线性规划模型、求解及灵敏度分析
运筹学实验报告线性规划及其灵敏度分析
数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称线性规划及其灵敏度分析
所属课程名称运筹学B
实验类型综合
实验日期2014年10月24日
班级数学1201班
学号************
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求.
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.
4．实验环境：实验用的软、硬件环境.
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容.概括整个实验过程.
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明.对于创新性实验，还应注明其创新点、特色. 6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析.
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论.
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议.
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价.。
excel求解线性规划和灵敏度分析实训过程记录及学习收获
excel求解线性规划和灵敏度分析实训过程记录及学习收获线性规划是一种数学优化模型，用于对一组线性限制条件下的线性目标函数进行优化。
Excel 能够进行线性规划问题的求解和灵敏度分析，以下是实习过程的记录和收获总结：1. 实训任务我们的实训任务是一个有饲料限制的生产计划问题，其中需要决定生产哪些种类的产品、购买何种原材料、以及在何时生产这些产品，以使得利润最大化。
任务中给定了各种产品需要的原材料数量，各种原材料的数量与价格，及一些限制条件，例如生产时间，最小生产量等。
2. Excel求解线性规划问题Excel中求解线性规划问题的函数是“Solver”，首先需要打开Excel中的“数据”选项卡，然后在“分析”工具中找到“Solver”。
进入“Solver参数”对话框后，需要输入目标函数和限制条件，并且设置决策变量的可变性、约束条件的类型和数量。
最后根据需要设置求解的约束条件和目标函数的目标方向，点击“求解”即可。
在我们的实训任务中，我们首先需要设置约束条件，限制了各种产品需要的原材料数量，并且确保生产时间在规定范围内。
然后我们需要设置各个决策变量的可变性，例如选择生产哪些产品，购买何种原材料以及在何时生产这些产品等。
最后将目标函数设置为生产的利润最大化，并且设置约束条件为“>=0”，以确保决策变量的可行性。
点击“求解”即可得出最优解。
3. Excel灵敏度分析Excel的灵敏度分析功能可以帮助我们了解线性规划问题的各个变量对于目标函数的影响程度。
Excel中灵敏度分析的函数是“规划求解器的报告”，在对话框中选择“接受解决方案”，然后勾选“制作规划求解器报告”选项，即可生成报告。
在报告中，我们可以看到各个决策变量的最优解以及目标函数的最优值。
同时，报告中还包括影响目标函数的变量的“系数范围”和“变化量”，我们可以通过调整这些参数来预测目标函数的变化情况。
4. 学习收获通过这次实训，我学会了如何使用Excel求解线性规划问题以及如何进行灵敏度分析。
实验二___线性规划灵敏度分析
实验二线性规划模型及灵敏度分析（一）实验目的：掌握使用Excel软件进行灵敏度分析的操作方法。
（二）实验内容和要求：用Excel软件完成案例。
（三）实例操作：（1）建立电子表格模型；（2）使用Excel规划求解功能求解问题并生成“敏感性报告”；（3）结果分析：哪些问题可以直接利用“敏感性报告”中的信息求解，哪些问题需要重新规划求解，并对结果提出你的看法；（4）在Word文档中书写实验报告，包括线性规划模型、电子表格模型、敏感性报告和结果分析等。
案例1 市场调查问题某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。
该厂对市场调查公司提出了以下要求：（1）共对500个家庭进行调查；（2）在被调查家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭；（3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，对其余家庭可采用口头调查；（4）在有孩子的被调查家庭中，至少对50%的家庭采用问卷式书面调查；（5）在没有孩子的被调查家庭中，至少对60%的家庭采用问卷式书面调查。
