解决一些近似计算问题。
二项式定理的发展历程
总结词
二项式定理的发展经历了漫长的历史过程。
数学教育的普及
随着数学教育的普及，二项式系数等基础数学知 识将更加受到重视，需要进一步研究和推广。
THANKS
感谢观看
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
05
二项式系数在实际问题中的应用
在统计学中的应用
概率计算
二项式系数在概率计算中有着广 泛的应用，例如在二项分布的概 率计算中，二项式系数用于计算
成功的次数。
置信区间
在置信区间估计中，二项式系数用 于计算样本比例的置信区间，帮助 我们了解样本比例的可靠程度。
ERA
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的重要定理之一 ，它描述了二项式展开后的各项系数 规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数的 和或差，即 (a+b) 或 (a-b)，它们的 展开式中的每一项都可以表示为组合 数 C(n, k) 与 a 和 b 的幂次方的乘积 。
二项式定理的应用场景
要点二
详细描述
对称性是指C(n, k) = C(n, n-k)，即从n个元素中选取k个 元素和从n个元素中选取n-k个元素的结果相同。递推性是 指C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k)，即从n+1个元素中选 取k个元素等于从n个元素中选取k-1个元素和从n个元素中 选取k个元素的和。组合恒等式是指C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即从n个元素中选取k个元素等于从n-1个元 素中选取k-1个元素和从n-1个元素中选取k个元素的和。
二项式定理及其系数的性质
03
这些性质在解决某些数学问题 时非常有用，如求和、求积等 。
03 系数性质分析
组合数性质回顾
组合数定义
$C_n^k = frac{n!}{k!(n-k)!}$，表示从 $n$个不同元素中选取$k$个元素的组合数。
VS
组合数性质
$C_n^k = C_n^{n-k}$（互补性）， $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$（帕斯卡三角形）， $C_n^0 + C_n^1 + ldots + C_n^n = 2^n$（二项式定理特例）。
根据二项式定理的通项公式，可以直接计算出展开式中 任意一项的系数。具体方法为：确定该项在展开式中的 位置（即序号$k$），然后代入通项公式计算即可。
若需要求多项式的某一项系数，可以先将多项式按照 二项式定理展开，然后找到对应位置的项并计算其系 数。
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常见问题一
根据二项式定理的通项公式，若某项 的系数为0，则该项不存在于展开式 中。因此，可以通过判断通项公式中 组合数或二项式系数的值是否为0来 确定某项是否存在。
VS
当$n<k$时，组合数$C_n^k=0$， 因此对应的二项式系数也为0。此时， 展开式中不存在该项。
常见问题二：如何求展开式中特定项系数？
在二项式定理的通项公式$T_{k+1}=C_n^k cdot a^{n-k} cdot b^k$中，混淆$n$、$k$、$a$、$b$的含义和取值范围。其 中，$n$表示二项式的次数，$k$表示项的序号（从0开始计数），$a$和$b$分别表示二项式中的两个实数。
错误地认为通项公式中的组合数$C_n^k$与二项式系数完全相同，实际上二者在数值上相等，但意义不同。组合数表示从 $n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数，而二项式系数表示$(a+b)^n$展开后各项的系数。
二项式系数性质
证明：在
0 n 1 n 1 1 ( a b )n C n a Cn a b r n r r Cn a b n n Cn b
中，分别赋值a b 1和a 1, b 1可以得到
0 1 2 3 2n C n Cn Cn Cn 0 1 2 3 0 Cn Cn Cn Cn r Cn n 1 n Cn Cn n ( 1)n C n
称为二项式系数表（或杨辉三角） 观察上表，看看有没有规律？
七 宝 中 学 0 9 高 三 数 学 讲 义 系 列
二项式系数的性质
的两项的二项式系数相等
对称性性质1.( a b )n的二项展开式中，与首末两端“等距离”
和性质 性质2.( a b )n的二项展开式中，所有二项式系数的和
等于2n 推论:( a b )n的二项展开式中，奇数项与偶数项的二 项式系数的和相等，且等于2n1
(1) (2)
r ( 1)r C n
0 2 4 由[(1) (2)] 2得C n Cn Cn 1 3 5 由[(1) (2)] 2得C n Cn Cn
2 n 1 2 n 1
三 数 学 讲 义 系 列
性质得证！
七 宝 中 学 0 9 高
二项式系数的性质
最大 r
0 1 ( 1 )当n为奇数时，C n Cn
Cn 2 Cn 2 C
n 1 2 n n 2 n
n Cn
0 1 ( 2 )当n为偶数时，C n Cn
C C
n 1 2 n
n Cn
命题得证！
七 宝 中 学 0 9 高 三 数 学 讲 义 系 列
二项式系数的性质
0 n 1 n 1 1 ( a b )n C n a Cn a b r n r r Cn a b n n Cn b
中，分别赋值a b 1和a 1, b 1可以得到
0 1 2 3 2n C n Cn Cn Cn 0 1 2 3 0 Cn Cn Cn Cn r Cn n 1 n Cn Cn n ( 1)n C n
称为二项式系数表（或杨辉三角） 观察上表，看看有没有规律？
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二项式系数的性质
的两项的二项式系数相等
