九年级数学上册 21.1一元二次方程2_11-12
人教版九年级数学上册精品教学课件21.1一元二次方程
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩 形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三 . 求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程（其中π
取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意有，
200 150 3x 2 200 150
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-x 20 32
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个
方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同
特点呢？
x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③
程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》一. 教材分析《一元二次方程》是人民教育出版社九年级上册数学的一个重要内容，它标志着学生从简单方程的认识过渡到更复杂的一元二次方程的解决。
本节内容通过实例引入一元二次方程，使学生了解一元二次方程的定义、特点以及解法。
教材通过问题驱动，引导学生探索求解一元二次方程的方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了简单方程的解法、不等式的性质等知识，具备了一定的数学基础。
但一元二次方程较为抽象，学生可能难以理解其定义和解法。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知困难，通过实例和问题引导学生理解和掌握一元二次方程。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义和特点；2.学会求解一元二次方程的配方法、公式法等基本方法；3.能够应用一元二次方程解决实际问题；4.培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和特点；2.一元二次方程的解法；3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实际问题，引导学生认识一元二次方程；2.问题驱动：提出问题，引导学生探索求解一元二次方程的方法；3.小组合作：分组讨论，共同探索一元二次方程的解法；4.归纳总结：引导学生总结一元二次方程的解法，并应用于实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的定义、解法等知识；2.实例材料：准备生活中的实际问题，用于导入和巩固知识；3.练习题库：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于巩固和拓展知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线与x轴的交点问题，引导学生认识一元二次方程。
通过问题驱动，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义、特点和解法。
通过实例演示和讲解，使学生理解和掌握一元二次方程的基本解法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同探索一元二次方程的解法。
人教版九年级数学上册各章节知识点总结
人教版九年级数学上册知识点总结第二^一章一元二次方程21.1一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+ bx + c = 0（a 丰0）.其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项,b是一次项系数；c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题：1、已知关于x的方程（m+ J3）x + （m-3 ）-1=0是一元二次方程，求m的值。
21.2降次一一解一元二次方程21.2.1配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1 ）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a（a > 0）的方程，根据平方根的定义可解得x1= a ,x2= - - a .(2)直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a) 2=p(m乒0)形式的方程，如果p >0,就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
(1 )把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；(4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
九年级数学上册第21章21.1一元二次方程
新知 2 一元二次方程定义 一元二次方程普通形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项， b是一次项系数，c是常数项.
第5页
例题精讲
【例2】把以下关于x一元二次方程化为普通形式， 并写出它二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)3x2＝5x－3；(2)－2x2＋2x＝x＋1. 解析 经过移项、合并同类项，能够把一元二次 方程化为普通形式；指明项系数时一定要带上正负符 号. 解 (1)普通形式：3x2－5x＋3＝0，a＝3，b＝－5， c＝3； (2)普通形式：2x2－x＋1＝0，a＝2，b＝－1，c＝1.
元二次方程.
第3页
举一反三 1. 以下方程中，是一元二次方程是( C)
A. x2＋2x＋y＝0
B. x2＋ －1＝0
C. x2＝0
D. ax2＋bx＋c＝0
2. 方程(2a－4)x2 －2bx＋a＝0， 在什么条件下
为一元二次方程？在什么条件下为一元一次方程？
解：当a≠2时为一元二次方程； 当a＝2且b≠0时为一元一次方程.
第6页
举一反三
1. 把x2－5＝－4x化成普通形式ax2＋bx＋c＝0(a＞0)
后，a，b，c值分别为( C)
A. 0，－4，－5
B. 1，－4,5
C. 1,4，－5
D. 1，－4，－5
2. 关于x一元二次方程(m－1)x2＋5x －m＋2＝0常
数项为0，则m等于( B)
A. 1
B. 2
C. －1
第2页
例题精讲 【例1】判断以下方程是否是一元二次方程：
(1)x2－4x－2＝0； (2)
＝1；
(3)2x2－xy－1＝0； (4)2x(3x－5)＝6x2＋2；
初中数学教学课件：21.1 一元二次方程(人教版九年级上)
k=1.
