2020版高考数学一轮复习课后限时集训44两条直线的位置关系理含解析北师大版2
北师大版高三数学(理)一轮复习：第9章 第2节 两条直线的位置关系
第二节 两条直线的位置关系[最新考纲] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1,l 2,若其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1,l 2不重合且斜率都不存在时,l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1,l 2的斜率存在,设为k 1,k 2,则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2. (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. [常用结论]由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l 1与l 2 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0) 垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时,一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直,则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交．( ) (4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) [答案] (1)× (2)× (3) √ (4)√ 二、教材改编1．已知点(a,2)(a>0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1D.2＋1C [由题意得|a －2＋3|2＝1,即|a ＋1|＝2,又a>0,∴a ＝2－1.]2．已知P(－2,m),Q(m,4),且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0,则m ＝________. 1 [由题意知m －4－2－m ＝1,所以m －4＝－2－m,所以m ＝1.]3．若三条直线y ＝2x,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________．－9 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0, 即m×1＋2×2＋5＝0,所以m ＝－9.]4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行,则它们之间的距离是________． 2 [由两直线平行可知36＝4m,即m ＝8.∴两直线方程分别为3x ＋4y －3＝0和3x ＋4y ＋7＝0, 则它们之间的距离d ＝|7＋3|9＋16＝2.]考点1 两条直线的位置关系解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 前思 在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分类讨论 后想 在解题后要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解1.设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当a ＝1时,显然l 1∥l 2, 若l 1∥l 2,则a(a ＋1)－2×1＝0, 所以a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直,则实数a 的值为( ) A.12 B.32 C.14D.34D [由已知得3(a －1)＋a ＝0,解得a ＝34.]3．已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0,l 2：4x ＋3y ＋5＝0,l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23D [∵三条直线不能构成一个三角形, ∴①当l 1∥l 3时,m ＝23；②当l 2∥l 3时,m ＝－43；③当l 1,l 2,l 3交于一点时,也不能构成一个三角形,由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，得交点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13,代入mx －y －1＝0,得m ＝－23.故选D.]直接运用“直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行与垂直的充要条件解题”可有效避免不必要的参数讨论．考点2 两条直线的交点与距离问题(1)求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程．(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 ①求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式．②求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且x,y 的系数对应相等．(1)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点,且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________(2)直线l 过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等,则直线l 的方程为________．(1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0, 则1＋2×3＋c ＝0,∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2＝k(x ＋1),即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1, 即|3k －1|＝|－3k －3|,∴k ＝－13,∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1),即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝－1,也符合题意．]1.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x 0,y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k(x －x 0)(k 是参数,直线系中未包括直线x ＝x 0),也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； (3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R,但不包括l 2)．