函数图像变换公式大全(可编辑修改word版)
函数图像的几何变换
函数图像的几何变换一．1.考查函数图像是近年来高考的一个热点。
题型有二：一是给函数解析式，指出函数图像，多以选择题的形式出现；二是由函数，画出函数图像或者示意图，利用形数结合法解题，其中常用到几种常见函数的图像变化。
2. 高中常见的函数几何图象变换有4种：平移、对称、局部翻折、伸缩变换等。
平常做题时，尽量根据函数性质和几何变换，画出函数图像，以便数形结合、直观明了。
二.4种函数图像变换（一）平移变换1.上下平移，上加下减y=f(x)————y=f(x)+bb为正时，上移b个单位；b为负时，下移b的绝对值个单位。
2. 左右平移，左加右减y=f(x)—————y=f(x+a)a大于0时左移；a小于0时，右移a的绝对值个单位。
（二）对称变换：1. 关于x轴对称，由点（x,y)和点（x,-y)关于x轴对称得到。
y=f(x)——————y=-f(x)2. 关于y轴对称。
由点（x,y)和点（-x,y)关于y轴对称，而得到下列函数图像关于y轴对称。
y=f(x)——————y=f(-x)3. 关于原点对称由点(x,y)和点(-x,-y)关于坐标原点对称而得到。
y=f(x)———————y=-f(-x)4. 关于直线y=x对称点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称，得到原函数和反函数的图像也关于上述直线对称。
（三）局部对称翻折1. 留右，右翻左。
自变量取绝对值型。
因自变量取绝对值是偶函数，x大于等于0时，x的绝对值等于x，所以保留y轴的右边图像不变，再将y轴右边的图像对称地翻到y轴左边。
y=f(x)——————y=f(|x|)2. 留上，下翻上型函数值外面取绝对值型，因为当函数值为正时，函数值不变，故留上；当函数值为负时，负数的绝对值是其相反数，故x轴下方的图像要翻到x轴上方。
y=f(x)——————y=|f(x)|（四）伸缩变换1. 函数值外面乘一个正常数A，纵向伸缩，横坐标不变，各点纵坐标变A倍。
y=f(x)——————y=Af(x)2. 纵不变，横变B分之一倍函数中的自变量x乘一个正常数B型。
函数图像变换与旋转
函数图像变换与旋转一.平移变换：1.y=f（x）→y=f(x±a)(a>0) 原图像横向平移a个单位（左+右-）2.y=f（x）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b个单位（上+下-）3.若将函数y=f（x）的图像右移a，上移b个单位，得到函数y=f（x-a）+b二．对称变换：1.y=f（x）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y轴对称；对比：若f=（-x）=f（x）则函数自身的图像关于y轴对称；2.y=f（x）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x轴对称；3.y=f（x）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f（-x）=-f（x）则函数自身的图像关于原点对称；4.y=f（x）→y=f-1（x）原图像与新图像关于直线y=x对称；5.y=f（x）→y=f-1（-x）原图像与新图像关于直线y=-x对称；6.y=f（x）→y=f（2a-x）原图像与新图像关于直线x=a对称；7.y=f（x）→y=2b-f（x）原图像与新图像关于直线y=b对称；8.y=f（x）→y=2b-f（2a-x）原图像与新图像关于点（a，b）对称；三．翻折变换：1. y=f（x）→y=f(|x|)的图像在y轴右侧（x>0）的部分与y=f（x）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y轴对称；2.y=f（x）→y=|f(x)|的图像在x轴上方部分与y=f（x）的图像相同，其他部分图像为y=f（x）图像下方部分关于x轴的对称图像；3. y=f（x）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a右边图像，后去掉直线x=a左边图像并作关于直线x=a对称图像y=f（x）→y=f(x+a)→y=f(|x+a|)法2:先保留y轴右边图像，去掉y轴左边图像，并作关于y轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f（x）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：1.y=f（x）→y=af(x)（a>0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变；2.y=f（x）→y=f(ax)（a>0）原图像上所有的横坐标变为原来的，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f（x）=f（2a-x）（或f（a+x）=f（a-x）或f（-x）=f（2a+x））则函数自身关于直线x=a对称；（2）.若y=f（x）的图像关于直线对称等价于f（a+mx）=f（b-mx）等价于 f（a+b-mx）=f（mx）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f（mx+a）=-f（b-mx），则函数自身关于点（，0）对称；（2）.