广西壮族自治区高考数学一模试卷(文科)D卷
广西壮族自治区高考数学一模试卷（文科）D卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）集合，则（）
A . {0}
B . {1}
C . {0,1}
D . {0,1,2}
2. （2分）“抛物线上离点最近的点恰好为顶点”成立的充要条件是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）(2017·洛阳模拟) 欧拉公式eix=cosx+isinx（i是虚数单位，x∈R）是由瑞士著名的数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里有及其重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，若，则复数z2在复平面内所对应的点位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
4. （2分）对于任意，函数的值恒大于零，那么的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）(2012·山东理) 执行如图的程序框图，如果输入a=4，那么输出的n的值为（）
A . 5
B . 4
C . 3
D . 2
6. （2分） (2017高三上·漳州期末) 若函数，为了得到函数g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）
A . 向右平移个长度单位
B . 向右平移个长度单位
C . 向左平移个长度单位
D . 向左平移个长度单位
7. （2分）设函数，则f(5)＝（）
A . 2
B . 6
C . 8
D . 4
8. （2分） (2016高一下·河源期末) 设向量 =（1，cosθ））与 =（﹣1，2cosθ）垂直，则cos2θ等于（）
A . 0
B .
C .
D . ﹣1
9. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 若logxy=﹣2，则x+y的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2016高三上·承德期中) 设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）
A . [﹣1，2]
B . [﹣2，1]
C . [﹣3，﹣2]
D . [﹣3，1]
11. （2分）在平面直角坐标系中，若P，Q满足条件：（1）P,Q都在函数f（x）的图象上；（2）P,Q两点关于直线y=x对称，则称点对{P,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数的“可交换点对有（）
A . 0对
B . 1对
C . 2对
D . 3对
12. （2分）已知函数f（x）=||x﹣2|﹣2|，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实根x1 ，x2 ， x3 ， x4 ，且x1＜x2＜x3＜x4 ，则的取值范围是（）
A . （﹣1，0）
B . （﹣，0）
C . （﹣，0）
D . （﹣，0）
二、填空题： (共4题；共4分)
13. （1分） (2015高三上·盐城期中) 如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=4．点P是DC边的中点，则
的值为________．
14. （1分） (2017高二下·武汉期中) 设曲线处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=________．
15. （1分） (2016高一下·榆社期中) 函数f（x）=2cos2x+2sinx﹣1，x∈[﹣， ]的值域为________．
16. （1分）已知函数f（x）=﹣x2﹣3x+4lnx在[t，t+1]上不单调，则实数t的取值范围是________
三、解答题： (共8题；共65分)
17. （5分）(2015·河北模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC﹣c=2b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若c= ，角B的平分线BD= ，求a．
18. （10分） (2019高二上·汇川期中) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且满足S4＝24，S7＝63.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.
19. （15分） (2018高一下·中山期末) 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：
已知
（1）求的值
（2）已知变量具有线性相关性，求产品销量关于试销单价的线性回归方程可供选择的数据
（3）用表示（2）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值。
当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”。
试求这6组销售数据中的“好数据”。
参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是
20. （10分） (2017高一上·和平期中) 已知函数．
（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）﹣2，求函数g（x）的零点．
21. （5分）(2017·衡阳模拟) 已知函数．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求实数m的取值范围．
22. （5分）(2016·深圳模拟) 如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC边上异于B、C的一点，以AB为直径作⊙O，并分别交AC，AD于点E，F．
（Ⅰ）证明：C，E，F，D四点共圆；
（Ⅱ）若D为BC的中点，且AF=3，FD=1，求AE的长．
23. （10分）已知直线l：（t为参数），曲线C：（θ为参数）（1）写出直线l和曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的线段中点的坐标．
24. （5分）已知f（x）=ax2+bx+1．
（1）若f（x）＞0的解集是（﹣1，2），求实数a，b的值．
（2）若A={x|f（x）＞0}，且﹣1∈A，2∈A，求3a﹣b的取值范围．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题： (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题： (共8题；共65分)
17-1、
18-1、
18-2、19-1、19-2、
19-3、20-1、
20-2、
21-1、
22-1、23-1、23-2、
24-1、。
2023学年广西壮族自治区柳州市柳州高考数学一模试卷含解析
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭ C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）A 5B ．23C ．8D ．33．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β4．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A 32b B ．12b C ．32b D ．12b -5．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ）A ．32B ．1C ．-1D ．06．若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫< ⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( ) A ．24x π=-B ．3724x π=C ．1724x π=D ．1324x π=-7．10212x ⎛- ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项B ．4项C ．5项D ．7项8．已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92 B ．9C ．5D ．529．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ∧⌝是假命题10．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（ ） A．0x ±=B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=11．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（ ） A ．52-B ．2-C ．2D ．72二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年广西高考数学第一次适应性试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年广西高考数学第一次适应性试卷（文科）1. 设集合，则( )A.B. C.D.2. 若两个向量、满足，，，则与的夹角是( )A.B.C. D.3. 已知i 是虚数单位，若复数，则( )A. 2B.C. 3D. 44. 已知，则( )A.B.C.D.5. 已知实数x ，y 满足则点所在平面区域的面积为( )A. 3B. 4C. 5D. 66.在正方体中，O 为面的中心，为面的中心，若E 为CD 的中点，则异面直线AE 与所成角的余弦值为( )A.B.C.D. 7. 已知直线l ：与圆C ：交于A ，B 两点，则的最小值为( )A. B.C.D.8. 函数的图象最有可能是以下的( )A. B.C. D.9. 过抛物线C：的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线C于A，B两点，则的值为( )A. 3B. 2C.D. 110. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 将的图象向左平移个单位长度，得到新函数为奇函数B. 函数的图象关于点对称C. 的解析式为D. 函数在区间上的值域为11. 设，是双曲线C：的左、右两个焦点，若双曲线C上存在点P满足：：1且，则双曲线C的渐近线方程是( )A. B. C. D.12. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.13. 已知向量，若，则实数______.14. 已知函数，则的极小值为______.15. 2021年9月17日，搭载着3名英雄航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功．假设返回舱D是垂直下落于点C，某时刻地面上点A、B观测点观测到点D的仰角分别为、，若A、B间距离为10千米其中向量与同向，试估算该时刻返回舱距离地面的距离约为______千米结果保留整数，参考数据：16. 在三棱锥中，面BCD，是边长为的正三角形．若，则该三棱锥的外接球表面积为______.17. 已知数列的前n项和为，满足，求的通项公式；设，的前n项和为若对于任意恒成立，求n的取值范围．18. 某市公安交管部门曾于2017年底公布了一组统计数据：一年来全市范围内共发生涉及电动自行车的交通事故一般程序共3558起，造成326人死亡因颅脑损伤导致死亡占，死亡人数中有263人未佩戴头盔占驾乘电动自行车必需佩戴头盔，既是守法的体现，也是对家庭和社会负责的表现．该市经过长期开展安全教育，取得了一定的效果．表一是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据：表一年度20172018201920202021年度序号x12345未佩戴头盔人数y125012001010920870请利用表一数据求未佩戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程，并预测该路口2022年驾乘人员未佩戴头盔的人数；交管部门从年在该路口发生涉及电动自行车的交通事故案例中随机抽取了50起作为样本制作出表二：表二未佩戴头盔佩戴头盔合计伤亡61016无伤亡43034合计104050请问能否有的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关？附：参考公式及数据：，，，其中k19. 如图所示，已知四棱锥中，底面ABCD是矩形，面底面ABCD且，，E为PD中点．求证：平面平面ACE；求点B到平面ACE的距离．20. 已知椭圆的右焦点为F，过点F且不垂直于x轴的直线交C于A，B两点，分别过A，B作平行于x轴的两条直线，，设，分别与直线交于点M，N，点R是MN的中点．求证：；若AR与x轴交于点异于点，求的取值范围．21. 已知函数为自然对数的底数讨论的单调性；当时，证明：的最小值小于22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为设点是曲线C上的一个动点，求的取值范围；经过变换公式把曲线C变换到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求点P到直线l的距离的最小值．23. 已知函数，当时，解不等式；若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，，故选：求出集合A，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：两个向量、满足，，，，，则与的夹角是故选：利用向量夹角余弦公式直接求解．本题考查向量的运算，考查向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：i是虚数单位，复数，则故选：利用复数的性质、运算法则直接求解．本题考查复数的运算，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：，，则，故选：由题意，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，不等式组对应的区域为以及其内部区域，如图：且，，，则，，故的面积为：；故选：根据题意，分析不等式组对应的平面区域，进而计算可得答案．本题考查简单线性规划的应用，注意二元一次不等式的几何意义，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为2，则，，，，，，，异面直线AE与所成角的余弦值为，故选：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出相应点的坐标，再利用向量，求出异面直线AE与所成角的余弦值即可．本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：因为直线l：，变形为，令，解得，，所以直线l恒过定点，设圆心到直线l的距离为d，圆的半径为r，所以，所以当d取最大值时，取得最小值，而当时，此时即为d的最大值，所以，所以，故选：首先求得直线l所过的定点，由，可知当d最大值，取最小值，由圆的性质可知当时，此时即为d的最大值，代入计算可得结果．本题考查了直线过定点的问题，圆的最短弦长问题，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，，其定义域为，则，则函数为奇函数，排除CD，在区间上，，排除A，故选：根据题意，先分析函数的奇偶性，排除CD，计算区间上，的符号，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性分析和函数值的计算，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：抛物线的焦点坐标为，直线l倾斜角为，直线l的方程为：设直线与抛物线的交点为、，，，联立方程组，消去y并整理，得，解得，，，，：：1，的值为故选：首先，写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值．本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据函数的部分图象，可得，，结合五点法作图，可得，，即故C正确；将的图象向左平移个单位长度得函数，函数为偶函数，故A 错误．令，代入函数解析式得，故函数的图象不关于点对称，故B错误；当，，，故D错误．故选：由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：根据题意，得；，；又，，即，，；双曲线C的渐近线方程是故选：由题意，求出、的值，由得，从而求出的值，即得渐近线方程．本题考查了双曲线的几何性质的应用问题，解题时应结合双曲线的定义进行解答，是基础题．12.【答案】A【解析】解：设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，，，，，即，故选：先构造函数，再判断单调性即可求解．本题考查三个数大小的比较，利用构造函数再判断单调性是关键，属于难题．13.【答案】【解析】解：向量，，，，解得实数故答案为：利用向量坐标运算法则求出，再由，利用向量平行的性质列方程，能求出实数本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】1【解析】解：函数，则，令，可得或，当和时，，函数是减函数，时，，函数是增函数，所以是函数的极小值点，极小值为故答案为：求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极小值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数的极值的求法，是基础题．15.【答案】14【解析】解：根据题意，作出示意图如图所示，由，所以，在中，，又，，解得千米故答案为：根据题意，作出示意图，结合题意计算即可求得本题考查解三角形的应用，属基础题．16.【答案】【解析】解：三棱锥中，面BCD，是边长为的正三角形．若，如图所示：设点E为底面的中心，r为的外接圆半径，故；过点E作平面BCD，过AB的中点F作AB的垂线，交于点O，所以点O为三棱锥的外接球的球心．所以OB为三棱锥的外接球的半径；所以，所以故答案为：首先根据三棱锥的性质确定外接球的半径，进一步求出外接球的表面积．本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的求法，外接球的半径的确定，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．17.【答案】解：，时，，化为：，数列是公差为2的等差数列，，解得，的前n项和为…，对于任意恒成立，，化为：，解得的取值范围为，【解析】，时，，整理化简利用等差数列的通项公式即可得出．，利用裂项求和方法即可得出的前n 项和为，根据对于任意恒成立，即可得出n的取值范围．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：由表中数据可得，，，，，故回归直线方程为，2022年，即，列联表如下：未戴头盔戴头盔合计伤亡 6 10 16无伤亡 4 30 34合计 10 4050，有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．19.【答案】解：证明：由正三角形PAD中，E为PD中点，可得，因为，平面平面ABCD，所以平面PAD，而平面PAD，所以，由，则平面PCD，而平面AEC，所以平面平面ACE；连接BD，与AC交于O，则O为BD的中点，所以D到平面ACE的距离即为B到平面ACE的距离．