对不同家庭采用不同调查方式的费用如下表所示：市场调查费用表家庭类型调查费用（元）问卷式书面调查口头调查有孩子的家庭50 30没有孩子的家庭40 25问：市场调查公司应如何进行调查，使得在满足厂方要求的条件下，使得总调查费用最少？案例2 经理会议建议的分析某公司生产三种产品A1，A2，A3，它们在B1，B2两种设备上加工，并耗用C1，C2两种原材料，已知生产单位产品耗用的工时和原材料以及设备和原材料的每天最多可使用量如下表所示：生产三种产品的有关数据资源产品A1 产品A2 产品A3 每天最多可使用量设备B1(min) 1 2 1 430设备B2(min) 3 0 2 460原料C1(kg) 1 4 0 420原料C2(kg) 1 1 1 300每件利润(元) 30 20 50已知每天对产品A2的需求不低于70件，对A3不超过240件。
线性规划实验报告
一、实验目的通过本次实验，了解线性规划的基本原理和方法，掌握线性规划模型的建立和求解过程，提高解决实际问题的能力。
二、实验内容1. 线性规划模型的建立2. 利用Lingo软件进行线性规划模型的求解3. 分析求解结果，进行灵敏度分析三、实验步骤1. 建立线性规划模型以某公司生产问题为例，建立线性规划模型。
设该公司有三种产品A、B、C，每种产品分别需要原材料X1、X2、X3，且原材料的价格分别为p1、p2、p3。
公司拥有一定的生产设备，每种产品的生产需要消耗一定的设备时间，设备时间的价格为p4。
设A、B、C产品的生产量分别为x1、x2、x3，原材料消耗量分别为y1、y2、y3，设备使用量分别为z1、z2、z3。
目标函数：最大化利润Z = p1x1 + p2x2 + p3x3 - p4(z1 + z2 + z3)约束条件：（1）原材料消耗限制：y1 ≤ 10x1，y2 ≤ 8x2，y3 ≤ 5x3（2）设备使用限制：z1 ≤ 6x1，z2 ≤ 4x2，z3 ≤ 3x3（3）非负限制：x1 ≥ 0，x2 ≥ 0，x3 ≥ 0，y1 ≥ 0，y2 ≥ 0，y3 ≥ 0，z1 ≥ 0，z2 ≥ 0，z3 ≥ 02. 利用Lingo软件进行线性规划模型的求解打开Lingo软件，按照以下步骤输入模型：① 在“Model”菜单中选择“Enter Model”；② 输入目标函数：@max = p1x1 + p2x2 + p3x3 - p4(z1 + z2 + z3)；③ 输入约束条件：@and(y1 <= 10x1, y2 <= 8x2, y3 <= 5x3);@and(z1 <= 6x1, z2 <= 4x2, z3 <= 3x3);@and(x1 >= 0, x2 >= 0, x3 >= 0, y1 >= 0, y2 >= 0, y3 >= 0, z1 >= 0, z2 >= 0, z3 >= 0);④ 在“Model”菜单中选择“Solve”进行求解。
第4章线性规划灵敏度分析
-2 x1 1
0
σj
0
0
-4 0 0 B-1b
x3 x4 x5 -1/5 -2/5 1/5 2/5 7/5 -1/5 -2/5 11/5 -9/5 -8/5 -1/5 -28/5
从表中看到 c3= -4, σ3= -9/5 可得到Δc3 ≤-σ3 = 9/5 时，即 c’3≤-4 + 9/5 = -11/5 时原最优解不变。
（1）参数在什么范围内变化时，原最优解或最优基不变—— 数据的稳定区间；
（2）当参数超出（1）的变化范围时，最优解或最优基有何变 化——如何求出新的最优解和最优基。
当模型的参数发生变化后，可以不必对线性规划问题重新 求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取得的最优结果 的基础上进行分析或求解，既可减少计算量，又可事先知道参 数的变化范围，及时对原决策作出调整和修正。
xk为换入变量
对 所 有 aik>0 计 算 θi=bi/aik 令θl=min{θi} 第l个基变量为换出变
量，alk为主元素
令 bl/alk→bl; alj/alk→ajl 对主元素列(第k列)令1→alk; 0→其它 元素表中其它行列元素 令 aij-ali/alk·aik→aij
bi-bl/alk·aik→bi бj- alj/alk· бk → бj
4
3+Δc2 x2 0 1
1/2
-1/8
0
2
σj
0 0 -3/2-Δc2 /2 -1/8+ Δc2 /8 0 14+2Δc2
17
Ci
2 3+Δc2
0
0
0
B-1b
CB XB x1 x2
x3
x4
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结
线性规划的灵敏度分析与应用知识点总结线性规划是一种重要的数学优化方法，它通过建立一个数学模型，根据特定的约束条件和目标函数，求解出使目标函数取得最大（最小）值的决策变量的取值。
而灵敏度分析则是针对线性规划模型中的参数进行变动时，目标函数值和决策变量的取值产生的变化进行评估和分析。
本文将对线性规划的灵敏度分析进行总结，并探讨其在实际应用中的一些重要知识点。
一、灵敏度分析的基本概念和原理灵敏度分析是指在线性规划模型中，通过变动参数的大小和取值范围，分析其对目标函数值和决策变量的解产生的影响程度。
主要包括以下几个方面的分析内容：1. 目标函数系数的灵敏度分析目标函数系数表示决策变量对目标函数的贡献程度，通过改变目标函数系数可以分析目标函数值的变动情况。
当目标函数系数发生较大变动时，可能导致最优解的决策变量发生改变。
2. 约束条件右侧常数的灵敏度分析约束条件的右侧常数表示资源的可利用程度，通过改变约束条件右侧常数可以分析资源的利用程度对决策变量解的影响。
当约束条件右侧常数发生较大变动时，可能会改变最优解的取值范围。