若f（mx+a）+f（b-mx）=c，则函数自身关于点（，）对称；（3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b（或f（x）+f(2a-x)=2b或f（-x）+f(2a+x)=2b 则函数自身关于点（a,b）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f（a+x），y=f（b-x）的图像关于直线对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称；特例：函数y=f（a+x），y=f（a-x）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f（a+x），y=-f（b-x）的图像关于点（，0）对称；特例：函数y=f（a+x）与y=-f（a-x）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个时式子成立切等价： f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；1.f（x+a）=f（x）周期：|a|2.f（x+a）=-f（x）周期：2|a|3.f（x+a）=（或周期：2|a|4.f（x+a）=f（x-a）周期：2|a|5.f（x+a）=-f（x-a）周期：4|a|6.f（x+a）=（或）周期：4|a|7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-) 周期：七．对称性与周期性：1.若y=f（x）的图像关于直线x=a，x=b对称（a不等于b），则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；特例：若y=f（x）是偶函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=2|a|；2.若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f（x）的图像关于直线x=a，对称中心（b，0）对称（a不等于b）则f（x）为周期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f（x）是奇函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。
函数图像变换(整理)
函数的图象变换函数图象的基本变换：(1)平移；(2)对称；(3)伸缩。
由函数y = f (x)可得到如下函数的图象1． 平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。
(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。
2． 对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。
(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。
(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。
(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。
(5)函数)x (f y 1-=与y = f (x)的图象关于直线y = x 对称。
(6)函数)x (f y 1--=-与y = f (x)的图象关于直线y = -x 对称。
(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。
（留正去负，正左翻（关于y 轴对称））；(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。
(留正去负，负上翻；)一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。
✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。
(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。
3． 伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m 1倍得到。
函数图象的四大变换
y y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D， 当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
. .
-1
-1
-1
.
1
2
.
X
-2
. . . . .
1 -1 1 -1
2
2
X
C
D
分析：根据y=F(x)= xf `(x)的图象，得F(1)＝ f `(1)＝0， F（－1）＝ － f `(－ 1)＝0， ∴ f `(1)＝ f `(－ 1)＝0， ∴ x＝1和x= － 1是f (x)的极值点.故选C. Y 提问：本例除了从图形获取有效信息： 2 .1 f `(1)＝ f `(－ 1)＝0之外， .-2 -1. .1 还能获取什么有效信息？ -1. ［注：如1＜x<2时，xf `(x)＞0，∴ f `(x) ＞0，
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2 （3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1
y=f(x+1) 1 -1 O y=f(x)-1-1 1 y=f(x-1)
x
函数图象的平移变换：
左右平移 （a>0） 上下平移 (a>0)
y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
函数的图像及其变换(完整版)
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晴。
函数图象变换
y = 2|x|
0
x
例5.
先作出函数 y = 2|x| 的图象， 解： 2 x ••• x 0) x ( 2 •• x 0) ( | x| y 2 x 1 x 2 ( x 0) ( ) ( x 0) 2 又 y = 2|x| 是偶函数，
（1，-1）
x
例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y
y=2x
y=|2x-2|
y=2x-2
1
