湖湘教育三新探索协作体联考高一数学试卷
湖湘教育三新探索协作体2021-2022学年高一上学期11月期中联考数学试题(答案解析)
高一数学参考答案1．【答案】B 【详解】由已知可得{}3A B =.故选：B.2．【答案】A 【详解】1a >，10a ∴−>,则|1|0a −>；又由|1|0a −>，解得1a >或1a <.∴“1a >”是“|1|0a −>”的充分不必要条件；故选：A3．【答案】C 【详解】()2(1)2(1)31f =−−⨯−=−故选：C.4．【答案】D 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以(3)(3)f f =−，(4)(4)f f =−因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在()0,∞+上是减函数， 所以函数()f x 在(),0−∞上是增函数，因为234,(4)(3)(2),(4)(3)(2)f f f f f f <<∴<<∴−<−<. 故选：D.5．【答案】D 【详解】函数2()2f x x kx =−+的对称轴为2kx =， 由于()f x 在[2,1]−−上是增函数，所以242kk ≤−⇒≤−.故选:D 6．【答案】A 【详解】当2m =时，()1f x x −=，函数()f x 在()0,+∞上单调递减.故选：A7．【答案】D 【详解】根据阴影部分的形状可知：面积增加的速度：先慢后快，当P 过A 点后面积增加的速度： 先快后慢.故选：D8．【答案】C 【详解】函数()f x 满足()()0f x f x +−=，所以()f x 是奇函数，则()()()2f x f x f x xx−−=，在(0,)+∞上()f x 是单调递减，且()20f =，所以()()()20f x f x f x xx−−=≥的解集为(0,2]；在(,0)−∞上()f x 是单调递减，且()(2)20f f −=−=， 所以()()()20f x f x f x xx−−=≥的解集为[2,0)−；故选：C9．【答案】BD 【详解】对于A ，当0,2a b ==−时，22a b <，所以A 错误，对于B ，因为a b >，所以223a b b −>−>−，，所以23a b −>−，所以B 正确， 对于C ，当0c =时，220ac bc ==，所以C 错误， 对于D ，111100,00b aa b b a ab a b a b ab−>⇒−>⇒>>∴−<∴<，所以D 正确；故选：BD 10．【答案】ACD 【详解】 对于A ，显然正确；对于B ，因为0a ≠，所以11222022a a a a +=++−≥=++， 当且仅当12312a a a a +=⇒=−=−+或时取“=”，所以B 错误； 对于C ，显然正确；对于D ，因为0a <，0b <，所以0,0a b b a>>，则2a b b a +≥=，当且仅当a b a b b a=⇒=时取“=”，所以D 正确.故选：ACD.11．【答案】ABD 【详解】对于A ，命题“两个全等三角形的面积相等”是全称量词命题，所以A 正确； 对于B ，若命题:p x ∀∈R ,()0f x <或()1f x ≥，则0:p x ⌝∃∈R ，00()1f x ≤<，正确 对于C ，函数22()2x xf x x +=+的定义域为{|2}x R x ∈≠−，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数，所以C 错误；对于D ，充分性：若1a +是无理数，则a 是无理数，充分性成立； 必要性：若a 是无理数，则5a +是无理数，必要性成立.故“1a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，所以D 正确.故选：ABD ． 12.【答案】ACD 【详解】根据高斯函数的定义：对于A ，显然正确；对于B ，因为()[]g x x x =−，函数()g x 的值域为[0,1)，所以B 错误；对于C ，因为函数()g x 的值域为[0,1)，所以对任意的x ，方程(())0f g x =的解集为R ，所以C 正确； 对于D ，()()f x f y =，[][]11x y x y ∴=⇒−<−<，即||1x y −<，所以D 正确.故选：ACD ．13．【答案】3 【详解】,2A B a a =+>，325a a =⎧∴⎨+=⎩，解得3a =故答案为：314．【答案】[)()4,11,−+∞【详解】根据题意知10x −≠且40x +≥， 4x ∴≥−且1x ≠，即函数的定义域为[)()4,11,−+∞．故答案为：[)()4,11,−+∞15．【答案】5【详解】设三类课程都选择参加的学生有x 人，由题意得()()()83711840x x x x ⨯+−+−+−+=，解得5x =.故答案为：5 16.【答案】(,3]−∞−【详解】由()()f x g x =即2323x x x −=−−，解得0x =或3x =易知，()2223,03,0323,3x x x h x x x x x x ⎧−−<⎪=−≤<⎨⎪−−≥⎩，当0x =时()min []3h x =−.对任意的x 都有()h x m ≥成立，则3m ≤−即(,3]m ∈−∞−.故答案为：(,3]−∞−17．【答案】(1)(][),43,−∞−+∞ , (2) (,1)−∞−【详解】（1）不等式可化为()()430x x +−≥，解集为(][),43,−∞−+∞............5分（2）若2210kx x +−<的解集为R ，当0k =时，210x −<的解集为1{|}2x x <，不合题意；............................7分当0k ≠时，则0440k k <⎧⎨+<⎩解得1k <−..........................................................9分综上，实数k 的取值范围是(,1)−∞−............................................................10分18.【答案】（1）{}47x x <≤；（2）2m ≤. 【详解】（1）当3m =，{}49B x x =<<，又{}27R C A x x =−≤≤，..............................3分 所以{}()47R C A B x x =<≤；.................................................................................6分（2）因为AB =∅，①当B =∅时，则123m m +≥+，即2m ≤−，符合题意，......................................8分②当B ≠∅时，所以212237m m m >−⎧⎪+≥−⎨⎪+≤⎩，解得22m −<≤，...............................................11分综上所述，2m ≤............................................................................................................12分19．【答案】（1）2−；（2）见解析. 【详解】（1）由题知不等式函数210(0)ax x a ++>≠的解集为1{|1}2x x −<<， 即1,12−是方程210(0)ax x a ++=≠的两根，...............................................................2分所以11()12a−⨯=，.........................................................................................................4分 解得2a =−.........................................................................................................................5分（2）由于()221f x x x =−++的图象开口向下，且对称轴为14x =，..........................6分 因此()f x 在1,4⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减............................................8分当124m +≤即74m ≤−时，2max ()(2)275f x f m m m =+=−−−.......................................9分当124m m ≤<+即7144m −<≤时，max 19()()48f x f ==...............................................10分当14m >时，2max ()()21f x f m m m ==−++.....................................................................11分 综上，2max27275,4971(),844121,4m m m f x m m m m ⎧−−−≤−⎪⎪⎪=−<≤⎨⎪⎪−++>⎪⎩...........................................................................12分20．【答案】（1）2130035000,0200225000000150000100,200x x x P x x x ⎧−+−≤≤⎪⎪=⎨⎪−−>⎪⎩；（2）5万【详解】（1）由题知，利润2130035000,0200225000000150000100,200x x x P x x x ⎧−+−≤≤⎪⎪=⎨⎪−−>⎪⎩...........................................5分（2）当0200x ≤≤时，21(300)100002P x =−−+， 所以，当200x =时，P 有最大值5000；..........................................................................8分 当200x >时，2500000015000010015000050000P x x=−−≤−=，............10分 所以，当500x =时，P 有最大值50000；.......................................................................11分 综上，当月产量为500时，公司所获利润最大.最大利润为5万元. ..............................12分21．【答案】（1）14；（2）1(,]6−∞【详解】（1）函数()()210,0f x ax bx a b =++>>,且()()120,0f a b =>>.所以，()120,0a b a b ++=>>，即()10,0a b a b +=>>...................................................1分2a b +≤，得2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，.........................................................3分 当且仅当12a b ==时取等号，此时ab 有最大值14..............................................................4分（2）由（1）知，01a <<，..................................................................................................6分 223a ∴<+<又2()1g x mx mx =−−，(2)0g a +<，令2(23)a t t +=<<，即当23t <<时，()0g t <.......................................8分当0m ≤时，显然成立；...........................................................................................................9分 当0m >时，只需(3)610g m =−≤，解得106m <≤.............................................................11分综上，m 的取值范围1(,]6−∞...................................................................................................12分22．【答案】（1）2()1x f x x =−；（2）112x x ⎧⎫−<<−⎨⎬⎩⎭【详解】（1）∵函数()21ax bf x x +=−是定义在()1,1−上的奇函数； ∴()00f =，即01b=，∴0b =.............................................................................................2分 又∵1223f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即21223112a=⎛⎫− ⎪⎝⎭，∴1a =；.......................................................................4分 ∴函数()f x 的解析式为()21xf x x =−....................................................................................5分 （2）由（1）知()21x f x x =− 令1211x x −<<<，则()()1212221211x x f x f x x x −=−−−()()()()22122122121111x x x x x x +−+=++()()()()12122212111x x x x x x −+=−− ∵1211x x −<<<；∴12120,1x x x x −<>−∴1210x x +>，221210,10x x −>−>∴()()120f x f x −<，即()()12f x f x <∴()f x 在上()1,1−是增函数.....................................................................................................7分 又∵()f x 在上()1,1−是奇函数∴()()10f x f x ++<等价于()()1f x f x +<−，...................................................................8分 即()()1f x f x +<−.......................................................................................................................9分∴1111x x x x +<−⎧⎪+>−⎨⎪−<⎩，.........................................................................................................................10分 即112x −<<− ...........................................................................................................................11分∴不等式()()10f x f x ++<的解集为112x x ⎧⎫−<<−⎨⎬⎩⎭. ....................................................................................................................12分。
湖湘名校教育联合体2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题含解析
湖湘名校教育联合体·2023年下学期高一10月联考数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}*5P x x =∈<N ，{}2,1,0,2,5Q =--，且P ，Q 都是全集U 的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A.{}0,2,5 B.{}2 C.{}2,1,0,2-- D.{}2,5【答案】B 【解析】【分析】由韦恩图中阴影部分判断出表示的集合为P Q ，即可求解【详解】因为{}1,2,3,4P =，{}2,1,0,2,5Q =--，所以{}2P Q = .故选：B2.命题“0x ∀>，220x x +>”的否定为（）A.0x ∀>，220x x +≤B.0x ∀<.，220x x +≤C.0x ∃>，220x x +<D.0x ∃>，220x x +≤【答案】D 【解析】【分析】全称命题的否定变为特称命题.【详解】“0x ∀>，220x x +>”的否定为“0x ∃>，220x x +≤”，故选:D.3.不等式220x x -++<的解集为（）A.{}12x x -<< B.{}21x x -<<C.{|1x x <-或2}x > D.{|2x x <-或1}x >【答案】C 【解析】【分析】因式分解后可求不等式的解集.【详解】原不等式可化为220x x -->即()()210x x -+>，故不等式的解集为{|1x x <-或2}x >故选：C.4.已知a ，b 为实数，则“0a =”是“0ab =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】0a =可以推出0ab =；但0ab =，则a 不一定为0.故选：A.5.已知集合{}4315A x x =+<，{}1,2,3B =，则A B ⋂的真子集的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】先化简A ，再结合交集的运算即可【详解】因为{}{}43153A x x x x =+<=<，{}1,2,3B =，所以{}1,2A B = ，所以A B ⋂的真子集的个数为2213-=.故选：D6.若a b c >>，则下列不等式恒成立的是（）A.ab ac >B.22a c >C.()0a b c b--> D.a c b c>【答案】C 【解析】【分析】代入特殊值以及不等式的性质即可求解.【详解】当0a =，1b =-，2c =-时，满足a b c >>，不满足ab ac >，故A 错误；当1a =，0b =，2c =-时，满足a b c >>，不满足22a c >，故B 错误；因为a b >，所以0a b ->，因为b c >，所以0c b ->，所以()0a b c b -->，故C 正确；当2a =，1b =，0c =时，满足a b c >>，不满足a c b c >，故D 错误.故选：C.7.若关于x 的不等式0ax b -<的解集是12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则关于x 的不等式023ax bx +>+的解集是（）A.3122x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ B.3122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C.3122x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或 D.3122x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【答案】A 【解析】【分析】首先不等式0ax b -<的解集是12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭,可知，12b a =且且0a <,然后将不等式023ax b x +>+化为()230b x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭,则可得出不等式解集.