2021届上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期数学开学试题答案
2023-2024学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期3月月考数学试卷含详解
2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．2.若复数z 满足()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为______.3.已知函数()1f x x =，则0(2)(2)lim x f x f x ∆→+∆-=∆__________．4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =________5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为6.已知a 、b 为实数，函数ln ay x x =+在1x =处的切线方程为40x y b -+=，则ab 的值______.7.已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y +的最小值为______.8.在直角三角形ABC 中，5AB =，12AC =，13BC =，点M 是ABC 外接圆上的任意一点，则AB AM ⋅的最大值是___________.9.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n -=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．10.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.11.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e x x x f axf ax ax->-恒成立，则a 的取值范围是______.12.已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足0FA FB FC ++= ，且FA FB FC ≤≤ ，则FC的取值范围是___．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A.若a >b ，则11a b< B.若a >b ，则22ac bc >C.若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD.若a >b ，c >d ，则ac >bd14.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（）A.[]1,3-为函数()f x 的单调增区间B.[]3,5为函数()f x 的单调减区间C.函数()f x 在0x =处取得极大值D.函数()f x 在5x =处取得极小值15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是A.1a b +> B.1a b +< C.221a b +< D.221a b +>16.在数列{}n a 中，12a =，2a a =，()11*211,N ,n n n n n n n nn a a a a a n a a aa +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩.对于命题：①存在[)2,a ∈+∞，对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=.②对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②也是假命题三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.18.已知函数()22sin 3sin cos f x x x x ωωω=+的最小正周期为π，其中0ω>．（1）求ω的值与函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且3,sin 2sin c B A ==，()3f C =，求ABC 的面积．19.为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20cm 的正方形，高为10cm ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得1P ，2P ，3P ，4P 四个点重合于点P ，正好形成一个正四棱锥P ABCD -，如图所示，设AB x =（单位：cm ）．（1）若10x =，求正四棱锥P ABCD -的表面积；（2）当x 取何值时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）若a =2，求椭圆E 的标准方程；（2）以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线G ，若G 上动点M 到点(10,0)H 的最短距离为，求a 的值；（3）当2a =时，设点F 为椭圆E 的右焦点，(2,0)A -，直线l 交E 于P 、Q （均不与点A 重合）两点，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若1230kk kk ++=，求FPQ △的周长．21.已知函数()ln h x x xλ=+，其中λ为实数.（1）若()y h x =是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数()y h x =有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；（3）记()()g x h x x λ=-，若(),p q p q <为()g x 的两个驻点，当λ在区间42,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求()()g p g q -的取值范围.2023-2024学年上海市华师大二附中高一年级下学期3月月考数学试卷2024.3一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，则M =________________．【答案】[]22-,【解析】【分析】根据补集的定义直接进行运算即可.【详解】因为{}2M x x =>，所以{}{}2|22M x x x x =≤=-≤≤，故答案为：[2,2]-.2.若复数z 满足()1i 2i z +=+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为______.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】利用复数的除法运算得z ，即可求解.【详解】()()()()2+i 1i 2+i 31i,1+i 1+i 1i 22z -===--则z 的虚部为12-.故答案为：12-.3.已知函数()1f x x =，则0(2)(2)limx f x f x∆→+∆-=∆__________．【答案】14-【解析】【分析】首先计算()()()22122f x f x x +∆-=-∆+∆，当0x ∆→时，即可求值.【详解】()()()11222222xf x f x x -∆+∆-=-=+∆+∆，()()()22122f x f x x +∆-=-∆+∆，()()()002211limlim 224x x f x f x x ∆→∆→⎛⎫+∆-=-=- ⎪ ⎪∆+∆⎝⎭.