数理方程教学大纲
《积分变换与数理方程》教学大纲
《积分变换与数理方程》教学大纲课程编号：112004 开课学期：4适用专业：电子信息科学与技术编写教师：赵玉泉学时：36 学分：2审核：彭光含第一部分说明一、课程的性质、作用《积分变换与数理方程》是继《高等数学》之后的一门数学课程，是电子信息科学与技术专业学生的必选课。
其中积分变换是《信号与线性系统分析》课程的一部分，为使学生更集中地学习《信号与线性系统分析》的理论知识而将这部分数学知识从中分离出来，单独组成本课程。
因此学生只有具备了本课程的基础知识和基本技能，才可能学习《信号与线性系统分析》等专业课程。
即该课程内容是以后学习多门专业课程的必备工具。
二、课程的任务与基本要求本课程内容主要有：信号与信号的基本运算、卷积与卷积和、傅立叶变换、拉普拉斯变换及Z变换。
这些内容要求学生都必须掌握。
信号部分，要求学生掌握信号的种类、信号的基本运算、阶跃函数及冲激函数定义与运算。
卷积及卷积和部分，要求学生掌握卷积的定义、性质及计算方法。
傅立叶变换部分，要求掌握傅立叶级数、傅立叶变换的定义及性质。
拉普拉斯变换部分，要求学生掌握拉普拉斯变换的定义、性质及逆变换。
离散信号的Z变换，要求掌握Z变换的定义、性质。
三、教学方法建议积分变换与数理方程课程，其理论性很强。
从教学的实际情况看，学生普遍感到难度大。
因此，在教学方法上一般宜采用教师讲授。
对于积分变换，学生感觉困难的主要原因是公式多，记不住。
有的学生虽记住了公式，但不能灵活运用。
建议：1、冲击函数的教学，最好不涉及广义函数的概念和理论，以免学生感到复杂难懂。
2、信号与积分变换中，图像多，宜制作一批教学挂图或幻灯片辅助教学。
3、要引导学生适当复习，寻找公式的记忆方法，务必熟记公式。
4、要多列举范例，帮助学生理解公式，学会如何综合运用公式。
四、本课程与其他课程的关系为学习本课程，学生必须具备较扎实的复数、级数、三角函数、待定系数等初等数学知识与复变函数、导数、积分等高等数学知识，具备一定的普通物理特别是电磁学方面的知识。
复变函数与数理方程教学大纲.doc
复变函数与数理方程Functions of Complex Variables and Equations of Mathematical PhysicsFall Semester 201XSyllabusCourse Description:本课程是理工科有关专业的一门基础课，主要由”复变函数”"数学物理方程”和“特殊函数”三部分内容组成。
“复变函数”部分介绍解析函数的基本性质，积分，级数，留数等内容。
“数学物理方程”部分介绍数学物理方程的一些基本概念及三种典型方程、各种定解问题的常用解法，包括分离变量法、行波法、积分变换法和格林函数法等。
“特殊函数”部分讨论贝塞尔函数及勒让德多项式。
通过这门课程的学习，学生应掌握复变函数论的基本知识和方法，三类典型方程定解问题的解法，了解贝塞尔函数及勒让德多项式的简单性质及其在数学物理方程中的应用，为学习电磁场、量子力学等有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础，也为进一步了解和应用现代偏微分方程的有关内容解决科学技术和工程实际问题提供重要帮助。
This is a foundation course for engineering students. It mainly consists of three parts: functions of complex variables, equations of mathematical physics and special functions.By this course, the students are expected to grasp the basic knowledge and techniques in solving questions of complex variables and the three types of partial differential equations. The contents of this course will be of great benefit for later curriculums and applied in many aspects.Prerequisite: calculus, or equivalent courses.Textbook: A first course in partial differential equations with complex variables and transform methods, by H.F.Weinberger, Dover Pub.Inc.Examinations: One 120-minute midterm examination, and a comprehensive final examination given during the final examination period.Calculators: A calculator may be useful for some homework problems involving graphing. However, the use of calculators is not permitted on exams.Grading Policy: Grades will be assigned on the basis of 100 points distributed as follows30 points midterm examination30 points quizzes/homework40 points final examinationTentative Course Outline:Chp 1 The one dimensional wave equation 一维波动方程Chp 2 linear 2nd-order partial differential equations in 2 variables 二元二阶线性偏微分方程Chp 3 Some properties of elliptic and parabolic equations 椭圆和抛物型方程的性质Chp 4 Separation of variable and Fourier series 分离变量法和Fourier 级数Chp 5 Nonhomogeneous problems 非齐次问题Chp 6 Problems in higher dimensions and multiple Fourier series 高维问题和多元Fourier 级数Chp 7 Sturm-Liouville theory and general Fourier expansions 斯特姆■刘维尔理论和广义Fourier展开理论Chp 8 Analytic functions of a complex variable 一元解析函数Chp 9 Evaluation of integrals by complex variable methods 复变函数积分的方法Chp 10 The Fourier transform 傅里叶变换Chp 11 The Laplace transform 拉普拉斯变换Chp 12 Approximation methods近似方法（有限元方法）Details of the contentI.The one-dimensional wave equation1. A physical problem and its mathematical models: the vibrating string2.The one-dimensional wave equation3.Discussion of the solution: characteristics4.Reflection and the free boundary problem5.The nonhomogeneous wave equation11. Linear second-order partial differential equations in two variables6.Linearity and superposition7.Uniqueness for the vibrating string problem8.Classification of second-order equations with constant coefficients9.Classification of general second-order