【详解】因为0ax b -<的解集是12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，所以12b a =且0a <，由023ax b x +>+，得()()230ax b x ++>，即()230b x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，解得3122x <--<，即关于x 的不等式023ax b x +>+的解集是3122x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选：A.8.已知0ab >，且2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，2a b c +-的最大值为（）A.76B.1312C.1918D.2524【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式得到2b a =时，cab取最小值，此时消元得到2265a b c a a +-=-+，配方得到最大值；【详解】因为2240a ab b c -+-=，所以224c a ab b =-+，所以2244113c a ab b a b ab ab b a -+==+-≥-=，当且仅当4a bb a=，即2b a =时等号成立，所以()22222242265a b c a a a a a a a a⎡⎤+-=+⨯--⨯+=-+⎣⎦252561224a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当512a =时，2a b c +-取得最大值，最大值为2524.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若集合{}1,2,3A =，{}1,3,2B =，则A B =B.x ∀∈R ，20x ≥C.x ∃∈R ，210x +=D.若集合{}1,0,1M =-，{}0,1N =，则M N Ü【答案】AB 【解析】【分析】根据集合相等的定义判断A 选项，根据平方的非负性判断B 、C 选项，根据真子集的定义判断D 选项.【详解】由集合的无序性知A B =，故A 选项正确；一个数的平方为非负数，故B 选项正确；211x +≥，故C 选项错误；由集合的真子集的概念可知N M Ü，故D 选项错误.故选：AB.10.下列命题中正确的是（）A.“4m <”是“3m <”的必要不充分条件B.“2x <且3y <”是“5x y +<”的充分不必要条件C.“2a >”是“112a <”的充要条件D.“ab <”是“22ac bc <”的充要条件【答案】AB 【解析】【分析】根据充要条件的性质即可判断求解也可以利用集合之间的关系更方便理解求解.【详解】对于A ：因为3m <可以推出4m <，但是4m <不可以推出3m <，所以“4m <”是“3m <”的必要不充分条件，故A 正确；对于B ：因为2x <且3y <可以推出5x y +<，但是5x y +<不可以推出2x <且3y <，所以“2x <且3y <”是“5x y +<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：因为112a <，解得a<0或2a >，所以“2a >”可以推出“112a <”，但是“112a <”不可以推出“2a >”所以“2a >”是“112a <”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ：当0c =时，22ac bc =，所以“a b <”不可以推出“22ac bc <”，但是“22ac bc <”可以推出“a b <”，所以“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件，故D 错误.故选：AB.11.已知关于x 的不等式220230ax bx ++>，下列结论正确的是（）A.不等式220230ax bx ++>的解集可以是RB.不等式220230ax bx ++>的解集可以是∅C.不等式220230ax bx ++>的解集可以是{}1x x <D.不等式220230ax bx ++>的解集可以是{}01x x <<【答案】AC 【解析】【分析】根据一元二次不等式，讨论参数及对应解集判断各项正误即可.【详解】当0a >，280920b a ∆=-<时满足题意，故A 正确；当0x =时不等式成立，解集必含元素0，不可能为空，故B 、D 错误；当0a =，2023b =-时，解集恰为(),1-∞，满足题意，故C 正确；故选：AC12.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列说法正确的是（）A.xy 的最大值为18B.22x y+的最小值为15C.()x x y +的最大值为14D.22x y xy +的最小值为92【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式判断A 、C 、D ，消元，结合二次函数的性质判断B.【详解】因为x ，y 是正数，且21x y +=，对于A ：2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时等号成立，故A 正确；对于B ：因为21x y +=，所以12y x =-，因为x ，y 是正数，所以1200x x ->⎧⎨>⎩，解得102x <<，所以()2222222112541555x y x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以22xy+的最小值为15，此时25x =，15y =，故B 正确；对于C ：()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即12x =，0y =时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ：()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}1,3A =-，{}1,2B b =+，若A B =，则a b +=______.【答案】74-【解析】【分析】根据A B =可得答案.【详解】因为集合{}1,3A =-，{}1,2B b =+，A B =，所以1213b ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩，解得944a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，从而74a b +=-.故答案为：74-.14.已知x ，y 满足12x y -<-<，124x y <+<，则2x y +的取值范围是______.【答案】()0,6【解析】【分析】变形得到()()22x y x y x y +=-++，从而相加后得到取值范围.【详解】显然有()()22x y x y x y +=-++，∵12x y -<-<，124x y <+<，∴相加得到()20,6x y +∈.故答案为：()0,615.某单位建造一个长方体无盖水池，其容积为348m ，深3m.若池底每平米的造价为150元，池壁每平米的造价为120元，则最低总造价为__________元.【答案】8160【解析】【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】设长x ，宽y ，∴348xy ⋅=，∴16xy =，总造价()()6612016150720240072024008160x y x y =+⋅+⨯=++≥⨯=.当且仅当4x y ==时取得等号.故答案为：816016.已知不等式20ax bx c +<+的解集为{|23}x x <<，则=b c________，362b c a +++的最小值是_________【答案】①.56-②.10【解析】【分析】根据不等式的解集可得,,a b c 之间的关系，然后将362b c a +++用a 表示，再用基本不等式求其最小值即可．【详解】20ax bx c ++< 的解集为{23}xx <<∣0,23,23b c a a a ∴>+=-⨯=，5,6b a c a ∴=-=，56b c ∴=-，0363636(2)222212b c a a a a a ∴++=+=++-=+++ ，当且仅当2326a a +=+，即=4a 时取等号故362b c a +++的最小值为10．故答案为：56-，10．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知集合{}14A x x =≤<，{}27B x x =<<.（1）求A B ⋃；（2）求()A B ⋂R ð.【答案】（1）{}17A B x x ⋃=≤<（2）(){}R 47A B x x ⋂=≤<ð【解析】【分析】由交并补的混合运算即可求解.【小问1详解】集合{}14A x x =≤<，{}27B x x =<<，{|17}A B x x =≤< .【小问2详解】R (,1)[4,)A ∞∞=-+ ð，(){}R 47A B x x ⋂=≤<ð.18.已知命题:p x ∀∈R ，2230x m +->，命题:q x ∃∈R ，2220x mx m -++<.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p ，q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）32m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）{1m m <-或3}2m >【解析】【分析】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为232x m >-对x ∈R 恒成立，即可求m 的取值范围；（2）求命题q 为真命题时m 的取值范围，再求两个集合的并集.【小问1详解】若命题p 为真命题，则232x m >-对x ∈R 恒成立，因此320m -<，解得32m >.因此，实数m 的取值范围是32m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】若命题q 为真命题，则2(2)4(2)0m m ∆=--+>，即220m m -->，解得1m <-或2m >.因此，实数m 的取值范围是{1m m <-或2}m >；若命题p ，q 至少有一个为真命题，可得32m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭{1m m ⋃<-或2}{1m m m >=<-或3}2m >.所以实数m 的取值范围{1m m <-或3}2m >.19.已知集合{}115A x x =-≤+≤，{}31B x x =-<≤，{}22C x a x a =-<<+.（1）若“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若()A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}02a a ≤≤（2）{}10a a -<<【解析】【分析】（1）“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件，转化为C A ⊆即可求解（2）根据()A B C ⊆ ，只需保证C 包含A B ⋂即可.【小问1详解】由题知，集合{}{}11524A x x x x =-≤+≤=-≤≤，{}22C x a x a =-<<+，∵“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件，∴2422a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得02a ≤≤，∴实数a 的取值范围是{}02a a ≤≤；【小问2详解】∵集合{}{}11524A x x x x =-≤+≤=-≤≤，{}31B x x =-<≤，{}22C x a x a =-<<+，∴{}21A B x x ⋂=-≤≤，又()A B C ⊆ ，∴2221a a -<-⎧⎨+>⎩，解得10a -<<，∴实数a 的取值范围是{}10a a -<<.20.已知0a >，0b >，且0a b ab +-=.（1）求23a b +的最小值；（2）求411a ba b +--的最小值.【答案】（1）5+（2）9【解析】【分析】（1）利用基本不等式灵活运用“1”计算即可；（2）利用基本不等式配凑定值计算即可.【小问1详解】由题意可知111a b ab a b+=⇒=+=，所以()113223235525b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当32b a b a =，即22a +=，33b +=时取得等号,即23a b +的最小值为5+【小问2详解】由题意可知()()()0111111a b ab a b b a b +-=⇒-+-=-⇒--=，结合（1）有111a b+=及0a >，0b >，，可知1,1a b >>，即10,10a b ->->，故()()41411441559111111a b a b a b a b a b -+-++=+=++≥+=------，当且仅当4111a b =--，即1,12b a =+=时取得等号，即411a b a b +--的最小值为9.21.已知集合()(){}140A x x x =-->，()()(){}2312130B x x m x m m =-++-+<，其中m 为实数.（1）若1m =，求A B ⋂；（2）若A B ⋂=∅，求m 的值.【答案】（1）{}01A B x x ⋂=<<（2）5【解析】【分析】（1）分别求出集合,A B ，再求A B ⋂；（2）讨论5m =，5m >，5m <得到集合B ，根据A B ⋂=∅列不等式组求解.【小问1详解】由题意知()(){}{1404A x x x x x =-->=>或}1x <，当1m =时，{}{}24004B x x x x x =-<=<<，所以{}01A B x x ⋂=<<；【小问2详解】由题意知()()(){}()(){}23121302230B x x m x m m x x m x m =-++-+<=-+--<，当223m m -=+，即5m =时，B =∅，所以A B ⋂=∅，符合题意；当223m m ->+，即5m >时，{}322B x m x m =+<<-，又A B ⋂=∅，所以31,224,m m +≥⎧⎨-≤⎩解得23m -≤≤，所以无解；当223m m -<+，即5m <时，{}223B x m x m =-<<+，又A B ⋂=∅，所以221,34,m m -≥⎧⎨+≤⎩所以无解.综上，m 的值为5.22.若关于x 的不等式组()2234033770x x x a x a ⎧+->⎪⎨+--<⎪⎩的整数解的集合为A .（1）若6a =，求集合A ；（2）若集合{}2A =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}5,2A =-（2）{}25a a -<≤【解析】【分析】（1）分别解出两不等式，即可求出不等式组的整数解的集合；（2）由()233770x a x a +--<可得()()370x a x +-<，分73a =-、73a <-、73a >-三种情况讨论，结合{}2A =求出参数的取值范围.【小问1详解】因为2340+->x x ，解得<4x -或1x >.若6a =，则2311420x x +-<，解得763x -<<，所以{}5,2A =-；【小问2详解】由()233770x a x a +--<，得()()370x a x +-<，当73a =-时，不等式()()370x a x +-<无解，此时不满足{}2A =，不符合题意；当73a ->，即73a <-时，由()()370x a x +-<，解得73x a <<-，又<4x -或1x >，所以不等式组()2234033770x x x a x a ⎧+->⎪⎨+--<⎪⎩的解集为7|3x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，此时不满足{}2A =，不符合题意；当73a -<，即73a >-时，由()()370x a x +-<，解得73a x -<<，要使{}2A =，则52a -≤-<，解得25a -<≤，综上，a 的取值范围是{}25a a -<≤.。
2024届湖南省湖湘教育三新探索协作体高一数学第二学期期末综合测试试题含解析
2024届湖南省湖湘教育三新探索协作体高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是（ ）A ．5立方丈B ．6立方丈C ．7立方丈D ．9立方丈2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos sin sin B A C =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3．已知平面向量a ，b ，1a =，3b =，且27a b +=，则向量a 与向量a b +的夹角为（ ） A ．2πB ．3π C ．6π D ．π4．把函数cos 232y x x =+的图象经过变化而得到2sin 2y x =的图象，这个变化是（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 5．不等式220x x --≤的解集是( ) A ．[]1,2-B ．[]1,1-C ．[]2,1-D ．[]22-,6．已知在ABC 中，()sin sin cos cos sin A B A B C +=+⋅，则ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形7．设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则下列判断正确的是（ ） A ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥B ．若m αγ=，αγ⊥，βγ⊥，则m β⊥C ．若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥D ．若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥8．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，若1AD =，2AB =，3BD =，则AF BD ⋅=( )A ．32B ．1-C ．33D ．23-9．在△ABC 中，AC 2=BC ＝1，∠B ＝45°，则∠A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°10．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B =,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2B 2C 2D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期11月月考(第二次大联考)数学试题含答案
湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考（11月）数学试题（答案在最后）本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本式卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，则集合A B 中所含整数的个数为A.2 B.3C.4D.52.已知3i12iz -=+，则z 的虚部为A.75B.75-C.15-D.153.“202520251ab>”是“33a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()1sin 104θ︒+=-，则()sin 2110θ︒+=A.78B.18C.18-D.78-5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s == ，设光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s上的投影向量的坐标为A.43,55⎛⎫⎪⎝⎭B.(2,7)- C.5239,2525⎛⎫⎪⎝⎭ D.43,2525⎛⎫⎪⎝⎭6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =也为等差数列，则d 的值为A.2B.3C.4D.87.已知函数1()ln 2(1)x f x x m x m+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为A.14 B.74C.38D.1388.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3b Cc B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为A.2B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足21x y +=，则A.81xy B.1412x y+ C.22142x y +D.1(1)4x y +10.三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则A.直线GH 与直线1BB 异面B.1//GH BC C.线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PCD.线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC11.设函数2()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则A.122a a >- B.1n a n +C.()()n f a f n > D.n m n ma a a +>+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是______．13.已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅的取值范围是______.14.三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21r V-的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.（1）探究数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为单调数列；（2）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT .17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为（1）求点A 到平面1A BD 的距离；（2）若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．18.（本小题满分17分）已知函数2()ln 2x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当21(1,e)x x ∈时，证明：122eln ln e 1x x <+<+.19.（本小题满分17分）对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足111m miii i a am ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值关联”的m 阶数列．（1）对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；（2）若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足(1,2,,)i a i m λ=，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．①请分别写出一个满足“绝对值34关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列(2)n ，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．三湘名校教育联盟•2025届高三第二次大联考•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】由题意可得{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，可得{30}A B x x =- ∣ ，故集合A B 中所含整数有3,2,1,0---，共4个，故选C.2.【答案】A 【解析】由题意可得3i (3i)(12i)32i 6i 17i 12i (12i)(12i)555z ------====++-，故17i 55z =+，其虚部为75，故选A.3.【答案】A 【解析】由202520251ab> 及指数函数的单调性可得0a b > ，令函数3()f x x =，易得()f x 单调递增，故当0a b > 时，一定有33a b >，故充分性成立，但由33a b >只能推出a b >，即必要性不成立，故“20252025a b >1 ”是“33a b >”的充分不必要条件，故选A.4.【答案】A 【解析】由题意可得()1sin 104θ︒+=-，故()()()()2sin 2110sin 90220cos 22012sin 10θθθθ︒︒︒︒︒+=++=+=-+2171248⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选A.5.【答案】C 【解析】由向量(4,3),(2,10)A B s s == ，可得(2,10)(4,3)(2,7)B A s AB s s ==-=-=-，所以s 在A s 上的投影向量为218135239(4,3),55252525A A A A As s s s s s ⋅-⎛⎫⋅=⨯=⋅= ⎪⎝⎭ ，故选C.6.【答案】C 【解析】易知232222n n d S a n d n d ⎛⎫-=+-+- ⎪⎝⎭也为等差数列，则232222d n d n d ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭为完全平方，则2322(2)02d d d ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得4d =，故选C.7.【答案】D 【解析】因为()f x 关于点(,4)n 中心对称，所以函数1()()4ln224x n g x f x n x n x m n ++=+-=++-++为奇函数，则240n -=，即2n =，且3ln 2x y x m +=++为奇函数，所以23m +=-，解得5m =-，故1()ln 5x f x x +=+-2,7x n m -=，且6()2(1)(5)f x x x '=-+-，故切线斜率为13(7)8f '=，故选D.8.【答案】B 【解析】设ABC 的内切圆半径为r ，由题意可得cos cos 2b C c B +=，由余弦定理可得2222a b c b ab +-⋅+2222222222222a c b a b c a c b c a ac a a +-+-+-⋅=+==，而11sin ()22ABC S bc A a b c r ==++ ，故2r =⋅2bcb c ++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则224b c bc bc =+- ，当且仅当b c =时等号成立，而4=2()3b c bc +-，则b c +=，其中4bc ，故33222bc r b c =⋅=++=(24)t t < ，故24(2)6263t r t t -=⋅=-+ .故选B.9.【答案】AC 【解析】对于A ：因为21x y +=18xy ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确；对于B ：1424(2)8666x y x y x y x y x y y x +++=+=+++=+，当且仅当8x yy x =，即x =1,22y =时取等号，故B 错误；对于C ：因为22x y +，则22142x y + ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确；对于D ：因为2112(1)1(1)2(1)2222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当21x y =+，即1,02x y ==时取等号，这与x ，y 均为正数矛盾，故1(1)2x y +<，故D 错误，故选AC.10.【答案】AD 【解析】如图所示，对于A ，因为1BB ⊂/平面11,BC F BB 平面1BC F B =，故1BB 与平面1BC F 的交点为B ，且是唯一的.又因为B ，G ，H 三点不共线，所以GH 不经过点B ，又GH ⊂平面1BC F ，所以直线GH 与直线1BB 没有交点，即直线GH 与直线1BB 异面，故A 正确；对于B ，因为AB 的中点为1,E AA 的中点为F ，所以点G 是1A AB 的重心，:1:2FG GB =，若1//GH BC ，则1:1:2FH HC =，事实上：()()1111111222A H A C A A AC A F A C A F λλλλ==+=+=+112AC λ ，所以H 是1FC 的中点，1:1:2FH HC =不成立，故B 错误；对于CD 选项，如图，取线段BF 的中点Q ，连接1AQ 并延长，交BE于点P ，下证1//BC 平面1A PC ：由H 为1C F 的中点可知1//HQ BC ，又1BC ⊂/平面1,A PC HQ ⊂平面1A PC ，所以1//BC 平面1A PC ，故D 正确，C 错误；故选AD.11.【答案】BCD 【解析】由题意可得()e xf x n '=-，当(,ln )x n ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，当(ln ,)x n ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，故2(ln )ln n a f n n n n n ==+-．对于A ：12212,62ln 2,22a a a a ==---=-2ln 20>，即122a a <-，故A 错误；对于B ：设函数2()1ln ,,()2ln 1F x x x x x F x x x '+=--∈=--N ，设函数1()2ln 1,()2,1g x x x g x x x '=--=- 时，则()0()g x g x '>⇒单调递增，故()(1)10g x g =>⇒ ()0()F x F x '>⇒单调递增，故22()(1)01ln 0ln 11n F x F n n n n n n n n a n =⇒--⇒+-+⇒+ ，故B 正确；对于C ：易知ln n n >，又因为()f x 在(ln ,)x n ∈+∞上单调递增，故(ln )()(1)f n f n f n <<+ ()n f a ，故()()n f a f n >，故C 正确；对于D ：[ln ln()][ln n m m n a a a m n m n m n m n +--=+-+++-ln()]n m +，只需证明ln ln()0n m n m +-+>即可，而ln ln e n n m m +=，由e 1(1)x x x >+易得e n m >(1)m n m mn m n +=++，故ln ln()0n m n m +-+>，同理可得ln ln()0m n n m +-+>，故n m n a a +>+m a ，故D 正确，故选BCD ．12.【答案】（8,0-]【解析】因为命题“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，当0a =时，20-<成立，当0a ≠时，则280a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得80a -<<，故a 的取值范围是(8,0]-，故答案为(8,0]-.13.【答案】[-8，24]【解析】由题意可得AB 的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP 在AB方向上的投影长度的取值范围是[2,6]-，由数量积定义可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影长度的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是[8,24]-，故答案为[8,24]-.14.62+【解析】设三棱锥P ABC -的高为h ，依题意，可取BC 中点O ，连接OA ，OP ，则OA =1,OB OC OP h ===，则PBC 的面积为1,2h BC h ABC ⋅= 的面积112OA BC ⋅=，由21PA PB h ==+可得PBA 的面积为2212h +，于是三棱锥P ABC -2211h h +++，由等体积可知)2211133r hh h +++=⨯，所以2222222122122h h h r h h ++++==+，故21r V-=2222123221122h h h h h ++-+-=+.设函数22211()2x f x x +=+，且0x >，则()f x '=()2222222212121212x x x x x x +=++++，当3,()0,()2x f x f x '<<单调递减，3()02x f x '>>，()f x 单调递增，所以3()622f x f =+ ，所以62h =时，21r V -取得最小值62+62．15.【解析】（1）由题意可得π()32cos 22sin 2,(0,)6f x x x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，………………2分令π2,(0,π)6z x x =+∈，则π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π13πsin ,,66y z z ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递减区间是π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………………………5分且由π3π22z ，得π2π63x ，所以()f x 的单调递减区间是π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………7分（2）当π,12x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,2636x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，……9分即sin y z =在ππ,236m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1，又因为π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3ππ13π2,266m +< ……12分即2ππ3m < ，故m 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………13分16.【解析】（1）由题意得2(1)n n S n a =+，当2n 时，112n n S na --=，………………………………1分两式作差得112(1),(1)n n n n n a n a na n a na --=+--=，……………………………………………………3分所以11n n a a n n -=-，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，………………………………………………………………5分无单调性，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调数列.……………………………………………………………………6分（2）由（1）可得111n a a n ==，所以n a n =，故22an n n a n ⋅=⋅．……………………………………8分所以231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①……………………………………………………………10分23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②………………………………………………12分①-②得()231112122222222(1)2,12n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- ……………14分所以1(1)2 2.n n T n +=-⋅+…………………………………………………………………………………15分17.【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，设四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh =（其中S 为菱形ABCD 的面积，h 为四棱柱ABCD -1111A B C D 的高），…………………………………………1分所以1ABDA 的体积为111236S h V ⋅=，同理四面体111A B BC 的体积为111236S h V ⋅=……………2分又因为四边形ABCD 是菱形，所以111122AO OC AC A C ===，所以点A 到平面1A BD 的距离为点1C 到平面1A BD 距离的一半，所以四面体11A BC D 的体积是四面体1ABDA 的体积的两倍，即13V ．……4分设点A 到平面1A BD 的距离为d ，则1111233663V V V d =-==⋅………………………………5分解得3d =分（2）如图，连接1OA ，由111A B A C ⊥得1A B AC ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以AC ⊥平面1A BD ，又1AO ⊂平面1A BD ，所以1A O AC ⊥，………………………………………………………………………………………………8分又11,A B A D BO BD ==，所以1A O BD ⊥，…………………………………………………………9分又,,BD AC O BD AC =⊂ 平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知12V =，且菱形ABCD的面积为S =，所以h ==………………………………11分依题意，1(0,0,0),((0,1,0),(O C B C -，易得平面1A BD的一个法向量为(0,0)OC =，…………………………………………………12分设平面1BC D 的一个法向量为(,,)n a b c =，又1(0,1,0),(OB OC ==- ，所以100OB n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b a c =⎧⎨-=⎩，取(1,0,1)n = ，…………………………………………………13分故111cos ,2||n OC n OC n OC ⋅<>===⋅ ，……………………………………………………14分故锐二面角11A BD C --的余弦值为2.…………………………………………………………………15分【评分细则】本题第二问若考生通过利用几何法来求解二面角11A BD C --的平面角为11π4A OC ∠=，或者利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过程不严谨酌情扣一定的分数．18【解析】(1)易得()f x 定义域为(0,),()ln f x x a x '+∞=-，显然0a ≠.…………………………1分①当0a <时，()f x '单调递增，不可能有两零点，不合题意.…………………………………………2分②当0a >时，令函数()()g x f x '=，易得()x a g x x'-=，故(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减(,)x a ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，……………………………………………………………4分当e a 时，有()()(1ln )0g x g a a a =- ，不可能有两零点；当e a >时，有()0,(1)10g a g <=>，由零点存在性定理可得()g x 在区间(1,)a 必有一个零点1x ．……………………………………………6分()2(2ln )g a a a a =-，令函数()2ln a a a ϕ=-，则2()10a aϕ'=->，即()a ϕ单调递增，故()(e)a ϕϕ>=e 20->，即()20g a >，故()g x 在(,)a +∞上有零点2x ，综上(e,)a ∈+∞．