故答案为：14-4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S =________【答案】8【解析】【分析】由等差数列的性质结合等差数列的求和公式可得答案.【详解】由等差数列的性质可得：1164131a a a a +=+=，所以()1161616116822a a S +⨯⨯===，故答案为：8.5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43π；则圆锥母线与底面所成角的余弦值为【答案】23【解析】【详解】试卷分析：设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r ，由题意圆锥的侧面展开图得弧长（即圆锥得底面圆周长）为43π，由得圆锥母线与底面所成角的余弦值为23r l =.考点：圆锥的侧面展开图.6.已知a 、b 为实数，函数ln ay x x=+在1x =处的切线方程为40x y b -+=，则ab 的值______.【答案】21【解析】【分析】求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得ab .【详解】由()ln af x x x =+，得21()a f x x x'=-，则()11f a '=-，又()1f a =，则切线方程为()()11y a a x -=--，即()112y a x a=--+14,12a a b ∴-=-+=，得3,7a b =-=-21ab ∴=故答案为：21.7.已知1,1,10x y xy >>=，则12lg lg x y+的最小值为______.【答案】3+##3+【解析】【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为1,1,10x y xy >>=，所以lg lg lg 1x y xy +==，lg 0x >，lg 0>y ，所以1212lg 2lg ()(lg lg )33lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+3=+当且仅当lg 2lg lg lg y xx y=，即lg 2y x ==-时，等号成立，显然此时,x y 有解，所以12lg lg x y+的最小值为3+.故答案为：3+.8.在直角三角形ABC 中，5AB =，12AC =，13BC =，点M 是ABC 外接圆上的任意一点，则AB AM ⋅的最大值是___________.【答案】45【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点M 的坐标，计算AB AM ⋅的最大值．【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：(0,0)A ，(5,0)B ，(0,12)C ，ABC 外接圆225169()(6)24x y -+-=，设M 513(cos 22θ+，136sin )2θ+，则513(cos 22AM θ=+ ，136sin )2θ+，(5,0)AB =，2565cos 4522AB AM θ⋅=+≤ ，当且仅当cos 1θ=时取等号．所以AB AM ⋅的最大值是45．故答案为：45．9.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为__________．【答案】1)-【解析】【分析】利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案．【详解】如图正六边形中，,OA AB c BD ===，直线OB 即双曲线的渐近线方程为y =，由椭圆的定义可得)21a AB BD c =+=，所以椭圆的离心率1c e a ===，双曲线的渐近线方程为n y x m =，则=n m ，双曲线的离心率2e ==，所以椭圆M 与双曲线N 的离心率之积为1)-【点睛】本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题．10.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.【答案】【解析】【分析】先根据线面垂直确定点P 的轨迹，再解三角形得周长.【详解】设底面的中心为O ，则SO ⊥面ABCD SO AC ∴⊥,由正方形ABCD 得,AC BD SO BD O AC ⊥=∴⊥I 面SBD取SC ，CD 的中点为G ，F ，易得面//SBD 面GEF ，所以AC ⊥面GEF ，因此动点P 的轨迹为GEF ∆，因为1,SO BD BO SB ====2GE GF ==，EF =P+【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及立体几何中轨迹问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.11.已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．若对x ∀∈R ，不等式()()e eexxxf axf ax ax ->-恒成立，则a 的取值范围是______.【答案】[)0,e 【解析】【分析】构造函数()()g x xf x x =-，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为e x ax >恒成立,分离参数求最值即可求解.【详解】定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，∴函数()f x 为R 上的偶函数．令()()g x xf x x =-，则()()g x g x -=-,()g x 为奇函数．()()()1g x xf x f x ''=+-．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x +>'．()0g x '∴>，()g x 在[)0,∞+单调递增．∴函数()g x 在R 上单调递增．对x ∀∈R ，不等式()()e eexxxf axf ax ax ->-恒成立，()()e e e x x x f axf ax ax ⇒->-,即()()exg g ax >e x ax ∴>．当0x >时，e ()xa h x x <=，则2(1)()x e x h x x'-=，则()01,0x h x <<'<；()1,0x h x '>>；故()h x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增；可得1x =时，函数()h x 取得极小值即最小值，()1eh =e a ∴<．当0x <时，e xa x>，则()0h x <，则0a ≥则a 的取值范围是[)0,e .故答案为：[)0,e .12.已知F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点（允许重合），满足0FA FB FC ++=，且FA FB FC ≤≤ ，则FC的取值范围是___．【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据焦半径公式表示出FA ，FB，FC，依题意可得1233x x x ++=，即可求出3x 的取值范围，即可得解.