由平面平面ACE，过D作，垂足为M，则平面ACE，则DM为D到平面ACE的距离．由平面PAD，可得，又，所以，即B到平面ACE的距离为【解析】本题考查面面垂直的判定和点到平面的距离的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．由正三角形的性质和面面垂直的性质定理可得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得平面PCD，由面面垂直的判定定理进而得到结论；连接BD，与AC交于O，可得D到平面ACE的距离即为B到平面ACE的距离．过D作，垂足为M，由面面垂直的性质定理可得DM为D到平面ACE的距离，解直角三角形可得所求距离．20.【答案】解：由题意可得，设直线AB的方程为，，，因为，则，，，又R是MN的中点，联立，，所以，，所以，，所以，又，，所以，则，所以，得证．因为，则，设直线AR的方程为，令，得，则，则，，所以，因为，则则则即，所以的取值范围为【解析】由题意可得，设直线AB的方程为，，，，，又R是MN的中点，联立直线AB与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，再计算，，计算，即可得出答案．由于，则，设直线AR的方程为，进而可得D点坐标，则，化简即可得出答案．本题考查椭圆方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：因为，则，①若，则，令，则，所以当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故的单调递增区间为，单调递减区间为；②若，则，令，则或，则或时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故的单调递增区间为，单调递减区间为和；综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和证明：由知当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和，所以在处取得极小值，在处取得极大值，又时，，，所以在上恒大于0，且，故在处取得最小值，故而因为时，，则，即，故的最小值小于【解析】求导以后，分和进行讨论即可求出结果；由可知函数在时的单调性，进而可得，从而求出的值域即可得出结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，转换为圆的方程为，转换为参数方程为，所以，当时取得最大值，，当时取得最小值，，故的取值范围为圆经过变换公式把曲线C变换到曲线，得到；直线l的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；设点，到直线的距离，当时，【解析】直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用伸缩变换的应用和点到直线的距离公式的应用及三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出最小距离．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式，三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：依题意，，当时，不等式可化为，即，因为，，故；当时，不等式可化为，即，故；当时，不等式可化为，即，故，综上所述，不等式的解集为或；依题意在上恒成立，即的图象恒在直线的上方，如图所示．直线过点，则只需或在时的函数值大于等于1，即或，所以实数m的取值范围是或【解析】对x进行分类讨论，化简不等式，由此求得不等式的解集；结合的图象与的图象的关系来求得m的取值范围．本题考查了含绝对值不等式的解法、分类讨论思想、数形结合思想，难点在于第问中作出两函数的图象，属于中档题．。
(优辅资源)广西南宁市高考数学一模试卷(文科) Word版含解析
2017年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+6）＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2） C．（2，4）D．（﹣2，4）2．复数z=的虚部为（）A．﹣B．﹣1 C．D．3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组4．已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得5．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣B．23 C．12 D．116．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±7．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．218．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）是抛物线C上一点，圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A，若=2，则p等于（）A．1 B．2 C．2D．49．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．210．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．2111．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N 在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2D．212．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，设max{p，q}表示p，q二者中较大的一个．函数g（x）=max{（）x﹣2，log2（x+3）}．若m＜﹣2，且∀x1∈[m，﹣2），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为．14．在区间[﹣1，5]上任取一个实数b，则曲线f（x）=x3﹣2x2+bx在点（1，f （1））处切线的倾斜角为钝角的概率为．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48a i=5M，则i=．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=3，点E在棱AB上，点F在棱C1D1上，且平面B1CF∥平面A1DE，若AE=1，则三棱锥B1﹣CC1F外接球的表面积为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且accosB﹣bccosA=3b2．（1）求的值；（2）若角C为锐角，c=，sinC=，求△ABC的面积．18．（12分）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率．下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）M、N是棱BC的两个三等分点，求证：EM⊥平面ADN．20．（12分）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣，m∈R，且m≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若m=﹣1，求证：函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设实数x，y满足x+=1．（1）若|7﹣y|＜2x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥xy．2017年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+6）＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2） C．（2，4）D．（﹣2，4）【考点】交集及其运算．【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．【解答】解：∵A={x|（x﹣2）（x+6）＞0}={x|x＜﹣6或x＞2}，B={x|﹣3＜x ＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜4}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数z=的虚部为（）A．﹣B．﹣1 C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=的虚部为．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图求出前4组的频数为22，且第四组的频数8，即可得到答案．【解答】解：由图可得，前第四组的频率为（0.0375+0.0625+0.075+0.1）×2=0.55，则其频数为40×0.55=22，且第四组的频数为40×0.1×2=8，故中位数落在第4组，故选：B【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，以及中位数的定义，属于基础题．4．已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos2x的图象向左平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得【考点】余弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的最小正周期为π，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，即T=，∴ω=2，则f（x）=cos（2x﹣）的图象可有函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位而得．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用．属于基础题．5．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣B．23 C．12 D．11【考点】等比数列的通项公式．+1=2（a n+1），利用等比数列的【分析】数列{a n}满足：=，可得a n+1通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足：=，∴a n+1=2（a n+1），即数列{a n+1}+1是等比数列，公比为2．则a4+1=22（a2+1）=12，解得a4=11．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：2sin2﹣1=﹣cos=﹣，2sin cos=﹣，∵角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），sinθ=2sin cos，∴=﹣，∴a=﹣，故选B．【点评】本题考查正弦函数的定义，考查二倍角公式，属于中档题．7．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．8．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）是抛物线C上一点，圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A，若=2，则p等于（）A．1 B．2 C．2D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】设M到准线的距离为|MB|，则|MB|=|MF|，利用=2，得x0=p，即可得出结论．【解答】解：设M到准线的距离为|MB|，则|MB|=|MF|，∵=2，∴x0=p，∴2p2=8，∵p＞0，∴p=2．故选B．【点评】本题考查抛物线定义的运用，考查学生的计算能力，比较基础．9．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的平方即为模的平方．可得•=﹣2，再由向量的夹角公式：cos＜，＞=，化简即可得到所求值．【解答】解：非零向量、满足|﹣|=|+2|，即有（﹣）2=（+2）2，即为2+2﹣2•=2+4•+42，化为•=﹣2，由与的夹角的余弦值为﹣，可得cos＜，＞=﹣==，化简可得=2．故选：D．【点评】本题考查向量的数量积的夹角公式，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．21【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，其直观图如下所示：其体积为：×4×3×3=18，故选：C【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N 在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，四边形OFMN的面积为cb，由x0=﹣，丨y0丨=b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，设max{p，q}表示p，q二者中较大的一个．函数g（x）=max{（）x﹣2，log2（x+3）}．若m＜﹣2，且∀x1∈[m，﹣2），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3【考点】函数的图象．【分析】求出g（x），作函数y=f（x）的图象，如图所示，f（x）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，即可得出结论．【解答】解：由题意，g（x）=，∴g（x）min=g（1）=2，f（x）=﹣（x﹣3）2+6≤6，作函数y=f（x）的图象，如图所示，f（x）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，则m的最小值为﹣5．故选A．【点评】本题主要考查了函数的等价转化思想，数形结合的数学思想，以及函数求值域的方法，属中等题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为7．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化目标函数z=3x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．故答案为：7．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．在区间[﹣1，5]上任取一个实数b，则曲线f（x）=x3﹣2x2+bx在点（1，f（1））处切线的倾斜角为钝角的概率为．【考点】几何概型．【分析】利用曲线f（x）=x3﹣2x2+bx在点（1，f（1））处切线的倾斜角为钝角，求出b的范围，以长度为测度，即可求出所求概率．【解答】解：∵f（x）=x3﹣2x2+bx，∴f′（x）=3x2﹣4x+b，∴f′（1）=b﹣1＜0，∴b＜1．由几何概型，可得所求概率为=．故答案为．【点评】本题考查概率的计算，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48a i=5M，则i=6．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}，设公差为d，则，解得a1=，d=，所以该金杖的总重量M==15，因为48a i=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，即39+6i=75，解得i=6，故答案为：6．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的实际应用，以及方程思想，考查化简、计算能力．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=3，点E在棱AB上，点F在棱C1D1上，且平面B1CF∥平面A1DE，若AE=1，则三棱锥B1﹣CC1F外接球的表面积为19π．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据平面B1CF∥平面A1DE，得到C1F=AE=1，再求出三棱锥B1﹣CC1F 外接球直径，问题得以解决．【解答】解：当C1F=AE=1时，可得CF∥A1E，又A1D1∥B1C，且CF∩B1C=C，∴平面B1CF∥平面A1DE，∴三棱锥B1﹣CC1F外接球的直径为=，其表面积为（）2π=19π，故答案为：19π【点评】本题主要考查了正方体和三棱锥的几何体的性质以及球的表面积公式，属于基础题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•南宁一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且accosB﹣bccosA=3b2．（1）求的值；（2）若角C为锐角，c=，sinC=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由accosB﹣bccosA=3b2，利用余弦定理可得﹣=3b2，化简即可得出．（2）由角C为锐角，sinC=，可得cosC=．利用余弦定理可得=a2+b2﹣2ab×，与a=2b联立解得b，a，即可得出．【解答】解：（1）∵accosB﹣bccosA=3b2，∴﹣=3b2，化为：a=2b，因此=2．（2）∵角C为锐角，sinC=，∴cosC==．∴=a2+b2﹣2ab×，化为：3a2+3b2﹣2ab=33，又a=2b，联立解得b2=3，∴S△ABC=sinC===2．【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•南宁一模）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取5个成绩，再从这5个成绩中随机抽取2个，求这2个成绩来自同一次月考的概率．下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（2）根据分层抽样比例求出所抽取的5个成绩，利用列举法计算基本事件数、计算对应的概率值．【解答】解：（1）由2×2列联表，计算K2的观测值为k==＞7.879，对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）根据分层抽样原理，从第一次月考数学优良成绩中抽取×5=3个，记为A、B、C；从第二次月考数学优良成绩中抽取×5=2个，记为d、e；则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10个，其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有AB、AC、BC、de共4个，故所求的概率为P==．【点评】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19．（12分）（2017•南宁一模）如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）M、N是棱BC的两个三等分点，求证：EM⊥平面ADN．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BD的中点G，连接EG，FG，证明平面EFG∥平面ABC，即可证明：EF∥平面ABC；（2）M、N是棱BC的两个三等分点，证明EM⊥ND，AD⊥EM，即可证明：EM⊥平面ADN．