2．动点到两定点距离相等,一般不直接利用两点间距离公式处理,而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上,从而简化计算．[教师备选例题]1．已知三角形三边所在的直线方程分别为：2x －y ＋4＝0,x ＋y －7＝0,2x －7y －14＝0,求边2x －7y －14＝0上的高所在的直线方程．[解] 设所求高所在的直线方程为2x －y ＋4＋λ(x＋y －7)＝0,即(2＋λ)x＋(λ－1)y ＋(4－7λ)＝0,可得(2＋λ)×2＋(λ－1)×(－7)＝0, 解得λ＝115,所以所求高所在的直线方程为7x ＋2y －19＝0.2．求过直线2x ＋7y －4＝0与7x －21y －1＝0的交点,且和A(－3,1),B(5,7)等距离的直线方程． [解] 设所求直线方程为2x ＋7y －4＋λ(7x－21y －1)＝0, 即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0, 由点A(－3,1),B(5,7)到所求直线等距离,可得 |2＋7λ×－3＋7－21λ×1－4－λ|2＋7λ2＋7－21λ2＝|2＋7λ×5＋7－21λ×7－4－λ|2＋7λ2＋7－21λ2,整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|,解得λ＝2935或λ＝13,所以所求的直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.1.当0<k<12时,直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k<12,∴x ＝k k －1<0,y ＝2k －1k －1>0,故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．]2．若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910D.295C [因为36＝48≠－125,所以两直线平行,将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910.]考点3 对称问题中心对称问题 中心对称问题的解法(1)点关于点：点P(x,y)关于点Q(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．过点P(0,1)作直线l,使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P平分,则直线l 的方程为________．x ＋4y －4＝0 [设l 1与l 的交点为A(a,8－2a),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B(－a,2a －6)在l 2上,代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0,解得a ＝4,即点A(4,0)在直线l 上,所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.]点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题,利用中点坐标公式求解． 若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称,则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4,－2)B [直线l 1：y ＝k(x －4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称,故直线l 2恒过定点(0,2)．]轴对称问题 轴对称问题的解法(1)点关于线：点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n), 则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．(1)已知直线y ＝2x 是△ABC 中角C 的平分线所在的直线,若点A,B 的坐标分别是(－4,2),(3,1),则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2,－4)C ．(2,4)D ．(2,－4)(2)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________．(1)C (2)6x －y －6＝0 [(1)设A(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3),即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C(2,4)．(2)设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′, 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0.即M ′(1,0)．又反射光线经过点N(2,6), 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0.]在求对称点时,关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解．1.若将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m ＋n ＝________.345[由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线,即直线y ＝2x －3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线,于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.]2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l′的方程． [解] (1)设A′(x ,y),则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点必在m′上．设对称点为M′(a ,b),则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N 关于点A 的对称点P′,N′均在直线l′上．易知P′(－3,－5),N′(－6,－7),由两点式可得l′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设Q(x,y)为l′上任意一点,则Q(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为Q′(－2－x,－4－y), ∵Q′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0.。
2022高三全国统考数学北师大版(理)一轮复习课时规范练46 点与直线、两条直线的位置关系
