函数图像变换与旋转
高考数学中的函数图像变换及其应用
高考数学中的函数图像变换及其应用高考数学作为广大学生面临的一大挑战，其中数学分值占比不容忽视，其中函数图像变换的相关知识成为了考生备考重点之一。
本文将介绍这些知识，并探讨其相关应用。
一、函数图像的平移平移是函数图像变换中最基本的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置来实现的。
其中，平移的方向与距离是决定平移效果的两个重要因素。
对于一般的函数y=f(x)，将它的图像向右平移a个单位长度的方法如下：设新函数为y=f(x-a)，则各个点的实际位置为（x+a，y），根据平移的原理，需要将这些点在坐标系中向左平移a个单位长度即可实现。
类似地，将函数图像向左平移a个单位长度的方法就是y=f(x+a)，而将其上移或下移b个单位长度的方法分别为y=f(x)+b 和y=f(x)-b。
函数图像的平移主要应用于研究函数图像的周期性，以及改变其输出值区间、控制其渐进线等方面。
二、函数图像的伸缩伸缩也是函数图像变换中常用的一种方法，它是通过改变函数图像沿x、y轴的长度比例来实现的。
对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿x轴方向压缩k倍的方法如下：设新函数为y=f(kx)，则每个点的实际位置为（x/k，y），因此只需将这些点在坐标系中沿x轴方向伸缩k倍即可。
类似地，函数图像沿y轴方向压缩k倍的方法为y=kf(x)，而沿x、y轴方向伸缩k倍的方法分别为y=f(x/k)和y=kf(kx)。
函数图像的伸缩主要应用于研究函数图像的单调性、极值、导数等性质，以及折线图、曲线图的绘制等方面。
三、函数图像的旋转旋转是函数图像变换中相对复杂的一种，它是通过改变函数图像与坐标轴的相对位置和形状来实现的。
对于一般的函数y=f(x)，将其图像沿原点逆时针旋转α角的方法如下：设新函数为y=f(xcosα+ysinα)，则原函数中每个点的坐标（x，y）将变为（xcosα+ysinα，-xsinα+ycosα），按照旋转的原理，需要将这些点在坐标系中沿逆时针方向旋转α角度即可实现。
函数的图像和变换
函数的图像和变换函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学函数的图像和变换中，我们将探讨不同类型的函数以及它们在平面直角坐标系中的图像和变换。
一、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型，它的表达式可以写为y=ax+b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率方向和倾斜程度，常数b决定了直线与y 轴的交点。
2. 幂函数：幂函数是由形如y=x^n的表达式定义的函数，其中n为常数。
当n为正数时，幂函数的图像呈现递增或递减的曲线，曲线的陡峭程度取决于n的大小。
当n为负数时，曲线则在x轴正方向和y轴正方向之间交替。
3. 指数函数：指数函数由形如y=a^x的表达式定义，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的图像是一条通过点(0,1)的递增曲线，沿着x轴正方向迅速上升。
4. 对数函数：对数函数是指满足y=log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条递增曲线，曲线的陡峭程度由底数a的大小决定。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
这些函数的图像是关于坐标轴对称的波动曲线。
二、函数的图像变换函数的图像可以通过一系列变换实现形状、位置或大小的改变。
以下是常见的函数图像变换：1. 平移：通过在函数表达式中加上常数c，可以使得函数图像沿着x轴或y轴平移。
例如，对于线性函数y=x+1，如果我们在函数表达式中加上常数1，则函数图像整体上移1个单位。
2. 反转：通过对函数表达式中的x或y取相反数，可以使函数图像在x轴或y轴方向上发生反转。
例如，对于线性函数y=x，如果我们将函数表达式中的x替换为-x，则函数图像将在y轴上对称。
3. 缩放：通过在函数表达式中乘以常数d，可以实现函数图像的缩放。
如果d大于1，则函数图像会在坐标轴方向上拉伸；如果d介于0和1之间，则会在坐标轴方向上收缩。
几何画板中函数图像的旋转和对称
几何画板中函数图像的旋转和对称利用变换菜单作图对象的平移、旋转、缩放、反射等各种作图，但我们如何让函数图像也能够进行平移、旋转、缩放、反射呢？如果还是按照老方法操作，显然是不成功的，那么该怎么操作呢？下面我们通过一个小实例来看一看做法。