3. 决策变量的灵敏度分析决策变量的灵敏度分析可以评估决策变量值的改变对目标函数值和约束条件的违背程度产生的影响。
通过改变决策变量的取值范围，可以判断最优解的稳定性和可行性。
二、灵敏度分析的具体应用灵敏度分析在实际应用中有广泛的应用价值，主要包括以下几个方面：1. 评估模型的可靠性通过灵敏度分析，可以评估线性规划模型中参数的变动对解的影响程度，从而判断模型的可靠性和稳定性。
当参数变动对解的影响较小时，说明模型具有较好的鲁棒性。
2. 制定决策方案灵敏度分析可以帮助决策者评估决策方案的可行性和稳定性，从而选取出最优的决策方案。
在实际应用中，决策者可以通过改变参数的取值范围，确定决策方案的合理范围。
3. 资源优化分配通过灵敏度分析，可以评估资源可利用程度的变动对决策变量的解产生的影响。
在资源有限的情况下，通过调整资源的利用程度，实现资源的优化分配。
线性规划模型 实验报告
某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目可供选择：
项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；
项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；
项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；
项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；
3．保存文件并运行；
4．观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果；
5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）
基础实验
1．求解下述线性规划问题
min
300
分别设从Toronto和Detroit到Chicago运输的货物为x1,x2
从Chicago运输到NewYork、Phila.和St.louis的货物为x3,x4,x5
则 可列方程
Min=4*x1+7*(600-x1)+5*x2+7*(500-x2)+3*x3+2*x4+2*x5+1*(450-x3)+3*(350-x4)+4*(300-x5)
Z=zeros(16,1);
Z1=zeros(1,10);
Z4=zeros(1,4);
Z2=zeros(1,2);
F6=ones(1,6);
F2=ones(1,2);
A=[F6 Z1;Z4 F6 Z2 Z4;Z2 F2 Z4 F2 Z2 F2 Z2;Z4 F2 Z4 F2 Z2 F2];
b=[100 115 120 110]';
EXCEL求解第一章线性规划和灵敏度分析
线性规划模型的描述
例1：某工厂生产两种新产品：门和窗。经测算，每 生产一扇门需要在车间1加工1小时、在车间3加工3小 时；每生产一扇窗需要在车间2和车间3各加工2小时。 而车间1每周可用于生产这两种新产品的时间为4小 时、车间2为12小时、车间3为18小时。已知每扇门 的利润为300元，每扇窗的利润为500元。根据市场 调查得到的这两种新产品的市场需求状况可以确定， 按当前的定价可确保所有的新产品均能销售出去。 问：该工厂如何安排这两种新产品的生产计划，才 能使总利润最大？
$D$12） 复制E7单元格到E8、E9
EXCEL求解线性规划模型
（3）总利润计算： 在G12单元格输入公式： =C4*C12+D4*D12 或： =SUMPRODUCT（C4：D4，C12：D12）
EXCEL求解线性规划模型
在电子表格中建立线性规划模型步骤总结
收集问题数据； 在电子表格中输入数据（数据单元格）； 确定决策变量单元格（可变单元格）； 输入约束条件左边的公式（输出单元格）使用
EXCEL求解线性规划模型
2、主要求解结果 ■两种新产品每周的产量； ■两种新产品每周各实际使用的工时 （不能超过计划工时）； ■两种新产品的总利润
EXCEL求解线性规划模型
3、主要结果的计算方法
（1）两种新产品的每周产量：C12、D12，初始 值为0。
（2）实际使用工时计算（三种方法） 1）分别在E7、E8、E9中输入相应的计算公 式：
例：车间2：12——13，车间3：18——17 例：车间2：12——16，车间3：18——15
EXCEL求解线性规划模型
5、aij变化 例：由于车间2采用新的生产工艺，生产
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0 ≤ x i ≤ ai ,
0 ≤ y i ≤ bi ,
i = 1, , , , , , , 2345678
x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 ≤ 100 x 6 + x 7 + x 8 + y 6 + y 7 + y 8 ≤ 115
x 2 + x 4 + x 7 + y 2 + y 4 + y 7 ≤ 120 x 3 + x 5 + x 8 + y 3 + y 5 + y 8 ≤ 110
St.louis，Buffalo 中的 450 运到 New York，剩下的运到 Phila。运费最少为 6400.