课时规范练46 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.直线l 在直线m :x+y+1=0的上方,且l ∥m ,它们的距离是√2,则直线l 的方程是( )A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x+y+1=0D.x+y+3=0或x+y-1=02.(2020山东济南德润中学月考)已知直线l 1:x ·sin α+y-1=0,直线l 2:x-3y ·cos α+1=0,若l 1⊥l 2,则sin 2α=( ) A.23B.±35C.-35D.353.已知A (1,2),B (3,1)两点到直线l 的距离分别是√2,√5−√2,则满足条件的直线l 共有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.4条4.若关于x ,y 的二元一次方程组{mx +4y =m +2,x +my =m 有无穷多组解,则m 的取值为( )A.1B.2C.3D.45.(2020重庆西南大学附中期末)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且ax+by+1=0在y 轴上的截距为13,则a+b 的值为( ) A.-7 B.-1 C.1 D.76.(2020湖南郴州模拟)若两平行直线l 1:x-2y+m=0(m>0)与l 2:2x+ny-6=0之间的距离是√5,则m+n=( )A.0B.1C.-2D.-17.(2020湖北孝昌一中月考)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程是( )A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=0 8.若直线mx-(m+2)y+2=0与3x-my-1=0互相垂直,则点(m ,1)到y 轴的距离为 . 9.直线l 1,l 2分别过点M (1,4),N (3,1),它们分别绕点M 和N 旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d 的最大值是 .10.设△ABC 的一个顶点是A (-3,1),∠B ,∠C 的平分线所在直线的方程分别为x=0,y=x ,则直线BC 的方程为 .11.若直线l 与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则l 的方程是 .综合提升组12.设直线l 1:x-2y+1=0与直线l 2:mx+y+3=0的交点为A ;P ,Q 分别为l 1,l 2上任意两点,点M 为PQ 的中点,若|AM|=12|PQ|,则m 的值为( ) A.2 B.-2 C.3D.-313.若直线l :y=kx-√3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.π6,π3 B.π6,π2 C.π3,π2D.[π6,π2]14.(2020上海大同中学期中)若关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m 无解,则实数m 的值为 .15.如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,光线从AB 边的中点P 出发,经BC ,CA 反射后又回到点P (反射点分别为Q ,R ),则光线经过的路径总长PQ+QR+RP= .16.(2020福建福州期末)已知函数f (x )=ax 3+x+1的图像在点(1,f (1))处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a= .创新应用组17.(2020山东青岛模拟)已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m 的取值集合为( ) A.{-43,23}B.{43,-23} C.{-43,23,43}D.{-43,-23,23}18.(2020安徽六安月考)设m ∈R ,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的直线mx-y-m+3=0交于点P (x ,y ),则|PA|+|PB|的取值范围是( )A.[√5,2√5]B.[√10,2√5]C.[√10,4√5]D.[2√5,4√5]参考答案课时规范练46 点与直线、两条直线的位置关系1.A 因为l ∥m ,且直线l 在m :x+y+1=0上方,所以可设直线l 的方程是x+y+c=0(c<1),因为它们的距离是√2,则√2=√2,∴c=-1,或c=3(舍去),所以直线l 的方程是x+y-1=0,故选A .2.D ∵l 1⊥l 2,∴sin α-3cos α=0,∴tan α=3,∴sin2α=2sin αcos α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1=35.3.C 当A ,B 两点位于直线l 的同一侧时,一定存在这样的直线l ,且有两条.又|AB|=√(3-1)2+(1-2)2=√5,而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为√2+√5−√2=√5,所以当A ,B 两点位于直线l 的两侧时,存在一条满足条件的直线.综上可知满足条件的直线共有3条.故选C .4.B 因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +4y =m +2,x +my =m有无穷多组解,所以直线mx+4y=m+2与直线x+my=m 重合,所以m1=4m =m+2m,解得m=2,即m 的取值为2,故选B .5.A 因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以4b=3a.又直线ax+by+1=0在y 轴上的截距为13,所以13b+1=0,解得b=-3.所以a=-4,所以a+b=-7.故选A . 6.C 由题意,得12=-2n ,解得n=-4,即直线l 2:x-2y-3=0,所以两平行直线之间的距离为d=√1+4=√5(m>0),解得m=2,所以m+n=-2.7.D 由题意,得{x +y -3=0,2x -y =0,解得{x =1,y =2,所以两直线的交点坐标为(1,2).直线2x+y-5=0的斜率是-2,故其垂线的斜率是12, 所以所求直线方程是y-2=12(x-1),即x-2y+3=0.8.0或5 当m=0时,mx-(m+2)y+2=-2y+2=0,即y=1,3x-my-1=3x-1=0,即x=13,此时两直线垂直,点(m ,1)到y 轴的距离为0;当m ≠0时,由题意有mm+2·3m =-1,解得m=-5,点(m ,1)到y 轴的距离为5. 9.√13 因为直线l 1,l 2分别过点M (1,4),N (3,1),它们分别绕点M 和N 旋转,且两直线保持平行,因此当两条平行直线l 1,l 2都与MN 垂直时,它们之间的距离d 取得最大值为|MN|=√(1-3)2+(4-1)2=√13.10.y=2x-5 ∵∠B ,∠C 的平分线所在直线分别是x=0,y=x ,∴AB 与BC 关于x=0对称,AC 与BC 关于y=x 对称.A (-3,1)关于x=0的对称点A'(3,1)在直线BC 上,A 关于y=x 的对称点A″(1,-3)也在直线BC 上.