operatorsHI. Some properties of elliptic and parabolic equationsplace's equation11.Green's theorem and uniqueness for the Laplace's equation12.The maximum principle13.The heat equationIV.Separation of variables and Fourier series14.The method of separation of variables15.Orthogonality and least square approximationpleteness and the Parseval equation17.The Riemann-Lebesgue lemma18.Convergence of the trigonometric Fourier series19.Uniform convergence, Schwarz's inequality, and completeness20.Sine and cosine series21.Change of scale22.The heat equationplace's equation in a rectangleplace's equation in a circle25.An extension of the validity of these solutions26.The damped wave equationV.Nonhomogeneous problems27.Initial value problems for ordinary differential equations28.Boundary value problems and Green's function for ordinary differentialequations29.Nonhomogeneous problems and the finite Fourier transform30.Green's functionVI.Problems in higher dimensions and multiple Fourier series31.Multiple Fourier seriesplace's equation in a cubeplace's equation in a cylinder34.The three-dimensional wave equation in a cube35.Poisson's equation in a cubeVII.Sturm-Liouville theory and general Fourier expansions36.Eigenfunction expansions fbr regular second-order ordinary differentialequations37.Vibration of a variable string38.Some properties of eigenvalues and eigenfunctions39.Equations with singular endpoints40.Some properties of Bessel functions41.Vibration of a circular membrane42.Forced vibration of a circular membrane: natural frequencies and resonance43.The Legendre polynomials and associated Legendre functionsplace's equation in the sphere45.Poisson's equation and Green's function for the sphereVIII. A nalytic functions of a complex variableplex numbersplex power series and harmonic functions48.Analytic functions49.Contour integrals and Cauchy's theoremposition of analytic functions51.Taylor series of composite functions52.Conformal mapping and Laplace's equation53.The bilinear transformationplace's equation on unbounded domains55.Some special conformal mappings56.The Cauchy integral representation and Liouville's theoremIX.Evaluation of integrals by complex variable methods57.Singularities of analytic functions58.The calculus of residuesurent series60.Infinite integrals61.Infinite series of residues62.Integrals along branch cutsX.The Fourier transform63.The Fourier transform64.Jordan's lemma65.Schwarz's inequality and the triangle inequality for infinite integrals66.Fourier transforms of square integrable functions: the Parseval equation67.Fourier inversion theorems68.Sine and cosine transforms69.Some operational formulas70.The convolution product71.Multiple Fourier transforms: the heat equation in three dimensions72.The three-dimensional wave equation73.The Fourier transform with complex argumentXL The Laplace transform74.The Laplace transform75.Initial value problems fbr ordinary differential equations76.Initial value problems for the one-dimensional heat equation77. A diffraction problem78.The Stokes rule and Duhamel's principleXII. Approximation methods79.''Exact" and approximate solutions80.The method of finite differences for initial-boundary value problems81.The finite difference method for Laplace's equation82.The method of successive approximations83.The Rayleigh-Ritz method(This schedule is subject to change.)ACADEMIC INTEGRITY STATEMENT: All university policies regarding ethics and honorable behavior apply to this course.。
23.数理方程大纲
«数理方程»课程编号:« 00500750»课程名称：数理方程英文名称：Equations of Mathematical Physics总学时：32总学分：3适用对象: 本科生先修课程：线性代数、偏微分方程、复数函数与积分变换、普通物理一、课程性质、目的和任务《数理方程》是高等工科院校有关专业的一门基础课，由于本课程是由实际的电磁现象、物质和粒子的扩散通、热的传导等实际物理过程中抽象和归纳出一些典型的偏微分方程，所以，通过本课程的学习，激发学生热爱专业，加强专业基础知识，增强为建设祖国的事业心和责任感，使学生获得在实际工程中有关偏微分方程的一些基本概念、解偏微分方程的常用方法和有关贝塞尔函数与勒让德多项式的一些基本知识，为学习后继课程与扩大数学知识面提供必要的数学支撑，为以后从事专业工程计算奠定必要的基础。
