第二课时 空间中直线与直线的位置关系

H
3. 等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补。
A B D E F
C


等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那 么这两个角相等或互补。
A B
C

D F E

推论:如果一个角的两边和另一个角的两边
分别平行且方向相同，那么这两个角相等.
在平面内两直线相交成四个角，不大 于90°的角成为夹角。
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
又 BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45
o o
(2)连接FH， ∵HD∥ EA，EA ∥FB ∴HD∥FB
=
=
=
H
E O. D
G F
C
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角 连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△
证明： 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 E ∴EH ∥BD且EH = 2 BD D 1 同理，FG ∥BD且FG = BD 2 G ∴EH ∥FG且EH =FG C F ∴EFGH是一个平行四边形 B 立体问题平面化是解立体几何时最主要、最 常用的一种方法。 变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形 EFGH是什么图形？
·
A
a 已知：
B
, A , B , B a

a
求证： 直线AB和a是异面直线
(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点 的直线，和平面内不经过该点的直线是异 面直线
· A
a
a 已知：
, A , B , B a

B
求证： 直线AB和a是异面直线
证：直线AB和a是异面直线,则直线AB和a 共面，设为 ，则 a , B B a 与 B 确定一个平面，即 为 ，则 与 重合， A 这与已知 A 矛盾 直线AB和a是异面直线.
b
a
a
M
b
a
b






a与b是异面直线
a与b是相交直线
a与b是平行直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
b a
(1)
A

如图：
a


b
(3)
a

b
(2)
3.异面直线的判定方法： (1)定义法：由定义判定两直线不可能在 同一平面内.(借助反证法) (2)判定定理：过平面外一点与平面内一点 的直线，和平面内不经过该点的直线是异 面直线
王新敞
奎屯 新疆
2、选择题 （1）“a，b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ ,且a 不平行于b；② a 平面，b平面且a∩b=Φ ③ a 平面，b 平面 ④ 不存在平面，能使 a 且b 成立 上述结论中，正确的是 （C） （A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）长方体的一条体对角线与长方体的棱所组 成的异面直线有 （C） （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
练习反馈：
1、判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（√ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ×） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知 直线平行 . （ √ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只 有两条. （ ×） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平 行，那么这两个角相等（×） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平 行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相 等. （√ ）
连接EG，在△EBG中
由余弦定理得 cos∠EBG=2/5
5 6 BG=BE= a， EG = a 2 2
D1 A1 E F
C1
B1
G
想一想： 还有其它方法吗？
取EB1的中点F，连NF有 BE∥NF∥A1M 则∠FNC1 （或其补角）为所求角。 D N
C
B
A
M
练习
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交， 则直线a，b的位置关系是（ D） （A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则 它和另一条的位置关系是( D ) （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面 3、两条直线互相垂直，它们一定相交吗？
(1)在如图所示的正方体中，指出哪些 棱所在的直线与直线BA1是异面直线？
D1 A1 B1 C1
D A
C
B
⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1 上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？
D1
A1
M
B1
C1
N
D A
B
C
平行公理 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
a//b 即:a、b、c为直线，则 a // c c//b 注：
课堂小结
这节课我们学习了两条直线的位置关系 （平行、相交、异面），平行公理和等角定理 及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线 夹角的概念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法” 或“判定定理”； 求异面直线的夹角的一般步骤是：“一作， 二证，三计算”
王新敞
奎屯 新疆
1.直线a，b，c 两两平行，可记为a // b // c . 2.公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性. 3.证明空间两直线平行 的方法：
(1) 定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证 两直线没有公共点(反证法) (2) 公理法
例2 如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边 A 形EFGH是平行四边形.
α
a
a’
典例剖析
例、 如图表示一个正方体: (1)求直线BA1与CC1的夹角的度数. (2)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？
D1 A1 D B1
C1
C
B
A
典例剖析
例、如图，在长方体中，已知AA1=AD=a, AB= 3 a，求AB1与BC1所成的角的余弦值.
D1
A1
C1 B1 a
D
A
C
3a
B
a
答：不一定，还可能异面．
4、选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系 是 （ D） （A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足a ,b ,∩=l, 则l与a,b的位置关系一定是（ B ） (A)l至多与a，b中的一条相交; (B)l至少与a，b中的一条相交; (C)l与a,b都相交; (D)l至少与a，b中的一条平行.
o 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 所以FO与BD所成的夹角是30 o
A
B
小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线. 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 辅助平面衬托法 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理： 空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补． 异面直线的求法: 一作(找)、二证、三计算
判断下列命题对错： 1.如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这 条直线上的所有点都在这个平面内。（ 错 ） 2.将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课 桌所在平面只有一个公共点。 （ 错） 3.四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么 这四个点必在同一个平面内。 （ 对） 4.一条直线和一个点可以确定一个平面。（ 错 ） 5.如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三 条直线可以确定一个平面。 （错 ）
温故知新
观察实例
回顾：平面内两条直线的位置关系 a o b
相交直线 （有且只有一个公共点） 相交直线 平行直线
a b
平行直线 （无公共点）
D
B
A
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD
既不平行，又不相交
1.异面直线的定义
不同在任何一个平面内的两 条直线叫做异面直线。
位置关系 公共点个数
有且只有一个
是否共面
相交
共面 共面
平行
异面
没有
没有
不共面
空间直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按是否在 同一平面内分 平行直线
不同在任何一个平面内: 异面直线 有一个公共点: 相交直线 按公共点个数分 无公共点 平行直线 异面直线
思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a , M 为 AB 例、
的中点, N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所 成角的余弦值。 解： 如图，设E为A1B1的中点， 连BE， 则BE∥ A1M 设CC1的中点为G，连接B所求角。 为什么？
平 移
O
若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b.
注
1、异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有 关，而与点O位置无关.一般常把点O取在直线
a或b上.
2、异面直线所成角的取值范围： 0 90b
3、求异面直线所所成角的步骤： 一作、二证、三计算 O