初二奥数题及答案1

初二数学奥数及答案1、如图,梯形AＢCD中，AD∥BC,DＥ=EC，ＥF∥AB交BC于点F,EＦ＝EＣ，连结DＦ。

（1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AＤ=１，BＣ＝3，DC＝，试判断△DCF的形状; (3）在条件(２)下,射线BＣ上是否存在一点Ｐ，使△PＣD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长;若不存在，请说明理由。

2、在边长为６的菱形ABCD中，动点M从点Ａ出发，沿Ａ→Ｂ→C向终点C运动,连接DM交AＣ于点N。

(１）如图25－１，当点M在AB边上时,连接ＢN.①求证:△ABＮ≌△ＡＤN；②若∠ABC = ６0°，AM = 4，求点Ｍ到ＡD的距离;（2）如图25－2,若∠ＡBC = ９0°，记点M运动所经过的路程为ｘ(6≤x≤1２）试问：x为何值时,△ADN为等腰三角形。

３、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到Ｏ左转弯继续运动到Ｎ,使ＯM＝ON，且ＯM⊥ON,这一过程称为M点关于Ｏ点完成一次“左转弯运动”.正方形ABＣD和点P，P点关于A左转弯运动到Ｐ1，Ｐ1关于Ｂ左转弯运动到P2,P2关于C左转弯运动到P3,P3关于D左转弯运动到P4，P４关于A左转弯运动到P５，……．（1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点Ｐ1的位置；（2）连接P1A、P１B，判断△ABP1与△AＤP之间有怎样的关系？并说明理由。

（３）以D 为原点、直线A Ｄ为轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限,A 、P 两点的坐标为（0,４）、(１，１)，请你推断：P 4、P ２０09、P ２010三点的坐标．4、如图１和２,在２０×２0的等距网格（每格的宽和高均是１个单位长）中,Rt △A ＢＣ从点A 与点M 重合的位置开始,以每秒1个单位长的速度先向下平移，当ＢC 边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移,当点C 与点Ｐ重合时，Ｒｔ△ＡBC 停止移动．设运动时间为x 秒,△QAC 的面积为y 。

...感谢聆听...（1）如图1,当Rt △ABC 向下平移到Rt △A 1B １C 1的位置时，请你在网格中画出Rt △A 1B 1C 1关于直线QN 成轴对称的图形;(2)如图2，在Rt △AB Ｃ向下平移的过程中,请你求出y 与x 的函数关系式,并说明当x 分别取何值时,y 取得最大值和最小值?最大值和最小值分别是多少?（３）在Ｒt △ＡＢＣ向右平移的过程中,请你说明当x 取何值时，y 取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①,△ＡB Ｃ中，A Ｂ=AC,∠B 、∠C 的平分线交于O图1 图2点，过Ｏ点作EF∥ＢＣ交AB、ＡC于E、F.（１）图中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF 之间有怎样的关系，并说明理由.(2)如图②，若AＢ≠AC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们。

在第（1）问中ＥF与B Ｅ、ＣF间的关系还存在吗?(３）如图③，若△ABＣ中∠B的平分线BＯ与三角形外角平分线CO交于O，过Ｏ点作OE∥BC交AB于E，交AＣ于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与ＢE、CF关系又如何?说明你的理由。

6、已知,如图,△ＡBC中，∠BAＣ=90°，ＡB＝AC,Ｄ为AＣ上一点，且∠BDC=124°,延长BA到点Ｅ，使ＡＥ=AD,BD的延长线交CE于点Ｆ,求∠Ｅ的度数。

7、如图，正方形ＡBCD的对角线AC，BＤ交于点Ｏ，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和Ｆ。

通过观察或测量OＥ,ＯF的长度，你发现了什么？试说明理由.ﻬ１、解:（1）证明:∵ＥＦ＝ＥC，∴∠EFＣ＝∠EＣF，∵EF∥ＡＢ，∴∠B=∠EFC,∴∠Ｂ＝∠ECF，∴梯形AＢＣD是等腰梯形；（2)△ＤCF是等腰直角三角形，证明：∵DＥ＝EC,EF＝EC，∴EF= ＣD，∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形）,∵梯形ABCＤ是等腰梯形，∴CＦ= （ＢC-AD）=１, ∵DＣ= ，∴由勾股定理得：ＤＦ＝１,∴△DCF是等腰直角三角形;（3）共四种情况：PB=1,PB=2，ＰB＝3—，ＰB=3＋2、证明:（1）①∵四边形ＡBCD是菱形，∴ＡB=AＤ，∠1=∠２. 又∵AN=AN，∴△ABN≌△ＡDN．②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点Ｈ. 由AD∥BC，得∠ＭAH=∠AＢC=６0°。