…8分（2）依题意有()()120g x g x ==，即1122ln ln 0x a x x a x -=-=，故得12211221ln ln ln ln x x x x a x x x x -====-2121ln x x x x -，…………………………………………………………10分因此2121122111ln ln ln 1x x x x x x x x x x ==--，令21(1,e)x t x =∈.则1ln ln 1t x t =-，同理2ln ln 1t t x t =-，故12eln ln x x +=e ln 1t t t +-，欲证122eln ln e 1x x <+<+，即证112ln (e 1)e e t t t t t --<<+++，……12分令函数1()ln 2e t m t t t -=-+，函数1()(e 1)ln ,(1,e)e t n t t t t -=+-∈+，只需证明()0,()0m t n t >>即可，又22222(e)2(e 1)(1)e 1()0(e)(e)t t t m t t t t t '+-+-+-==>++，……………………………………………………14分故()m t 是增函数，故()(1)0m t m >=，又222222(e 1)(e)1e ()e 1(e)(e)t t n t t t t t t '⎛⎫+-+==+-- ⎪++⎝⎭，令函数22e ()e 1h t t t =+--，则22e ()10h t t '=->，故()h t 单调递增，故()(1)0h t h >=，………………16分因此21()()0(e)n t h t t '=>+，故()n t 单调递增，故()(1)0n t n >=，故122eln ln e 1x x <+<+得证.17分【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分．19.【解析】（1）因为{}n a 为满足“绝对值关联”的m 阶数列，假设0i a ，则11110m m m m i i i i i i i i a a a a====-=-=≠∑∑∑∑1(2)m m - ，不满足题意，同理若0i a ，则111101(2)m m m mi i i i i i i i a aa a m m ====-=-+=≠-∑∑∑∑ ，也不满足题意，………………………………4分所以12,,,m a a a 中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设121,,,0,,,,0l k k m a a a a a a +>< （其中1l k m << ），故存在{1,2,,},{,1,,}i l j k k m ∈∈+ ，满足0i j a a <．………………6分（2）①一个满足“绝对值34关联”的4阶数列为：3333,,,4444--；（答案不唯一，符合要求即可）8分一个满足“绝对值1关联”的5阶数列为：222,,,1,1333--；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②设(1,2,,)i a i n λ= ，且111n n i i i i a an ==-=-∑∑．不妨设1212,,,0,,,,0k k k n a a a a a a ++< ，其中1k n < ，并记11,k n i i i i k a x a y ==+==∑∑，为方便起见不妨设x y （否则用i a -代替i a 即可），于是得11,n n i i i i ax y a x y ===+=-∑∑，因为111n n i i i i a a n ==-=-∑∑，即()()1x y x y n +--=-，所以11,22n n y x --=，一方面有1()2n y n k λ-=- ，另一方面12n x k λ- .所以1()n n k k n λλλ--+= ，即1n n λ- ，当且仅当n k k -=，即2n k =时等号成立.………13分（i ）当n 为偶数时，设*2,n s s =∈N ，则有前s 项为正数，后s 项为负数的数列111,,,n n n n n n --- ，111,,,n n n n n n ------ 是“绝对值1n n -关联”的n 阶数列，又1n n λ- ，所以λ的最小值为1n n -；……………………………………………………………………14分（ii ）当n 为奇数时，设*21,n s s =+∈N ，则11(),22n n y n k x k λλ--=- 等价于21s s k λ+- 且s k λ ，即λ不小于21s s k +-与s k中的最大者．……………………………………………………15分当k s =或1s +时，两者中的最大者均为1，有1λ ，当k s <或1k s >+时，有1s k >或121s s k>+-，则有1λ>，所以取k s =或1s +时，λ可能取得最小值1，且有前s 项为正数，后1s +项为负数数列1111,1,,1,,,,111n n n n n n ------+++ 符合题意，所以λ可以取得最小值1．…………………………………………………………………………………………16分综上所述λ的最小值为()*1,21,21n n s s n n s -⎧=⎪∈⎨⎪=+⎩N .……………………………………………………17分。
2025届湖湘教育三新探索协作体数学高三第一学期期末学业质量监测试题含解析
2025届湖湘教育三新探索协作体数学高三第一学期期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设命题:p 函数()x xf x e e -=+在R 上递增，命题:q 在ABC ∆中，cos cos A B A B >⇔<，下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝2．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =3．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12x π=③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫⎪⎝⎭ ④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c ca b> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜D ．11()()22ab<6．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞7．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B ．31- C ．221-D ．328．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a <<D ．b c a <<9．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则AB 等于（ ）A ．{}012,,B ．{2,1,0,1,2}--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}12, 10．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势11．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．12D ．412．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．132-+ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省湖湘教育三新探索协作体2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题解析版
湖南省湖湘教育三新探索协作体2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题解析版（全卷满分：150分，考试用时：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()(){}234A x x x =-+>，{}2|log 1B x x =<，则A B = （）A.()2,1- B.()0,2 C.()3,2- D.()0,1【答案】D【分析】解一元二次不等式和对数不等式，求出,A B ，得到交集.【详解】()()234x x -+>变形为220x x +-<，解得2<<1x -，故{}21A x x =-<<，因为{}{}2|log 12|0B x x x x =<<=<，所以{}{}{}21|02|01A B x x x x x x ⋂=-<<⋂<<=<<.2.已知i 为虚数单位，复数()()33i 1i z a =-+为纯虚数，则z =（）A.0B.13-C.3D.10【答案】D【分析】利用复数的乘法法则和纯虚数、模长的定义求解即可.【详解】由题意可得因为复数()()()()()33i1i 3i 1i 331i z a a a a =-+=++=-++，所以30a -=，解得3a =，即10i z =，所以10z ==，3.已知正三棱锥A BCD -，则其外接球的体积为（）A.π8B.812π16C.92π8D.93π16【答案】C形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，从而即可求出外接球的半径为r ，进而可求出外接球的体积．【详解】由A BCD -则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，如图，取CD 的中点，连接BF ，过A 作⊥AE 平面BCD ，且垂足为E ，则2BE EF =，由AB BC CD AD BD =====则在Rt BCF 中，有32BF ==，所以23132BE =⨯=，则在Rt ABE △中，有AE ==设外接球的半径为r ，则()222BE AE r r +-=，即)2221rr +=，解得324r =，故外接球的体积为33443292πππ3348V r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．4.若“2340x x +-<”是“()2233230x m x m m -+++>”的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（）A.4m ≤-或m 1≥B.4m ≤-或3m >-C.1m ≤-或4m ≥D.3m <-或4m ≥【答案】A【分析】解不等式2340x x +-<，对实数m 的取值进行分类讨论，求出不等式()2233230x m x m m -+++>的解集，根据题意可得出集合的包含关系，综合可求得实数m 的取值范围.【详解】解不等式2340x x +-<可得41x -<<，由()2233230x m x m m -+++>可得()()230x m x m --->，①当23m m =+时，即当3m =-时，不等式()()230x m x m --->即为()230x +>，解得3x ≠-，此时，“41x -<<”⇒“3x ≠-”，不合乎题意；②当23m m <+时，即当3m >-时，解不等式()()230x m x m --->可得x m <或23x m >+，由题意可知，{}41x x -<<{x x m <或}23x m >+，所以，m 1≥或234m +≤-，解得72m ≤-或m 1≥，所以，m 1≥；③当23m m >+时，即当3m <-时，解不等式()()230x m x m --->可得23x m <+或x >m ，由题意可得{}41x x -<<{23x x m <+或}x m >，所以，231m +≥或4m ≤-，解得4m ≤-或1m ≥-，此时4m ≤-.综上所述，实数m 的取值范围是4m ≤-或m 1≥.5.在ABC ∆中，2BD BC = ，3BE BA =，且CE 与AD 交于点P ，若CP xCA yCB =+(),R x y ∈，则x y +=（）A.25B.35 C.45D.1【答案】B【分析】根据平面向量共线定理得到AP AD λ= ，CP CE μ=，利用CA 、CB 分别表示出CP，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得λ、μ，再代入计算可得.【详解】依题意A 、P 、D 三点共线，故AP AD λ=，所以()CP CA AP CA AD CA CD CAλλ=+=+=+- ()1122CA CB CA CB CA λλλ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，C 、P 、E 三点共线，故CP CE μ=，则()2233CP CA AE CA AB CA ABμμμμ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭()212333CA CB CA CA CB μμμμ=+-=+，所以113232μλλμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得4535λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2155CP CB CA =+ ，又CP xCA yCB =+ ，所以1525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以35x y +=.6.已知正实数a ，b 满足24a b +=，则111a b ++的最小值是（）A.1B.3328C.3226+ D.133+【答案】C【分析】由已知可推得()12116a b ++=⎡⎤⎣⎦，然后根据“1”的代换，利用基本不等式，即可得出最小值.【详解】由已知可得，()216a b ++=，所以()12116a b ++=⎡⎤⎣⎦.又,0a b >，所以()1111121116a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+⨯⨯++ ⎪⎣⎦++⎝⎭1112261b a a b +⎛⎫=⨯++⨯+ ⎪+⎝⎭112361b a a b +⎛⎫=⨯⨯++ ⎪+⎝⎭1122361b a a b ⎛⎫+≥⨯⨯⨯+ ⎪ ⎪+⎝⎭()132222366+=⨯+=.当且仅当121b aa b +⨯=+，即626a =-，532b =-时，等号成立.所以，111a b ++的最小值是3226+.7.将函数()22πsin 2cos sin 6f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的图象向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于直线π3x =轴对称，则ϕ的值为（）A.5π12B.π3C.π4 D.π6【答案】B【分析】根据二倍角的余弦公式和两角的和差公式可得()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换可得()πsin 226g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用条件结合正弦函数的对称性列方程即可求得ϕ的值．【详解】由()22π1πsin 2cos sin cos2cos2sin 26226f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()πsin 226g x x ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，又函数()g x 的图象关于直线π3x =轴对称，则πππ22π362k ϕ⨯++=+()Ζk ∈，得ππ26k ϕ=-()Ζk ∈，又π02ϕ<<，则1k =，即π3ϕ=．8.对任意的x ∈R 函数()f x ，都有()()()()2f x f x f x f x -=-=+，，且当[1,0x ∈-]时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log 0a f x x -=在区间[]5,5-内恰有6个不等实根，则实数a 的取值范围是（）A.(3,5)B.[3,5]C.[3,5)D.(3,5]【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求出函数的解析式，利用函数的周期性画出函数图象，结合方程的根与函数图象交点的关系可得函数()y f x =与log a y x =图象在[5,5]-上有6个不同的交点，由图可得log 31,log 51a a <>，解之即可求解.【详解】由()()f x f x =-，知函数()f x 为偶函数，由)(()(2)f x f x f x -=+=，知函数()f x 为周期函数，且2T =.又当[1,0]x ∈-时，1()()12xf x =-，则当[0,1]x ∈时，[1,0]x -∈-，1()(1212x x f x --=-=-，由()()f x f x =-，得()21xf x =-，所以1(1,10()221,01xx x f x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪-≤≤⎩，若方程()log 0a f x x -=在[5,5]-上有6个不等实根，则函数()y f x =与log a y x =图象在[5,5]-上有6个不同的交点，若01a <<，函数log a y x =在(0,)+∞上与函数()y f x =图象只有1个交点，不符题意，故1a >，如图，由图可知，(3)(5)1,log 31,log 51a a f f ==<>，解得35a <<，即实数a 的取值范围为(3,5).二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列关于复数的命题不正确的有（）A.若12z z =，则2212z z = B.若12||z z =，则12z z =±C.1212z z z z = D.22z z zz==【答案】ABD【分析】举例说明，即可判断AB ；根据复数的乘法运算和几何意义计算化简，即可判断C ；根据复数的乘法运算和共轭复数的概念，即可判断D.【详解】A：令1213i,2z z =+=，满足12=z z ，而221286i,2z z =-+=-+，2212z z ≠不成立，故A 错误；B ：由选项A 的分析可知，12=±z z 不成立，故B 错误；C ：设12i,i(,,,R)z a b z c d a b c d =+=+∈，则12()()i z z ac bd ad bc =-++，2222222222212()()=z z ac bd ad bc a c b d a d b c =-+++++，又222222222222212()()()z z a b c d a c b d a d b c =++=+++，所以221212()z z z z =，即1212z z z z =，故C 正确；D ：设i(,R)z a b a b =+∈，则i z a b =-，得2222i z a b ab =-+，222i z a b ab =--，22zz a b =-，所以22z z zz ==不成立，故D 错误.10.已知α，β为两个不同的平面，a ，b 为两条不同的直线，A 为点，下列说法正确的是（）A.//,,//a b a bαβαβ⊂⊂⇒B.,,,a b A A a a b αα⊂⋂=∉⇒为异面直线C.//,//,//a b a b b ααα⊄⇒D.//,//b a a b αα⊂⇒【答案】BC【分析】根据线面、面面平行的性质定理与判定定理判断即可.【详解】对于A ：若//,,a b αβαβ⊂⊂，则a 与b 平行或异面，故A 错误；对于B ：若,,a b A A a αα⊂⋂=∉，则a 与b 为异面直线，故B 正确；对于C ：若//,//a b a α则在平面α内存在直线c ，使得//a c ，所以//b c ，又b α⊄，c α⊂，所以//b α，故C 正确；对于D ：若//,b a αα⊂，则a 与b 平行或异面，故D 错误；11.已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()1f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则下列说法中正确的是（）A.函数()f x 是周期函数B.函数()f x 为R 上的偶函数C.函数()f x 的图象关于点()1,0-对称D.函数()f x 为R 上的单调函数【答案】AC【分析】由题可得()()2f x f x +=即可判断A ；由()1y f x =-为奇函数可得()()110f x f x --+-=，即可判断B ；由()()2f x f x -=--、()2()f x f x -=可得()()f x f x -=-，即可判断C ；根据()f x 为R 上的奇函数，结合单调函数的定义即可判断D.