O
y=|2x-2|
1
23xFra bibliotek-1例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
f(-x)的解析式及其定义域并分别作出它们的图象。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
对 称 变 换
图象关于 x轴对称
图象关于
图象关于
原点对称
y轴对称
例7.指数函数 y = 2x 的图象与函数 y = 2-x ，y=-2x ，y = -2-x 的图象的关系：
针 对 自 变 量 针 对 因 变 量
沿y轴向上平移k个单位 y y-k ( k > 0 )
沿y轴向下平移k个单位
(2)翻折变换：分为左折与上折
y=f(x)
去掉y轴左边图象，保留y轴右边 图象，再作其关于y轴对称图象
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
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蕾博士函数图像变换公式大全一、点的变换.设 P (x 0 , y 0 ) ，则它（1） 关于 x 轴对称的点为(x 0 ,- y 0 ) ；（2） 关于 y 轴对称的点为(-x 0 , y 0 ) ；（3） 关于原点对称的点为(-x 0 ,- y 0 ) ；（4） 关于直线 y = x 对称的点为( y 0 , x 0 ) ；（5） 关于直线 y = -x 对称的点为(- y 0 ,-x 0 ) ；（6） 关于直线 y = b 对称的点为(x 0 ,2b - y 0 ) ；（7） 关于直线 x = a 对称的点为(2a - x 0 , y 0 ) ；（8） 关于直线 y = x + a 对称的点为( y 0 - a , x 0 + a ) ;（9） 关于直线 y = -x + a 对称的点为(- y 0 + a , a - x 0 ) ;（10） 关于点(a , b ) 对称的点为(2a - x 0 ,2b - y 0 ) ；（11）按向量(a , b ) 平移得到的点为(x 0 + a , y 0 + b ) .二、曲线的变换.曲线 F (x , y ) = 0 按下列变换后所得的方程：(1) 按向量(a , b ) 平移，得到 F (x - a , y - b ) = 0 ；(2) 关于 x 轴对称，得到 F (x ,- y ) = 0 ；(3) 关于 y 轴对称，得到 F (-x , y ) = 0 ；(4) 关于原点对称，得到 F (-x ,- y ) = 0 ；(5) 关于直线 x = a 对称，得到 F (2a - x , y ) = 0 ；(6) 关于直线 y = b 对称，得到 F (x ,2b - y ) = 0 ；(7) 关于点(a , b ) 对称，得到 F (2a - x ,2b - y ) = 0 ；(8) 关于直线 y = x 对称，得到 F ( y , x ) = 0 ；(9) 关于直线 y = x + a 对称，得到 F ( y - a , x + a ) = 0 ；(10) 关于直线 y = -x + a 对称，得到 F (-x + a , a - y ) = 0 ； (11) 纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍，得到方程 F ( x, y ) = 0 ；a(12) 横坐标不变纵坐标变为原来的b 倍，得到方程 F (x , y) = 0b三、两个函数的图象对称性1:左右平移: y = f (x ± a ) （ a > 0 ）的图像可由 y = f (x ) 的图像向左（+）或向右（—）平移a 个单位而得到； y = f (mx ± a ) （ m > 0, a > 0 ）的图像可由 y = f (mx ) 的图像向左（+）或向右（—）平移 a个单位而得到;m2. 上下平移： y = f (x ) ± b （b > 0）的图像可由 y = f (x ) 的图像向上（+）或向下（—）平移b 个单位而得到；3. y = f (-x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于 y 轴对称；换句话说： y = f (x ) 与y = g (x ) 若满足 f (x ) = g (-x ) ，即它们关于 x = 0 对称。
4. y = - f (x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于 x 轴对称；换句话说： y = f (x ) 与y = g (x ) 若满足 f (x ) = -g (x ) ，即它们关于 y = 0 对称。
5. y = - f (-x ) 的图像与 y = f (x ) 的图像关于原点对称；6. y =| f (x ) |的图像可如此得到： y = f (x ) 的图像在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴的上方，其余不变；7. y = f (| x |) 的图像：保留 y = f (x ) 的图像在 y 轴右侧的部分，并沿 y 轴翻折到y 轴左边部分代替原 y 轴左边部分； 8. y = f (x + a ) 与 y =f (b - x ) 关于直线 x = b - a对称(在函数 y = f (a + x ) 上任取一 2点(x , y ) ，则 y = f (a + x ) ，点(x , y ) 关于直线 x = b - a对称点（ b - a - x ，y 1）。
11111 121由于 f [b - (b - a - x 1 )] = f [b - b + a + x 1 ] = f (a + x 1 ) = y 1 ,故点（ b - a - x 1 ，y 1）在函数y = f (b - x ) 上。
由点(x 1, y 1) 是函数 y = f (a + x ) 图象上任一点因此 y = f (a + x ) 与y = f (b - x ) 关于直线 x = b - a 对称。