【解答】证明：（1）取BD的中点G，连接EG，FG，∵F是AD的中点，∴FG∥AB，∵BD=2CE，∴BG=CE，∵∠DBC=∠BCE，∴E，G到直线BC的距离相等，则EG∥CB，∵EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面ABC，∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABC；（2）∵BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE，∴BC=3CE，∵M、N是棱BC的两个三等分点，∴MN=CE，BD=BN，∵∠DBC=60°，∴△BDN是正三角形，即∠BND=60°，∵∠BCE=60°，∴CE∥ND，△CEM中，CM=2CE，∠BCE=60°，∴∠CEM=90°，∴EM⊥CE，EM⊥ND，∵AD⊥平面BCED，∴AD⊥EM，∵AD∩ND=D，∴EM⊥平面ADN．【点评】本题考查面面平行、线面平行的判定，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）（2017•南宁一模）已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，则求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）当直线l⊥x轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a．由|PF1|﹣|PF2|=a．∴丨PF1丨=a=3|PF2|，则=3，化简得：c2﹣5c+6=0，由c＜a＜3，∴c=2，则丨PF1丨=3=a，则a=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知，直线l不过原点，设A（x1，x2），B（x2，y2），①当直线l⊥x轴，直线l的方程x=m，（m≠0），且﹣2＜m＜2，则x1=m，y1=，x2=m，y2=﹣，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，即m2﹣（4﹣）=0，解得：m=±，故直线l的方程为x=±，∴原点O到直线l的距离d=，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①则原点O到直线l的距离d=，∴d2=（）2==，②将①代入②，则d2==，∴d=，综上可知：点O到直线l的距离为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•南宁一模）已知函数f（x）=x﹣，m∈R，且m≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若m=﹣1，求证：函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后分m＜0和m＞0两种情况讨论原函数的单调性；（2）把m=﹣1代入函数解析式，求出导函数F′（x）=，设h（x）=x2﹣1+lnx，利用导数可得h（x）=x2﹣1+lnx在（0，+∞）上为增函数，结合h（1）=0，可得F′（1）=0且F′（x）有唯一的零点1．从而得到0＜x＜1时，F′（x）＜0，x＞1时，F′（x）＞0．可得F（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，结合F（x）的最小值为F（1）=0可知函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．【解答】（1）解：f′（x）=1﹣=，x＞0，当m＜0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，由f′（x）＞0，解得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜．∴f（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）证明：由已知，F（x）=x﹣，则F′（x）=，设h（x）=x2﹣1+lnx，则h′（x）=2x+＞0（x＞0），故h（x）=x2﹣1+lnx在（0，+∞）上为增函数，又由于h（1）=0，因此F′（1）=0且F′（x）有唯一的零点1．当0＜x＜1时，F′（x）＜0，当x＞1时，F′（x）＞0．∴F（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，∴F（x）的最小值为F（1）=0．∴函数F（x）=x﹣有且只有一个零点．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了函数零点存在性定理的用法，考查逻辑思维能力与运算能力，是压轴题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•南宁一模）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）对于曲线C：由ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，坐标化即可，对于l，消去t整理可得；（2）由（1）可知圆和半径，可得弦心距，进而可得弦长，可得面积．【解答】解：（1）对于曲线C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x．对于l：由（t为参数），消去t可得，化为一般式可得；（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，∴弦心距，∴弦长，∴以PQ为边的圆C的内接矩形面积【点评】本题考查参数方程和极坐标方程，属基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•南宁一模）设实数x，y满足x+=1．（1）若|7﹣y|＜2x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥xy．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，由x+=1，则y=4﹣4x，则|7﹣y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，解可得x的范围，即可得答案；（2）根据题意，由基本不等式可得1=x+≥2=，即≤1，用作差法分析可得﹣xy=（1﹣），结合的范围，可得﹣xy≥0，即可得证明．【解答】解：（1）根据题意，若x+=1，则4x+y=4，即y=4﹣4x，则由|7﹣y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，即﹣（2x+3）＜4x+3＜2x+3，解可得﹣1＜x＜0；（2）证明：x＞0，y＞0，1=x+≥2=，即≤1，﹣xy=（1﹣），又由0＜≤1，则﹣xy=（1﹣）≥0，即≥xy．【点评】本题考查基本不等式、绝对值不等式的应用，关键是利用x+=1分析变量x、y之间的关系．。
2022年 广西新数学一模试文科配套精选
2021年广西梧州市高考数学一模试卷〔文科〕一、单项选择题(共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．〔5分〕设集合，，那么A．B．C．D．2．〔5分〕是虚数单位，是实数集，，假设，那么A．B．C．2D．3．〔5分〕命题“假设，那么〞的逆否命题是A．假设，那么且B．假设，那么C．假设或，那么D．假设或，那么4．〔5分〕游戏?王者荣耀?对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药〞．某车间2021年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位11人，其余人都是或铂金段位．从该车间随机抽取一名工人，假设抽得段位的概率是0.2，那么抽得铂金段位的概率是A．0.2021．0.22C．0.25D．0.425．〔5分〕对任意等比数列，以下说法一定正确的选项是A．，，成等比数列B．，，成等比数列C．，，成等比数列D．，，成等比数列6．〔5分〕双曲线的方程为，那么以下说法正确的选项是A．焦点在轴上B．虚轴长为4C．离心率为D．渐近线方程为7．〔5分〕函数是自然对数的底数〕的图象大致为A．B．C．D．8．〔5分〕假设函数的局部图象如下图，那么的单调递增区间是A．，B．，C．，D．，9．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输出的结果为2，那么输入的正整数的可能取值的集合是A．，2，3，4，B．，2，3，4，5，C．，3，4，D．，3，4，5，10．〔5分〕函数假设〔a〕，那么实数的取值范围是A ．，，B ．C ．D ．，，11．〔5分〕一个几何体的三视图如下图，该几何体的各个外表中，最大面的面积为 A ．B ．C ．2D ．412．〔5分〕假设关于的方程存在三个不等实根，那么实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．二、填空题〔本大题共4小题，毎小题5分，共2021 13．〔5分〕平面内有三点，，，且，那么为 ． 14．〔5分〕数列中，，，那么数列的前9项和等于 ．15．〔5分〕过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，假设，那么椭圆的离心率为 ． 16．〔5分〕假设直线是曲线的切线，也是曲线的切线，那么 ．三、解答题〔共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．) 17．〔12分〕，，分别为三个内角，，的对边，． 〔1〕求角的大小；〔2〕假设，的周长为8，求的面积．18．〔12分〕基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大创造〞之一，短时间内就风行全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，结果如表：〔1〕请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系，如果能，请计算出关于的线性回归方程，并预测该公司2021年12月的市场占有率．如果不能，请说明理由．〔2〕根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购本钱分别为1000元辆和800元辆的，两款车型，报废年限各不相同．考虑公司的经济效益，该公司决定对两款单车进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如表：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购本钱以外的其他本钱，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，分别以这100辆单车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择釆购哪款车型？参考数据：，，参考公式：相关系数回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．19．〔12分〕如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且，．〔1〕求证：平面；〔2〕设，假设直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积．202112分〕直线与抛物线交于，两点．〔1〕假设以为直径的圆经过原点，求的值；〔2〕以为直角边作直角三角形，假设的三个顶点同在一个圆心为，的圆上，求圆的面积．21．〔12分〕函数．〔1〕求函数的单调区间；〔2〕假设恒成立，求的值．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目．如果多做，那么按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数〕，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．〔1〕求的极坐标方程；〔2〕射线与圆的交点为，与直线的交点为，求的范围．[选修4-5：不等式选讲]23．函数，．〔1〕假设，解不等式；〔2〕假设对任意恒成立，求实数的取值范围．2021年广西梧州市高考数学一模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、单项选择题(共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)【解答】解：集合，，．应选：．【解答】解：由，得，即．应选：．【解答】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：假设，或，那么．应选：．【解答】解：段位的人数是，那么抽得铂金段位的概率是．应选：．【解答】解：项中，，，故项说法错误，项中，故项说法错误，项中，故项说法错误，项中，故项说法正确，应选：．【解答】解：双曲线的方程为，焦点在轴上，所以不正确；，所以不正确；双曲线的离心率，所以正确；渐近线方程为所以不正确；应选：．【解答】解：，那么函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，．当时，，排除，应选：．【解答】解：根据函数的局部图象，可得，，再根据五点法作图可得，求得，．令，求得，故函数的增区间为，，应选：．【解答】解：输入值，此时，执行循环体后，，，不应该退出；再次执行循环体后，，，应该退出；故，解得：，故输入的正整数的可能取值的集合是，3，4，，应选：．【解答】解：由的解析式可知，在上是单调递增函数，在由〔a〕，得即，解得．应选：．【解答】解：由中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：，，平面，其直观图如下图：，，底面的面积为：，侧面的面积为：，侧面的面积为：，侧面是腰长为，底长的等腰三角形，故底边上的高为，其面积为：，综上可知，最大的面的面积为，应选：．【解答】解：由题意知，令，的两根一正一负，由，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故〔e〕，且时，，假设关于的方程存在三个不等实根，只需令的正根满足：，解得：，应选：．二、填空题〔本大题共4小题，毎小题5分，共2021【解答】解：，，，，可得．故答案为：1．【解答】解：，，数列的公差，又，，，故答案为：27．【解答】解：由题意知点的坐标为或，，，即．，或〔舍去〕．故答案为：．【解答】解：直线与的切点为，，与的切点为，，由的导数为，的导数为，可得，消去，可得，那么或1，那么切点为，或，或1，那么切线为或，可得或1．故答案为：0或1．三、解答题〔共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)【解答】解：〔1〕由正弦定理得：．因为，所以，又为的内角所以．〔2〕因为及的周长为8，所以，由余弦定理得．所以十，所以，所以的面积．【解答】解：〔1〕，故，故，故两变量之间有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合与月份代码之间的关系，，，故回归方程是，时，，即2021年12月的市场占有率是；〔2〕用频率估计概率，这100辆款单车的平均利率为：〔元，这100辆款车的平均利润为：〔元，故会选择釆购款车型．【解答】证明：〔1〕四边形是菱形，，，且，平面，，，是的中点，，，平面．解：〔2〕由〔1〕可得平面，那么是在平面上的射影，是直线与平面所成角，即，又，且，△是正三角形，，由棱柱性质得，及平面，平面，得到平面，三棱锥的体积：．【解答】解：〔1〕设，，，，与联立，得，由△得，那么，，由为直径的圆经过原点，，，即，满足题意．〔2〕设弦的中点为，那么，，，，即那么的坐标为，，，，，，从而圆的面积为【解答】解：〔1〕的定义域是，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增；〔2〕恒成立，即恒成立，时，即在恒成立，，令，那么，故在递增，故，故，故在递增，由，故，时，显然成立，时，即在恒成立，令，，，故在递增，由，故，综上，．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做选定的题目．如果多做，那么按所做的第一题计分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：〔1〕圆的参数方程为为参数〕，圆的普通方程是，又，，圆的极坐标方程为；〔2〕设，，那么有，设，，且直线的方程是，那么有，，．的范围是，．[选修4-5：不等式选讲]【解答】解：〔1〕当时，，原不等式可化为，两端平方得化简得，解得，那么不等式的解集为．〔2〕，对任意恒成立，即对任意恒成立，即，又因为，那么，解得，那么实数的取值范围为．。
广西桂林市、崇左市、百色市2020届高三下学期第一次联合模拟(一模)考试文数试卷Word版含答案