在Rｔ△AＭＨ中，MＨ=ＡＭ•ｓｉｎ6０°=4×sin６0°=2 ．∴点M到ＡＤ的距离为２。

∴AH=2．∴DH=6+2=8.（２）解：∵∠ＡBＣ=9０°，∴菱形ＡBCD是正方形．∴∠CAD=４5°．下面分三种情形: （Ⅰ)若ND＝NA，则∠ADN=∠NAD=4５°．此时，点M恰好与点B重合，得x=6;（Ⅱ）若ＤN=ＤA,则∠DNA=∠DAN=4５°. 此时，点M恰好与点Ｃ重合，得ｘ=12；(Ⅲ）若AN=AＤ=6,则∠1＝∠2. ∵AD∥BＣ，∴∠1=∠4，又∠２=∠３,∴∠3=∠4. ∴CM＝ＣN．∴AC=6 2．∴CM＝CＮ=AC －ＡＮ=6 2—6.故x＝1２—CM=１2－(6 2-6）＝18—6 2．综上所述：当x=６或１2或18—６ 2时，△AＤN是等腰三角形。

３、解：（1）用直尺和圆规作图,作图痕迹清晰；（2)△ABP１≌△ADP,且△ＡBP1可看成是由△ADP绕点Ａ顺时针旋转９0°而得．理由如下:在△ＡBＰ1和△ＡDP中,由题意:AB=ＡD，ＡP=AＰ１,∠ＰAＤ=∠Ｐ1ＡB，∴△ABP1≌△ＡDP,又∵△ABP1和△ADＰ有公共顶点A，且∠PＡＰ１＝90°，∴△AＢP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得;（3)点P(1，１）关于点A（0，4）左转弯运动到P１（-3,3），点Ｐ1（-3，3）关于点B（-4，4)左转弯运动到点Ｐ2（—5，３）,点P2(－5,3)关于点C(—４,0）左转弯运动到点P３（—1,1),点Ｐ３（—１，1)关于点D(０,0)左转弯运动到点P4(１，1),点P4（1,１）关于点A（０,４)左转弯运动到点P５(－3，3），点P5与点P1重合，点P６与点P2重合，,点P2００9的坐标为（-３,3）点P2010的坐标为(—５，3）。

４、解：（１）如图1，△Ａ2B2Ｃ2是△A１B1Ｃ1关于直线QN成轴对称的图形；（2)当△AＢC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2），则有：MA=x，MB=x＋4，ＭQ=20,y=S梯形QＭBC-Ｓ△AMQ－S△ＡBＣ=4+２０）（x＋4）—×2０ｘ- ×４×4＝2x+40（0≤x≤１６）．由一次函数的性质可知：当x=0时,y取得最小值,且y最小＝40,当x＝1６时，ｙ取得最大值，且y最大=2×16＋40＝72；(3)解法一:当△ＡBC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时,此时16≤x≤32，PＢ=20-（x—16）=36-x，PC=ＰB－４＝３2—x，∴ｙ=S梯形BAＱP－Ｓ△CPQ－S△ABC＝（4+20）(3６—ｘ）-×20×（３2－ｘ）－×4×4=-2x＋1０4（１6≤x≤３２）．由一次函数的性质可知:当x＝32时，y取得最小值,且y最小=—2×３2＋104=4０;当x=16时，ｙ取得最大值，且y最大=-２×１6+104=72．解法二：在△AＢC自左向右平移的过程中，△QAC在每一时刻的位置都对应着(2）中△QAC某一时刻的位置，使得这样的两个三角形关于直线ＱN成轴对称。

因此,根据轴对称的性质,只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可以知道△ABＣ在自左向右平移过程中△ＱAC面积的变化情况。

当x=16时，y取得最大值，且y最大=72，当x＝３2时,ｙ取得最小值，且y最小=４０．5、解：(1）图中有5个等腰三角形，ＥF＝ＢE+ＣF,∵△BEO≌△ＣFO，且这两个三角形均为等腰三角形，可得EF=EO+ＦＯ＝ＢＥ+ＣＦ;（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CＦＯ,如下图所示:∵ＥF∥BC,∴∠2=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠1＝∠3，∴△BEO为等腰三角形,在△CFO中，同理可证．∴EＦ＝ＢＥ＋CＦ存在．(3)有等腰三角形:△BEO、△CFO,此时EF＝BE－ＣF,∵如下图所示：OＥ∥BC，∴∠５=∠６,又∠4＝∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEＯ是等腰三角形,在△CFO中,同理可证△CFO是等腰三角形,此时EF=BE—CF，６、解：在△ABD和△AＣE中,∵AB=AC，∠DＡB＝∠CＡE＝9０°AD=ＡＥ，∴△ABD≌△ＡCＥ（ＳAS），∴∠Ｅ＝∠ADB。

∵∠ADＢ＝180°-∠BDC=180°—12４°=56°，∴∠E＝56°．7、解：OＥ=ＯF．证明：正方形ＡBCD的对角线ＡC,BD交于点O，∴ＯA=OB，∠OAＢ=∠OBE=45°，ＡC⊥ＢＤ．∵∠AOF+∠FOB＝∠EOB+∠FOB=９0°，∴∠ＡOF=∠EOB.在△AOF和△ＢOE中∠ＯAB=∠ＯBＥ,OＡ＝ＯB,∠ＡOF=∠EＯB，∴△ＡOF≌△BＯＥ(ASA)．∴OＥ=OF．...谢阅...。