第十一页，编辑于星期日：三点 五十五分。
跟踪训练
1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1） x2 360（2） 4x2 9.0
【解析】根据平方根的定义得方程（1）的根为x=±6，方程
（2）的根为x=± .
2．有人解这样一个方程
3 2 (x5)x (1 )7
解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？
【解析】上述解法是错误的，将 x1、x2 代入原方程等式两 边不相等，因此它们并不是原方程的解.
第十二页，编辑于星期日：三点 五十五分。
1. 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0
是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数、 常数项分别是什么?
【解析】当a-1≠0，即a ≠1时，方程(a-1)x2-bx+c=0
第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
第一页，编辑于星期日：三点 五十五分。
1.将实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，形
成对一元二次方程的感性认识. 2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程. 3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次
方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方 程的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解析】选A.依题意可列方程
B. 3000x2 5000 D.
3 0 0 0 (1 x ) 3 0 0 0 (1 x )2 5 0 0 0
. 3000(1x)25000
第十六页，编辑于星期日：三点 五十五分。
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.一元二次方程的特征：只有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2.
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
21.1一元二次方程(作业教学设计)2024-2025学年九年级数学上册同步备课(人教版)
5. 一元二次方程的实际应用：工厂的总利润=售价×销售数量-成本。销售数量为150件，成本为10元/件，超过100件后的增加成本为150-100=50件，每件增加成本1元，所以总成本为10×100+1×50=1500元。总利润=20×150-1500=1800元。
答案：
1. 解一元二次方程：x²-4x+3=0，通过求根公式，得x=1或x=3。
2. 因式分解解一元二次方程：2x²+5x-3=0，因式分解为(2x-1)(x+3)=0，得x=1/2或x=-3。
3. 配方法解一元二次方程：x²+4x+3=0，配方得(x+2)²=1，得x=-2±√1，即x=-1或x=-3。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕一元二次方程问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验一元二次方程知识的应用，提高实践能力。
在一元二次方程新课呈现结束后，对一元二次方程知识点进行梳理和总结。
教师备课：
深入研究教材，明确一元二次方程教学目标和一元二次方程重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保一元二次方程教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习一元二次方程的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入一元二次方程学习状态。
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
知识拓展：
介绍与一元二次方程内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。
人教版九年级数学上册：21.1《一元二次方程》说课稿1
人教版九年级数学上册：21.1 《一元二次方程》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程》是人教版九年级数学上册第21.1节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了方程和方程的解法的基础上，引入一元二次方程的概念，以及它的解法。
教材通过实例引入一元二次方程，让学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的概念，并掌握它的解法。
同时，教材还引导学生运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程和方程的解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的概念和解法，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的概念，并掌握它的解法。
同时，学生对于实际问题的解决，还有一定的困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的概念，并掌握它的解法。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解法。
2.教学难点：一元二次方程的解法，运用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导发现法，学生通过观察、分析、归纳等过程，发现一元二次方程的解法。
2.教学手段：多媒体教学，通过动画和图片等形式，帮助学生理解一元二次方程的概念和解法。
六. 说教学过程1.导入：通过实例引入一元二次方程，引导学生观察、分析，引出一元二次方程的概念。
2.新课：讲解一元二次方程的解法，引导学生通过观察、分析、归纳等过程，理解一元二次方程的解法。
3.应用：运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的应用能力。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强化学生对一元二次方程的概念和解法的理解。
2024年人教版九年级上册教学第二十一章 一元二次方程第二十一章 一元二次方程