2017年高考桂林市、崇左市、百色市第一次联合模拟考试理数试卷（文科）第I 卷一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1、已知集合 M 二｛x|4 -x 2 0｝, N 二｛x|1 _ 2x _13,x Z ｝，则 Npl M =A. 9? B .〈0,1? C .9,1,2?D •〈0,1,2,312、设复数乙，Z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称, A . 2 i B . 2—i C .-2 i7、某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形,则该四棱锥的表面积是A . 4B 2&3（1,：：）上为增函数”A .必要不充分条件B .充分不必要条件3、已知数列 满足 2a n 1 -a . = 0，若 a 2 :2 ，则数列'a n 』的前11项的和为A . 256 1023 C 2047 4095 2014 4、在区间 0,1 ］上随机取两个数, 2048 3 则这两个数之和小于 -的概率是 2 /祐人正整数从/5、如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能是 A . 0.7 B . 0.75 C . 0.8 D .0.91)/输出£/6、设实数 a = log 2 3,b = In 2, c = 5 2，则 A . c b a B . a b c C a c b D . b a c第（5）趙阁乙（1」）=3_i ，则 Z 28、已知函数f x =x 2 a，则“ 0 ：：： a ::: 2 ”是“函数f x 在C.抽样条件.既不充分也不必要条件9、下列函数中，其定义域和值域与函数y=e lnx的定义域和值域相同的是A. y = x 1 xB . y =1 n xC . yD . y =10v X10、已知函数x x 2f x A ln(e e ) x，则使得f(2x) • f (x 3)成立的x的取值范围是A. (-1,3) B . ( _：：, _3) U(3,…) C . (-3,3) D . ( - ：：, -1)U (3,…)11、正方体ABCD -AB i C i D i中，B i C和GD与45°底面所成的角分别为和，则异面直线BiC和C i D所成角的余弦值为A. B .元C . D .乜3 4 6 62 2i2、已知椭圆笃•笃=i(a b 0)上一点A关原点的对称点为B, F为其右焦点，若a bAF _ BF，设.ABF =〉，且—[—,]，则该椭圆的离心率E的取值范围是6 4A [J"—i]B . [Ji]C •【¥，[]D • [{,爭2 2 2 23 3本卷包括必考题和选考题两个部分，第i3题一第2i题为必考题，每个考生都必须作答,第22题一第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..i3、设x,y满足约束条件X ；1,则X2y _ -12y的最大值为_____________14、在厶ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD, E为线段AD的中点，若CE = mAB nAC，则m n= _______________第【14)题图15、已知S n是等差数列曲的前n项和，若才-2017，軟-驚二6，16、有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜猜：4号或5号选手得第一名；学生乙猜猜:3号选手不可能是第一名；学生丙猜猜： 1 , 2, 6号选手中的一位获得第一名学生丁猜猜:4, 5, 6号选手都不可能是获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲乙丙丁四人中只有1人猜对，则此人是____________ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）四边形ABCD如图所示，已知AB =BC =CD =2,AD =2、、3.（1 ）求pcosA-cosC 的值；（2）记ABD与:BCD的面积分别是S与S2，求S1 2 S2的最大值.第（1打题宙18、（本小题满分12分）某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过样本，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照1-0,100 ,100,200 , 1200,300 , 300,400 ,1.400,500,500,600 , 1.600,700 , 1.700,800,800,900 1，分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.1求直方图中m的值，并估计居民约用电量的中位数；2现从第8组1.700,800和第9组800,900 1的居民中任选2户居民进行访问，则两组中各有一户的被选中的概率19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA_底面ABCD,PA = AB,E,F分别是棱PA, PB的中点（1 ）在图中画出过点E,F的平面：•，使得：//平面PCD （须说明画法，并给予证明）（2）若点E, F的平面：//平面PCD且截四棱锥P - ABCD所得截面的面积为竺2，2求四棱锥P-ABCD的体积•汝1如也图20、（本小题满分12分）2如图，过椭圆C : y2-1的左右焦点F1,F2分别作直线11,12交椭圆于A,B与C,D，且411//12.（1）求证：当直线h的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，k1k2为定值;（2）求四边形ABCD面积的最大值第（2⑴題图21、（本小题满分12分）已知函数f x二ax2-e x（a • R）在（0「：）上有两个零点为x1,x2（x1：： x2）.（1）求实数a的取值范围；(2)求证：x1 x2 4.请考生在第(22)、(23) ( 24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.22、(本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程「x = 2cos 护在直角坐标系xOy中，直线I的方程是y=8，圆的参数方程是(「为参y = 2 + 2s in 申数)，以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线I和圆的极坐标方程；(2)射线OM r(其中0 )与圆C交于0,P两点，与直线交于点M2射线ON :日=a +上与圆C交于0,Q两点，与直线I交于点N求竺凹的最大值.2 |0M |0N|23、(本小题满分10分)选修4-5 不等式选讲设不等式一2 v|x-1 一x+2 c0的解集为M且a,b^ M •1 1 1(1)证明：一a +-b c—；3 6 4(2)比较1-4ab与2 a—b的大小，并说明理由2017年高考桂林市養务黑第一次联合模拟考试文科数学参考答案及评分标准评分说明：1.易一题迭祥題•选对得分•不遠•错追裁S选一律得0分.2.芻二仪填空题■不给中间分.3 •处签与i£明題•本#案给出了一种或几种解法供拿救如旻考土的样法与本解备不同•可根据试題的主要考交内朿比照讦分參#制订相应的评分佃则. 牛：…4对计算題■当号生的斛答在某一步出现特僕时■如果后灶部分的解学未技变该题的内容和难度.可视彭响的殺度决定后堆部分旳给分，但不得趨过it部分正躊解答应得分数的一丰；如艮后魅部分的解答有较严审的钳课•就不再蛤分.5 •鄴各右伺所注分軟•表示考生正确做列这一步应得的累加分數.6.只给整無分做.二. 填空题：(13)5. (14)-|. (15)-2017. (16)T ・三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
广西高考数学(文科)模拟考试卷附带答案解析
广西高考数学(文科)模拟考试卷附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|M x x A =∈且}x B ∈,{}3,4,5,6,7A =与{}2,4,6,8B =，则M 等于（ ） A ．{}4,5,6 B ．{}4,6 C ．{}2,8D ．{}3,5,72．复数z2，则复数z 2的对应点位于复平面内（ ） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第二或三象限3．函数2cos 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为（ ）A ．()2ππ,2π,Z k k k -∈B ．()2π,2ππ,Z k k k +∈C ．7ππ(2π,2π),Z 66k k k --∈ D ．π5π(2π,2π),Z 66k k k -+∈4．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）A ．2exy x=B ．()22e x xy x+=C ．e 2xy x=D ．2e xy x=5．经过原点且倾斜角为60︒的直线被圆C:220x y a +-+=截得的弦长是C 在x 轴下方部分与x 轴围成的图形的面积等于（ ）A ．83π-B ．163π-C ．83π-D ．163π-6．有一组样本数据由这组数据得到新的样本数据其中i iy cx =（1i =，2，…，n ），且0c ≠，则下列说法中错误的是（ ）A ．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c 倍B ．新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c 倍C ．新样本数据的方差是原样本数据方差的c 倍D ．新样本数据的极差是原样本数据极差的c 倍7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（ ）A ．12B ．1CD 8．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且1122BC BA BP +=，则A ．0PA PB += B ．0PA PC += C ．0PC PB +=D ．0++=PA PB PC9．已知椭圆22:1126x y C +=的两焦点分别为1F ，2F 且P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于（ ）．A ．6B ．C ．D ．10．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=BC=2，60ABC ∠=︒将ACD 沿边AC 翻折，使点D 翻折到P 点，且PB =-P ABC 外接球的表面积是（ ）A ．15πB ．25πC ．D ．20π11．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F 过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =则C 的方程为（ ）A ．221124x y += B ．2211612x y += C ．221128x y += D ．2212016x y += 12．若存在实数x ，y 满足ln 3y y x x e e --+≥+，则x y +=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．e二、填空题13．已知向量(1,3)a =，(3,)b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 夹角为__________．14．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．15．函数()21f x x x=-+的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为______． 16．已知11223x x -+=，则22x x --=___________． 三、解答题17．某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：小时），并根据统计数据分为六个小组（所调查的居民平均每天运动时长均在[]1,4内），得到频率分布直方图如图所示.(1)求出图中m 的值，并估计这100名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；(2)为了分析该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出20名居民进一步调查，试问在[)1.5,2时间段内应抽出多少人?18．在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a 与3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =点E 是棱PB 的中点．(1)求证：CB AE ⊥；(2)若2AB =，BC =求三棱锥P ACE -的体积． 20．已知函数()32123f x x x =-+．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求函数()f x 在区间[](),10a a a +>的最大值． 21．已知抛物线22x py =上一点()2,1P -，焦点为F ． (1)求PF 的值；(2)已知A ，B 为抛物线上异于P 点的不同两个动点，且PA PB ⊥，过点P 作直线AB 的垂线，垂足为C ，求C 点的轨迹方程．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线2C 的极坐标方程与1C 的普通方程； (2)若直线π6θ=与曲线1C 交于A 点、与曲线2C 交于B 点，求||AB 的值． 23．已知()112f x x x =-++的最小值为n ． (1)求n 的值；(2)若正实数,,a b c 满足a b c n ++=，求222a b c ++的最小值．参考答案与解析1．B【分析】利用交集的定义直接求解.【详解】因为 {}3,4,5,6,7A =，{}2,4,6,8B =与{|M x x A =∈且}x B ∈ 所以{}4,6M =. 故选：B 2．D【分析】结合复数的概念及模长求出复数z ，然后根据复数的乘方运算，即可判断所处象限.【详解】设z a bi =+，因为2b z =，所以1a =±，所以1z =或1z =-若1z =+，则()2212z =+=-+，复数z 2的对应点位于复平面内第二象限；若1z =-，则()2212z =-=--，复数z 2的对应点位于复平面内第三象限；故选：D. 3．C【分析】根据给定函数，利用余弦函数的单调性直接列式，求解作答. 【详解】由2ππ2π,Z 6k x k k π-≤+≤∈，解得2π2π,Z 66k x k k 7ππ-≤≤-∈ 所以所求函数的增区间为7ππ(2π,2π),Z 66k k k --∈. 故选：C 4．C【分析】结合图象，根据函数值的特点排除A 、B ，根据单调性排除D 即可得正确选项. 【详解】对于A ：当0x <时2e0xy x=<，且2exy x=为奇函数图象关于原点对称，不符合题意，故选项A 不正确；对于B ：当0x <时()22e 0x xy x+=<，不符合题意，故选项B 不正确；对于D ：当0x >时由 2e x y x =可得()243e 2e 2e xx x x x x y x x -⋅-'== 当02x <<时0'<y ；当2x >时0'>y ，所以2e xy x=在()0,2单调递减，在()2,∞+单调递增，不符合图象特点，故选项D 不正确； 故选：C. 5．A【分析】由已知利用垂径定理求得a ，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【详解】解：直线方程为y =，圆22:0C x y a +-+=的圆心坐标为(圆心(0y -=的距离d = 则4a =-．∴圆C 的圆心坐标为(，半径为4．如图sin OBC ∠60OBC ∠=︒ 60ACB ∠=︒∴．218463CAB S ππ=⨯⨯=扇形 144602ABC S sin =⨯⨯⨯︒=三角形∴圆C 在x 轴下方部分与x 轴围成的图形的面积等于83π-． 故选：A ．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题． 6．C【分析】根据平均数，百分位数，极差以及方差的定义以及计算即可根据选项逐一求解.【详解】对于A ，根据平均数的定义知，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c 倍，选项A 正确； 对于B ，根据百分位数的定义知，新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c 倍，选项B 正确； 对于C ，根据方差的计算公式知，新样本数据的方差是原样本数据方差的2c 倍，所以选项C 错误； 对于D ，根据极差的定义知，新样本数据的极差是原样本数据极差的c 倍，选项D 正确． 故选：C 7．B【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可【详解】如图，延长正三棱台的三条棱,,AA BB CC '''，交于点P ，因为6AB BC AC ===,3A B B C A C ''''''===，则24PA PB PC AA '====，作PO ⊥底面ABC 于O ，连接BO ，则BO ==故2PO =，故正三棱台ABC A B C '''-的高为12PO= 故选：B 8．B【分析】由向量的加减法运算化简即可得解.【详解】2BC BA BP +=,移项得20,0BC BA BP BC BP BA BP PC PA +-=-+-=+=． 【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题. 9．B故选：B 10．D【分析】在梯形ABCD 中，利用已知条件求出三角形ADC 和三角形ABC 的边长，分别取,AB AC 的中点,O F '，连接,,O F PF BF '，可证出PF ⊥面ABC ，由O P O A ''<知，三棱锥-P ABC 外接球的球心O 在平面ABC 的下方，设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，连接OO '，作OH PF ⊥，垂足为H ，由()22222R O A O O OH PF O O '''=+=++，解出外接球半径，进而得出表面积．设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，连接OO '，作OH PF ⊥，垂足为H 由题中数据可得1PF = 1OH O F '== 2O A '= HF OO '=设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，则()22222R O A O O OH PF O O '''=+=++ 即()222141R O O O O ''=+=++，解得1'=O O 25R = 故三棱锥-P ABC 外接球的表面积是24π20πR =. 故选：D11．C【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=列方程可解得a ，b ，即可得到椭圆的方程．【详解】22||2||AF BF = 2||3||AB BF ∴= 又1||||AB BF = 12||3||BF BF ∴= 又12||||2BF BF a += 2||2aBF ∴=2||AF a ∴= 13||2BF a =12||||2AF AF a += 1||AF a ∴= 12||||AF AF ∴= A ∴在y 轴上．在Rt2AF O 中22cos AF O a∠=在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为221128x y +=．故选：C ．【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x ya b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 12．C【分析】令()ln 3f x x x =-+，利用导数求得函数的单调性与最大值，再令()y y g y e e -=+，结合基本不等式，求得()2g y ≥，进而得到ln 32x x -+=，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】令函数()ln 3f x x x =-+，可得11()1xf x x x-='-= 当(0,1)x ∈时0fx，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0f x '<，()f x 单调递减 所以当1x =，可得max ()(1)ln1132f x f ==-+=令函数()y y g y e e -=+，则2y y e e -+≥，当且仅当0y =时取等号 又由ln 3y y x x e e --+≥+，所以ln 32y y x x e e --+=+= 所以1,0x y ==，所以1x y +=． 故选：C.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成求解参数的取值时一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 13．6π 【分析】根据投影公式，求得m (3,3)b =，再由夹角公式得解． 【详解】解：因为(1,3)a = (3,)b m =33a b m ∴=+ (212a =+=由公式b 在a 上的投影为||a ba 得，3332||a b a +==m所以(3,3)b =，即(23b =+由向量夹角公式33cos ,||||43a b a b a b +<>==因为[],0,a b π<>∈ 则a 与b 夹角6π． 故答案为6π． 【点睛】本题考查平面向量的数量积及投影公式的运用，考查向量夹角的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．14【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由其侧面展开图为一个半圆可得r l 2π=π，所以2l r =，所以圆锥的表面积为223a r rl r r πππ=+=∴=15．3-【分析】求出函数的导函数，代入计算()1f '即可；【详解】解：因为()21f x x x=-+，所以()212f x x x '=--，即()2112131f '=-⨯-=-，故函数在点()()1,1f 处的切线的斜率为3-； 故答案为：-316．±【分析】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果.