【详解】A 选项，由()()1f x f x +=-，得()()()21f x f x f x +=-+=，即2T =，故A 正确；B 选项，因为()1y f x =-为奇函数，()()11f x f x --=--，用1x -换x ，得()()2f x f x -=--，又()2()f x f x -=，所以()()f x f x -=-，即函数()f x 为R 上的奇函数，故B 错误；C 选项，因为()1y f x =-为奇函数，所以()()()()11110f x f x f x f x --=--⇒--+-=，则()y f x =的图象关于点()1,0-对称，故C 正确；D 选项，因为函数()f x 为R 上的奇函数，其图象关于原点对称，函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞的单调性相同，但函数()f x 在R 上不一定为单调函数，故D 错误.12.已知()cos33cos f x x x =+，下列关于()f x 说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为2π3B.()f x 的最大值为4C.()f x 在()0,π上单调递减D.()f x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称【答案】BCD【分析】先求出2π是()f x 的周期.设()f x 的最小正周期为2πk，*k ∈N ，根据()2π40f f k ⎛⎫= ⎪⎭=⎝，即可推导出1k =，判断A 项；根据余弦函数的值域得出()4f x ≤，结合()04f =，即可得出B 项；化简可得()34cos f x x =，然后根据复合函数的单调性，即可得出C 项；求出并化简()πf x -的表达式，即可得出D 项.【详解】对于A 项，因为()()()2πcos 36π3cos 2πf x x x +=+++()cos33cos x x f x =+=，所以，2π是()f x 的周期.则可设()f x 的最小正周期为2πk，*k ∈N ，因为()0cos 03cos 04f =+=，所以应有46πcos 23cos π2πf k k k ⎛⎫=+ ⎝⎭=⎪，所以，应有6πcos1k =，cos 2π1k=.由6πcos 1k =可得，*116π2π,n n k=∈N ，所以13k n =.又*k ∈N ，所以11n =，3k =，或13n =，1k =；由cos2π1k =可得，*222π2π,n n k=∈N ，所以21k n =.又*k ∈N ，所以必有21n =，此时1k =.所以，1k =，所以，()f x 的最小正周期为2π，故A 项错误；对于B 项，因为cos31x ≤，cos 1≤x ，所以()cos33cos 4f x x x =+≤.又()04f =，所以()f x 的最大值为4，故B 项正确；对于C 项，()cos33cos f x x x =+()cos 23cos cos 2cos sin 2sin 3cos x x x x x x x x =++=-+()2212sin cos 2sin cos 3cos x x x x x=--+()224sin cos 4cos 4cos 1sin x x x x x =-+=-34cos x =.令cos t x =，则函数cos t x =在()0,π上单调递减，而函数34y t =单调递增，所以，根据复合函数的单调性可知，函数()34cos f x x =在()0,π上单调递减，故C 正确；对于D 项，()()()πcos 3π33cos πf x x x -=-+-()cos33cos x x f x =--=-，所以，()f x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故D 项正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45，的等腰梯形，则原平面图形的面积为___________.【答案】4+【分析】计算出梯形的下底的长，作出原图形，确定原图中梯形的上、下底的长以及梯形的高，利用梯形的面积公式可求得结果.【详解】在直观图等腰梯形A B C D ''''，A B //C D ''''，且A B A D B C ''''''===，如下图所示：分别过点A '、B '作A E C D '''⊥，B F C D '''⊥，垂足分别为点E 、F ，由题意可知45A D E B C F ''''∠=∠= ，所以，cos 4512D E A D '''=== ，同理可得1C F '=，因为//A B EF ''，A E C D '''⊥，B F C D '''⊥，则四边形A B FE ''为矩形，所以，EF A B ''==，故2C D C F EF D E ''''=++=，将直观图还原为原图形如图所示：由题意可知，梯形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB =，AD =，2=+CD，AD CD ⊥，因此，梯形ABCD 的面积为()(2422AB CD AD S +⨯+⋅===.14.已知5sin 5α=，π02α<<，且cos 10β=，π02β<<，则()cos αβ+=___________.【答案】10-【分析】首先求出cosα，sinβ，再根据两角和的余弦公式计算可得.【详解】因为sinα，π2α<<，且10cos10β=，π2β<<，所以cos5α==，310sin10β==，所以()0 c3os cos cos sin si251051025105101nαβαβαβ=⨯-⨯--+==.15.已知函数()[]e e ln,2,0)(0,22x xf x x x-+=+∈- ，则满足不等式()()221f a f a-≥+的实数a的取值范围是___________.【答案】1[0,3【分析】根据奇偶函数的定义证明()f x为偶函数，易知当2(]0,x∈时函数lny x=单调递增，利用定义法证明函数e e2x xy-+=在(0,2]上单调递增，则函数()f x在(0,2]上单调递增，利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.【详解】e e()ln,[2,0)(0,2]2x xf x x x-+=+∈- ，定义域关于原点对称，则e e()ln()2x xf x x f x-+-=+=，所以函数()f x为偶函数；当2(]0,x∈时，函数ln lny x x==单调递增，设1202x x<<≤，则12e ex x<，120e e1x x+>=，所以11222112e e e e11(e e)(1)222ex x x xx xx x--+++-=--，又21121e e0,10ex xx x+->-<，所以1122e e e e022x x x x--++-<，则函数e e 2x x y -+=在(0,2]上单调递增，所以函数()f x 在(0,2]上单调递增，由(2)(21)(|2|)(|21|)f a f a f a f a -≥+⇔-≥+，得02122a a <+≤-≤，解得103a ≤≤，所以实数a 的取值范围为1[0,]3.16.在ABC ∆中，点O 满足0BA AO BA BC BA BC λλλ-=+>（），且AO 所在直线交边BC于点D ，有||||||||BD AB DC AC = ，6CA CB -= ，2CA CB -= ，则||BO BA BA ⋅的值为___________.【答案】2【分析】由题干条件得到点O 为ABC 的内心，再由切线长定理和向量数量积公式变形得到答案.【详解】0BA AO BA BC BA BC λλλ-=+>（），变形为0BA BO BA BC BA B B A C λλλ-=+>-（），即()BABC BA BC BO BA BA BABCBA BC λλλ⎛⎫⎪=-++=+ ⎪⎝⎭，其中BA BA表示BA方向上的单位向量，BC BC表示BC 方向上的单位向量，故O 在ABC ∠的平分线上，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠，在ADC △中，由正弦定理得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，因为πADB ADC ∠+∠=，所以sin sin ADB ADC ∠=∠，故sin sin sin sin BD CAD AB ADC ABBAD CD ADB AC AC∠∠⋅=⋅=∠∠，因为||||||||BD AB DC AC =，所以sin sin CAD BAD ∠=∠，故CAD BAD ∠=∠，故AD 平分BAC ∠，故点O 为ABC ∆的内心，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，作OG ⊥AC 于点G ，则,,CF CG AE AG BE BF ===，因为2CA CB -=，所以2AE BE -=，又6CA CB BA -==，所以4,2AE BE ==，由向量数量积得cos BO BA BO BA ABO ⋅=⋅∠，故2||cos BO BA BA BO ABO BE ⋅=∠==.【点睛】方法点睛：点O 为ABC ∆所在平面内的点，且0OA OB OC ++=，则点O 为ABC∆的重心，点O 为ABC ∆所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心，点O 为ABC ∆所在平面内的点，且OA OB OC ==，则点O 为ABC ∆的外心，点O 为ABC ∆所在平面内的点，且0aOA bOB cOC ++=，则点O 为ABC ∆的内心.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平面直角坐标系中，点O为原点，)1A-，()0,2B （1）若1a = ，//a OA 且方向相反，求a的坐标；（2）若2b = ，b 与AB的夹角为30 ，且向量b k AB + 与b AB - 互相垂直，求k 的值.【答案】（1）3122a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭（2）13k =-【分析】（1）根据已知可设a OA λ=r uu r，0λ<，然后根据已知得出2OA = ，即可得出λ的值，代入即可得出答案；（2）求出AB = ，根据数量积的定义得出6b AB ⋅=r uu u r .由向量垂直，得出()()0b k AB b AB +-⋅=r uur uu u rr u ，根据数量积的运算律展开，得出方程，求解即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，)1OA =-，设a OA λ=r uu r ，0λ<，所以2OA ==，2a OA λλ==-r uu r.又1a = ，所以21λ-=，所以12λ=-，所以，122a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由已知可得，()AB =，所以AB ==，所以3cos30262b AB b AB ⋅=︒=⨯=r uu u r r uu u r .因为向量b k AB + 与b AB -互相垂直，所以，()()0b k AB b AB +-⋅=r uur uu u r r u ，即()2201b k b AB k AB +--=⋅uu u r uu u r r r ，即()461120k k +--=，解得13k =-.18.已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）先将函数()y f x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移π6个单位后得到函数()y g x =的图象，若()2g x ≤，求实数x 的取值范围.【答案】（1）()1πsin 436f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）ππ5π3ππ,ππ,π124124k k k k ⎡⎤⎡⎤-++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U，k ∈Z【分析】（1）由图象可求得13A =，π2T =，即可得出4ω=，所以()()1sin 43f x x ϕ=+.根据“五点法”，可推得π6ϕ=，即可得出答案；（2）由已知可得，()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.然后得出2π6332sin 2x ⎛⎫-- ⎪⎭≤≤⎝，根据正弦函数的图象，即可得出答案.【小问1详解】由图象可得，13A =，πππ23124T =-=，所以π2T =，2π4π2ω==，所以，()()1sin 43f x x ϕ=+.又()f x 在π12x =处取得最大值，由“五点法”可知ππ42π,122k k ϕ⨯+=+∈Z ，所以π2π,6k k ϕ=+∈Z .又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以，()1πsin 436f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】将函数()y f x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到πsin 46y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；将πsin 46y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象；将πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象向右平移π6个单位后得到函数πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，所以()πsin 26g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.由()2g x ≤可知，2πsi 2n 6x ⎛⎫⎪⎝⎭≤- ，所以2π6332sin 2x ⎛⎫-- ⎪⎭≤≤⎝.根据正弦函数的图象可得，πππ2π22π,363k x k k -+≤-≤+∈Z 或2ππ4π2π22π,363k x k k +≤-≤+∈Z ，所以，ππππ,124k x k k -+≤≤+∈Z 或5π3πππ,124k x k k +≤≤+∈Z ，所以，实数x 的取值范围为ππ5π3ππ,ππ,π124124k k k k ⎡⎤⎡⎤-++⋃++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，k ∈Z .19.已知函数()[]2,2,4f x x ax a x =-+∈的最小值为()a ϕ.（1）求()a ϕ的解析式；（2）若()()123m m ϕϕ+>-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）24,4(),484316,8a a aa a a a a ϕ-+≤⎧⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎩；（2）(4,)+∞.【分析】（1）根据题意可知二次函数()f x 的对称轴为2a x =，分类讨论当22a ≤、242a<<、42a≥时函数()f x 的单调性，求出对应的最小值即可；（2）由（1），结合一次函数、二次函数的性质可知函数()a ϕ在R 上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可求解.【小问1详解】函数2()f x x ax a =-+，对称轴为2a x =，当22a≤即4a ≤时，函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以min ()(2)4f x f a ==-，即()4a a ϕ=-；当242a <<即48a <<时，函数()f x 在[2,2a上单调递减，在[,4]2a 上单调递增，所以2min ()()24a a f x f a ==-+，即2()4a a a ϕ=-+；当42a≥即8a ≥时，函数()f x 在[2,4]上单调递减，所以min()(4)316f x f a ==-+，即()316a a ϕ=-+，故24,4(),484316,8a a aa a a a a ϕ-+≤⎧⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎩.【小问2详解】由（1）知，当4a ≤时，()4a a ϕ=-，函数()a ϕ单调递减，当48a <<时，2()4a a a ϕ=-+，对称轴为2a =，函数()a ϕ在[4,8]上单调递减，当8a ≥时，()316a a ϕ=-+，函数()a ϕ单调递减，注意到()a ϕ是连续函数，所以函数()a ϕ在R 上单调递减.由(1)(23)m m ϕϕ+>-，得123m m +<-，解得4m >，故实数m 的取值范围为(4,)+∞.20.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b A a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若锐角△ABC 中2b =，求其周长的取值范围.【答案】（1）π3B =；（2）(2,6⎤⎦.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于π消去角C ，然后通过和差公式展开化简即可求解；（2）由正弦定理、三角恒等变换化简可得π4sin 6a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合角A 的范围和正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】π2sin 6b A a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得π2sin sin sin sin 6B A A C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即12sin cos sin sin()22B A A A A B ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得sin sin cos sin B A A B A =+，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以cos 1B B -=，即π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又()0,πB ∈，ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以ππ66B -=，即π3B =.【小问2详解】由（1）知π3B =，又2b =，由正弦定理，得sin sin sin a b c A B C ===所以,a A c C ==，所以)2sin sin sin sin π3a c A C A A ⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3πsin cos 4sin 226A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，在锐角ABC 中，2ππ0ππ32π6202C A A A ⎧<=-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩，则ππ2π363A <+<，所以3πsin 126A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，则4a c <+≤，故ABC ∆的周长的取值范围为2,6]+.21.如图，直线12l l ∥，点A 是1l ，2l 之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，AE m AF n ==，（m ，n 为常数），点B ，C 分别为1l ，2l 上的动点，已知π4BAC ∠=.设π04ACF αα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，ABC 的面积为()S α.（1）写出()S α的解析式；（2）求()S α的最小值.【答案】（1）()1π1tan 24tan S mn ααα⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦（2）1)mn+【分析】(1)利用三角函数表示各个边长的关系，再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出()S α即可.