二、教学要求和内容基本要求：该课程主要讲述经典的弦振动、热传导、拉普拉斯方程的导出，定解问题的概念和常用的求解方法等。
通过本课程的学习，使学生掌握必要的数学手段和数学工具，能灵活运用数学模型解决专业问题（1）掌握物理中的典型方程和定解问题，理解必要的基本数学概念和这些方程的物理意义（2）重点掌握求解物理方程的基本方法和要领，尤其是分离变量法、行波法和积分变换法。
能根据实际问题转化为数学上的定解问题，并了解各种解的物理意义（3）了解贝塞尔函数、勒让德多项式和埃尔米特多项式的一些基本知识与应用基本内容1 典型方程与定解条件（1）由物理中的弦振动、热传导和稳定场问题推出数学物理中的三类典型方程和它们的定解条件——定解问题是本课程的一个重点和难点问题（2）二阶线性偏微分方程的分类和有关的基本概念2 定解问题的求解方法（1）分离变量法（2）行波法（3）积分变换法（4）格林函数法和其它方法介绍其中，分离变量法、行波法和积分变换法是本段内容的重点，而难点是积分变换法和格林函数法3 特殊函数知识和应用（1）贝塞尔函数及应用（重点）（2）勒让德函方程极其求解（3 ）埃尔米特多项式的定义与特性三、教学安排及方式本课程是一门基础理论课，根据其特点，拟采用以课堂讲授为主，课堂讨论为辅的原则，精讲多练，讲授中贯穿介绍有关专业名词和英语读法，并在各章中安排一定内容引导学生自学，课堂讨论采用师生互动，诱导学生思考和发表见解，培养学生思考问题和解决问题的能力。
数理方程 教学大纲
数理方程教学大纲数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种类型的方程及其解法。
无论是在理论研究还是实际应用中，数理方程都扮演着重要的角色。
因此，为了更好地培养学生的数学思维和解题能力，数理方程的教学大纲应该具备一定的深度和广度。
首先，数理方程的教学大纲应该包括基本的方程类型和解法。
学生首先需要学习一元一次方程、一元二次方程以及简单的高次方程的解法。
这些方程是数理方程的基础，掌握了这些基本的方程类型和解法，学生才能够更好地理解和应用更复杂的方程。
其次，数理方程的教学大纲还应该包括方程的应用。
数理方程在实际生活中有着广泛的应用。
例如，一元一次方程可以用来解决物品购买、时间计算等实际问题；一元二次方程可以用来解决抛物线轨迹、最值问题等。
通过引入这些实际应用，可以增加学生对数理方程的兴趣，提高他们的解题能力。
此外，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的数学思维和解题能力。
数理方程的解题过程需要学生进行分析、推理和演绎，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
因此，在教学中应该注重培养学生的思维能力，引导他们从不同角度思考问题，探索解题的多种可能性。
另外，数理方程的教学大纲还应该注重数学模型的建立和解决。
数学模型是数理方程应用的重要手段，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，再通过解方程求解。
因此，在教学中应该引导学生学会建立数学模型，并通过解方程求解实际问题。
此外，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的数学思维和解题能力。
数理方程的解题过程需要学生进行分析、推理和演绎，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
因此，在教学中应该注重培养学生的思维能力，引导他们从不同角度思考问题，探索解题的多种可能性。
最后，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的团队合作和沟通能力。
数理方程的解题过程往往需要学生之间的合作和交流，通过合作解题，可以激发学生的思维活力，拓宽他们的解题思路。
因此，在教学中应该注重培养学生的团队合作和沟通能力，培养他们的团队合作精神和解决问题的能力。
数理方程第1讲-69页PPT资料
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
数学物理方程研究生教学大纲(应用人才)-学硕和专博
《数学物理方程》（应用人才）教学大纲一、课程基本信息1、课程英文名称：Equations of Mathematical Physics2、课程类别：基础课程3、课程性质：学位课4、课程学时：总学时 365、学分：26、先修课程：《高等数学》、《积分变换》、《复变函数》7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论8、适用专业：工学专业的学术型硕士和博士9、大纲执笔：研究生教研室10、大纲审批：理学院学术委员会11、制定(修订)时间：2015年6月、2018年7月二、课程的目的与任务数学物理方程是工科院校相关专业硕士研究生的一门重要的学位课程，数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。
本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，算子法等；通过本课程的学习，能够建立一些较为简单的实际问题数学物理模型，学会用数学物理方程理论与方法解决实际问题的初步技能。
三、课程的基本要求1、理解数学物理方程的基本概念。
2、掌握利用微元法建立数学物理方程的思想和方法。
3、理解数学物理方程解的适定性概念。
4、掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤。
5、理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法。
6、会求解非齐次方程的定解问题。
7、掌握非齐次边界条件的处理方法。
8、了解施图姆—刘维尔问题及其性质。
9、掌握Fourier变换的定义和基本性质，会用Fourier变换求解某些简单的数学物理方程定解问题。
10、掌握Laplace变换的定义和基本性质，会用Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。
11、掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。
《数学物理方程讲义》课程教学大纲
《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。
数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。
通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。
本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。
为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。
它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。
二、课程的目的与教学要求1 了解下列基本概念:1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。
2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。
3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。
2 掌握下列基本解法1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题;2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用;3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题;4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用;5)掌握二阶线性偏微分方程的分类二、课程的教学要求层次教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。
数理方程第讲教学教材
于零.