5. 投资策略
某部门现有资金 10 万元，五年内有以下投资项目可供选择： 项目 A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利 15%； 项目 B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利 25%，最大投资额为 4 万元； 项目 C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利 40%，最大投资额为 3 万元； 项目 D：每年初投资，年末收回本金且获利 6%； 问如何确定投资策略使第五年末本息总额达最大？ 分析： 分析： 先考虑只能投资一次的项目 C，项目 A 连续投资两次，其利润为 32.25%，项目 D 连续投资 4 次其利 润为 26.25%，明显项目 C 的利润要高，所以第二年首先选择项目 C 的 3 万元。 再考虑只能投资一次的项目 B，可以由项目 A 和项目 D 组合而成，而其利润为 21.90%，所以第三年首 先投资 4 万元到项目 B。
Bond1=x(1); Bond2=x(2); Bond3=x(3); Returnexpectation=-fmin 结果为： 结果为： x = 0.0000 15.0000 3.0000 fmin =-78.0000 Returnexpectation =78.0000
应用实验
2. 两种面包产品的产量配比问题
田园食品公司生产的面包很出名。他们生产两种面包：一种是叫“唐师”的白面包，另一种是叫“宋 赐”的大黑面包。每个唐师面包的利润是 0.05 元，宋赐面包是 0.08 元。两种面包的月生产成本是固定 的 4000 元，不管生产多少面包。 该公司的面包生产厂分为两个部：分别是烤制和调配。 烤制部有 10 座大烤炉，每座烤炉的容量是每天出 140 台，每台可容纳 10 个唐师面包或 5 个更大的宋 赐面包。可以在一台上同时放两种面包，只需注意宋赐面包所占的空间是唐师面包的两倍。 调配部每天可以调配最多 8000 个唐师面包和 5000 个宋赐面包。有两个自动调配器分别用于两种面包 的调配而不至于发生冲突。 田园公司决定找出这两种面包产品的最佳产量配比，即确定两种面包的日产量，使得在公司面包厂的 现有生产条件下利润最高。 作出假设： 作出假设： TS：为唐师面包的日产量（个/日） SC：为宋赐面包的日产量（个/日） 建立模型： 建立模型： 根据题目，面包的日产量可以归结为以下的最优化模型: 目标函数： fmax=0.05TS+0.08SC-4000/30 约束条件： 0.1TS+0.2SC ≤ 1400 0 ≤ TS ≤ 8000 0 ≤ SC ≤ 5000 编程： 用 MATLAB 编程： c=[-0.05;-0.08] A=[0.1 0.2] b=[1400] xL=[0;0] xU=[8000;5000] [x,fmin]=LINPROG(c,A,b,[],[],xL,xU) Bond1=x(1); Bond2=x(2); Fmax=-fmin 结果如下： 结果如下：
基础实验
1．求解下述线性规划问题
min s.t.
− 5 x1 − 4 x2 − 6 x3 x1 − x2 + x3 ≤ 20
3x1 + 2x 2 + 4x 3 ≤ 42 3x1 + 2x 2 ≤ 30
0 ≤ x1, 0 ≤ x 2 , 0 ≤ x 3
编程如下： 用 matlab 编程如下： c=[-5;-4;-6] A=[1 -1 1;3 2 4;3 2 0] b=[20;42;30] xL=zeros(3,1) [x fmin]=LINPROG(c,A,b,[],[],xL)
max z =
∑ (pi x i i
=1
+ qi y i )
s.t. 航班 AC 上的销售机票总数为 3 个航线 AC、AD、AE 的销售机票数之和，不准超过班机容量 100，故有
x 1 + x 2 + x 3 + y 1 + y 2 + y 3 ≤ 100
航班 BC 上的销售机票总数为 3 个航线 BC、BD、BE 的销售机票数之和，不准超过班机容量 115，故有
表1 第一段的运输单价 To From Toronto Detroit Chicago $4 $ 5 表2 Buffalo $ 7 $ 7 第二段的运输单价 Supply 600 500
To From Chicago Buffalo Demand New York $3 $ 1 450 Phila. $ 2 $ 3 350 St.louis $ 2 $ 4 300
x =8000 3000 fmin =-640.0000 Fmax =640.0000 所以唐师面包的日产量 8000 个/日，宋赐面包的日产量,5000 个/日时，利润最大为 640-400/3=506.67 元。
3. 航空公司的机舱设计及机票销售
在五个城市 A、B、C、D、E 之间，有唯一一家航空公司提供四个航班服务，这四个航班的“出发地— 目的地”分别为 AC、BC、CD、CE，可搭载旅客的最大数量分别为 100 人、115 人、120 人、110 人，机票 的价格分头等舱和经济舱两类。经过市场调查，公司销售部得到了每天旅客的相关信息，见下表。该公 司应该在每条航线上分别分配多少张头等舱和经济舱的机票？ 出发地-目的地 AC AD(经 C 转机) AE(经 C 转机) BC BD(经 C 转机) BE(经 C 转机) CD CE 头等舱 需求（人） 31 22 10 25 20 8 34 13 价格（元） 190 244 261 170 260 280 140 186 52 41 60 33 31 41 59 15 经济舱 需求（人） 价格（元） 90 193 199 110 150 165 80 103