【详解】由11223x x-+=可得21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭ 即17x x -+= 又因为()()22114x x x x --+=-+ 即()22174x x -=-+，可得()2145x x -=-即1x x --=±所以()()(22117x x x x x x ----=+-=⨯±=±．故答案为±17．(1)0.5m =，平均数为2.4小时中位数为2.4小时(2)4人【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得m ，再利用平均数与中位数的计算公式直接计算；（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算.【详解】（1）由频率分布直方图可知()0.20.420.30.10.51m ++++⨯=，解得：0.5m =平均数：()1.250.2 1.750.4 2.250.5 2.750.5 3.250.3 3.750.10.5 2.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时；中位数：由0.20.40.50.30.5，0.20.40.50.50.550.5得中位数在[)2,2.5内 设中位数为a ，则()()0.20.40.520.50.5a +⨯+-⨯=，解得 2.4a =，即中位数为2.4小时（2）由已知可得在[)1.5,2时间段内的频率为0.40.50.2⨯=所以在[)1.5,2时间段内应抽出200.24⨯=人.18．（1）42n n a -=；（2）当3n =或4时n S 取得最大值，()max 64n S =.【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a 与3a 成等差数列，求得公比即可.（2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a a a -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）.因为2a ，43a 和3a 成等差数列所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --= 解得12q =或13q =-（舍） 又3411a a q ==故18a =. 所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. （2）(7)321(4)21222n n n n n S a a a -++++-=== 又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72又n N +∈，故当3n =或4时二次函数取得最大值6故当3n =或4时n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19．(1)证明见解析【分析】（1）由线面垂直性质可得CB PA ⊥，结合CB AB ⊥，由线面垂直的判定可得CB ⊥平面PAB ，由线面垂直的性质可证得结论；（2）根据体积桥P ACE C PAE V V --=，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）PA ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD CB PA ∴⊥；四边形ABCD 为矩形CB AB ∴⊥，又AB PA A =，,AB PA ⊂平面PAB CB ∴⊥平面PAB ，又AE ⊂平面PAB ，CB AE ∴⊥.（2）PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PA AB ∴⊥又E 为PB 中点 11124PAE PAB SS PA AB ∴==⋅=由（1）知：CB ⊥平面PAB ，11133P ACE C PAE PAE V V S BC --∴==⋅=⨯20．(1)函数()f x 在()(),0,2,-∞+∞单调递增，在()0,2单调递减(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）求导()()222f x x x x x '=-=-，由0f x ，()0f x '<求解；（2）根据（1）的结论，分01a <≤，12a <≤与2a >，讨论求解.(1)解：()()222f x x x x x '=-=-当0x <或2x >时0f x ；当02x <<时()0f x '<；∴函数()f x 在()(),0,2,-∞+∞单调递增，在()0,2单调递减；(2)由（1）知当01a <≤，函数()f x 在区间[],1a a +单调递减∴()()32max 123f x f a a a ==-+ 当12a <≤，函数()f x 在区间[],2a 单调递减，在[]2,1a +单调递增()()()3231141112333f a a a a a +=+-++=-+ ()()2213+-=--f a f a a a①当1a <≤()()1f a f a ≥+，∴()()32max 123f x f a a a ==-+2a <≤时()()1f a f a <+，∴()()3max 14133f x f a a a =+=-+ 当2a >时函数()f x 在区间[],1a a +单调递增∴()()3max 14133f x f a a a =+=-+综上所述，当0a <≤时()32max 123f x a a =-+当>a ()3max 1433f x a a =-+ 21．(1)2(2)()2238x y +-=【分析】（1）将点()2,1P -代入抛物线方程，求得抛物线方程，再根据抛物线的定义即可得出答案；（2）设直线AB 的方程为y kx t =+，()()1122,,,A x y x y 联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x 再根据PA PB ⊥，求得,k t 的关系，从而可得直线AB 过定点H ，再根据PC HC ⊥，可得C 点的轨迹为PH 为直径的圆，即可得出答案.【详解】（1）解：∵42p =，∴2p =∴抛物线方程为24x y =，准线方程为1y =- 122p PF =+=； （2）解：由已知直线AB 存在斜率，设直线AB 的方程为：y kx t =+由24x y y kx t⎧=⎨=+⎩，有2440x kx t --=，记()()1122,,,A x y x y 则124x x k += 124x x t =- ∵22121212121211112244222244PA PBy y y y x x k k x x x x ------⋅=⋅=⋅=⋅++++ ()121224116x x x x -++==- ∴52t k =-则直线AB 的方程为：()25y k x =-+，过定点()2,5H∵PC HC ⊥，则C 点的轨迹为PH 为直径的圆，其方程为()2238x y +-=则轨迹方程为()2238x y +-=.22．(1)21:1(0)C x y x =+≥ 22:8cos 120C ρρθ-+=【分析】（1）消去参数t ，结合取值范围得1C 的方程，根据2C 为圆的标准参数方程可得普通方程，再根据极坐标与普通方程的关系式可得极坐标方程；（2）根据极坐标中极径的几何意义求解即可.【详解】（1）在1C 的参数方程中，消去参数t 得21(0)x y x =+≥；所以1C 的普通方程为21(0)x y x =+≥.又2C 是以()4,0为圆心，2为半径的圆，故其普通方程为22(4)4x y -+=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式得2C 的极坐标方程为28cos 120ρρθ-+=.（2）将π6θ=代入28cos 120ρρθ-+=可得2120ρ-+=，即(20ρ-=，解得ρ=||OB =.又1C 的极坐标方程为22cos sin 1ρθρθ=+ 把π6θ=代入1C 的极坐标方程得：23240ρρ--=解得ρ=ρ=故有||||||AB OB OA =-=23．(1)32 (2)34【分析】（1）先在数轴上标根，把数轴分成三区，再打开绝对值，写出分段函数()f x ，求其最小值.（2）先把a b c n ++=两边平方，再利用重要不等式进行放缩求出结果.【详解】（1）由已知121231()12211222x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，，， 当1x ≤-时3()2f x ≥；当11x -<<时3()2f x =；当1x ≥时3()2f x ≥. 所以3()2f x ≥，即min 3()2f x =，即32n =． （2）由（1）知：32a b c ++= 所以2222239()22224a b c a b c ab ac bc ⎛⎫++=+++++== ⎪⎝⎭因为222a b ab +≥，当a b =时取等号；同理222b c bc +≥，当b c =时取等号；222a c ac +≥当a c =时取等号. 所以222222222ab bc ac a b c ++++则()2222()3a b c a b c ++++ 所以22234a b c ++，当且仅当12a b c ===时取等号 所以222a b c ++的最小值为34．。
2022年广西名校高考数学第一次联考试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年广西名校高考数学第一次联考试卷（文科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足，则z的虚部等于( )A. 4iB. 2iC. 2D. 43. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合牟合在一起的方形伞方盖其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )A. B. C. D.4. 已知单位向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.5. 如图，、分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是( )A.B.C.D.6. 在区间上随机取两个数x，y，则点到坐标原点的距离大于1的概率为( )A. B. C. D.7.已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为( )A. 5B. 512C. 1024D. 648.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A 是双曲线渐近线上一点，且其中O 为坐标原点，交双曲线于点B ，且，则双曲线的离心率为( )A.B.C. D.9. 瀑布是庐山的一大奇观，为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为，则该瀑布的高度约为( )A. 60m B. 90m C. 108m D. 120m10. 若，，则( )A.B. C. D. 11. 已知函数满足，且当时，成立，若，，，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.B. C. D.12. 在棱长为1的正方体中，M 为底面ABCD 的中心，，，N 为线段AQ 的中点，则下列命题中正确的个数为( )①CN 与QM 共面；②三棱锥的体积跟的取值无关；③时，过A ，Q ，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为；④时，A. 1B. 2C. 3D. 413. 若曲线在点处的切线斜率为2，则______.14. 2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中学校需要安排男教师x名，女教师y名做义工，x和y需满足条件，则该校安排教师最多为______人．15. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是______.16. 已知，若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为______.17. 已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．求数列，的通项公式；设数列____，求数列的前n项和请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．18. 如图所示，在四棱锥中，，，为等边三角形，且平面平面BCDE，F为棱AC的中点．求四棱锥的体积；证明：19. 如图，P是抛物线E：上的动点，F是抛物线E的焦点．求的最小值；点B，C在y轴上，直线PB，PC与圆相切．当时，求的最小值．20. 已知函数，，其中试讨论函数的单调性；若，试证明：21. 为2020年全国实现全面脱贫，湖南贫团县保靖加大了特色农业建设，其中茶叶产业是重要组成部分，由于当地的地质环境非常适宜种植茶树，保靖的“黄金茶”享有“一两黄金一两茶”的美誉.保靖县某茶场的黄金茶场市开发机构为了进一步开拓市场，对黄金茶交易市场某个品种的黄金茶日销售情况进行调研，得到这种黄金茶的定价单位：百元和销售率销售率是销售量与供应量的比值的统计数据如表：x102030405060y设，根据所给参考数据判断，回归模型与哪个更合适？并根据你的判断结果求回归方程的结果保留一位小数；某茶场的黄金茶生产销售公司每天向茶叶交易市场提供该品种的黄金茶1200kg，根据中的回归方程，估计定价单位：百元为多少时，这家公司该品种的黄金茶的日销售额W最大，并求W的最大值.参考数据：y与x的相关系数，y与z的相关系数，，，，，，，，，，，参考公式：，，22. 在平面直角坐标系xOy中，由经过伸缩变换得到曲线，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；若直线l的极坐标方程为，l与曲线、曲线在第一象限交于P、Q，且，点M的极坐标为，求的面积．23. 已知函数求不等式的解集；设函数的图象与直线有3个交点，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握交集的定义，考查了运算能力，属于基础题．先求出集合A，然后由交集的定义求解即可．【解答】解：因为，，所以故选：2.【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算，直接求解即可．本题考查了复数的运算性质，属于基础题．【解答】解：由题意，可知，所以复数z的虚部为4，故选：3.【答案】B【解析】【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合牟合在一起的方形伞方盖根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．本题考查了几何体的三视图，属于基础题．【解答】解：相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合牟合在一起的方形伞方盖其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：4.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的数量积的求法与应用，向量夹角的求法，是基础题．利用向量的数量积，转化求解向量的夹角即可．【解答】解：单位向量，，，可得，所以，，所以与的夹角为：故选：5.【答案】A【解析】解：由于是面积为的正三角形，所以且，则，代入椭圆方程得，解得故选：求得P点坐标并代入椭圆方程，化简求得的值．本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆中三角形的相关计算等知识，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：点到坐标原点的距离大于1，即试验的全部结果构成的区域为，事件点到坐标原点的距离大于1为A，则如图，则故选：由题意画出图形，再由测度比是面积比求解．本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列与等差数列的综合，考查等比数列的通项公式与性质，等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题．设等比数列的公比为q，由已知及等比数列的通项公式可得，由等差中项的性质可求得，进一步利用求出q值，再利用求出，最后利用等比数列的性质进行求解即可．【解答】解：设等比数列的公比为q，由，得，即，又与的等差中项为，得，即，解得，所以，即，解得，则，所以故选：8.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点A在第二象限，设，因为，求出点到直线的距离，利用双曲线的定义，结合余弦定理转化求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．【解答】解：根据双曲线的对称性，不妨设点A在第二象限，设，因为，点到直线的距离，所以，因为，所以，因为，所以，由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得，整理得，所以，即离心率故选：9.【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，过点B作于C，结合三角函数和勾股定理，转化为平面几何中的简单计算，即可得解．本题考查解三角形的应用，根据题意作出示意图是解题的关键，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题．【解答】解：根据题意作出如下示意图，其中，，，过点B作于C，设，则，，中，，，由余弦定理可得，化简得，解得，瀑布的高度故选：10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．首先根据切化弦进行化简可得出，从而可求出，即可求出角，从而可求出的值．【解答】解：因为，所以，又因为，，所以，即，所以，又因为，所以，故选：11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性，对数函数及其性质和比较大小，属于较难题.构建函数，利用奇函数的定义得函数为R上奇函数，再利用导数研究函数的单调性得函数在R上为减函数，结合对数函数的性质知，再利用单调性比较大小得结论.【解答】解：根据题意，令，因为对成立，所以，因此函数为R上奇函数.又因为当时，，所以函数在上为减函数，又因为函数为奇函数，所以函数在R上为减函数，因为，所以，即故选12.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查锥体体积的计算，几何体截面的相关问题等知识，属于中等题．由M，N为AC，AQ的中点，得到，可判定①正确；由N到平面ABCD的距离为定值，且的面积为定值，根据，可得判定②正确，由时，得到A，Q，M三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，可判定③正确；当时，根据，可判定司④正确．【解答】解：在中，因为M，N为AC，AQ的中点，所以，所以CN与QM共面，所以①正确；由，因为N到平面ABCD的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以②正确；当时，过A，Q，M三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，所以平面截正方体所得截面的周长为，所以③正确；当时，可得，则，所以不成立，所以④不正确．故选：13.【答案】【解析】解：曲线，可得，曲线在点处的切线斜率为2，所以，可得，故答案为：求出函数的导数，利用切线的斜率，列出方程求解即可．本题考查函数导数的应用，切线的斜率的求法，是基础题．14.