11
2º设l=0, 此时方程(2.5)的通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
12
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5)
的通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
由条件(2.6)得 A = 0
B sin l = 0
由于B不能为零, 所以sin l=0, 即
从而
n(n1,2,3,L)
l
ln22
l2
(2.7)
13
(2.5),(2.6)的一系列特征值及相应的特征函数
为:
ln n2l2 2 (n1,2,3,L)
(2.7)
Xn(x)Bnsinnl x(n1,2,3,L)(2.8)
将上式中的特征值代入到(2.4)得
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cos
ax
C
x2
sinaxd x
-
1 a
x2
cosax
2 a2
xsinax
2 a3
cosax
C
x
cos
axd
x
1 a2
cos
ax
1 a
xsin
ax
C
x2
cosaxd x
1 a
x2
sinax
2 a2
xcosax
-
2 a3
sinax
C
25
分析一下级数形式解(2.11)的物理意义. 先固 定t, 看看任意指定时刻波是什么形状; 再固定 x, 看该点的振动规律. (2.11)中的一项:
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《数理方程》教学大纲
一、课程的基本信息
课程名称：《数理方程》
英文名称：Mathematics and Physical Equation
课程性质：专业方向选修课
课程编号：1623303002
周学时：3学时
总学时：48学时
学分：3学分
适用专业：
适用于信息与计算科学专业
预备知识：数学分析、高等代数、常微分方程、复变函数
课程教材：
姜礼尚，陈亚浙主编，《数学物理方程讲义》（第二版），高等教育出版社出版、1996年9月
参考书目：
[1] 谷超豪主编，《数学物理方程》（第二版），高等教育出版社、2002年．
[2] 南京工学院数学教研组主编，《数学物理方法》(第五版)，高等教育出版社、1982年.
[3]陈恕行主编，《数学物理方程》，复旦大学出版社、2003年.
考核方式：考试
制定时间：2013年10月制定
二、课程的目的与任务
《数理方程》是高等院校信息与计算科学专业的专业选修课之一。
数学物理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过数理方程
的教学，使学生了解和掌握数理方程这一学科的基本概念、理论，培养学生的理论思维能力，为从事信息与计算科学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
通过本课程的教学使学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三个典型方程定解问题的解法，为后继课程进一步扩大数学知识面提供了必要的数学基础。
第一章方程的导出和定解条件（10学时）
一、本章基本要求
1．掌握典型方程和定解条件的表达形式；
2．了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题；
3．掌握偏微分方程的基本概念。
二、教学内容
1．守恒律
2．变分原理
3．定解问题的适定性
第二章波动方程（14学时）
一、本章基本要求
1．了解波动方程的导出方法，领会定解条件及意义；
2．掌握初边值问题的分离变量法；
3．掌握高维波动方程的柯西问题；
4．了解波的传播与衰减的意义；
5．了解能量不等式确定方程解的唯一性和稳定性。
二、教学内容
1．一阶线性方程的特征线解法
2．初值问题（一维情形）
3．初值问题（高维情形）
4．混合问题
第三章热传导方程（14学时）
一、本章基本要求
1．了解通过物理原理建立热传导方程；
2．掌握分离变量法解初边值问题；
3．掌握傅立叶变换求解柯西问题；
4．了解极值原理确定定解问题解的唯一性和稳定性。
二、教学内容
1．初值问题
2．混合问题
3．极值原理与最大模估计
第四章位势方程（10学时）
一、本章基本要求
1．掌握建立调和方程，明确定解条件的方法；
2．掌握格林公式及其应用；
3．了解格林函数，及用强极值原理判定第二边值问题解的唯一性。
二、教学内容
1．基本解与Green函数
2．极值原理与调和函数的性质
3．变分方法
执笔人：
审核者：
教学院长：。