定义域是（a,b）的函数y=x2 的图像绕某一点P旋转和关于某直线l的对称操作步骤：1、图表菜单——定义坐标系，然后用点工具在x轴上做任意两点，并同时选中这两点，点击度量菜单——横坐标，出现两个度量值，在度量结果右键——属性——标签中，设置两个度量值标签分别为a、b（a<b）2、同时选中第一步中的两点，构造——线段，然后继续构造——线段上的点X，然后继续度量——横坐标，设置度量结果的标签为x，然后度量——计算，出现一个计算器窗口，点击刚才的估量结果x，然后点击计算器中的^符号，继续点击2键，然后确定，得到一个计算结果，设置标签为y。
3、按顺序选中度量结果x和y，点击图表——绘制点（x，y）,此时新绘制出来的点处于被选中状态，继续选中X点，构造——轨迹。
至此，定义域为（a,b）的函数y=x2 的图像已经绘制完成，下面看看该如何绕某一点旋转（呵呵，其实非常简单）4、用直尺工具绘制一条线段M N，并在线段上构造一个点K，度量MN两点的距离，再度量MK两点距离，度量——计算，打开计算器，计算(MK/MN)* 360度的结果，注意360度中的单位度的选择方式，选中计算结果，变换菜单——标记角度。
5、用点工具在平面内任意画一个点P，并用选择工具双击点P将其标记为旋转中心，选中在第3步中那个绘制点（x，y）得到的点，变换——旋转，墨认为按标记角度旋转，点击旋转按钮即可。
6、上一步点击了旋转按钮之后，得到一个新的点，这个点处于被选中状态，继续选中X点，构造——轨迹，好了，出现了新的轨迹了感觉怎么样，用鼠标拖动K点，可以改变旋转的角度，当然你也可以改变P点的位置，调整旋转中心的位置。
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
数学公式知识：三角函数图像的移动与旋转变形
数学公式知识：三角函数图像的移动与旋转变形引言三角函数是高中数学中重要的内容，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在高中数学中，三角函数的图像的移动与旋转变形也是一个重要的知识点。
本文将深入探讨三角函数图像的移动与旋转变形的概念、方法和实际应用。
一、三角函数图像的基本概念三角函数分为正弦函数、余弦函数和正切函数三种。
它们的函数图像具有一定的规律性。
正弦函数和余弦函数的函数图像都是以原点为对称中心的周期函数，正切函数的函数图像则是单调的无穷函数。
三角函数的函数图像在一定的范围内表现出不同的性质。
这里我们以正弦函数为例，介绍一下三角函数图像的基本概念。
正弦函数的函数图像一般为一条连续的波浪线，波峰为最大值，波谷为最小值。
正弦函数图像的一个完整周期为2π。
正弦函数图像的初始值为0，即正弦函数在x=0处等于0。
正弦函数在[-π/2, π/2]的定义域内为单调递增函数，而在[π/2, 3π/2]的定义域内为单调递减函数。
正弦函数的取值范围为[-1, 1]。
二、三角函数图像的移动在三角函数的图像中，整个图像可以通过平移、伸缩等变形实现位置和形状上的改变。
其中，平移是最基本的操作。
1、平移的定义平移是指将图像沿着横坐标轴或纵坐标轴向左、右、上或下移动一个单位或若干个单位的过程。
平移是一种基本的函数图像变形方式，可以改变函数图像的位置，从而得到新函数的图像。
在平移时可以用向量法和函数式法来处理。
在向量法中，我们可以用位移向量来描述平移的方向和距离；在函数式法中，我们可以直接改变函数中的x或y的数值，从而使函数图像沿着x或y轴移动一定的距离。
2、平移的方法（1）沿x轴正方向平移h个单位可以通过函数表达式y=sin(x-h)来改变函数图像的位置。
函数式y=sin(x-h)的含义是将原来在x=h处的点移动到x=0处。
这种移动方式叫做沿着x轴正方向平移。
（2）沿x轴负方向平移h个单位当对三角函数的图像进行沿x轴负方向平移h个单位的操作时，可以通过函数表达式y=sin(x+h)来改变函数图像的位置。
函数图像的伸缩变换规则
函数图像的伸缩变换规则
一、伸缩变换规则
伸缩变换是一种函数图像变换，它可以改变函数图像的大小，但不改变其形状。
伸缩变换的规则如下：
1. 平移变换：平移变换是指将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，而不改变其形状。
2. 缩放变换：缩放变换是指将函数图像在坐标轴上按比例缩放，而不改变其形状。
3. 旋转变换：旋转变换是指将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，而不改变其形状。
4. 对称变换：对称变换是指将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，而不改变其形状。
二、伸缩变换的具体操作
1. 平移变换：平移变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上向某一方向移动，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的平移方向；
（2）确定函数图像的平移距离；
（3）将函数图像按照确定的平移方向和平移距离进行平移变换。