【答案】13【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得令，化为，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为该校安排教师最多为13人．故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查函数型函数的图象变换规律，余弦函数的零点问题，属于中档题．由题意，利用函数型函数的图象变换规律，余弦函数的零点，求得的取值范围．【解答】解：将函数的图象先向左平移个单位长度，可得的图象；再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当x在上变化时，，若在上没有零点，则，当时解得，当时解得，当k取其它整数时，不等式组均无解，故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的最值，考查构造法与函数恒成立问题的求解，突出考查转化与化归思想、函数与方程思想的综合运用，考查逻辑推理能力与运算能力，属于难题．依题意，，解得，对于任意的，恒成立在上恒成立，令，，求导，分析可得，由，，可求得实数a的取值范围．【解答】解：对于任意的，恒成立，，解得又当时，，对于任意的，恒成立，等价于在上恒成立，令，，则只需即可．，且，在上单调递减，在上单调递增，，由，，解得17.【答案】解：根据题意，因为数列为各项均为正数的等差数列，所以，即得，设公差为d，则有，，，又因为，，构成等比数列的前三项，所以，即，解之可得，或舍去，所以，即得数列是以3为首项，2为公差的等差数列，故可得，由题可得，，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故可得，选①，设，则①，在上式两边同时乘以2可得，，②，①-②可得，，即得；选②，设，则；选③，设，则所以当n为偶数时，…；当n为奇数时，，综上可得，【解析】本题主要考查等差等比中项的性质，同时考查错位相减法、裂项相消法、分组求和法与分类讨论在求解数列求和中的使用，属于综合题，属于中档题．根据等差中项的定义，结合条件，可求解得到，设出公差为d，则根据条件，，构成等比数列的前三项，利用等比中项的定义即可得到关于d的方程从而求解得出结果；若选择①，利用错位相减，求解前n项和，选择②，利用列项相消，求解前n项和；选择③，利用分组求和与分类讨论，求解前n项和.18.【答案】解：由条件可得底面BCDE是等腰梯形，，所以因为平面平面BCDE，所以等边的高h即四棱锥的高，且，所以如图，设CD的中点为G，连接BG，FG，则，，因为，，所以平面平面在中，，所以，即又因为平面平面BCDE，平面平面，所以平面因此平面FGB，又平面FGB，所以【解析】计算底面等腰梯形的面积以及四棱锥的高，代入体积公式进行计算即可；通过面面垂直证得平面FGB，从而可得本题考查了几何体体积的计算，空间中垂直关系的证明，属于基础题．19.【答案】解：是抛物线E：上的动点，F是抛物线E的焦点，准线方程为，由抛物线的定义可得，由，可得当P为顶点O时，的最小值为1；设，，，，则PB的方程为，PC的方程为，由直线PB与圆相切，可得，化为，同理可得，即有m，n为方程的两根，可得，，则，由，可得，即，令，，即有在递减，可得即时，取得最小值【解析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意运用韦达定理和二次函数的单调性，考查化简运算能力，属于较难题．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和性质，可得所求最小值；设，，，，分别求得PB，PC的方程，运用直线和圆相切的条件：，以及方程思想可得m，n为方程的两根，再由韦达定理可得，化简配方可得所求最小值．20.【答案】解：函数的定义域是，，当时，，在上单调递增，当时，令，解得：，令，解得：，综上，当时，在单调递增，无递减区间，当时，在递减，在递增；证明：，，即证：，，即证：，当时，，，，，当时，令，则，令，则，在上单调递增，，在上单调递增，，综上，，即【解析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；代入a的值，问题转化为证明，当时，成立，当时，令，根据函数的单调性证明即可．21.【答案】解：因为回归模型的相关系数，回归模型的相关系数，因为，由线性相关系数的意义可知，回归模型更合适，，，所以回归方程为；由题意可知，，所以，令，解得，即，当时，，W单调递增，当时，，W单调递减，所以当售价约为百元时，日销售额W最大，最大值为百元，所以最大日销售额为万元．【解析】本题考查了相关系数的应用以及线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．通过两个回归模型的相关系数的比较，即可确定模型更合适，由题中的参考数据求出，即可得到回归方程；求出W，然后利用导数求解最值即可．22.【答案】解：平面直角坐标系xOy中，由经过伸缩变换得到曲线，得到直角坐标方程为根据转换为极坐标方程为曲线的极坐标方程为根据转换为直角坐标方程为由于得到：，且整理得由于，所以，故：，解得所以，则：【解析】直接利用伸缩变换的应用和参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角俺和你熟关系式的变换和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：伸缩变换的应用，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.【答案】解：由已知不等式，得，当时，不等式化为，解得，；当时，不等式化为，解得，；当时，不等式化为，解得，此时不等式无解．综上所述，原不等式的解集为；，画出函数图象如图：图中，，，直线恒过定点，，，由图可知，若函数的图象与直线有3个交点，则k的取值范围是【解析】由不等式，得，然后对x分段求解，取并集得答案；写出分段函数解析式，画出图象，数形结合可得k的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，是中档题．。
2020年高考模拟试卷广西高考数学一诊测试试卷(文科) 含解析
2020年高考模拟试卷高考数学一诊试卷（文科）一、选择题1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，则∁U A＝（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，1} 2．已知复数z满足z（2﹣i）＝|3+4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）3．已知命题p：∀x∈R，x4+x＜0，则￢p是（）A．∀x∈R，x4+x≥0 B．∀x∈R，x4+x＞0C．∃x0∈R，x04+x0≥0 D．∃x0∈R，x04+x0＞04．已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线l的方程是（）A．B．或C．或D．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为（）A．B．C．D．6．已知a＝3﹣0.1，b＝3cos1，c＝log40.99，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c7．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A．5π+24 B．C．3π+12 D．8．已知直线l过点（﹣3，0）且倾斜角为α，若l与圆x2+（y﹣2）2＝4相切，则cos2α＝（）A．1 B．C．1或D．﹣1或9．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A．输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B．输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C．输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D．输出1+2+3+4+…+2018的值10．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了﹣﹣系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．11．函数f（x）＝A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．f（x）的最小正周期是2πB．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴12．已知函数，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e] C．D．二、填空题13．已知向量，若，则实数k＝．14．若抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的方程是．15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，CE＝CB，CD＝，则直线AC1与DE所成角的大小为．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在等差数列{a n}中，a1+a3＝4，a4＝3；{b n}是各项都为正数的等比数列，，b3a14＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}，{b n}的前n项和．18．如图，在四棱锥A﹣DBCE中，AD＝BD＝AE＝CE＝，BC＝4，DE＝2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求四棱锥A﹣DBCE的体积．19．某北方村庄4个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上市便成为消费者争相购买的对象．光照是影响草莓生长的关键因素，过去50年的资料显示，该村庄一年当中12个月份的月光照量X（小时）的频率分布直方图如图所示（注：月光照量指的是当月阳光照射总时长）．（1）求月光照量X（小时）的平均数和中位数；（2）现准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，问：应在月光照量X∈[160，240），X∈[240，320），X∈[320，400]的区间内各抽取多少个月份？（3）假设每年中最热的5，6，7，8，9，10月的月光照量X是大于等于240小时，且6，7，8月的月光照量X是大于等于320小时，那么，从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查，求抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率．20．已知函数．（1）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．21．已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O是坐标原点，求的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|x﹣4|﹣x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，A＝{0，2}，则∁U A＝（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，2，3} D．{﹣1，0，1} 【分析】利用补集的定义，直接求解即可．解：由题意可得，∁U A＝{﹣1，1，3}故选：A．2．已知复数z满足z（2﹣i）＝|3+4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．解：由题意，z（2﹣i）＝5，故z＝＝＝2+i，其在复数平面内对应的点的坐标为（2，1）．故选：B．3．已知命题p：∀x∈R，x4+x＜0，则￢p是（）A．∀x∈R，x4+x≥0 B．∀x∈R，x4+x＞0C．∃x0∈R，x04+x0≥0 D．∃x0∈R，x04+x0＞0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：特称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，即∃x0∈R，x04+x0≥0．故选：C．4．已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线l的方程是（）A．B．或C．或D．【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由平行和在y轴的截距可得l的方程．解：由题意可得双曲线的渐近线的斜率为y＝±x，故由题意可得直线l的方程是y ＝x+2．故选：B．5．在区间[4，12]上随机地取一个实数a，则方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程有实数根△≥0，求出a的取值范围，再求对应的概率值．解：因为方程2x2﹣ax+8＝0有实数根，所以△＝（﹣a）2﹣4×2×8≥0，解得a≥8或a≤﹣8，所以方程2x2﹣ax+8＝0有实数根的概率为P＝＝．故选：D．6．已知a＝3﹣0.1，b＝3cos1，c＝log40.99，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出．解：a＝3﹣0.1∈（0，1），b＝3cos1＞1，c＝log40.99＜0，则b＞a＞c．故选：A．7．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是一圆心角为45°的扇形，则该几何体的表面积为（）A．5π+24 B．C．3π+12 D．【分析】直接把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：由三视图可知，该几何体是个圆柱，其上下底面均为圆面，侧面由2个矩形和1个圆弧面构成，所以其表面积．故选：B．8．已知直线l过点（﹣3，0）且倾斜角为α，若l与圆x2+（y﹣2）2＝4相切，则cos2α＝（）A．1 B．C．1或D．﹣1或【分析】先根据直线与圆相切求出tanα＝0或tan；再结合cos2α＝＝，代入求解即可．解：设直线y＝（x+3）tanα．因为l与圆x2+（y﹣2）2＝4相切，所以＝2，解得tanα＝0或tan∵cos2α＝＝，当tanα＝0时，cos2α＝＝1；当tanα＝时，cos2α＝＝﹣．综上，cos2α＝1或﹣．故选：C．9．某程序框图如图所示，则该程序的功能是（）A．输出3（1+2+3+4+…+2018）的值B．输出3（1+2+3+4+…+2017）的值C．输出3（1+2+3+4+…+2019）的值D．输出1+2+3+4+…+2018的值【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得第一次运行时，k＝2，S＝3+3×2；第二次运行时，k＝3，S＝3+3×2+3×3；第三次运行时，k＝4，S＝3+3×2+3×3+3…，以此类推，第2017次运行时，k＝2018，S＝3+3×2+3×3+3×4+…+3×2018，此时刚好不满足k＜2018，则输出S＝3（1+2+3+4+…+2018），所以该程序的功能是“输出3（1+2+3+4+…+2018）的值．故选：A．10．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了﹣﹣系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（）A．B．C．D．【分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，所以函数的图象应一直下凹的．故选：B．11．函数f（x）＝A sin（wx+φ）（A＞0，w＞0）的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．f（x）的最小正周期是2πB．f（x）在上单调递增C．f（x）在上单调递增D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴【分析】由图象求出函数f（x）的解析式，然后逐个分析所给命题的真假．解：由图可知，A＝2，该三角函数的最小正周期，故A项正确；由，则f（x）＝2sin（x+φ）中，因为，所以该三角函数的一条对称轴为，将代入y＝2sin（x+φ），得，解得，所以，令，得，所以函数f（x）在上单调递增．故B项正确；令，得，所以函数f（x）在上单调递减．故C项错误；令，得，则直线是f（x）的一条对称轴．故D项正确．故选：C．12．已知函数，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e] C．D．【分析】根据题意，f（x）min≥g（x）max，求导，利用导数判断函数f（x）的最小值，利用二次函数的关系，求得g（x）的最大值，即可求得a的取值范围．解：，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）≥g（x2）恒成立，则f（x）min≥g（x）max（x∈（0，+∞））．，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的最小值为．又g（x）max＝a，所以a≤．故实数a的取值范围为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，若，则实数k＝﹣4或2 ．【分析】结合向量垂直的坐标表示可建立关于k的方程，解方程可求．解：由题意，＝（﹣k﹣2，﹣4），因为，所以＝﹣k×（﹣k﹣2）+2×（﹣4）＝k2+2k﹣8＝0，解可得k＝2或k＝﹣4．故答案为：2或﹣4．14．若抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的方程是x2＝8y．【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出抛物线的方程．解：根据抛物线定义，准线方程为y＝﹣，由题意可得8＝6+，解得：p＝4，故抛物线C的方程是x2＝8y．故答案为：x2＝8y．15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，CE＝CB，CD ＝，则直线AC1与DE所成角的大小为60°．【分析】连接BC1．由DE∥BC1，得∠AC1B就是直线AC1与DE所成角．由此能求出直线AC1与DE所成角的大小．解：连接BC1．因为CD＝，CE＝，所以＝．由题意知DE∥BC1，所以∠AC1B就是直线AC1与DE所成角．设CA＝CB＝CC1＝a，则，则△ABC1是正三角形，则∠AC1B＝60°．故直线AC1与DE所成角的大小为60°．故答案为：60°．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则的最大值为2．【分析】由已知利用三角形的面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得＝2sin（C+φ），其中，tanφ＝，利用正弦函数的性质可求其最大值．解：由面积公式得：ab sin C＝c2，即c2＝4ab sin C．由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得＝＝＝4sin C+2cos C＝2sin（C+φ），其中，tanφ＝，故当C+φ＝时，的最大值为2．