由两点式,得出所求直线BC 的方程为y=2x-5. 11.x-2y+2=0 由{2x -y -2=0,x +y -4=0,得{x =2,y =2,即两直线的交点坐标为(2,2),在直线2x-y-2=0上取一点A (1,0),设点A 关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a ,b ).则{ba -1=1,a+12+b2-4=0,即{a -b -1=0,a +b -7=0,解得{a =4,b =3,即对称点的坐标为(4,3),则l 的方程为y -23-2=x -24-2,整理得x-2y+2=0.12.A 根据题意画出图形,如图所示.直线l 1:x-2y+1=0与直线l 2:mx+y+3=0的交点为A ,M 为PQ 的中点,若|AM|=12|PQ|,则PA ⊥QA ,即l 1⊥l 2,∴1×m+(-2)×1=0,解得m=2.故选A .13.B 联立两直线方程得{y =kx -√3,2x +3y -6=0,可得两直线的交点坐标为3√3+62+3k ,6k -2√32+3k,∵两直线的交点在第一象限,∴{3√3+62+3k>0,6k -2√32+3k>0,不等式组的解集为k>√33,若直线l 的倾斜角为θ,则tan θ>√33,∴θ∈π6,π2,故选B .14.-3 因为关于x ,y 的二元一次方程组{mx +9y =m +6,x +my =m无解,所以直线mx+9y=m+6与直线x+my=m 平行,所以m 2-9=0,解得m=±3.经检验,当m=3时,两直线重合,不符合题意,舍去;当m=-3时,两直线平行,符合题意.故m=-3. 15.√10 以A 为坐标原点,AB ,AC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,因为△ABC 为等腰直角三角形,其中∠BAC=90°,且AB=2,则l BC :x+y-2=0,点P (1,0),所以点P 关于y 轴的对称点为P 1(-1,0),设点P 关于直线l BC :x+y-2=0的对称点为P 2(x 0,y 0),则y 0x-1=1且x 0+12+y 02-2=0,解得P 2(2,1),则PQ+QR+RP=P 2Q+QR+RP 1=P 1P 2=√10. 16.1 由f (x )=ax 3+x+1,得f'(x )=3ax 2+1,所以f'(1)=3a+1,即f (x )在x=1处的切线的斜率为3a+1,因为f (x )在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,所以3a+1=4,即a=1.17.D 设三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0分别为直线l 1,l 2,l 3,依照题意易得直线l 1与直线l 2不平行,设交点为P ,因为三条直线不能围成一个三角形,所以l 3与l 1平行,或l 3与l 2平行,或l 1,l 2,l 3交于一点P. (1)两条直线平行,若l 1∥l 3,此时m=23;若l 2∥l 3,此时m=-43. (2)l 1,l 2,l 3交于一点P 时,由{2x -3y +1=0,4x +3y +5=0,解得{x =-1,y =-13,即交点P 的坐标为-1,-13,代入mx-y-1=0,则m=-23.所以实数m 的取值集合为{-43,-23,23}.18.B 由题意可知,动直线x+my=0经过定点A (0,0),动直线mx-y-m+3=0即m (x-1)-y+3=0,经过定点B (1,3),因为动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0的斜率之积为-1,始终垂直,P 又是两条直线的交点,所以PA ⊥PB ,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.设∠ABP=θ,则|PA|=√10sin θ,|PB|=√10cos θ,由|PA|≥0且|PB|≥0,可得θ∈0,π2, 所以|PA|+|PB|=√10(sin θ+cos θ)=2√5sin θ+π4,因为θ∈0,π2,所以θ+π4∈π4,3π4,所以sinθ+π4∈√22,1,所以2√5sinθ+π4∈[√10,2√5].。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第2节 两条直线的位置关教学案 理(含解析)北师大版-北师大
第二节 两条直线的位置关系[考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[常用结论]1．与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线系方程可分别设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．与对称问题相关的两个结论(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y2＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( ) (4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0A [设l 的方程为3x ＋2y ＋m ＝0， 又直线l 过点(－1,2)，则 －3＋4＋m ＝0，∴m ＝－1.∴l 的方程为3x ＋2y －1＝0，故选A.]3．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1D ．2＋1C [由题意得|a －2＋3|2＝1，即|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1.]4．(教材改编)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．3x ＋19y ＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37 .故过点(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－197，37的直线方程为3x ＋19y ＝0.]5．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 2 [由两直线平行可知36＝4m，即m ＝8.∴两直线方程分别为3x ＋4y －3＝0和3x ＋4y ＋7＝0， 则它们之间的距离d ＝|7＋3|9＋16＝2.]两条直线的位置关系1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当a ＝1时，显然l 1∥l 2， 若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0， 所以a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12 B ．32 C.14D ．34D [由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝34.]3．