【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0F ，准线方程为=1x -，所以11FA x =+ ，21F x B =+ ，31FC x =+，0FA FB FC ++=，又A 、B 、C 为抛物线上三点，显然三点不完全重合，∴()()()()1122331,1,1,0,0x y x y x y -+-+-=，即1233x x x ++=，1230y y y ++=，所以123222123012y y y y y y ++=⎧⎨++=⎩，因为FA FB FC ≤≤，所以123111x x x ≤≤+++，等价于123y y y ≤≤，由对称性，不妨设312210y y y y y =--≤≤≤，所以()222222123121212y y y y y y y ++=++--=，即2212126y y y y ++=，所以()()222212*********y y y y y y y y +≤++=≤+，所以2233364y y ≤≤，所以33364x x ≤≤，3322x ≤≤，351,32FC x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，当()330,0,,,22A B C ⎛⎛ ⎝⎝时，即52FC = ；当(11,,2,22A B C ⎛⎛- ⎝⎝时，即3FC = ;所以5,32FC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.如果,,,R a b c d ∈，则正确的是（）A.若a >b ，则11a b < B.若a >b ，则22ac bc >C.若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD.若a >b ，c >d ，则ac >bd 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.【详解】对于A:取2,1a b ==-则11a b>，故A 错，对于B:若0c =，则22=ac bc ，故B 错误，对于C:由同号可加性可知：a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，故C 正确，对于D:若2,1,2,3a b c d ===-=-，则4,3ac bd =-=-，ac bd <，故D 错误.故选：C14.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，如图是()f x '的图像，下列说法中不正确的是（）A.[]1,3-为函数()f x 的单调增区间B.[]3,5为函数()f x 的单调减区间C.函数()f x 在0x =处取得极大值D.函数()f x 在5x =处取得极小值【答案】C【解析】【分析】[]13,x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增，A 正确，[]3,5x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，B 正确，[]13,x ∈-时，()f x 单调递增，C 错误，根据单调性判断D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：[]13,x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增，正确；对选项B ：[]3,5x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，正确；对选项C ：[]13,x ∈-时，()f x 单调递增，错误；对选项D ：[]3,5x ∈时，()f x 单调递减，当()5,x ∈+∞时，()f x 单调递增，函数()f x 在5x =处取得极小值，正确；故选：C ．15.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是A.1a b +> B.1a b +< C.221a b +< D.221a b +>【答案】C【解析】【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，1d =，即a 2+b 2＜1故选C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．16.在数列{}n a 中，12a =，2a a =，()11*211,N ,n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩.对于命题：①存在[)2,a ∈+∞，对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=.②对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②也是假命题【答案】A【解析】【分析】对①，直接令2a =判断即可；对②，利用反证法，先设数列中第一项满足n a a >的项为k a ，再推导21,k k a a --的大小推出矛盾即可；【详解】对①，当2a =时，易得12a =，22a =，31a =，42a =，52a =，61a =…故数列{}n a 为2，2，1循环.所以对于任意的正整数n ，都有3n n a a +=成立，故①正确；对②，对于任意[)2,a ∈+∞，有12a =，2a a =，32a a =，42a =，设数列中第一项满足n a a >的项为k a ，则4k >，此时易得21,k k a a a --≤，又()11*211,N ,n n n n n n n n n a a a a a n a a a a +++++⎧≥⎪⎪=∈⎨⎪<⎪⎩，且由题意，0n a >恒成立，故21n a +≥，即数列{}n a 中所有项都满足1n a ≥，故211,k k a a a --≤≤，因为[]2112max ,1,k k k k k a a a a a a ----⎧⎫=∈⎨⎩⎭，与k a a >矛盾，故对于任意[)2,a ∈+∞和任意的正整数n ，都有n a a ≤.故选：A三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PA AB =.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）求直线PC 与平面PBD 所成的角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）1arcsin3【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.分别求出直线PC 的方向向量与平面PBD 的法向量，由线面角的向量公式代入即可求解.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥.在正方形ABCD 中，AC BD ⊥.而PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，故BD ⊥平面PAC .【小问2详解】以A 为坐标原点，分别以AB AD AP ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系.设1AB =，则()()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0B D P C ，从而()()()1,0,1,0,1,1,1,1,1PB PD PC =-=-=- .设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =r，0000PB n x z x z y z y z PD n ⎧⎧⋅=-==⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==⋅=⎩⎪⎩⎩ ，令1z =，则()1,1,1n = .