对称性性质1.( a b )n的二项展开式中，与首末两端“等距离”
和性质 性质2.( a b )n的二项展开式中，所有二项式系数的和
等于2n 推论:( a b )n的二项展开式中，奇数项与偶数项的二 项式系数的和相等，且等于2n1
(1) (2)
r ( 1)r C n
0 2 4 由[(1) (2)] 2得C n Cn Cn 1 3 5 由[(1) (2)] 2得C n Cn Cn
2 n 1 2 n 1
三 数 学 讲 义 系 列
性质得证！
七 宝 中 学 0 9 高
二项式系数的性质
最大 r
0 1 ( 1 )当n为奇数时，C n Cn
Cn 2 Cn 2 C
n 1 2 n n 2 n
n Cn
0 1 ( 2 )当n为偶数时，C n Cn
C C
n 1 2 n
n Cn
命题得证！
七 宝 中 学 0 9 高 三 数 学 讲 义 系 列
二项式系数的性质
二项式系数的性质
性质1 性质1：对称性
C
m n
= C
n−m n
与首末两端“等距离” 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2 增减性与最大值 性质2：增减性与最大值
先增后减
是偶数时， 当n是偶数时，中间的一项 C 是偶数时 取得最大值 ； 是奇数时， 当n是奇数时，中间的两项 C 是奇数时 和
n +1 2 n
写出下列各二 项 式 系 数？ (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
C0 = 1 n
0 C1C 1 1
C
0 4
0 2
1 2
C
2 2
1 C 30 C 3
C 32 C 33
C 43 C 44
C
1 C 4 C 42
C C
C
0 6
0 5
1 5
C
C
2 5
C
C
3 6
二项式系数的性质
二项式定理： 二项式定理：
0 r n (a + b)n = Cnan + C1an−1b + ⋅ ⋅ ⋅ + Cnan−rbr + ⋅ ⋅ ⋅Cnbn n ∗ r n−r r (n∈N ) T =C a b
r +1 n
1.项数规律： 项数规律： 项数规律 展开式共有n+1个项 个项 展开式共有 2.系数规律： 2.系数规律： 系数规律
3 5
C
C
4 6
4 5
C
5 6
5 5
C
1 6
2 6
C
C
6 6
5.4.2 二项式系数的性质 教学课件(38张PPT) 高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
（与 a,b 的值无关，只与 n 的值有关）
C
n n
，这表明在二项
C
n n
2n
②在二项式定理中，令 a=1，b=-1，则有
1 1 n 0n C0n C1n
1 k Cnk
1 n Cnn ，这表明在二项展开式中奇
数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于 2n 1 ．即
C0n C2n C4n
（2）将三项式视为二项式，利用二项式定理逐次展开，不同的分组方式展开过
程中的运算繁简也不相同，要注意结合三项式中各项的特征合理分组，以简化运
算．如求 x
1
n
2 的展开式，可视为 x
1
x
x
x2
2x
n
1
x
x 1 2n xn 等．
n
2 ，或 x 2
1 n ，或变形 x
特别地，若三项式可因式分解为两个二项式的乘积，则可分 别利用二项式定理展开，再利用多项式的乘法法则展开．
等．
（2）在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它"肩上"两个数的和（由组
合数的性质:
C
k n
1
Ckn 1
Ckn 即得）；当二项式的次数不大时，可借助杨辉三角直
接写出各项的二项式系数.
二项式系数的性质
(1）各二项式系数的和
①在二项式定理中，令 a=b=1，则有 2n
C0n
C1n
C
2 n
展开式中各项的二项式系数之和为 2"．即 C0n C1n C2n
，
又当
r
12
时，
C12 24
取最大值，
则系数最大的项是第
高二数学二项式系数的性质
- L +（-
1）nC
n n
= 2 0 Cn0
+
= (Cn0 + Cn2 + … =
Cn2 Cn1
+ +
… ) - (Cn1
C
3 n
+
…
+ nC-n3;x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
二项式系数的性质
第1行———
C
0 1
C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
对称
11 121 1 33 1
第4行—
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 46 41
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C C 当n是奇数时，中间的两项
n-1
n+1
2， 2 相等，且同时取得
最大值。
n
n
二项式系数的性质
性质3：各二项式系数的和
（1 + x）n =
C
0 n
+
C
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在二项式定理中，令a b 1，则：
2n
C
0 n
C1n
Cn2
C
n n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
对恒等式的字母进行赋值，可得一些重要性质 ——赋值法(是数学中一种常用方法). C0n C1n Cn2 Cnn 2n
拓展：在(a b)n 展开式中，奇数项的二项式系
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
(a+b)5 1 5 10 10 5 1 C50C51C52C53C54C55
(a+b)6 ……
1 6 15 20 15 6 ……………………
1
C60C61C62C63C64C65C66
………………
(a+b)n
r n1Cnn
69 r
性质3.