(2)由(1)有()1π1tan 24tan S mn ααα⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，将正切值用正弦除以余弦表示，再利用三2π1242⎝⎭再求最值即可.【小问1详解】由题意1EF l ⊥，12l l //，所以2EF l ⊥，在Rt ACF 中，tan n CF α=，π04α<<，则ππππ424EAB αα⎛⎫∠=---=+ ⎪⎝⎭，在Rt ABE 中，ππtan tan 44EB AE m αα⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ACF △的面积2111122tan S AF CF n α=⋅=⋅，∴ABE 的面积2211πtan 224S AE EB m α⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭，∴梯形EFCB 的面积()()11πtan 224tan n S EB CF EF m n m αα⎡⎤⎛⎫=+⋅=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴12()S S S S α=--()221π111πtan tan 24tan 2tan 24n m n m m αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++-⋅-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1π1tan 24tan mn αα⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【小问2详解】令πsin π1cos 4tan π4tan sin cos 4y αααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭ππsin sin cos sin 44πsin cos 4αααααα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 42222αα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥=⎝⎭πcos 42222=111cos 2sin 222αα=--2π1242=⎝⎭所以当ππ242α+=时，即π8α=时，y取得最小值2，此时()S α取得最小值1)mn +.22.已知函数()1lg1xf x x-=+.（1）证明：函数()f x 为奇函数；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）若函数2(),11()1,11f x x h x kx x x -<<⎧=⎨+≤-≥⎩或，其中0k ≤，讨论函数()()2y h h x =-的零点个数.【答案】（1）证明见解析；（2）函数()f x 在()1,1-上单调递减；（3）答案见解析.【分析】（1）根据对数函数的概念求出函数的定义域，结合奇偶函数的定义即可证明；（2）()2lg 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，利用复合函数的单调性质即可判断；（3）令()t h x =，则()2h x =，分类讨论0k <，0k =时，结合图形，t 分别对应的零点个数，进而得解.【小问1详解】10(1)(1)0111x x x x x->⇒-+>⇒-<<+，则函数()f x 的定义域为(1,1)-，关于原点对称，1111()lg lg()lg ()111x x x f x f x x x x-+---===-=--++，所以函数()f x 为奇函数；【小问2详解】()()1212lglg lg 1111x x f x x x x -++-⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭，又函数2y x =在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减，由函数图象的平移可知211y x =-++在(1,1)-上单调递减，而函数lg y x =在(0,)+∞上单调递增，利用复合函数的单调性质知，函数()f x 在()1,1-上单调递减；【小问3详解】由[]()2y h h x =-，得[]()2h h x =，令()t h x =，则()2h t =，当0k <时，由()2h t =，得99101t =-，如图，当2000101k -≤<时，991101k +≥-，由图可知，对应有3个零点；当200101k <-时，991101k +<-，由图可知，对应有1个零点；当0k =时，如图，由图可知，只有一个10t -<<，对应有1个零点；综上，当2000101k -≤<时，函数[]()2y h h x =-只有3个零点；当200101k <-时，函数[]()2y h h x =-只有1个零点；当0k =时，函数[]()2y h h x =-只有1个零点.。
三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2024届高三10月大联考数学含答案解析
三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2024届高三10月大联考数学一、单选题(共24 分)1.已知集合A={x|x2+5x+6>0}，则∁R A=（）A.[−1,6]B.[−6,1]C.[2,3]D.[−3,−2]【答案】D【解析】【分析】求出集合A，利用补集的定义可得出集合∁R A.【详解】因为A={x|x2+5x+6>0}=(−∞,−3)∪(−2,+∞)，则∁R A=[−3,−2].故选：D．2.已知复数z满足z3+4i =4−3iz，则|z|=（）A.3B.5C.9D.25【答案】B【解析】【分析】根据复数模的运算求得正确答案.【详解】由已知有|z||3+4i|=|4−3i||z|，即|z|5=5|z|，所以|z|=5．故选：B3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=|b⃗⃗|=√2，a⃗⋅b⃗⃗=0．若(a⃗+λb⃗⃗)⊥(μa⃗+b⃗⃗)，则下列各式一定成立的是（）A.λ+μ=0B.λ+μ=−1C.λμ=0D.λμ=−1【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的要求转换为(a⃗+λb⃗⃗)⋅(μa⃗+b⃗⃗)=0计算即可.【详解】(a⃗+λb⃗⃗)⋅(μa⃗+b⃗⃗)=μa⃗2+(λμ+1)(a⃗⋅b⃗⃗)+λb⃗⃗2=2(λ+μ)=0，所以λ+μ=0，故选：A.4.已知正实数x，y，z满足(x+2y)(2y+3z)=4，则x+4y+3z的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】x+4y+3z=(x+2y)+(2y+3z)≥2√(x+2y)(2y+3z)=4，当且仅当x+2y=2y+3z=2时等号成立.故选：B5.在平面α外有两条直线m和n，设m和n在平面α内的射影分别是直线m1和n1，则下列结论正确的是（）A.m1⊥n1是m⊥n的充分条件B.m1⊥n1是m⊥n的必要条件C.m1与n1相交是m与n相交或重合的充分条件D.m1与n1平行或重合是m与n平行的必要条件【答案】D【解析】【分析】根据线线垂直、相交、平行，以及充分、必要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】在如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若取平面α为平面ABCD，m1，n1分别为AC，BD，m，n分别为A1C，BD1，满足m1⊥n1，但是不满足m⊥n，故A错误；若取平面α为平面ADD1A1，m1，n1分别为A1D1，AD1，m，n分别为A1C1，BD1，满足m⊥n，但是不满足m1⊥n1，故B错误；若取平面α为平面ABCD，m1，n1分别为AC，BD，m，n分别为AC1，B1D1，满足m1与n1相交，但是m与n异面，故C错误；当m与n平行时，m1与n1平行或重合，故D正确．故选：D6.已知数列{a n}满足a1=−1，a n+1=(1)a n，则下列结论正确的是（）eA.数列{a n}为单调递增数列B.数列{a n}为单调递减数列C.a2022<a2023D.a2023<a2024【答案】D【解析】【分析】根据给定的递推公式求出a2,a3判断AB；构造函数f(x)=xe x,x>0，由函数性质可得存在x0∈(0,1)使得x0=1，再借助不等e x0式性质探讨a2n−1,a2n与x0的大小关系判断CD.数列{a n }中，a 1=−1，a n+1=(1e )a n ，则a 2=e >−1=a 1，a 3=(1e)e <1e<e =a 2，显然数列{a n }不单调，AB 错误； 当n >1时，a n >0，且a n+1=1e a n ，令函数f(x)=xe x ,x >0，求导得f ′(x)=(x +1)e x >0，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f (0)=0，f (1)=e ，且函数f(x)在(0,+∞)上的图象连续不断， 因此存在x 0∈(0,1)使得f (x 0)=x 0e x 0=1，即x 0=1e x 0，则当a n >x 0时，a n+1=1e a n<1e x 0=x 0，当a n <x 0时，a n+1=1e a n>1e x 0=x 0，由a 1=−1<x 0，a 2=e >x 0，得a 3<x 0，a 4>x 0，a 5<x 0，a 6>x 0，⋯，所以当n 为奇数时，a n <x 0；当n 为偶数时，a n >x 0，即有a 2022>x 0>a 2023，a 2024>x 0>a 2023，C 错误，D 正确. 故选：D7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (−2,0)，B (4,0)，M (1,m )，动点P 满足2|PA |=|PB |，设动点P 的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在两点E ，F ，使得EM ⊥MF ，则实数m 的取值范围是（ ） A.[−4√2,4√2] B.[−7,7]C.[−√7,√7]D.[−32,32]【答案】C 【解析】 【分析】先求P 点的轨迹方程，再运用直线与圆的位置关系和直角三角形斜边上的中线长为斜边长的一半的性质来求解参数范围． 【详解】设P (x,y )，由2|PA |=|PB |，得2√(x +2)2+y 2=√(x −4)2+y 2， 化简得(x +4)2+y 2=16，如图，设圆心为Q ，因为△EMF 为直角三角形，∠EMF =90°，若ME ，MF 为切线，则∠QME =45°， 在Rt △QME 中，∠QME =45°，∠QEM =90°，|QE |=4，所以|QM |=4√2， 要使圆Q 上存在点E ，F ，使得EM ⊥MF ， 则过M 到向圆引的两条切线的夹角不小于90°， 即圆心Q (−4,0)到点M (1,m )的距离不大于4√2， 即|QM |=√52+m 2≤4√2，解得m ∈[−√7,√7]． 故选：C ．8.已知函数f (x )=e 2x −2ae x −4a 2x (a >0)，若函数f (x )的值域与f(f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是（ ） A.(0,12)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[12,+∞)【答案】D 【解析】 【分析】先求出f ′(x )，根据已知结合导函数得出f (x )的单调性，求出函数的最小值.根据已知列出关系式−4a 2ln2a ≤ln2a ，求解即可得出答案. 【详解】有f ′(x )=2e 2x −2ae x −4a 2=2(e x +a )(e x −2a )． 因为a >0时，所以e x +a >0恒成立.由f ′(x )<0，可得e x −2a <0，解得x <ln2a ， 所以f (x )在(−∞,ln2a )上单调递减；由f ′(x )>0，可得e x −2a >0，解得x >ln2a ， 所以f (x )在(ln2a,+∞)上单调递增.所以f (x )min =f (ln2a )=e 2ln2a −2ae ln2a −4a 2ln2a =(2a )2−4a 2−4a 2ln2a =−4a 2ln2a ， 故f (x )的值域为[−4a 2ln2a,+∞).令t =f (x )，则t ∈[−4a 2ln2a,+∞)，要使得f(f (x ))的值域也为[−4a 2ln2a,+∞)， 则−4a 2ln2a ≤ln2a ，即(1+4a 2)ln2a ≥0， 所以ln2a ≥0，解得a ≥12．故选：D ．二、多选题(共 12 分)9.在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SC 垂直于底面，且SC =AB ，则（ ） A.直线BD 与SC 所成角为π2B.直线BD 与SD 所成角为π4C.直线BD 与平面SCD 所成角为π6D.平面SBD 与平面ABCD 夹角的正切值为√2【答案】AD 【解析】 【分析】连接AC 与BD 交于点O ，证明BD ⊥平面SAC ，可判断A ；判断△SBD 为正三角形，可判断B ；先证BC ⊥平面SCD ，可得直线BD 与平面SCD 所成角即∠BDC ，可判断C ；先证平面SBD 与平面ABCD 的夹角为∠SOC ，可求得tan∠SOC ，可判断D. 【详解】如图，连接AC 与BD 交于点O ，因为SC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以SC ⊥BD ，因为BD ⊥AC ，又AC ∩SC =C ，AC,SC ⊂平面SAC ， 所以BD ⊥平面SAC ，而SC ⊂平面SAC ，所以BD ⊥SC ， 即直线BD 与SC 所成的角为π2，A 正确；设AB =1，则SC =1，SD =SB =BD =√2，所以△SBD 为正三角形，所以直线BD 与SD 所成的角为π3，B 错误；因为SC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SC ⊥BC ，又BC ⊥CD ，又CD 与SC 是平面SCD 内两条相交直线， 所以BC ⊥平面SCD ，易知直线BD 与平面SCD 所成角即∠BDC ， 所以直线BD 与平面SCD 所成的角为π4，C 错误；设AB =SC =1，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，O 是AC 的中点， ∴可得AO =√22．因为△SBD 为等边三角形且O 为线段BD 中点，所以SO ⊥BD ．因为AO ⊥BD ，且平面SBD ∩平面ABCD =BD ．所以平面SBD 与平面ABCD 的夹角为∠SOC ．而tan∠SOC =√2，所以D 正确． 故选：AD ．10.已知点A (cosα,sinα)，B (cosβ,sinβ)，M (cosγ,sinγ)且0<α<γ<β<π，设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，O 为坐标原点，则下列结论A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.sinγ=sinα+β2C.当λ=1时，β=α+π3D.当β=α+π2时，λ=√22【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A 选项；利用平面向量数量积的坐标运算以及两角差的余弦公式、余弦函数的单调性可判断B 选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断CD 选项. 【详解】对于A ，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=λ(1+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+1)=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故A 正确；对于B ，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗有cosγcosα+sinγsinα=cosγcosβ+sinγsinβ，则cos (γ−α)=cos (β−γ)， 而0<α<γ<β<π，所以，0<γ−α<π，0<β−γ<π， 又因为函数y =cosx 在(0,π)上单调递减，所以，γ−α=β−γ，即γ=α+β2，因此sinγ=sinα+β2，故B 正确；对于CD ，因为|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2α+sin 2α=1，同理可得|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1， 由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λ2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，即1=λ2(2+2OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，所以，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12λ2−1， 而OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosαcosβ+sinαsinβ=cos (β−α)，因此cos (β−α)=12λ2−1，当λ=1时，cos (β−α)=−12，而0<β−α<π，则β−α=2π3，即β=α+2π3，故C 错误；当β=α+π2，即β−α=π2时，cos (β−α)=cos π2=12λ2−1=0，λ2=12，因为0<α<γ<β<π，则sinα>0，sinβ>0，sinγ>0，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)可得(cosγ,sinγ)=λ(cosα+cosβ,sinα+sinβ)， 所以，sinγ=λ(sinα+sinβ)，则λ=sinγsinα+sinβ>0，故λ=√22，故D 正确．故选：ABD ．11.已知F 1，F 2为双曲线C 的两个焦点，P 为双曲线C 上一点，且∠F 1PF 2=60°，|PF 1|=m |PF 2| (2≤m ≤3)，则双曲线C 的离心率可以为（ ） A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】AB 【解析】 【分析】根据双曲的定义并结合余弦定理求出a,c 的关系，从而求出离心率e 的范围求解. 【详解】因为|PF 1|=m |PF 2|，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=(m −1)|PF 2|=2a ， 所以|PF 2|=2a m−1，|PF 1|=2mam−1，又因为∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得(2a m−1)2+(2ma m−1)2−22a m−1⋅2ma m−1cos60°=4c 2化简可得c 2a 2=1+m(m−1)2=1+1m+1m−2=e 2，设：f(m)=m+1m −2，m∈[2,3]，求导得f′(m)=1−1m2=m2−1m2，当2≤m≤3时，f′(m)>0，所以函数f(m)在区间[2,3]上单调递增，所以1f(m)=1m+1m−2在区间[2,3]上单调递减，所以e2=c2a2=1+m(m−1)2=1+1m+1m−2在区间[2,3]上单调递减，当m=2时，e2有最大值3，又因为e>1，所以离心率e∈(1,√3]，故A项和B项满足题意；故选：AB.12.已知函数f(x)=e x+xlnx−x2的导函数为g(x)，则（）A.g(x)无最小值B.f(x)无最小值C.f(2021)+f(2023)>2f(2022)D.f(2021)+f(2023)<2f(2022)【答案】AC【解析】【分析】求出导函数g(x)=e x+lnx−2x+1，求出g′(x)=e x+1x−2>0，即可得出g(x)的单调性，进而判断A项；根据零点存在定理，结合g(x)的单调性，得出f(x)的单调性，即可判断B项；根据g(x)的单调性，即可得出f(x)为凹函数，进而判断C、D. 【详解】对于A项，由于函数f(x)=e x+xlnx−x2的导函数为g(x)，则g(x)=e x+lnx−2x+1.