设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ，则1 sin|cos,3PC nPC nPC nθ⋅===⋅∣，故PC与夹面PBD的所成角大小为1 arcsin3.18.已知函数()22sin cosf x x x xωωω=+的最小正周期为π，其中0ω>．（1）求ω的值与函数()f x的单调增区间；（2）设ABC的内角、、A B C的对边分别为a b c、、，且2sinc B A==，()3f C=，求ABC的面积．【答案】（1）1ω=，πππ,π,63k k k⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z（2）32【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到()π2sin216f x xω⎛⎫=-+⎪⎝⎭，根据最小正周期得到ω，进而得到函数解析式，得到单调递增区间；（2）根据()3f C=求出π3C=，由正弦定理得到2b a=，由余弦定理得到1a=，求出三角形面积.【小问1详解】()π1cos22sin216f x x x xωωω⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，2ππ2Tω==，()π1,2sin216f x xω⎛⎫∴==-+⎪⎝⎭，令πππ22π,2π,622x k k k⎡⎤-∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z，解得πππ,π,63x k k k⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z，故()f x的单调增区间为πππ,π,63k k k⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z．【小问2详解】()π2sin 2136f C C ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ，即sin 216πC ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，ππ11π2,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故ππ262C -=，解得π3C =，sin 2sin B A =，2b a ∴=，2222cos c a b ab C =+- ，222342a a a ∴=+-，解得1a =，1322,sin 22ABC b a S ab C ∴====△．19.为了更直观地让学生认识棱锥的几何特征，某教师计划制作一个正四棱锥教学模型．现有一个无盖的长方体硬纸盒，其底面是边长为20cm 的正方形，高为10cm ，将其侧棱剪开，得到展开图，如图所示．1P ，2P ，3P ，4P 分别是所在边的中点，剪去阴影部分，再沿虚线折起，使得1P ，2P ，3P ，4P 四个点重合于点P ，正好形成一个正四棱锥P ABCD -，如图所示，设AB x =（单位：cm ）．（1）若10x =，求正四棱锥P ABCD -的表面积；（2）当x 取何值时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．【答案】（1）2400cm ；（2）16x =.【解析】【分析】（1）连接AC ，BD ，交于点O ，设BC 中点为E ，连接PE ，EO ，PO ，利用底面积与侧面积的和求解表面积；（2）由AB x =，可得2x OE =，)(200202x PE x =-<<，先利用勾股定理求出棱锥的高，然后表示出体积，再利用导数求最大值时x 的的值.【详解】在正四棱锥P ABCD -中，连接AC ，BD ，交于点O ，设BC 中点为E ，连接PE ，EO ，PO ．（1）∵10AB =，∴5OE =，15PE =，∴正四棱锥P ABCD -的表面积为141010410154002ABCD PBC S S S =+=⨯+⨯⨯⨯=表△，∴正四棱锥P ABCD -的表面积为2400cm ．（2）∵AB x =，∴2x OE =，)(200202x PE x =-<<，∴)222052002022x x PO x x ⎛⎛⎫⎫=---<<⎪⎪ ⎭⎭⎝⎝，∴正四棱锥P ABCD -的体积为)()()241252525202020020333V x x x x x x x x =⨯-=⨯-=-<<．令)()()(420020t x x x x =-<<，则)()(3516t x x x '=-，当016x <<时，)(0t x '>，)(t x 单调递增；当1620x <<时，)(0t x '<，)(t x 单调递减，∴)()(max 16t x t =，∴)()(max 16V x V =，∴当16x =时，正四棱锥P ABCD -的体积最大．【点睛】方法点睛：解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何法，特别是平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、导数法以及均值不等式法求解.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，依次连接椭圆E 的四个顶点构成的四边形面积为（1）若a =2，求椭圆E 的标准方程；（2）以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线G ，若G 上动点M 到点(10,0)H 的最短距离为，求a 的值；（3）当2a =时，设点F 为椭圆E 的右焦点，(2,0)A -，直线l 交E 于P 、Q （均不与点A 重合）两点，直线l 、AP 、AQ 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若1230kk kk ++=，求FPQ △的周长．【答案】（1）22143x y +=；（2）4；（3）8【解析】【分析】（1）直接利用四边形面积可知=ab 2a =即可求出b 值，即可求得椭圆方程；（2）设出点M 坐标，由两点间距离公式构造二次函数求最值即可；（3）设出直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理及1230kk kk ++=可求出直线方程，得出直线恒过定点，即可求出三角形FPQ △的周长.【小问1详解】由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为1222a b ⨯⨯⨯=，即=ab∵2a =，∴b =，∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】椭圆的右顶点为(),0a ，以椭圆E 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为24y ax =，设动点()00,M xy ，则()()()22222200000010201004102100102MH x y x x ax x a a =-+=-++=--+--⎡⎤⎣⎦当1020a ->时，即05a <<，最小值在对称轴处取得，即()(22100102a --=，解得4a =或6a =（舍去），当1020a -≤，即05a <≤，最小值在00x =处取得，此时MH 最小值为10，不符合题意，故4a =；【小问3详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，则1112y k x =+，2222y k x =+，故12121212122222y y kx m kx m k k x x x x +++=+=+++++，则()()()()()()()12211212122233322kx m x kx m