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“一元二次方程”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出“方程与方程组”要求能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程,解决实际问题.在教学中,应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数,建立两个量之间关系的过程.用数学眼光发现问题并提出数学问题,用数学的思维探索、分析和解决具体情境中的现实生活问题,给出数学描述和解释,运用数学的语言与思想方法,综合运用多个领域的知识,提出设计思路,制定解决方案.结合实际问题建立方程模型,进而分析和解决问题,是学习方程的核心.2.本单元教学内容分析人教版教材九年级上册第二十一章“一元二次方程”,本章包括三个小节:21.1一元二次方程;21.2解一元二次方程;21.3实际问题与一元二次方程.本章系统的学习了一元二次方程及其根的概念、解方程的方法与步骤,以及应用方程的思想和方法来解决实际问题等.正确理解方程根的意义,并学会解方程的方法,是基本运算技能的重要组成部分.依据等式的基本性质,采用“降次”的方法来解方程,充分体现了转化与化归的数学思想.方程是刻画现实情景中数量关系的一个非常重要的数学模型,方程的学习应注意对实际应用问题的探索、研究和讨论.构建方程最重要的环节就是分析具体情境中的数量关系,找出两件等价的事情后,建立数量间的相等关系,即等量关系.方程的学习使学生从原有的算术思维向代数思维转变,是学生代数思维发展的开始.在教学中引导学生积极主动地收集现实的、有意义的数学问题作为学习和研究的素材,依据问题的相关信息,将问题数学化,进而对其中的数量关系进行梳理,设定未知数,并列出相应的方程.帮助学生积累相关数学活动经验,提升分析问题和解决问题的能力.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学九年级上册第二十一章一元二次方程,学生在前面已经学习了数与式的运算、一元一次方程和二元一次方程组,其内容都是学习一元二次方程的基础.一元二次方程是中学教学的主要内容,在初中“数与代数”中占有重要的地位.在现实生活中,许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程.因此,从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看,从实际问题中抽象出数量关系,列出一元二次方程,求出它的根进而解决实际问题,是本章学习的一条主线.通过对一元二次方程的学习,可以为以后的学习作铺垫,此外,学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义.四、单元学习目标1.了解一元二次方程的概念,会把任意的一元二次方程化为一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),并能熟练的确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.2.掌握一元二次方程的解法,并能根据方程的特点选择合适的方法来解方程,培养学生的数学运算和推理能力.3.理解一元二次方程根的判别式,会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.4.掌握一元二次方程的根与系数的关系,学会应用它来求一元二次方程的各项系数.5.通过分析问题,建立方程来解决生活中的实际问题,体现数学的实用价值,培养学生的数学抽象、数学建模、数学运算的能力.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.生活性原则:本单元的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
人教版九年级数学上册教案-21.1 一元二次方程2带教学反思
1.课本练习
2 补充：
1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
④3x2- 5 =0 x
第2页共3页
2）.关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 范围________． 3).已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________ 4).关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？ 四、小结归纳 1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一 般形式，并正确指出其各项系数. 2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程 的根. 五、作业设计 必做：P4：1.2.4.6.7 选做：.P29：3.5.7 教学反 思
探究课本问题 2
师生分析概念和一般形式. 二次方程的概念
分析：
学生根据相关概念作答，复 达到共识，从而为
1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？
习巩固.
掌握概念作准备.
2.全部比赛场数是多少？若设应邀请 x 个队参赛，如何用含 x 的代数
学生类比一元一次方程的解 全面理解和掌握
式表示全部比赛场数？
~
第3页共3页
（1）x2-64=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4） x2 2x 1 0
4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？ 5.排球邀请赛问题中，所列方程 x2 x 56 的根是 8 和-7，但是答案 只能有一个，应该是哪个？ 归纳： ○1 一元二次方程的根的情况 ○2 一元二次方程的解要满足实际问题 三、课堂训练
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其中，有一头躲在芦叶上的青蛙，像老先生那么的神情，正讲着话。巴希利奥总是欢天喜地地把一小片面包送给那位小姐。 厦门软件开发公司 / 比赛在电视台举行。
于是一声长啸震撼山岳，仿佛天崩地裂，所有野兽都吓得六神无主，个个惊慌失措四处逃窜。，经过深思熟虑，凤凰决定在鸟类中进行公平竞争公开选拔，并别出心裁地提出竞选条件：鸟国中谁的体 重最轻、体形最具威摄力的，谁就当选
4．若关于x的方程（k+3）x2－kx＋1＝0是一元二次方程，求k的 取值范围。
解：∵方程（k+3）x2－kx＋1＝0是一元二次方程， ∴ K+3≠0 ∴ K≠-3
5．已知x=2是关于x的方程
2 3
x2-2a=0
的一个根，求2a-1的值。
解：把x=2代入
中
得2a=6
∴2aபைடு நூலகம்1=5
∴a=3
从此，他们团结和睦，不再争斗。