2. 缩放变换：缩放变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按比例缩放，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的缩放比例；
（2）将函数图像按照确定的缩放比例进行缩放变换。
3. 旋转变换：旋转变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一角度旋转，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的旋转角度；
（2）将函数图像按照确定的旋转角度进行旋转变换。
4. 对称变换：对称变换的具体操作是，将函数图像在坐标轴上按某一对称轴对称，其具体操作步骤如下：
（1）确定函数图像的对称轴；
（2）将函数图像按照确定的对称轴进行对称变换。
函数图象变换的四种方式
函数图象变换的四种方式一，平移变换。
（1）水平平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。
（简记：左加右减，这里的a>0。
）（2）上下平移：要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。
要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。
（简记：上加下减，这里的a>0）二，对称变换。
（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。
所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。
(简记：左右翻折)（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。
所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。
(简记：上下翻折)（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。
所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。
(简记：旋转180度)三，翻折变换。
（1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形（简记：右不动，左对称）（2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。
（简记：上不动，下上翻）四，伸缩变换。
(1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。
（2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0）可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。
函数图像变换与旋转
函数图像变换与旋转一.平移变换：=f（x）→y=f(x±a)(a>0) 原图像横向平移a个单位（左+右-）=f（x）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b个单位（上+下-）3.若将函数y=f（x）的图像右移a，上移b个单位，得到函数y=f（x-a）+b二．对称变换：=f（x）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y轴对称；对比：若f=（-x）=f（x）则函数自身的图像关于y轴对称；=f（x）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x轴对称；=f（x）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；对比：若f（-x）=-f（x）则函数自身的图像关于原点对称；=f（x）→y=f-1（x）原图像与新图像关于直线y=x对称；=f（x）→y=f-1（-x）原图像与新图像关于直线y=-x对称；=f（x）→y=f（2a-x）原图像与新图像关于直线x=a对称；=f（x）→y=2b-f（x）原图像与新图像关于直线y=b对称；=f（x）→y=2b-f（2a-x）原图像与新图像关于点（a，b）对称；三．翻折变换：1.y=f（x）→y=f(|x|)的图像在y轴右侧（x>0）的部分与y=f（x）的图像相同，在y轴的左侧部分与其右侧部分关于y轴对称；2.y=f（x）→y=|f(x)|的图像在x轴上方部分与y=f（x）的图像相同，其他部分图像为y=f （x）图像下方部分关于x轴的对称图像；3. y=f（x）→y=f(|x+a|)变换步骤：法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a右边图像，后去掉直线x=a左边图像并作关于直线x=a对称图像y=f（x）→y=f(x+a)→y=f(|x+a|)法2:先保留y轴右边图像，去掉y轴左边图像，并作关于y轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f（x）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)四．