x kk kk k k k x x +++++++=++=+++()()()12121212224324kx x k m x x mk x x x x ++++=++++，当2a =时椭圆的方程为22143x y +=，将椭圆方程与直线方程联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得()2223484120k x kmx m +++-=，()()22222264434412144481920k m k m m k ∆=-+-=-+>，即22340m k -+>，122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，即()()2221222241282243434334128243434m km k k m m k k k k k k m km k k --⨯++⨯+++++=--+⨯+++()()222041616m k m k m km k --==-+，故m k =或2m k =，此时均满足0∆>，若m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，此时直线恒过()1,0-，若2m k =，则直线l 的方程为2y kx k =+，此时直线恒过()2,0-，与题意矛盾，点()1,0-为椭圆的左焦点1F ，故FPQ △的周长为1148PF FQ PQ PF FQ PF QF a ++=+++==.21.已知函数()ln h x x xλ=+，其中λ为实数.（1）若()y h x =是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；（2）若函数()y h x =有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；（3）记()()g x h x x λ=-，若(),p q p q <为()g x 的两个驻点，当λ在区间42,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，求()()g p g q -的取值范围.【答案】（1）(,0∞⎤-⎦（2）10eλ<<（3）6302ln 2,4ln 2517⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）直接由导数求出参数的范围即可.（2）由导数判断单调性后转化为方程根的个数问题，再求最小值小于零得出结果.（3）根据驻点得出导函数为零的的两根，用韦达定理将双变量换成单变量带入()()g p g q -，写出表达式再求导即可.【小问1详解】易得定义域为()0,∞+，()221x h x x x xλλ-'=-=，当且仅当0λ≤时，()0h x '>恒成立，()y h x =是定义域上的单调递增函数，符合题意；而当0λ>时，()h x '既不恒正，也不恒负，即()y h x =不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去；所以，由题意得实数λ的取值范围为(],0-∞；【小问2详解】函数()y h x =有两个不同的零点，所以()y h x =不是定义域上的单调函数，即0λ>；∴()y h x =在()0,λ上为单调递减函数，在[),λ+∞上为单调递增函数，且当x 趋近于0和+∞时，()y h x =趋近于+∞，∴函数()y h x =有两个不同的零点()()min 1ln 100eh x h l l l ==+<Þ<<.【小问3详解】(),p q p q < 为()()ln x x g x x x xh λλλ=-=+-的两个驻点，(),0p q p q ∴<<为()210g x x x l l =--=¢的两根，即一元二次方程20x x λλ-+=有两个不同的正根，即11p q pq λ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，则1142,11751p q p p p q p λ⎧⎡⎤==∈⎪⎢⎥+⎣⎦+⎪⎪⎨⎪<=⎪⎪⎩，解得1142p ≤≤，()()()2111122ln ln 2ln p g p g q g p g p p p p p p p p p l l l 骣骣骣骣-琪琪琪琪\-=-=+----=+琪琪琪琪桫桫桫桫2212242ln 2ln 211⎛⎫-=+⋅=+- ⎪+⎝⎭+p p p p p p p ，令()24112ln 2,,142⎡⎤=+-∈⎢⎥+⎣⎦m p p p p ，()()()()2222222128011p p m p p p p p -=-=++¢³ ()m p \在11,42p 轾Î犏犏臌上为单调递增函数，则()3064ln 2,2ln 2175m p 轾Î-+-+犏犏臌，()()()6302ln 2,4ln 2517g p g q m p 轾\-=Î--犏犏臌.【点睛】关键点睛：第二问是零点问题，转化为方程根的个数问题；第三问较难，首先将双变量转化为单变量需用驻点这一条件，再用韦达定理表示出来，注意新变量的取值范围，最后再构造函数求单调性得出结果.。
2021年高二下学期开学考试理科数学试题 含答案
2021年高二下学期开学考试理科数学试题含答案第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1.用样本估计总体，下列说法正确的个数是2.①样本的概率与实验次数有关；3.②样本容量越大，估计就越精确；4.③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平；5.④数据的方差越大，说明数据越不稳定．6.A．1 B．2 C．3 D．47.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是8.A．至少有一个黑球与都是黑球B．至多有一个黑球与都是黑球9.C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有一个黑球与恰有两个黑球10.在直角坐标系中，直线的倾斜角是11.A．B．C．D．12.已知随机变量服从正态分布，且，则13.A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.214.学校高中部共有学生2100名，高中部各年级男、女生人数如右表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为15.A．24 B．18 C．16 D．1216.在的展开式中，常数项是17.A．－28 B．－7 C．7 D．2818.在△ABC中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为19.A．B．C．D．20.直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是21.A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心22.C．直线与圆相离D．直线过圆心23.小明在玩“开心农场”游戏的时候，为了尽快提高经验值及金币值，打算从土豆、南瓜、桃子、茄子、石榴这5种种子中选出4种分别种在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物)．若打算在第一块空地上种南瓜或石榴，则不同的种植方案共有24.A．36种B．48种C．60种D．64种25.已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有26.A．9条B．10条C．11条D．12条27.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点B与A连接，则弦长AB超过半径的倍的概率是28.A．