)；换句话说, y = 2f (a - x ) 与 y = f (x - b ) 关于直线x =a +b对称; 换句话说,2y =f (-x) 与y = f (x -b) 关于直线x =b对称.29.y = f (x) 与y = 2a -f (x) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y = f (x) 与y =g(x) 若满足f (x) +g(x) = 2a ，即它们关于y =a 对称；10.1.y =f (x)与y = 2b -f (2a -x) 关于点(a, b) 对称。
换种说法：y = f (x) 与y =g(x) 若满足f (x) +g(2a -x) = 2b ，即它们关于点(a, b) 对称。
特别提醒①函数y = f (x) 与函数y =f (-x) 的图象关于直线x = 0 (即y 轴)对称.a +b②函数y = f (mx -a) 与函数y =f (b -mx) 的图象关于直线x = 对称.2m特殊地:y =f (x -a) 与函数y = f (a -x) 的图象关于直线x =a 对称③函数y=f (x) 的图象关于直线x =a 对称的解析式为y = f (2a -x)④函数y =f (x) 的图象关于点(a, 0) 对称的解析式为y =-f (2a -x)⑤函数y=f (x) 与a -x = f (a -y) 的图像关于直线x +y =a 成轴对称。
11.伸缩变换: y =Af (x)( A > 0) 的图像，可将y =不变，纵坐标变为原来的 A 倍而得到；f (x) 的图像上每一个点的横坐标12.y =f (kx)(k > 0) 的图像，可将y =1 f (x) 的图像上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍而得到；k13.y = f -1(x) 与y = f (x) 关于直线y =x 对称；14.14.y =-f -1(-x) 的图像与y = f (x) 的图像关于直线y =-x 对称；15.函数y = f (a +mx) 的图像与y = f (b -mx) 的图象关于直线x =b -a对称。
2m四.单个函数的图象1.若对任意x,f (x +a) = f (b -x) ，则y= f (x) 的图像关于直线x =a +b对称；反2之亦然;若对任意x ，f (x) = f (c -x) ，则y = f (x) 的图像关于直线xc= 对称，2反之亦然；若f (x +a) 是偶函数，则y =f (x) 关于x =a 对称。
（在y =f (x) 上c任取一点 (x , y ) ， 则 y = f (x ) ， 点 (x , y ) 关于直线 x =a + b的对称点11 1 1 1 12(a + b - x 1 , y 1 ) ，当x = a + b - x 1 时f (a + b - x 1 ) = f [a + (b - x 1 )] = f [b - (b - x 1 )] = f (x 1 ) = y 1 ，故点(a + b - x 1 , y 1 ) 也在函数 y = f (x ) 图象上。
由于点(x 1, y 1) 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于 直线 x =a +b 对称（特别地， a = b = 0 时，该函数为偶函数））.22. 对任意 x ， - f (x + a ) = f (a - x ) （ 或 f (x ) = - f (2a - x ) 的充分必要条件是y = f (x ) 的图像关于点(a ,0) 对称；3. 若 f (x ) 有两条对称轴 x = a 和 x = b (a < b ) (证明 ： ∵ f (a + x ) = f (a - x ) 得f (x ) = f (2a - x ) , f (b + x ) = f (b - x ) 得 f (x ) = f (2b - x )∴ f (2a - x ) = f (2b - x ) , ∴ f (x ) = f (2b - 2a + x )∴函数 y = f (x ) 是周期函数，且 2b - 2a 是一个周期。
),或有两个对称点(a ,0) 和(b ,0) （ a < b ）,则2(b - a ) 是 f (x ) 的一个周期；4. 若 f (x ) 以 x = a 为对称轴，且以(b ,0) 为对称中心，则4(b - a ) 是 f (x ) 的一个周期；5. y = f (x ) 的 图 像 关 于 点 (a , b ) 对 称 的 充 分 必 要 条 件 是 对 任 意 x ,f (a + x ) + f (a - x ) = 2b 成立（更一般地，若 f (a + x ) + f (b - x ) = c ，则 y = f (x ) 的 图像关于点( a + b , c)对称(在函数 y = f (x ) 上任取一点(x , y ) ，则 y = f (x ) ，点2 21 11 1 (x , y ) 关于点（ a + b ， c）的对称点（ a + b - x ，c －y 1），当 x = a + b - x 时，112 21 1f (a + b - x 1 ) = c - f [b - (b - x 1 )] = c - f (x 1 ) = c - y 1 ,即点（ a + b - x 1 ， c － y 1） 在函数y = f (x ) 的图象上。
由于点(x 1, y 1) 为函数 y = f (x ) 图象上的任意一点可知函数 y = f (x ) 的图象关于点（a +b 2 ， ）对称。
（注：当 a =b =c =0 时，函数为奇函数。
） 2特别提醒：⎨f (x - a ) + f (x ) = b6. 若 f (x + a ) = f (x + b ) ，则 f (x ) 是周期函数， b - a 是它的一个周期7. 对于非零常数 A ，若函数 y = f (x ) 满足 f (x + A) = - f (x ) ，则函数 y = f (x ) 必有一个周期为2 A 。