已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23D [∵三条直线不能围成一个三角形， ∴①当l 1∥l 3时，m ＝23；②当l 2∥l 3时，m ＝－43；③当l 1，l 2，l 3交于一点时，也不能围成一个三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，得交点为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13，代入mx －y －1＝0，得m ＝－23.故选D ．][规律方法] (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在．(2)“直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行”的充要条件是“A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1”，“两直线垂直”的充要条件是“A 1A 2＋B 1B 2＝0”．两条直线的交点与距离问题【例1】 (1)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A.22B ．1 C. 2D ．2(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．(1)C (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [(1)因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，曲线y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x ，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为2，故选C.(2)法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.][规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．处理距离问题的两大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算．(1)经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x－y －1＝0垂直的直线方程为________．(2)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2(1)x ＋2y －7＝0 (2)A [(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0， 则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.]对称问题【例2】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[规律方法] 常见对称问题的求解方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．(1)已知直线y ＝2x 是△ABC 中角C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)(2)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．(1)C (2)6x －y －6＝0 [(1)设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．(2)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.即M ′(1,0)．又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.]。
高考数学一轮复习学案：两条直线的位置关系学案理北师大版
第二节两条直线的位置关系［考纲传真］(教师用书独具)1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.(对应学生用书第132页)［基础知识填充］1. 两条直线平行与垂直的判定(1) 两条直线平行 ① 对于两条不重合的直线丨1,丨2，若其斜率分别为 k 1 , k 2,则有l 1 // l 2? k _ k 2.② 当直线l 1 ,1 2不重合且斜率都不存在时，I 1 / I 2. (2) 两条直线垂直① 如果两条直线11, 12的斜率存在，设为 k 1, k 2，则有|1丄12? k 1 • k 2=- 1. ② 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，I 1丄I 2.2. 两条直线的交点的求法直线 I 仁 Ax + By + G= 0, I 2： Ax + By + C 2= 0( A , B , C , A, B, C 2为常数)，则A i x + By + G = 0,I 1与I 2的交点坐标就是方程组的解.Ax + Ry + C 2= 03.三种距离P (X 1, y" , F 2(X 2, y 2)两点之间的距离| PF 2d = \/(X 2- x“2+ (y 2-y 1)2点P o (x o , y o )到直线I : Ax + By + G = 0的距离 | AX )+ By) + q d^A 2+ B平行线Ax + By + G = 0与Ax + By + G = 0间的 距离’丄G -QI d4.线段的中点坐标公式若点B, F 2的坐标分别为(X 1, y 1), (X 2, y 2)，线段PF 2的中点M 的坐标为(x , y ),X 1 + X 2此公式为线段PF 2的中点坐标公式［知识拓展］三种常见的直线系方程(1) 平行于直线 Ax + By + G = 0的直线系方程：Ax + By +入=0(入工G ). (2) 垂直于直线 Ax + By + G = 0的直线系方程：Bx - Ay +入=0.2能用双基自主测评I 梳理自测 巩固基础知识(3) 过两条已知直线Ax+ By+ G= 0, Ax + E2y+ C2= 0交点的直线系方程：Ax + By+ C + 入(Ax + B 2y + C 2)= 0(不包括直线 Ax + B 2y + C 2 = 0).［基本能力自测］1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x”) (1) 当直线l 1和12斜率都存在时，一定有k l = k 2? I 1 // I 2.( ) (2) 如果两条直线丨1与丨2垂直，则它们的斜率之积一定等于一 1.()(3) 点P ( X o , y o )到直线y = kx + b 的距离为 —〔+ |^丄 )(4) 已知直线 I 1： A 1X + By + C = 0, I 2： Ax + By + C 2= 0(A, B , C , A 2, Ba , G 为常 数)，若直线丨1丄丨2,贝U A 1A 2+ BR= 0.()(5) 若点P, Q 分别是两条平行线I 1,丨2上的任意一点，贝U P, Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离.()(6) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交. ()［答案］⑴ x (2) x (3) x ⑷ V (5) V (6) V2.