B．C．D．29.在圆内，过点有n条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么n的取值集合内所有元素平方和为30.A．126 B．86 C．77 D．50第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）31.若随机变量Ｘ服从两点分布，且成功的概率为0.7，则D(X) =_________32.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_________33. 已知过点A (－1，0)的动直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N ．则_________34. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如右表．请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了数学期望的正确答案为_________三、解答题：本大题共6个小题，共70分。
2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是( )A. f(x)=tanxB. f(x)=x−1xC. f(x)=x−cosxD. f(x)=x(e x+e−x)2.数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sin(a2π+π6)=( )A. 12B. −12C. 32D. −323.设f(x)=ax2+bx+c，(a,b,c∈R).已知关于x的方程f(x)=0有纯虚数根，则关于x的方程f(f(x))=0 ( )A. 只有纯虚数根B. 只有实数根C. 有两个实数根，两个纯虚数根D. 既没有实数根，也没有纯虚数根4.对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：①“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”②d(x,y)=d(y,x)③对任意z∈A，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)则称d(x,y)为集合A上的距离，记为d A.对于命题P、命题Q，下列说法正确的是( )命题P：d(x,y)=|x−y|为d R命题Q：d(x,y)=|sinx−siny|为d RA. 命题P是真命题，命题Q是假命题B. 命题P是假命题，命题Q是真命题C. 命题P和命题Q都是真命题D. 命题P和命题Q都是假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数y=−x2+x+6|x−3|的定义域为______．6.已知复数z=2+i，则log5|z|=______．7.在(x+1x)6的展开式中，常数项为______.(用数字作答)8.已知平面直角坐标系xOy中，A(1,3)，B(2,−4)，则三角形AOB面积为______．9.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=．10.已知向量a=(−1,2),b=(x2,2)，且cos〈a,b〉=35，则x=______．11.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中m、n∈N.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则mn=______．12.已知α，β为锐角，sin(2α+β)=4sinβ，则tan(α+β)tanα=______．13.已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(B|−A)=0.2，那么P(B)=______．14.设l1、l2、l3为空间中三条不同的直线，若l1与l2所成角为α=π6，l1与l3所成角为β=π4，那么l2与l3所成角的取值范围为______．15.已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线方程为x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．16.在数列{a n}中，若存在两个连续的三项a i，a i+1，a i+2与a j，a j+1，a j+2相同(i≠j)，则称{a n}是“3阶可重复数列”.已知给定项数为m(m∈N,m≥4)的数列{a n}，其中a i∈{0,1}(i=1，2，⋯，m)一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是______．三、解答题：本题共5小题，共78分。
2021年高二下学期开学考试数学试题含答案
2021年高二下学期开学考试数学试题含答案一、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟；二、本试卷为文、理合卷，注明理科的只理科考生做，注明文科的只文科考生做，其它的文理考生皆做三、填空题答案答在第Ⅱ卷相应横线上，否则不给分。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )2.A、1 B、2 C、3 D、43.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )4.A、开口向上，焦点为(0，1) B、开口向上，焦点为(0，)5.C、开口向右，焦点为(1，0) D、开口向右，焦点为(0，)6.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等的向量是：( )7.A、B、8.C、D、9.在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是( )10.A、一解B、两解C、一解或两解D、无解11.已知等差数列的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝( )12.A、-4 B、-6 C、-8 D、-1013.已知不等式ax2-5x+b＞0的解集是，则不等式bx2-5x+a＞0的解是( )14.A、x＜-3或x＞-2 B、x＜或x＞C、D、-3＜x＜-215.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么( )16.A、甲是乙成立的充分不必要条件B、甲是乙成立的必要不充分条件17.C、甲是乙成立的充要条件D、甲是乙成立的非充分必要条件18.已知数列的前n项和S n＝n2-9n，第k项满足5＜a k＜8，则k＝( )19.A、9 B、8 C、7 D、620.设X∈R，[X]表示不大于X的最大整数，如：[π]＝3，[-1，2]＝-2，[0，5]＝0，则使[X2-1]＝3的X的取值范围( )21.A、B、C、 D、22.设a，b是非零实数，则方程bx2+ay2＝ab及ax+by＝0所表示的图形可能是( )23.24.已知三个不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＞0；③2x2-8x+m≤0。
【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题
【解析】
由勾股定理逆定理得PA⊥AD，PA⊥AB，∴PA⊥面ABCD，PA⊥CD，PA⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD.