设ℎ(x)=e x−x，则ℎ′(x)=e x−1，当x=0时，有ℎ′(0)=e0−1=0，当x<0时，有ℎ′(x)=e x−1<0，所以ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减；当x>0时，有ℎ′(x)=e x−1>0，所以ℎ(x)在(−∞,0)上单调递增.所以，ℎ(x)在x=0处取得唯一极小值，也是最小值ℎ(0)=1>0，所以，ℎ(x)>0，即e x−x>0，所以e x>x.又x>0时，g′(x)=e x+1x −2>x+1x−2≥0，故g(x)=e x+lnx−2x+1在定义域(0,+∞)上为增函数，因此g(x)无最小值，故A正确；对于B项，因为e 12<2，所以e−4<1e<12=lne12<ln2，所以g(e−4)=e e−4+lne−4−2×e−4+1<e ln2−4−2e−4+1=−1−2e−4<0.又因为g(1)=e+ln1−2+1=e−1>0，根据零点存在定理可知，存在x0∈(e−4,1)，使得g(x0)=0.又由A知g(x)=e x+lnx−2x+1在定义域(0,+∞)上为增函数，所以，当0<x<x0时，有g(x)<0，所以f(x)在(0,x0)单调递减；当x>x0时，有g(x)>0，所以f(x)在(x0,+∞)单调递增.故f(x)在x=x0处取得最小值，故B错误；又g(x)=e x+lnx−2x+1在定义域(0,+∞)上为单调递增函数，可知f(x)=e x+xlnx−x2在(0,+∞)上为凹函数，可得f(2021)+f(2023)2>f(2021+20232)，即f(2021)+f(2023)>2f(2022)，故C正确，D错误．故选：AC．【点睛】三、填空题(共9 分)13.(1x2−2x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则(1x2−2x)n的展开式中系数最大的项的系数为________．【答案】1792【解析】【分析】先求得n，然后根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由C n2=C n6得n=8，所以(1x2−2x)n的展开式的通项为C8r⋅(1x2)8−r⋅(−2x)r，当展开式的项的系数最大时，r为偶数，比较C80⋅(−2)0=1,C82⋅(−2)2=112,C84⋅(−2)4=1120，C86⋅(−2)6=1792,C88⋅(−2)8=256，得当r=6时，展开式中项的系数最大，该项系数为1792．故答案为：179214.小明准备用9万元投资A,B两种股票，已知这两种股票的收益独立，且这两种股票的买入价都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示．若投资A种股票a万元，则小明两种股票的收益期望和为________万元．股票A每股收益的分布列股票B每股收益的分布列【答案】10.8【解析】【分析】结合离散型随机变量公式先求出E(X),E(Y)，由题知两种股票的收益期望和为E(aX)+E((90000−a)Y)，化简即可求解.【详解】E(X)=−1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2；E(Y)=−3×0.4+4×0.6=1.2．若投资A股票a元，则投资B股票90000−a元，E(aX)+E((90000−a)Y)=aE(X)+(90000−a)E(Y)=90000×1.2=108000，即小明两种股票的收益期望和为10.8万元．15.已知ω>0，函数f(x)=sinωx与g(x)=cosx的图象在[0,π]上恰有两个交点，则ω的值为________．【答案】32##1.5【解析】作出f(x)，g(x)图象，由两图象在[0,π]上恰有两个交点分析知，第二个交点只能落在(π,−1)上，分析f(x)图象，进而得解.【详解】作出f(x)，g(x)图象，观察图象可知，第二个交点只能落在(π,−1)，f(x)最低点对应横坐标靠前，两图象至少有三交点，靠后两图象只有1交点，因此由f(x)图象可知，34T=34⋅2πω=π，解得ω=32.故答案为：32四、双空题(共3 分)表示位于第i行、第j列的数．表格中a3,4的值为________，2023在该数阵中共出现________次．【答案】(1). 37(2). 6【解析】【分析】根据每行每列都是等差数列，可得第一行、第二行、第三行…的公差依次是3，5，7，…，可以得到第i行的公差为2i+1，可求出a i,j的表达式，求出a3,4；令a i,j=2023，得2023=2ij+i+j+6，即j=−12+40352(2i+1)，i和j都是正整数，4035必是2i+1的倍数，由此讨论即可得解.【详解】第一列第i个数a i,1=10+3(i−1)=3i+7，又因为第一行、第二行、第三行…的公差依次是3，5，7，…，可以得到第i行的公差为2i+1，于是有a i,j=3i+7+(2i+1)(j−1)=2ij+i+j+6．因此a3,4=2×3×4+3+4+6=37．当2023出现在数阵中时，2023=2ij+i+j+6，即j=−1+4035()．因为i和j都是正整数，故4035必是2i+1的倍数，又因为舍去使i 或j 为0的解，共得到6组满足条件的i 和j ，因此2023在数阵中共出现6次． 故答案为：①37 ②6.五、应用题(共 6 分)影响一个城市消费水平的原因有很多，其中一个重要的指标就是该城市的月平均工资.2022年“双十一”已经过去，某机构借助国内几个主要的网购交易平台，统计了部分城市“双十一”当天的人均交易额（单位：百元）如下表：通过查阅人社局的报告，我们得到了上述七个城市的2022年的月平均工资（单位：百元）如下表：17. 从散点图可以发现，月平均工资与双十一交易额之间大致成正相关关系，即月平均工资越高，双十一当天的人均交易额越高，请求出人均交易额y （百元）与月平均工资x （百元）的经验回归方程（保留小数点后两位有效数字）； 18. 若长沙市2023年的月平均工资为62百元，请预测长沙市在今年双十一中的人均交易额． 附：参考公式：b̂=∑x i n i=1y i −n⋅x̅⋅y̅∑x i 2ni=1−n⋅x̅2，a ̂=y ̅−b̂⋅x̅． 参考数据：∑x i 27i=1=43136，∑x i 7i=1y i =2605.4，y ̅=4.7，x̅=78． 【答案】17. y ̂=0.07x −0.76 18. 3.58百元 【解析】 【分析】（1）由b ̂=∑x i ni=1y i −n⋅x̅⋅y̅∑x i 2n i=1−n⋅x̅2先求出b ̂，再由a ̂=y ̅−b ̂⋅x̅求出a ̂，即可求出回归方程； （2）将x =62代入回归方程，可求对应y 值. 【17题详解】b ̂=∑x i ni=1y i −n⋅x̅⋅y ̅∑x i 2n i=1−n⋅x̅2=2605.4−7×78×4.743136−7×78×78≈0.07， a ̂=4.7−0.07×78=−0.76，所以人均交易额y （百元）与月平均工资x （百元）的经验回归方程为y =0.07x −0.76； 【18题详解】所以预测长沙市在今年双十一中的人均交易额为3.58百元．六、其它(共 6 分)如图所示，四边形ABCD 是圆台EF 的轴截面，M 是上底面圆周上异于C ，D 的一点，圆台的高EF =√3，AB =2CD =4．19. 证明：△AMB 是直角三角形；20. 是否存在点M 使得平面ADM 与平面DME 的夹角的余弦值为√55？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】19. 证明见解析 20. 答案见解析 【解析】 【分析】（1）易证EF ⊥ME ，对△EMF 由勾股定理求出FM ，由AF =BF =MF 可得证；（2）取AB ⌢的中点N ，连接FN ，以F 为原点，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别为x ，y ，z 轴，设M(sinθ,cosθ,√3)，求出平面ADM 的法向量和平面EDM 的法向量，结合向量夹角公式求出cosθ,sinθ，进而得解. 【19题详解】由题设，EF ⊥上底面圆E ， ∴ME ⊂上底面圆E ，∴EF ⊥ME ， ∵EF =√3，ME =1，∴MF =2， 又AB =4，∴AF =BF =MF ， ∴△AMB 是直角三角形；【20题详解】假设存在点M 使得平面ADM 与平面DME 夹角的余弦值为√55， 如图，取AB⌢的中点N ，连接FN ，以F 为原点， FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知A (0,−2,0)，D(0,−1,√3)，E(0,0,√3)，设M(sinθ,cosθ,√3)，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,√3)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(sinθ,cosθ+1,0)， 设m ⃗⃗⃗=(x,y,z )是平面ADM 的法向量， m⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0y +√3z =0令y =−√3sinθ，则m ⃗⃗⃗=(√3(cosθ+1),−√3sinθ,sinθ)， 易知平面EDM 的一个法向量为n ⃗⃗=(0,0,1)， 由题意得cos ⟨m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗⟩=|m ⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|√3(cosθ+1)2+3sin 2θ+sin 2θ√55， 解得cosθ=−12，此时sinθ=±√32． 故存在点M (±√32,−12,√3)，使得平面ADM 与平面DME 夹角的余弦值为√55．七、解答题(共 12 分)如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b 2+c 2=a 2−bc ．21. 求角A 的大小；22. 若M 是线段BC 上的点，AM =1，MC =3MB ，求b +3c 的最大值． 【答案】21. A =23π；22. 8. 【解析】 【分析】（1）利用已知，结合余弦定理求解即得.（2）延长AM 至D 使得MD =3AM ，利用比例式与平行线间关系，结合余弦定理、基本不等式求解即得. 【21题详解】在△ABC 中，由b 2+c 2=a 2−bc 及余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，而A ∈(0,π)，所以A =23π.【22题详解】延长AM 至D 使得MD =3AM ，连接CD ，显然MD AM=3=MC MB，则AB//CD ，于是CD AB =MC MB =3，即CD =3c ，AD =4，∠ACD =π3，在△ACD 中，由余弦定理得AD 2=AC 2+CD 2−2AC ⋅CD ⋅cos∠ACD ， 即16=b 2+9c 2−3bc ，因此(b +3c )2−16=9bc ≤3×(b+3c 2)2， 解之得b +3c ≤8，当且仅当b =3c =4时取等号， 所以当b =4，c =43时，b +3c 取得最大值8．设数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n 2，n ∈N ∗．23. 求{a n }的通项公式； 24. 若数列{b n }满足b n =a na n+1−1，其前n 项和为S n ，数列{c n }满足c n =a na n +1，其前n 项积为T n ，求证：S n +2T n =2．【答案】23. a n =22n−1，n ∈N ∗24. 证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过两边取对数构造等比数列，先求等比数列通项，再求{a n }； （2）用裂项法求S n ，再求出T n ，最后求和证明结论. 【23题详解】由题意可知a n >0，n ∈N ∗，则由a n+1=a n 2，两边取对数可知lna n+1=2lna n ，故{lna n }是首项为lna 1=ln2，公比为2的等比数列， 所以lna n =2n−1ln2=ln22n−1，即a n =22n−1，n ∈N ∗；【24题详解】由（1）可知a n =22n−1，故b n =a n a n+1−1=22n−122n−1，c n =a n a n +1=22n−122n−1+1，故T n =c 1c 2⋯c n =22+1×2222+1×222222+1×⋯×22n−122n−1+1=21+2+22+⋯+2n−1(2+1)(22+1)⋯(22n−1+1)=22n −1(2−1)(2+1)(22+1)⋯(22n−1+1)=22n −1(22−1)(22+1)⋯(22n−1+1)=22n −122n−1，而b n =22n−122n−1=(22n−1+1)−1(22n−1−1)(22n−1+1)=122n−1−1−122n−1，故S n =b 1+b 2+⋯+b n =(121−1−122−1)+(122−1−1222−1)+⋯+(122n−1−1−122n−1)=1−122n −1，所以S n +2T n =1−122n−1+2×22n −122n−1=1−122n−1+22n22n−1=1+22n −122n−1=2，得证！八、问答题(共 6 分)已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为12，定点P (−4,0)．25. 求椭圆C 的方程；26. 设直线AB 与椭圆C 分别交于点A,B （P 不在直线AB 上），若直线PA ，PB 与椭圆C 分别交于点M ，N ，且直线AB 过定点Q (−52,32)，问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【答案】25.x 24+y 23=126. 直线MN 的斜率为定值1 【解析】 【分析】（1）由长轴长和离心率可求出a,c ，结合关系式可求出b ，进而求出椭圆C 的方程； （2）可设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 3,y 3)，N (x 4,y 4)，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗得{−4=x 1+λx 31+λ0=y 1+λy 31+λ，将A ，M 代入椭圆整理得x 1−λx 31−λ=−1，联立x 1+λx 31+λ=−4求得x 1,x 3，同理求得x 2,x 4，结合k AQ =k BQ ，化简求出y 4−y 3，x 4−x 3由k MN =y 4−y 3x 4−x 3即可求解.【25题详解】由椭圆C 的长轴长为4可知a =2， 又椭圆C 的离心率为12，所以ca=12，所以c =1，b =√3，因此椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；【26题详解】直线MN 的斜率为定值，定值为1，证明：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 3,y 3)，N (x 4,y 4)，， AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，有{−4=x 1+λx31+λ0=y 1+λy 31+λ ， 因为A ，M 在椭圆上， 所以x 124+y 123=1，x 324+y 323=1，因此1−λ2=(x 124+y 123)−λ2(x 324+y 323)，整理得1−λ2=x 12−λ2x 324+y 12−λ2y 323=x 12−λ2x 324， 即4=x 12−λ2x 321−λ2=x 1+λx 31+λ⋅x 1−λx 31−λ，因此x 1−λx 31−λ=−1，联立x1+λx31+λ=−4，解之有{x1=−52−32λx3=−52−32λ，同理{x2=−52−32μx4=−52−32μ，又因为直线AB过定点Q(−52,32)，所以y2−32x2+52=y1−32x1+52，将y1+λy3=0，y2+μy4=0，x1=−52−32λ，x2=−52−32μ代入，有−μy4−32−32μ=−λy3−32−32λ，整理得y4−y3=32λ−32μ，又x4−x3=(−52−32μ)−(−52−32λ)=32λ−32μ，所以k MN=y4−y3x4−x3=1．综上，直线MN的斜率为定值1．九、解答题(共6 分)已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R)．27. 讨论函数y=f(x)−a的零点个数；28. 若a>−1且函数y=f(x)−a有两个零点x1，x2，证明：|x1−x2|<(2a +1)2．【答案】27. 答案见解析28. 证明见解析【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，分a≥0和a<0两种情况，分别利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理，即可判断函数的零点个数；（2）结合（1）知a的范围，利用导数求得f(x)在点(−2a ,f(−2a))处的切线方程y=a2x+ln(−2a)−1，从而求出a=a2x+ln(−2a )−1的解x3=2+2a−2aln(−2a)，进而推出x2<x3，即可将原不等式转化为x3−1<(2a+1)2，利用构造函数，结合函数的单调性，即可证明原不等式.【27题详解】由题意知f(1)=a，故f(1)−a=0，因此函数y=f(x)−a必有一个零点x=1，由f(x)=lnx+ax(a∈R)有f′(x)=1x +a=1+axx(x>0)，当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，设ℎ(x)=f(x)−a，函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，则ℎ(e−2)=−2+a(e−2−1)<0，ℎ(2)=ln2+a>0，结合f(1)−a=0，此时函数y=f(x)−a在(0,+∞)上恰有一个零点1；当a<0时，令f′(x)>0有0<x<−1a ，令f′(x)<0有x>−1a，因此函数f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减，此时函数ℎ(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减，当a=−1时，f(x)max=f(1)=1，函数y=f(x)−a=lnx−x+1恰有一个零点1；当a<0且a≠−1时，f(−1a )>f(1)=a，则ℎ(−1a)=f(−1a)−a>0，又x>0且x取值无限小时，lnx取负的无限小值，ax无限趋近0，ℎ(x)可取负的无限小值，由一次函数y=−ax(a<0)的增长速度远远大于对数函数y=lnx的增长速度可知，当x→+∞时，ℎ(x)=f(x)−a=lnx+ax−a可取负的无限小值，因此，当a<0时，函数y=f(x)−a恰有两个零点．综上：当a<0且a≠−1时，函数y=f(x)−a恰有两个零点，当a≥0或a=−1时，函数y=f(x)−a恰有一个零点；【28题详解】由（1）可知，−1<a<0且函数y=f(x)−a必有一个零点1，不妨令x1=1，函数f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减，f′(−2a )=a2，因此f(x)在点(−2a,f(−2a))处的切线方程为y=a2x+ln(−2a)−1，令a=a2x+ln(−2a)−1，解之有x3=2+2a−2aln(−2a)，当−1<a<0时，1<−1a <−2a，知x2<x3，所以要证明|x1−x2|<(2a +1)2，只需证明x3−1<(2a+1)2，即证明1+2a −2aln(−2a)<(2a+1)2；令t=−2a (t>2)，则1+2a−2aln(−2a)<(2a+1)2等价于1−t+tlnt<(t−1)2，令g(t)=1−t+tlnt−(t−1)2=tlnt+t−t2=t(lnt+1−t)，令G(t)=lnt+1−t，G′(t)=1t −1=1−tt<0，因此函数G(t)在(1,+∞)上单调递减，因为G(t)=lnt+1−t<G(1)=0，故g(t)<0，所以当−1<a<0时，|x1−x2|<(2a +1)2；【点睛】难点点睛：本题考查应用导数研究函数的单调性和证明不等式，考查学生的逻辑推理以及数学运算能力．难点在于第二问不等式的证明，解答时要利用导数的几何意义求得f(x)在点(−2a ,f(−2a))处的切线方程，从而求出a=a2x+ln(−2a)−1的解x3=2+2 a −2aln(−2a)，推出x2<x3，即可将原不等式转化为x3−1<(2a+1)2，利用构造函数，结合函数的单调性，解决问题.。
2023届湖湘教育三新探索协作体数学高一上期末学业质量监测试题含解析
所以 ， ，
故
因为 ，
且 在 递增，
所以 ，即
所以 ，即
【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，解题的关键是利用对数函数的单调性求出 范围，进而可比较大小.