伸缩变换：=f（x）→y=af(x)（a>0）原图像上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变；=f（x）→y=f(ax)（a>0）原图像上所有的横坐标变为原来的，纵坐标不变；五．对称性：1.函数自身对称性之轴对称：（1）.若f（x）=f（2a-x）（或f（a+x）=f（a-x）或f（-x）=f（2a+x））则函数自身关于直线x=a对称；（2）.若y=f（x）的图像关于直线对称等价于f（a+mx）=f（b-mx）等价于f（a+b-mx）=f（mx）；2.函数自身对称性之中心对称：（1）.若f（mx+a）=-f（b-mx），则函数自身关于点（，0）对称；（2）.若f（mx+a）+f（b-mx）=c，则函数自身关于点（，）对称；（3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b（或f（x）+f(2a-x)=2b或f（-x）+f(2a+x)=2b则函数自身关于点（a,b）对称；3.不同函数之间的对称性：（1）.函数y=f（a+x），y=f（b-x）的图像关于直线对称；推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称；函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a对称；特例：函数y=f（a+x），y=f（a-x）的图像关于直线x=0对称；（2）.函数y=f（a+x），y=-f（b-x）的图像关于点（，0）对称；特例：函数y=f（a+x）与y=-f（a-x）关于原点中心对称4.抽象函数的对称性：（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个时式子成立切等价：f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；六．周期性；（x+a）=f（x）周期：|a|（x+a）=-f（x）周期：2|a|（x+a）=（或周期：2|a|（x+a）=f（x-a）周期：2|a|（x+a）=-f（x-a）周期：4|a|（x+a）=（或）周期：4|a|(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|8.若p>0,f(px)=f(px-) 周期：七．对称性与周期性：1.若y=f（x）的图像关于直线x=a，x=b对称（a不等于b），则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；特例：若y=f（x）是偶函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=2|a|；2.若y=f（x）关于点（a，0），（b，0）对称，则f（x）是周期函数，且周期T=2|a-b|；3.若y=f（x）的图像关于直线x=a，对称中心（b，0）对称（a不等于b）则f（x）为周期函数，且周期T=4|a-b|；特例；若y=f（x）是奇函数且其图像关于直线x=a对称，则周期T=4|a|；综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。
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函数图像变换与旋转
一.平移变换：
1.y=f （x ）→y=f(x±a )(a>0) 原图像横向平移a 个单位（左+右-）
2.y=f （x ）→y=f(x)±b(b>0) 原图像纵向平移b 个单位（上+下-）
3.若将函数y=f （x ）的图像右移a ，上移b 个单位，得到函数y=f （x-a ）+b
二．对称变换：
1.y=f （x ）→y=f(-x) 原图像与新图像关于y 轴对称；
对比：若f=（-x ）=f （x ） 则函数自身的图像关于y 轴对称；
2.y=f （x ）→y=-f(x) 原图像与新图像关于x 轴对称；
3.y=f （x ）→y=-f(-x) 原图像与新图像关于原点对称；
对比：若f （-x ）=-f （x ） 则函数自身的图像关于原点对称；
4.y=f （x ）→y=f -1
（x ） 原图像与新图像关于直线y=x 对称；
5.y=f （x ）→y=f -1（-x ） 原图像与新图像关于直线y=-x 对称；
6.y=f （x ）→y=f（2a-x ） 原图像与新图像关于直线x=a 对称；
7.y=f （x ）→y=2b-f （x ） 原图像与新图像关于直线y=b 对称；