答案：5.
7．
【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学【最新】高二下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．设 是平面 外两条直线，且 ，那么 是 的________条件.
2．已知直线 及平面 ，下列命题中：
④ 可以得到直线 与平面 垂直，所以正确.
【点睛】
本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，属于简单题.
3．
【解析】
【分析】
由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．
【详解】
地球表面上从 地（北纬 ，东经 ）到 地（北纬 ，西经 ）
两地都在北纬 上，对应的的纬圆半径是 ,经度差是
D．
14．由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）
A．5B．6C．7D．8
三、解答题
15．在正方体 中， 分别是 的中点.
求证：空间四边形 是菱形.
16．在棱长为2的正方体 中，（如图） 是棱 的中点， 是侧面 的中心.
（1）求三棱锥 的体积；
5．
【解析】
如图，三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
因为 平面 ，
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
4．由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有________个；
5．某高中元旦晚会有一节目是现代舞，选了5位男生和4位女生参加，舞蹈老师在排练前，让他们男女间隔排列，则排列的方式有__________种；
（1）求 人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；
（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家 和护理专家 不能同时被选的概率.
17．如图所示的几何体 中，四边形 为菱形， ， 平面 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若 ， 是 内的一点，求点 到平面 ，平面 ，平面 的距离的平方和最小值.
二、单选题
11．已知一组数据 、 、 、 、 的平均数是 ，则这组数据的中位数是（）
A． B． C． D．不确定
12．已知两个不同的平面 、 ，A、B、C是三个不同线的三个点，且它们都在平面 内，则“A、B、C到平面 距离相等”是“平面 平面 ”的（）条件
A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．非充分非必要
6．已知正三角形 的边长 ，则到三个顶点的距离都为2的平面有___个；
7．如图，已知正三棱柱 的各条棱长都是 ， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的大小是______；
8．从0、1、2、6、8中任意选择3个不同数作为一元二次方程 的三个系数，则所得到的一元二次方程有实数根的概率是_______；
9．设集合 ，选择A的两个非空子集B和C，要使C中最小的数大于B中的最大数，则不同的选择方法有________；
18．如图，已知正方体 内接于球O，且球的半径为 ，P，Q分别是 ， 上的动点.
2021年高二下学期开学测试数学理试题 含答案
2021年高二下学期开学测试数学理试题 含答案学科：理科数学 测试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集A.个B.个C.个D.个2.复数等于（ ）A. B. C. D.3．已知 , 则(A) (B) (C) (D)4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5.“a = 1”是“复数(,i 为虚数单位)是纯虚数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.7．如下图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1那么这个几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13 D.168．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 359．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．310.将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋111.椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ ）A. B . C . D .12. 如右图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题中，错误的是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直于平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为________．14．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为 ．15.已知OA →＝(1,1)，OB →＝(4,1)，OC →＝(4,5)，则AB →与AC →夹角的余弦值为16．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是____． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积．18. （本小题满分12分）假设某种设备使用的年限x （年）与所支出的维修费用y （元）有以下统计资料：使用年限x2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0参考数据：，如果由资料知y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）；（2）线性回归方程．（3）估计使用10年时，维修费用是多少？19．（本小题满分12分）如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)是否存在这样的E 点，使得平面A 1BD ⊥平面EBD ？