22、（1） 或 ；（2）
【解析】（1）由 得到 ，然后利用集合的补集和交集运算求解.
（2）化简集合 ,根据 ,分 和 两种情况求解.
【解析】（1）当 时，解对数不等式即可
（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论 的取值范围进行求解即可
（3）根据条件得到 恒成立，利用二次函数的性质求最值即求.
【小问1详解】
由 ，得 ，即
∴ 且 ，
解得
【小问2详解】
由题得 ，即 ，
①当 时， ，经检验，满足题意
②当 时，
（ⅰ）当 时， ，经检验，不满足题意
C.③④D.④
12．命题： 的否定为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点为 ， ， ， ， ，则 __________
14．定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 、 是钝角三角形的两个锐角，对（1） ， 为奇数；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .则以上结论中正确的有______________.(填入所有正确结论的序号).
16、
【解析】将该几何体放入长方体中，即可求得外接球的半径，再由球的表面积公式即可得解.
【详解】将该几何体放入长方体中，如图，
易知该长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，
所以该几何体的外接球半径 ，
所以该球的表面积 .
湖南省衡阳市湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高一上学期11月期中联考 数学参考答案
2023年11月湖湘教育三新探索协作体高一期中联考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 【解析】由{}2,3,4A =，{}|3B x x =≥，可得{}4,3=B A ．故选：A ．2．B 【解析】找1x >−的一个充分不必要条件，即找集合{}1|−>x x 的一个真子集，易知，集合{}10|<<x x 是它的一个真子集．故选：B ．3．C 【解析】选项A ：()f x 的定义域为x ∈R ，()g x 的定义域为[)0,x ∈+∞，故不是同一函数；选项B ：()f x 的定义域为x ∈R ，()g x 的定义域为()()00x ∈−∞+∞，，，故不是同一函数；选项C ：()f x ，()g x 的定义域均为x ∈R ，可化()g x x =，故是同一函数；选项D ：()f x ，()g x 的定义域均为x ∈R ，()g x x =，解析式不同不是同一函数．故选：C ．4．D 【解析】选项A ：应为a c b d −>−，故错误；选项B ：若0c =，则22ac bc =，故错误；选项C ：取2a =−，1b =−，则112−>−，故错误；选项D ：据不等式性质可知正确．故选：D. 5．D 【解析】2100x x ⎧−≥⎪⇒⎨≠⎪⎩10x −≤<或01x <≤，即[)(]1,00,1x ∈−．故选:D.6．D 【解析】33()1111f x x x x x =+=−++−−，令1t x =−，则3t ≥，设3()1f t t t=++，易知()f t 在[)3,+∞单调递增，min ()(3)5f t f ∴==．故选：D.7．B 【解析】由不等式20ax x c ++<的解集为∅，且不等式21)()02x a c x a c +++−≥的解集为R ，可得2014012()4()02a ac a c a c ⎧⎪>⎪⎪∆=−≤⎨⎪⎡⎤⎪∆=+−+−≤⎢⎥⎪⎣⎦⎩141ac a c ⎧≥⎪⇒⎨⎪+=⎩，又在2()0cx a c x a +++≥中，20()4c a c ac >⎧⎪⎨∆=+−⎪⎩即0140c ac >⎧⎨∆=−≤⎩，∴不等式2()0cx a c x a +++≥的解集为R ．故选：B. 8．B 【解析】1()1f x x x =−+11(1)111f x x x x x ∴−+=−−+=−，易知1(1)1f x x x−+=−为奇函数，()f x ∴的对称中心为(1,1)−−．故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD 【解析】选项A 显然正确；选项B 中方程210x x −+=的140∆=−<，故方程无解，即B 错误；选项C无法判断真假，故不是命题；选项D 举反例可知正确．故选：ACD ．10．AC 【解析】选项A 和选项C 利用指数函数单调性，选项B 利用幂函数单调性，选项D 找中间值1即可．故选：AC.11．ABD 【解析】由图知选项A 正确；又12ABC APC PCB S S S b a ∆∆∆=+=+则选项B 正确；又由1122ABC S b a ab ∆=+=可得211a b +=，21222(2)59a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪⎝⎭等号当且仅当22a b b a =且211a b +=时，即3a b ==时成立，故C 错误；211a b +=≥，8ab ∴≥，即142ABC S ab ∆=≥，等号当且仅当21a b=且211a b +=时，即4a =，2b =时成立，故D 正确．故选：ABD ． 12．ACD 【解析】令0x =，12y =，则有11()(0)()122f f f =++，可得(0)1f =−，选项A 正确；令y x =−，则(0)()()1f f x f x =+−+，可得()()2f x f x +−=−，选项B 错误；当12x >时，210x −>，令21t x =−，则(0,)t ∈+∞ 则122t x =+，据题意可得11()()()12222t tf f f +=++，11222t x =+>，且12x >时()0f x >，1()022t f ∴+>，即1()()1022t f f ++>，可得()12t f >−，0t >，02t∴>，∴当0x >时，()1f x >−，选项C 正确；任取12x x <则[]212111()()()f x f x f x x x f x −=−+−（）211121()()1()()1f x x f x f x f x x =−++−=−+，又210x x −>，21()1f x x ∴−>−21()10f x x ∴−+>，即21()()0f x f x −>，即()f x 在R 上单调递增，选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．3【解析】1(1)(0)(1)33f f f −====. 14．104【解析】参加竞赛总人数为65+51-12=104. 15．{}4321,0,1,2−−−−，，，【解析】当(]3.5,2x ∈−时，[]()f x x =的解析式为：4 3.53332221()11000111222x x x f x x x x x −−<<−⎧⎪−−≤<−⎪⎪−−≤<−⎪=−−≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩，即值域为{}4321,0,1,2−−−−，，，. 16．5−；13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【解析】()3322()()211x xf x f x x x e e −+−=−+−−=−++且(0)1f =−(2)(1)(0)(1)(2)5f f f f f ∴−+−+++=−；又不等式()(21)2f x f x +−>−可化为：()(21)()()f x f x f x f x +−>+−，即(21)()f x f x −>−， 且由基本初等函数知()f x 在R 上单调递增，(21)()f x f x ∴−>−，即21x x −>−，13x ∴>.四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（10分）【答案】见解析. 【解析】（1）解：原式75156666623a b a b a ⎛⎫⎛⎫=−÷−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ……………………………………………………5分（2）解：原式()1113226333231102⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+= ⎪⎝⎭. ………………………………………………………… 10分18．（12分）【答案】见解析. 【解析】（1）x A ∈是x B ∈的必要不充分条件 ∴B 是A 的真子集 ……………………………………2分21121211a a a a −≤+⎧⎪∴−>−⎨⎪+≤⎩，解得102a −<≤ ………………………………………………………………………………5分∴ 实数a 的取值范围为1,02⎛⎤− ⎥⎝⎦………………………………………………………………………………6分（2）由AB =∅，可得21112a a a −≤+⎧⎨+≤−⎩ 或211211a a a −≤+⎧⎨−>⎩，解得3a ≤− 或12a <≤………………………10分∴ 实数a 的取值范围为(](]31,2−∞−， ………………………………………………………………………12分19．（12分）【答案】见解析. 【解析】（1）甲的平均价格为6452m mm+=元，…………………………………………………………………3分 乙的平均价格为224564nn n=+元……………………………………………………………………………………6分（2）1212p p Q +=，122122p p Q p p =+.……………………………………………………………………………10分又12p p ≠ ，2121212()02()p p Q Q p p −∴−=>+.即乙的方案划算. …………………………………………………12分 20．（12分）【答案】见解析. 【解析】（1）244()4401221x x x f x x x x ⎧−+<⎪⎪=−+≤<⎨⎪−≥⎪⎩（端点等号取法不唯一）………………………………………3分 图象：…………………………………………………………………………6分（2）01当0x <时，442x −+≥解得12x ≤，0x ∴<； 02当01x ≤<时，2442x −+≥解得22x ≤≤，02x ∴≤≤； 03当1x >时，222x −≥解得2x ≥，2x ∴≥. …………………………………………………………………10分综上，()2f x ≥的解集为[)2,2,2x ⎛⎤∈−∞+∞ ⎥ ⎝⎦.………………………………………………………………12分21．（12分）【答案】见解析. 【解析】（1）2()32f x ax x =−+的对称轴为32x a=，12a ≥，3032a ∴<≤. ………………………………1分 01当3012a <≤即32a ≥时，()f x 在[]1,3单调递增，()min (1)1f x f a ∴==−； ………………………………3分 02当3132a <≤，即1322a ≤<时，min 39()()224f x f a a ==−； 综上：当1322a ≤<时，min 9()24f x a =−；当32a ≥时，min ()1f x a =−. ………………………………………5分（2）解：()2f x a x a ≥−+−（），即232(2)ax x a x a −+≥−+−，化简得：212a x x x ++≥−（），又210x x ++>恒成立，221x a x x −∴≥++，故(]2,4x ∈，()(2)f x a x a ≥−+−恒成立，即为max 22()1x a x x −≥++. ……………………………………………………………………………………………7分令2x t −=，(]0,2t ∈，则()2222171(2)21575x t tx x t t t t t t−===++++++++++，……………………………9分 (]0,2t ∈，由对勾函数单调性知7y t t=+在(]0,2单调递减， min7112t t ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，max127215t t ⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭，即221a ≥. …………………………………………………………11分∴实数a 的取值范围为2,21⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ………………………………………………………………………12分 22．（12分）【答案】见解析. 【解析】（1）()2x f x x =⋅不是(]0+∞，上的“弱增函数”；()31f x x =+是(]0+∞，上的“弱增函数”………2分（2）若2()3f x x a =+在(]0,a 上是“弱增函数”，则()y f x =在(]0,a 上单调递增，()f x y x=在(]0,a 上单调递减. °1()f x 的对称轴为0x =，∴()f x 在(]0,a 上单调递增； °2令()3()f x ah x x x x==+，0a >，()h x ∴为对勾函数，当3ax x=时，x ()h x在(单调递减，∴当a ≤3a ≤时，()h x 在(]0,a 上单调递减；…………………… 4分2()3f x x a ∴=+在(]0,a 上为“弱增函数”时，a 的取值范围是(]0,3.……………………………………… 5分（3）22011()(1)122(2)332k x x f x x k x kx k x k x −+<≤⎧⎪⎪=+−+<≤⎨⎪−+−>⎪⎩（），2)01()111223322k x f x k x k x x x k k x x ⎧⎪−+<≤⎪⎪∴=++−<≤⎨⎪−⎪−+>⎪⎩（. ……………………6分01当01x <≤时，据观察知()f x x在(]0,1为常数函数，故()f x 不是“弱增函数”；………………………… 7分 02当12x <≤时，若()y f x =在区间D 上为“弱增函数”，则21()(1)2f x x k x k =+−+单调递增， ()112f x k x k x x =++−单调递减. 令()1()12f x kg x x k x x ==++−. 当0k ≤时，由基本初等函数知1()12kg x x k x =++−在0+∞（，）单调递增，故不可能为“弱增函数”;当0k >时，1()12kg x x k x =++−为对勾函数，在0（单调递减，在)+∞单调递增.21()(1)2f x x k x k =+−+的对称轴为24k x −=；()y f x ∴=为“弱增函数”可得2141k −⎧≤⎪>或212424k k −⎧<<⎪⎪−>，解得16k <≤或610k <<.110k ∴<<时，()y f x =为“弱增函数”；…………………………………………………………………… 10分 03当2x >时，若()y f x =为“弱增函数”，则20330k k −>⎧⎨−>⎩，解得12k <<; …………………………………11分 综上所述，k 的取值范围是()1，10 ……………………………………………………………………………12分。
湖南省湖湘教育三新探索协作体2024年高三第十一次模拟考试数学试题
湖南省湖湘教育三新探索协作体2024年高三第十一次模拟考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是322．命题“(0,1),ln xx ex -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤3．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（） A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,15．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．66．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ） A ．224B ．72-C ．52-D ．12-7．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=，PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π8．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D ．2048327π 9．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．253B ．453C ．3D ．411．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤ B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤12．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．2⎛ ⎝⎦B ．2⎫⎪⎪⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎦D ．3⎫⎪⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。