故答案为：2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在等差数列{a n}中，a1+a3＝4，a4＝3；{b n}是各项都为正数的等比数列，，b3a14＝1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}，{b n}的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式，由a1+a3＝4，a4＝3即可求得等差数列{a n}的公差d，从而可得数列{a n}的通项公式；利用等比数列中b1＝a1，b3a14＝1，即可求得b3，及其公比q，从而可得数列{b n}的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可求得数列{a n}，{b n}的前n项和．解：（1）由a1+a3＝4，得2a2＝4，所以a2＝2，所以等差数列{a n}的公差d＝＝，所以数列{a n}的通项公式为a n＝a2+（n﹣2）d＝2+（n﹣2）＝n+1．b1＝a1＝×＝，由b3a14＝1，得b3×8＝1，解得b3＝，所以等比数列{b n}的公比q＝＝（q＞0），所以数列{b n}的通项公式为b n＝b1q n﹣1＝．（2）数列{a n}的n项和为S n＝＝n2+n，数列{b n}的前n项和为T n＝＝1﹣．18．如图，在四棱锥A﹣DBCE中，AD＝BD＝AE＝CE＝，BC＝4，DE＝2，DE∥BC，O，H分别为DE，AB的中点，AO⊥CE．（1）求证：DH∥平面ACE；（2）求四棱锥A﹣DBCE的体积．【分析】（1）取线段AC的中点F，连接EF，HF．推导出四边形DEFH为平行四边形．从而EF∥HD．由此能证明DH∥平面ACE．（2）求出等腰梯形DBCE的面积S＝．推导出AO⊥DE．AO⊥CE，从而AO⊥平面DBCE，AO即为四棱锥A﹣DBCE的高．由此能求出四棱锥A﹣DBCF的体积．解：（1）证明：取线段AC的中点F，连接EF，HF．则HF是△ABC的中位线，所以HF＝，HF∥BC．又因为DE＝2，DE∥BC，所以HF＝DE，HF∥DE．所以四边形DEFH为平行四边形．所以EF∥HD．又EF⊂平面ACE，DH⊄平面ACE，所以DH∥平面ACE．解：（2）等腰梯形DBCE的高为h＝＝＝2，所以等腰梯形DBCE的面积S＝．因为AD＝AE，O为DE中点，所以AO⊥DE．又AO⊥CE，DE∩CE＝E，DE，CE⊂平面DBCE，所以AO⊥平面DBCE，AO即为四棱锥A﹣DBCE的高．在Rt△AOD中，OD+，则AO＝＝＝2，故四棱锥A﹣DBCF的体积V＝＝．19．某北方村庄4个草莓基地，采用水培阳光栽培方式种植的草莓个大味美，一上市便成为消费者争相购买的对象．光照是影响草莓生长的关键因素，过去50年的资料显示，该村庄一年当中12个月份的月光照量X（小时）的频率分布直方图如图所示（注：月光照量指的是当月阳光照射总时长）．（1）求月光照量X（小时）的平均数和中位数；（2）现准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，问：应在月光照量X∈[160，240），X∈[240，320），X∈[320，400]的区间内各抽取多少个月份？（3）假设每年中最热的5，6，7，8，9，10月的月光照量X是大于等于240小时，且6，7，8月的月光照量X是大于等于320小时，那么，从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10这6个月份之中随机抽取2个月份的月光照量进行调查，求抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率．【分析】（1）根据频率之和为1，求出a，再求出平均数和中位数；（2）因为月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]，的频率之比为，求出即可；（3）由题意，月光照量[240，320]的有5，9，10月，月光照量[320，400]的有6，7，8月，求出所有的情况个数和满足条件的个数，利用古典概型概率公式求出即可．解：（1）根据频率之和为1，可得0.00625×80+（a+a）×80＝1，解得a＝0.003125，月光照量X（小时）的平均数为0.00625×80+280×0.003125×80+360×0.003125×80＝260（小时）．设月光照量X（小时）的中位数为M，则M∈[240，320]，根据中位数的定义，其左右两边的频率相等，都为0.5，可得0.00625×80+（M﹣240）×0.003125＝0.5，解得M＝240，所以月光照量X（小时）的平均数为260小时，中位数为240小时；（2）因为月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]，的频率之比为，所以若准备按照月光照量来分层抽样，抽取一年中的4个月份来比较草莓的生长状况，那么，抽取的月光照量X∈[160，240]，[240，320]，[320，400]的月份数分别为2，1，1．（3）由题意，月光照量[240，320]的有5，9，10月，月光照量[320，400]的有6，7，8月，故从该村庄2018年的5，6，7，8，9，10月份之中随机抽取2个月份的月光照量X（小时）进行调查，所有的情况有：（5，9），（5，10），（5，6），（5，7），（5，8），（9，10），（9，6），（9，7），（9，8），（10，6），（10，7），（10，8），（6，7），（6，8），（7，8）共15种；其中，抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的情况有：（6，7），（6，8），（7，8）共3种；故所抽取到的2个月份的月光照量X（小时）都不低于320的概率为．20．已知函数．（1）求函数f（x）在[1，2]上的最大值；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（1）求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）在[1，2]上的最大值；（2）由f（x）有两个零点，由（1）可知，．则x1＜1＜ln＜x2，因此可得x1﹣x2＜．利用，即可证明．解：（1）因为，则．令f′（x）＝0，解得．当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0，故函数f（x）的增区间为；减区间为．当，即时，f（x）在区间[1，2]上单调连增，则f（x）max＝f（2）＝；当1＜＜2，即＜a＜时，f（x）在区间上单调递墙，在区间上单调递减，则f（x）max＝＝；当，即时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，则f（x）max＝f（1）＝．（2）证明：若函数f（x）有两个零点，则＝＞0，可得．则，此时，由此可得x1＜1＜ln＜x2，故x2﹣x1＞，即x1﹣x2＜．又因为，，所以．所以．21．已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，O是坐标原点，求的取值范围．【分析】（1）由离心率及过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长和a，b，c 之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的表达式，再由参数的取值范围求出数量积的取值范围．解：（1）设椭圆C的半焦距为c．因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C所得的弦长为，所以＝，得＝，①因为椭圆C的离心率为，所以．②又a2＝b2+c2，③由①②③，解得a＝，b＝1．故椭圆C的标准方程是+y2＝1．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝﹣1，此时联立解得x ＝﹣1，y＝﹣或x＝﹣1，y＝，则设点M，N的坐标分别为（﹣1，﹣），（﹣1，）．所以＝（﹣1，﹣）（﹣1，）＝（﹣1）（﹣1）+（﹣）＝；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立消去y得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，因为点（﹣1，0）在椭圆的内部，所以直线l与椭圆C一定有两个不同的交点M，N．则x1+x2＝﹣，x1x2＝．所以＝（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝x1x2+k（x1+1）k（x2+1）＝（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2＝（1+k2）+k2（﹣）+k2＝＝﹣，因为2+4k2≥2，所以0，所以∈[﹣2，）．综上所述：的取值范围：[﹣2，）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设A是曲线C上任意一点，直线l与两坐标轴的交点分别为M，N，求|AM|2+|AN|2最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：3x﹣y+9＝0．所以：直线l的普通方程为3x﹣y+9＝0．曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+35＝0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+12x+35＝0．故曲线C的直角坐标方程为x2+y2+12x+35＝0．（2）直线l3x﹣y+9＝0与坐标轴的交点依次为（﹣3，0），（0，9），不妨设M（﹣3，0），N（0，9），曲线C的直角坐标方程x2+y2+12x+35＝0化为标准方程是（x+6）2+y2＝1，由圆的参数方程，可设点A（﹣6+cosα，sinα），所以|AM|2+|AN|2最＝（﹣3+cosα）2+sin2α+（﹣6+cosα）2+（sinα﹣9）2＝﹣18（sinα+cosα）2+128＝﹣18，当，即时，最大值为18．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）求不等式|x﹣4|﹣x＜0的解集；（2）设a，b∈（2，+∞），证明：（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2．【分析】（1）解绝对值不等式即可；（2）利用作差法比较大小．解：（1）由不等式|x﹣4|﹣x＜0，得|x﹣4|＜x，则，解得x＞2．故所求不等式的解集为（2，+∞）．证明：（2）（a2+4）（b2+4）﹣（8a2+8b2）＝（ab）2﹣4a2﹣4b2+16＝（ab）2﹣4a2﹣4b2+16＝（a2﹣4）（b2﹣4），因为a＞2，b＞2，所以a2＞4，b2＞4，所以（a2﹣4）（b2﹣4）＞0．所以原不等式（a2+4）（b2+4）＞8a2+8b2成立．。
广西南宁市武鸣高中高考数学一模试卷(文科)(含解析)
2015年广西南宁市武鸣高中高考数学一模试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x＞1}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3） D．（﹣3，1]2．在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1）D．（1，1）3．下列有关命题的说法正确的是（）A．若“p∧（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”D．线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点4．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．B．16π C．4πD．5．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．8．如图，在程序框图中，若输入n=3，则输出k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．59．在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+a3+…+a8=40，则a4•a5的最大值是（）A．5 B．10 C．25 D．AB=4，5010．已知向量，，若与共线，则m的值为（）A．B．2 C． D．﹣211．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好落在圆x2+y2=1内的概率是（）A．B．C．D．12．定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）=1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是．14．设函数f（x）=ax3+bx2+cx，若1和﹣1是函数f（x）的两个零点，x1和x2是f（x）的两个极值点，则x1•x2= ．15．已知数列{a n}：， +， ++， +++，…，那么数列b n=前n项和为．16．设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）•﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f （A）=1，求A，b和△ABC的面积S．18．某区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并分析能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？不常吃零食常吃零食总计不患龋齿患龋齿总计（Ⅱ）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理．求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．P（K2≥k0）0.010 0.005 0.001k0 6.635 7.879 10.828附：k2=．19．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若•=0，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣，k∈R．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）当k=1时，求f（x）在[0，+∞）上的最小值，并证明+++…+＜ln（1+n）．请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．[选修4-1几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD 至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．2015年广西南宁市武鸣高中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x＞1}，则集合A∩B为（）A．[0，3）B．[1，3）C．（1，3） D．（﹣3，1]【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A=（﹣3，3），B=（1，+∞），∴A∩B=（1，3），故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1）D．（1，1）【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：由=，则复数对应的点的坐标是：（﹣1，1）．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．若“p∧（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”D．线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；转化思想；简易逻辑．【分析】利用复合命题的真假判断A的正误；充要条件判断B的正误；命题的否定判断C的正误；回归直线方程的性质判断D的正误．【解答】解：对于A，若“p∧（¬q）”为真命题，说明P与¬q是真命题，则“p∧q”也为真命题是错误的．对于B，x=3可得“2x2﹣7x+3=0”成立，但是2x2﹣7x+3=0可得x=3或x=，所以B的判断不正确；对于C，命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”，不满足命题的否定的定义，所以不正确；对于D，线性回归方程对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）中的一个点，显然不满足回归直线方程的性质，所以不正确；故选：B．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件，命题的否定，回归直线方程，复合命题的真假的判断，难度不大，但是考查知识全面．4．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的表面积为（）A．B．16π C．4πD．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】根据正方体和内切球半径之间的关系即可求球的表面积．【解答】解：∵棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的直径等于正方体的棱长，∴2r=2，即内切球的半径r=1，∴内切球的表面积为4π．故选：C．【点评】本题主要考查球的表面积公式的计算，根据正方体的内切球和正方体棱长之间的关系是解决本题的关键．5．已知α∈（，π），sinα=，则tan（α﹣）=（）A．﹣7 B．﹣C．7 D．【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可．【解答】解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选A．【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．6．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；图表型．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．7．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由离心率的值，可设，则得，可得的值，进而得到渐近线方程．【解答】解：∵，故可设，则得，∴渐近线方程为，故选C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．8．如图，在程序框图中，若输入n=3，则输出k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，k的值，当n=127，满足条件n＞100，输出k的值为4．【解答】解：执行程序框图，有n=3，k=0n=7，不满足条件n＞100，有k=1n=15，不满足条件n＞100，有k=2n=31，不满足条件n＞100，有k=3n=63，不满足条件n＞100，有k=4n=127，满足条件n＞100，输出k的值为4．故选：C．【点评】本题主要考察了程序算法和框图，属于基本知识的考查．9．在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+a3+…+a8=40，则a4•a5的最大值是（）A．5 B．10 C．25 D．AB=4，50【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】利用等差数列的性质，可得a4+a5=10，再利用基本不等式，即可求出a4•a5的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+a3+…+a8=40，∴a4+a5=10，∴10=a4+a5≥2∴a4•a5≤25，∴a4•a5的最大值是25，故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式，正确运用等差数列的性质是关键．