二项式系数的增减性及最大值
n
n
即：当 n 为偶数时，r 最大为奇数时，r 最大为
n 1，且当
r
n1
时
2 n1
n1
2
二项式系数 Cn 2 Cn 2 最大；
性质4.二项式系数的和
(P27)各二项式系数和
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
?
(a b)n Cn0anCn1an1b Cnr anrbr Cnnbn(n N * )
O 369 r
f(r)
36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
O3
C f(r)= r 7
69 r
性质2.对称性
11 121 1331 1 4 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ……………………
C10C11
数和等于偶数项的二项式系数和，请证明。
解：
(1
x)n
C
0 n
C
1 n
x
C
2 n
x
2
C
r n
x
r
C
n n
x
n
(11)n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 L Cnr L (1)n Cnn ,
0 (Cn0 Cn2 L ) (Cn1 Cn3 L ),
Cn0 Cn2 L Cn1 Cn3 L 2n1, 令x= -1得
,
C
r n
,
,
C
n n
.
故子集个数
N
C
0 n
C
1 n
C
r n
C
n n
2n.
三、课堂训练
1、在(a＋2b)11展开式中，与第五项二项式
系数相同的项是( C ).
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 2、在(a-2b)11展开式中，二项式系数最大
的项是( C ).
A.第6项 C.第6项和第7项
B.第7项 D.第5项和第6项
注：此种类型的题目应该先找准r的值，
然后再确定第几项。
课堂小结：
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
有如下性质：
（1）
Cnr
C nr n
3.二项式系数，依次为：C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
,
C
n n
二.新知探究
(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1
(a+b)3 1 3 3 (a+b)4 1 4 6
1 41
(a+b)5 1 5 10 10 5 1
(a+b)6 1 6 15 20 15 6
……
…1 …7 2…1 3…5 3…5 2…1
f(r)
6
34 32 30 28
26
24
20
22
18
20
16
1 6 15 20 15 6 1
18
14 12
C60C61C62C63C64C65C66
16 14
10
12
8 6
1 7 21 35 35 21 7 1
10 8
4 2
C70C71C72C73C74C75C76C77
6 4
2
O 369 r
O3
C f(r)= r 7
(奇数项 的二项式系数和)
(偶数项 的二项式系数和)
(温故知新)
设集合 A {a1, a2 , a3,, an} 中有 n个元素，则该集合的子集个数为 2n.
请结合本章知识给予合理解释。
解：按子集中元素的个数分类，
元素个数分别为0,1,2,3，……，n个。
对应子集个数依次有：C
0 n
,
C
1 n
,
性质1.
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
每行两端都是1；
除1以外的每一个数都等于它“肩上”的
两个数的和.即：Crn1
Cr-1 n
Crn
思考如下问题：
1.(1+x)n+1展开式中xr项的系数是
Cr n1
(1+x)n (1+x)它的展开式中xr项的
(a+b)6 ……
1 6 15 20 15 6 ……………………
1
C60C61C62C63C64C65C66
………………
(a+b)n
r n1Cnn
此表叫作：二项式系数表
杨辉三角
探究成果展示
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4
11 1 21 1331 1 4 6 41
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44 C50C51C52C53C54C55
C60C61C62C63C64C65C66
………………
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两
项的二项式系数相等.即：C
r n
C
n n
r
性质3.
二项式系数的增减性及最大值
f(r)
36
C f(r)= r
(a+b)n
1 …7 1
计算(a+b)n展开式的二项式系数填入表格中
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4
1 11
1 21 1331 1 4 6 41
C10C11
C20C21C22
C30C31C32C33
C40C41C42C43C44
(a+b)5 1 5 10 10 5 1 C50C51C52C53C54C55
系数可以表示为
C
r n
C r1 n
2.通过以上两个问题你联想到了什么？
Cr n1
Cr-1 n
Crn
(a
b)n
展开式的二项式系数依次是：
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,
,
C
n n
从函数角度看，C
r n
可看成是以r为自变量的函数
其定义域是：r {0,1,2,, n}
C f(r)= r
f(r)
6
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
5.2 二项式系数的性质
一.旧知梳理
1.二项式定理及其特例：
(a b)n
Cn0a n
Cn1a n1b
C
2 n
a
n2
b
2
C
r n
a
n
r
b
r
C
n n
b
n
(1 x)n
C
0 n
C
1 n
x
C
2 n
x
2
C
r n
x
r
C
n n
x
n
2.二项展开式的通项：
Tr1
C
r n
a
n
r
b
r
(r 0,1,2, , n)