开课学院、实验室： 开课学院、实验室：数理学院 DS1401
课程 数学实验 名称 指导 李东 教师 实验项目 名 成 称 绩
实验时间 ：2011 年 5 月 2 日
实验项目类型
验证 演示 综合 设计 其他
线性规划模型、 线性规划模型、求解及灵 敏度分析
实验目的
学习最优化技术和基本原理，了解最优化问题的分类； 掌握线性规划的建模技巧和求解方法； 学习灵敏度分析问题的思维方法； 熟悉 MATLAB 软件求解线性规划模型的基本命令； 通过范例学习，熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。 通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优化 模型，并且使学生学会使用 MATLAB 软件进行线性规划模型求解的基本命令，并进行灵敏度分析。解决现 实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程，因此，本实验对学生的学习尤为重要。 [1] [2] [3] [4] [5]
x 6 + x 7 + x 8 + y 6 + y 7 + y 8 ≤ 115
在另外两个航班 CD、CE 上，有同样的容量限制，故有
x 2 + x 4 + x 7 + y 2 + y 4 + y 7 ≤ 120 , x 3 + x 5 + x 8 + y 3 + y 5 + y 8 ≤ 110 ;
每条航线上有需求量的限制，故有 所以 s.t.
建立模型： 建立模型： 。 Xij 为 i 地到 j 地运输的货物量（0 ≤ xij） s.t.： x13+x14=600 x23+x24=500 -x13- x23+x35+x36+x37 =0 -x14- x24+x45+x46+x47 =0 x35+ x45=450 x36+ x46=350 x37+ x47=300 目标函数： Min=4x13+7x14+7 x23+5x24+ 3x35+2x36+x37+ x45+3x46+4x47 编程如下： 用 matlab 编程如下： c=[4;7;7;5;3;2;1;1;3;4] xL=zeros(10,1) Aeq=[1 1 0 0 0 0 0 0 0 0;0 0 1 1 0 0 0 0 0 0;-1 -1 0 0 1 1 1 0 0 0;0 0 -1 -1 0 0 0 1 1 1;0 0 0 0 1 0 0 1 0 0;0 0 0 0 0 1 0 0 1 0;0 0 0 0 0 0 1 0 0 1] seq=[600;500;0;0;450;350;300] [x,fmin]=LINPROG(c,[],[],Aeq,seq,xL) 结果如下： 结果如下： x =600.0000 0.0000 0.0000 500.0000 0.0000 300.0000 300.000 450.0000 50.0000 0.0000 fmin = 6400 运输方案如下： 运输方案如下： Toronto 的 600 全运到 Chicago，Detroit 的 500 全运到 Buffalo，Chicago600 中的 300 运到 Phila，剩下的运到
目标函数为：
max z =
编程： 用 matlab 编程： c=[-190;-244;-261;-140;-186;-170;-260;-280;-90;-193;-199;-80;-103;-110;-150;-165] A=[1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1;0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0; 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1] b=[100;115;120;110] xL=zeros(16,1) xU=[31;22;10;34;13;25;20;8;52;41;60;59;15;33;31;41] [x,fmin]=LINPROG(c,A,b,[],[],xL,xU) fmax=-fmin 运行结果如下： 运行结果如下： x =31.0000 22.0000 10.0000 34.0000 13.0000 25.0000 20.000 8.0000 0.0000 2.0000 35.0000 42.0000 15.0000 33.0000 0.0000 29.0000 fmin = -5.3407e+004 fmax = 5.3407e+004 方案如下： 方案如下： AC、AD、AE、CD、CE、BC、CD、CE 上经济舱票数分别为：31 22 10 34 13 25 20 8；AC、AD、 AE、CD、CE、BC、CD、CE 上豪华舱票数分别为：0 2 35 42 15 33 0 29；最大收入为 53407 元。