8.y=f （x ）→y=2b-f （2a-x ） 原图像与新图像关于点（a ，b ）对称； 三．翻折变换：
1. y=f （x ）→y=f(|x|)的图像在y 轴右侧（x>0）的部分与y=f （x ）的图像相同，在y 轴的左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称；
2. y=f （x ）→y=|f(x)|的图像在x 轴上方部分与y=f （x ）的图像相同，其他部分图像为y=f （x ）图像下方部分关于x 轴的对称图像；
3. y=f （x ）→y=f(|x+a|)变换步骤：
法1:先平移|a|个单位（左+右-）保留直线x=a 右边图像，后去掉直线x=a 左边图像并作关于直线x=a 对称图像y=f （x ）→y=f(x+a )→y=f(|x+a|)
法2:先保留y 轴右边图像，去掉y 轴左边图像，并作关于y 轴对称图像，后平移|a|个单位（左+右-）y=f （x ）→y=f(|x|)→y=f(|x+a|)
四．伸缩变换：
1.y=f （x ）→y=af(x)（a>0） 原图像上所有点的纵坐标变为原来的a 倍，横坐标不变；
2.y=f （x ）→y=f(ax)（a>0） 原图像上所有的横坐标变为原来的1a ，纵坐标不变；
五．对称性：
1.函数自身对称性之轴对称：
（1）.若f （x ）=f （2a-x ）（或f （a+x ）=f （a-x ）或f （-x ）=f （2a+x ））
则函数自身关于直线x=a 对称；
（2）.若y=f （x ）的图像关于直线x =
a+b 2对称 等价于f （a+mx ）=f （b-mx ）等价于 f （a+b-mx ）=f （mx ）；
2.函数自身对称性之中心对称：
（1）.若f （mx+a ）=-f （b-mx ），则函数自身关于点（a+b 2
，0）对称； （2）.若f （mx+a ）+f （b-mx ）=c ，则函数自身关于点（a+b 2，c 2）对称； （3）.若f(a+x)+f(a-x)=2b （或f （x ）+f(2a-x)=2b 或f （-x ）+f(2a+x)=2b
则函数自身关于点（a,b ）对称；
3.不同函数之间的对称性：
（1）.函数y=f （a+x ），y=f （b-x ）的图像关于直线x =b−a 2对称；
推论：函数y=f(a+x)与f(a-x)的图像关于直线x=0对称；
函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a 对称；
函数y=f(-x)与y=f(2a+x)的图像关于直线x=-a 对称；
特例：函数y=f （a+x ），y=f （a-x ）的图像关于直线x=0对称；
（2）.函数y=f （a+x ），y=-f （b-x ）的图像关于点（b−a 2，0）对称；
特例：函数y=f （a+x ）与y=-f （a-x ）关于原点中心对称
4.抽象函数的对称性：
（1）.性质一：若函数y=f(x)关于直线x=a 轴对称，则以下三个时式子成立切等价： f(a+x)=f(a-x); f(2a-x)=f(x); f(2a+x)=f(-x)；
（2）.性质二：若函数y=f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： f(a+x)=-f(a-x); f(2a-x)=-f(x); f(2a+x)=-f(-x);
易知，y=f （x ）为偶（或奇）函数分别为性质一（或二）当a=0时的特例；
六．周期性；
1.f （x+a ）=f （x ） 周期：|a|
2.f （x+a ）=-f （x ） 周期：2|a|
3.f （x+a ）=±1
f （x ）（或−11+f (x )
） 周期：2|a| 4.f （x+a ）=f （x-a ） 周期：2|a|
5.f （x+a ）=-f （x-a ） 周期：4|a|
6.f （x+a ）=1−f （x ）
1+f （x ）（或1+f （x ）
1−f （x ）） 周期：4|a|
7.f(x+2a)=f(x+a)-f(x) 周期：6|a|
8.若p>0,f(px)=f(px-p 2) 周期：p 2 七．对称性与周期性：
1.若y=f （x ）的图像关于直线x=a ，x=b 对称（a 不等于b ），则f （x ）是周期函数， 且周期T=2|a-b|；
特例：若y=f （x ）是偶函数且其图像关于直线x=a 对称，则周期T=2|a|；
2.若y=f （x ）关于点（a ，0），（b ，0）对称，则f （x ）是周期函数，
且周期T=2|a-b|；
3.若y=f （x ）的图像关于直线x=a ，对称中心（b ，0）对称（a 不等于b ）则f （x ）为周 期函数，且周期T=4|a-b|；
特例；若y=f （x ）是奇函数且其图像关于直线x=a 对称，则周期T=4|a|；
综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数。
（另：内同为周期，内反为对称）。