10．已知向量，，若与共线，则m的值为（）A．B．2 C． D．﹣2【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】先由向量的坐标运算表示出与，再根据向量共线定理的坐标表示可得答案．【解答】解：由题意可知=m（2，3）+4（﹣1，2）=（2m﹣4，3m+8）=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）∵与共线∴（2m﹣4）×（﹣1）=（3m+8）×4∴m=﹣2故选D．【点评】本题主要考查向量的坐标运算和共线定理．属基础题．11．在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好落在圆x2+y2=1内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部．单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个圆心角为的扇形，由此结合几何概型计算公式和面积公式，即可算出所求的概率．【解答】解：作出不等式组表示表示的平面区域如图，得到如图的△AB0及其内部，其中A（，0），B（0，），0为坐标原点∵单位圆x2+y2=1位于△AB0内的部分为一个扇形，其圆心角为∴在平面区域内任取一点P，点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率为P==；故选B．【点评】本题给出不等式组表示的平面区域内一点，求点P恰好在单位圆x2+y2=1内的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识，属于基础题．12．定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）=1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】根据条件构造函数F（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设F（x）=，则F′（x）=，∵f（x）＞f′（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．∵f（0）=1，∴不等式＜1等价为F（x）＜F（0），解得x＞0，故不等式的解集为（0，+∞）故选：B．【点评】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54 ．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．故答案为54．【点评】本题考查了茎叶图，考查了一组数据的中位数的求法，是基础的概念题．14．设函数f（x）=ax3+bx2+cx，若1和﹣1是函数f（x）的两个零点，x1和x2是f（x）的两个极值点，则x1•x2= ．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；导数的综合应用．【分析】由1和﹣1是函数f（x）的两个零点可得f（x）=ax3+bx2+cx=a（x﹣1）x（x+1），求导利用根与系数的关系即可．【解答】解：∵1和﹣1是函数f（x）的两个零点，∴f（x）=ax3+bx2+cx=a（x﹣1）x（x+1），∴x1和x2是f′（x）=a（3x2﹣1）=0的两个根，则x1•x2=．故答案为：．【点评】本题考查了导数在求极值时的应用，属于中档题．15．已知数列{a n}：， +， ++， +++，…，那么数列b n=前n项和为．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】依题意可知a n=，利用裂项法可求得b n=4（﹣），求和即可．【解答】解：依题意得：a n=++…+==，∴=，∴b n==•=4（﹣），∴b1+b2+…+b n=4（1﹣+﹣+…+﹣）=4（1﹣）=．故答案为：【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的求和与裂项法求和，考查分析转化与运算能力，属于中档题．16．设抛物线C：y2=3px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为y2=4x或y2=16x ．【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF 中利用勾股定理算出|AF|=，再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．【解答】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AMRt△AOF中，|AF|=，所以sin∠OAF==因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，因为|MF|=5，|AF|=，所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．故答案为：y2=4x或y2=16x．【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（）•﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f （A）=1，求A，b和△ABC的面积S．【考点】解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）利用向量数量积的坐标表示可得，结合辅助角公式可得f（x）=sin（2x﹣），利用周期公式可求；（Ⅱ）由结合可得，，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，从而有，即b2﹣4b+4=0，解方程可得b，代入三角形面积公式可求．【解答】解：（Ⅰ）====因为ω=2，所以（Ⅱ）因为，所以，则a2=b2+c2﹣2bccosA，所以，即b2﹣4b+4=0则b=2从而【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式的应用，由三角函数值求角，及三角形的面积公式．综合的知识比较多，但试题的难度不大．18．某区卫生部门成立了调查小组，调查“常吃零食与患龋齿的关系”，对该区六年级800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．（Ⅰ）完成下列2×2列联表，并分析能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系？不常吃零食常吃零食总计不患龋齿患龋齿总计（Ⅱ）4名区卫生部门的工作人员随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理．求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．P（K2≥k0）0.010 0.005 0.001k0 6.635 7.879 10.828附：k2=．【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）先作出2×2列联表，再利用公式求出K2的值，与临界值比较，即可得到结论；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，再利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得列联表：不常吃零食常吃零食总计不患龋齿60 100 160患龋齿140 500 640总计200 600 800因为．所以能在犯错率不超过0.001的前提下，为该区学生常吃零食与患龋齿有关系．（Ⅱ）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况有：收集数据：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁；处理数据：丙丁；乙丁；乙丙；甲丁；甲丙；甲乙共有6种．记事件A：工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组则满足条件的情况有：甲丙收集数据，乙丁处理数据；甲丁收集数据，乙丙处理数据共计2种所以．【点评】本题主要考查了独立性检验知识，考查概率知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定．【专题】空间角．【分析】（Ⅰ）利用三角形的中位线定理，又已知，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用线面、面面垂直的判定和性质定理得到CQ⊥平面ABE，再利用（Ⅰ）的结论可证明DP⊥平面ABE，从而得到∠DAP是所求的线面角．【解答】（Ⅰ）证明：连接DP，CQ，在△ABE中，P、Q分别是AE，AB的中点，∴，又，∴，又PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD．（Ⅱ）解：在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，∴CQ⊥AB．而DC⊥平面ABC，EB∥DC，∴EB⊥平面ABC．而EB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面ABC，∴CQ⊥平面ABE由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，∴DP∥CQ．∴DP⊥平面ABE，∴直线AD在平面ABE内的射影是AP，∴直线AD与平面ABE所成角是∠DAP．在Rt△APD中， ==，DP=CQ=2sin∠CAQ=2sin30°=1．∴=．【点评】熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面与面面垂直的判定和性质定理、线面角的定义是解题的关键．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且点（1，）在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，若•=0，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为=1，代入已知点，即可得到b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设出直线AB的方程为y=k（x﹣），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量的数量积坐标公式，化简整理，解方程，即可得到k，进而得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意a=2，设所求椭圆方程为=1．又点（1，）在椭圆上，可得b=1．则所求椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4，b2=1，所以c=，椭圆右焦点为（，0）．则直线AB的方程为y=k（x﹣）．由可得（1+4k2）x2﹣8k2x+12k2﹣4=0．由于直线AB过椭圆右焦点，可知△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣）（x2﹣）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+3]=．所以=x1x2+y1y2=．由=0，即=0，可得k2=，即k=．所以直线l的方程为y=（x﹣）．【点评】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理，以及平面向量的数量积的坐标公式，考查化简整理和运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣，k∈R．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）当k=1时，求f（x）在[0，+∞）上的最小值，并证明+++…+＜ln（1+n）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．f′（x）=，对k分类讨论：当k≤0时，当k＞0时，即可得出单调性．（2）由（1）知，当k=1时，f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）=0．因此（x＞0），取x=可得（n∈N*）．利用“累加求和”即可得出．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．=，当k≤0时，f′（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，+∞），无单调递减区间．当k＞0时，由f′（x）＞0解得x＞k﹣1，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜k﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是（k﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣1，k﹣1）．（2）由（1）知，当k=1时，f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）=0．∴（x＞0），∴，即（n∈N*）．∴+…+＜（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…+（ln（n+1）﹣lnn）=ln（1+n）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”方法，考查了利用已证明结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号．[选修4-1几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD 至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】推理和证明．【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．【点评】本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．[选修4-4：极坐标与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，求出M点的坐标，从而得到|MC|，再由|MN|≤|MC|+r，能求出MN的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，…又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．…（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y=﹣．…令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1，∵直线l与x轴的交点是M，∴M（2，0），∴|MC|==，…∵N是曲线C上一动点，∴|MN|≤|MC|+r=．故MN的最大值为．…【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1∴=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9．（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，当时，﹣3x≤9，∴，当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
2020年广西玉林市、南宁市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广西玉林市、南宁市高考数学一模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <−1}，B ={x|x(2x −5)≤0}，则A ∪B =( )A. [25,2)B. (2,52]C. [0,+∞)D. [52,+∞)2. 复数(1+i)2对应的点在复平面的位置是( )A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限3. 若，a ∈(0,π2)，则sinα的值为( )A. 4−√26B. 4+√26C. 718D. √234. 某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛的得分情况如图所示，对这两名运动员的得分进行比较，下列四个结论中不正确的是( )A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C. 甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数D. 甲运动员的得分比乙运动员的得分稳定5. 若实数x ，y 满足{y −2≤0x +y ≥1x −y ≤1，则3x +y 的最小值是( )A. −2B. 1C. −1D. 36. 如果圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，则( )A. F =0，D ≠0，E ≠0B. E =F =0，D ≠0C. D =F =0，E ≠0D. D =E ≠0，F ≠07. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且cos∠PF 1F 2=45，则C 的离心率为( )A. 5B. 4C. 257D. 578.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1D与C1D1所成角的余弦值是()A. √22B. √33C. √32D. √639.若函数f(x)=12x2+2x−3lnx+4a的极小值为−32，则a的值为()A. −2B. −1C. −4D. −310.已知抛物线C:y2=2px(p>0),的焦点F到准线l的距离为2，点A在抛物线C上，过点A作l的垂线，垂足为N，若点M(3,0)，∠AMN=∠ANM，则cos∠MAN=()A. −23B. −13C. 14D. −3411.函数f(x)=cos(2ωx+π3)(ω>0)在区间[π6,π2]内单调递减，则ω的最大值为()A. 12B. 35C. 23D. 3412.已知f(x)是定义在R上的奇函数，其导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)+f(x)x >0，若a=sinπ6⋅f(sinπ6)，b=−√2⋅f(−√2)，c=ln2·f(ln2)，则a，b，c的大小关系为()A. b>c>aB. a>c>bC. c>b>aD. c>a>b二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,m)，b⃗ =(−1,2)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗|=______．14.ΔABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−(b−c)2bc=1，则角A=______．15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______ ．16.设计下面的实验来估计圆周率π的值：从区间[0,1]内随机抽取200个实数对(x,y)，其中x，y，1三个数能构成三角形且为钝角三角形的数对(x,y)共有58个，则用随机模拟的方法估计π的近似值为________。