若存在，请找出这样的E 点；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n＝4，n ＝1,2，…， (1)求数列{a n }的通项公式和S n ；(2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .21. （本小题满分12分）如图，点A ，B 分别是椭圆的长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为：且.(1)求直线AP 的方程；(2)设点M 是椭圆长轴AB 上一点，点M 到直线AP 的距离等于，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.22. （本小题满分12分）如右图所示，已知直二面角α－AB －β，P ∈α，Q ∈β，PQ 与平面α，β所成的角都为30°，PQ ＝4.PC ⊥AB ，C 为垂足，QD ⊥AB ，D 为垂足．求：(1)直线PQ 与CD 所成角的大小；(2)四面体PCDQ 的体积．参考答案1. A2.B3.C4.A5.A6.A7.D8.B9.C 10. C 11. B 12. D13. 3π∶2 14. 15. 35 16. －3<k ≤017.解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10.(3)S ＝12ab sin C ＝32.18. 解：（1）由表中数据可得=（2+3+4+5+6）÷5=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）÷5=5（2）由已知可得：=．于是 ．所求线性回归方程为：．（3）由（2）可得，当x=10时，（万元）．即估计使用10年时，维修费用是12.38万元． 19. 解：连接AC ，设AC ∩DB ＝O ，连接A 1O ，OE .(1)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACEA 1，∵A 1E ⊂平面ACEA 1，∴A 1E ⊥BD .(2)当E 是CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .证明如下：∵A 1B ＝A 1D ，EB ＝ED ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD ，EO ⊥BD ，∴∠A 1OE 为二面角A 1－BD －E 的平面角．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设棱长为2a ，∵E 为棱CC 1的中点，由平面几何知识，EO ＝3a ，A 1O ＝6a ，A 1E ＝3a ，∴A 1E 2＝A 1O 2＋EO 2，即∠A 1OE ＝90°.∴平面A 1BD ⊥平面EBD .20. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2n S n ＝4，得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3， 且d ＝a 2－a 1＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2. (2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1.所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，①2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n －1＝2(1－2n )1－2－(2n －1)·2n －1. 所以T n ＝(2n －1)·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n ＋3.21. 解： ⑴由题意知，，从而 ，由题意得，，从而，，因此，直线AP 的方程为：， 即. ⑵设，则点M 到直线AP 的距离为，而，依题意得解得或（舍去），故.设椭圆上一点，则，即()22222424249d MN x y x x ==-+=-+，， 所以当时，，即.22. 解：(1)如下图，在平面β内，作CE 綊DQ ，连接PE ，QE ，则四边形CDQE 为平行四边行，所以EQ 綊CD ，即∠PQE 为直线PQ 与CD 所成的角(或其补角)．∵α⊥β，α∩β＝AB ，PC ⊥AB 于C .∴PC ⊥β.同理QD ⊥α，又PQ 与平面α，β所成的角都为30°，∴∠PQC ＝30°，∠QPD ＝30°，∴CQ ＝PQ ·cos 30°＝4×32＝23，DQ ＝PQ ·sin 30°＝4×12＝2.在Rt△CDQ中，CD＝CQ2－DQ2＝12－4＝22，从而EQ＝2 2.∵QD⊥AB，且CDQE为平行四边形，∴QE⊥CE.又PC⊥β，EQ⊂β，∴EQ⊥PC. 故EQ⊥平面PCE，从而EQ⊥PE.在Rt△PEQ中，cos∠PQE＝EQPQ＝224＝22.∴∠PQE＝45°，即直线PQ与CD所成角的大小为45°.(2)在Rt△PCQ中，PQ＝4，∠PQC＝30°，∴PC＝2.而S△CDQ＝12CD·DQ＝12×22×2＝22，故四面体PCDQ的体积为V＝13S△CDQ·PC＝13×22×2＝43 2.936617 8F09 載J34747 87BB 螻35362 8A22 訢37957 9445 鑅23753 5CC9 峉26879 68FF 棿39658 9AEA 髪22414 578E 垎MN 27772 6C7C 汼。
上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题(解析版)
若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；
若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；
若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．
故选A．
点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．
∴
因为
∴
综上所述， 中最小角为 ，故选B.
【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角 平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
【答案】
【解析】
【分析】由已知中球O的半径为1，线段 的长度为 ，求得 ，求出弧AB的长度，即可得出答案.
【详解】解：因为球O的半径为1，A､B是球面上两点，线段 的长度为 ，
在 中， ，
又 ，则 ，
所以A､B两点的球面距离为 .
故答案为： .
5.正方体 中，异面直线 和 所成角的大小为________
所以 取 ，得 .
易知平面 的法向量为 .
由二面角 是锐角，得 .
所以二面角 的余弦值为 .
（3）解：假设存在满足条件的点 .
因为 在线段 上， ， ，故可设 ，其中 .