(教材改编)已知点(a, 2)( a >0)到直线I : x — y + 3= 0的距离为1,贝U a 等于()B. 2— 2D. 2 + 1又 a>0,.°. a="i2 — 1.]3 .已知直线 11: ax + (3 — a ) y +1 = 0, 12 x — 2y = 0.若丨1丄12,则实数a 的值为(对应学生用书第133页)两条直线的平行与垂直题型分类突破I 祸探求规律方法 A. 一 2 C. 2 — 1[由题意得|a— 2 + 3|= 1 ,V 2TWiT■■'I⑴设 a € R,则"a = 1” 是"直线 11： ax + 2y — 1 = 0 与直线 12： x + (a + 1)y + 4 = 0平行”的( )D.既不充分也不必要条件⑵若直线l i ： (a — 1)x + y — 1 = 0和直线12： 3x + ay + 2= 0垂直，则实数 a 的值为( ) B.—C.(1) A (2)D [(1)当 a = 1 时，显然 I 1//I 2, 右 I 1 / 12，贝V a (a + 1) — 2 x 1 = 0, 所以a = 1或a =— 2.所以a = 1是直线I 1与直线12平行的充分不必要条件.3(2)由已知得 3( a — 1) + a = 0,解得 a = 4.］［规律方法］1.已知两直线的斜率存在，判断两直线平行、垂直的方法 1两直线平行？两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； 2两直线垂直？两直线的斜率之积等于- 1.2.由一般式判定两条直线平行、垂直的依据若直线 11:Ax + Biy + C = 0,12 ：Ax + B 2y + C 2= 0，则① 11 / 12? AB 2 — AB = 0,且 AQ — A 2G 子0 或 BC 2— BC/0:②丨1丄 12? AA 2+ BB = 0.易错警示：当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率， 不仅要考虑到斜率存 在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x , y 的系数不能同时为零这一隐含条件.［跟踪训练］(1)(2017 •广东揭阳一模)若直线 m>+ 2y + m= 0与直线3m )+ ( m- 1)y + 7 = 0 平行，则m 的值为( )A. 7B. 0 或 7C. 0D. 4(2)(2017 •安徽池州月考)已知b >0,直线(b 2+ 1)x + ay + 2 = 0与直线x — b 2y — 1 = 0互相垂直，则ab 的最小值等于 ________________ .(1) B (2) 2 ［(1) •••直线 m>+ 2y + m= 0 与直线 3m )+ (m- 1)y + 7 = 0 平行， ••• mm - 1) = 3n K 2,「. m= 0 或 7,A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件 A.3经检验，都符合题意.故选 B.(2)由题意知0. T直线(b1 2+ 1)x+ ay+ 2= 0与直线x —b2y—1 = 0互相垂直，••• —2b + 1 1h• F=-1，2b +1 2bab=—^(a>0) , ab》~b = 2,当且仅当b= 1时取等号，• ab的最小值等于 2.]■■■'I(1)求经过两条直线I仁x + y —4= 0和12: x —y + 2 = 0的交点，且与直线2x—y —1 =0垂直的直线方程为___________ .【导学号：79140268】(2)直线I过点P( —1,2)且到点A(2,3)和点B( —4,5)的距离相等，则直线I的方程为.了x+ y — 4 = 0,(1) x + 2y —7 = 0 (2) x + 3y —5 = 0 或x = —1 [(1)由得|x—y+ 2 = 0, x= 1,y=3，• I 1与l 2的交点坐标为(1,3).设与直线2x —y— 1 = 0垂直的直线方程为x+ 2y+ c= 0,则 1 + 2X 3+ c= 0,「. c=—7.•••所求直线方程为x + 2y—7 = 0.(2) 法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y —2= k(x+1),即kx—y + k + 2 = 0.|2 k—3+ k+ 2|丨—4k—5+ k+ 2|由题意知 ----- 2= -------- 2 - ,1即|3 k—1| = | —3k —引,• k = —3,31•直线l 的方程为y —2= —#x+1)，即x+ 3y— 5 = 0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=—1,也符合题意.1法二：当AB// l时，有k= k AB=—3,直线l的方程为1y—2= —3(x + 1)，即x+ 3y —5= 0.3当I 过AB 中点时，AB 的中点为(一1,4), 「•直线I 的方程为x =— 1.故所求直线I 的方程为x + 3y — 5 = 0或x =— 1.］ ［规律方法］1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程， 先解方程组求出两直线的交点坐标， 再结合其他条件写出直线方程•2.处理距离问题的两大策略1点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求2动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以 两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算 ［跟踪训练］(1)(2017 •河北省“五个一名校联盟”质检)若直线I 1： x + ay + 6 = 0与丨2:(a — 2)x + 3y + 2a = 0平行，则11与丨2间的距离为()□ 8.」2 B. 丁⑵ 已知点F (4 , a )到直线4x — 3y — 1 = 0的距离不大于3，贝U a 的取值范围为■ a ( a — 2) = 3,1 a 62a 丰 18,(1) B (2) [0,10][(1)因为 l 1 //I 2，所以a ~2=3丰区，所以 a z 20,2解得a =— 1,所以1仁x — y + 6= 0, 12： x — y + 3 = 0，所以丨1与12之间的距离d =3解得0w a w 10,所以a 的取值范围是［0,10］.］对称冋题C.3D. 8」3 3⑵由题意得，点F 到直线的距离为 |4 x 4—3x a — 1| 5 =|15 — 3a |= 5|15 — 3a |5<3,即 |15 — 3a | < 15, ¥，故选B. 3创 ⑴ 过点R0,1)作直线I 使它被直线11: 2x + y — 8= 0和丨2： x — 3y + 10= 0截得的 线段被点P 平分，则直线I 的方程为 _____________________ •(2)平面直角坐标系中直线y = 2x + 1关于点(1,1)对称的直线I 方程是 ______________ •(1) x + 4y — 4 = 0 (2) y = 2x — 3 ［(1)设丨 1 与 I 的交点为 A (a,8 — 2a )，则由题意知， 点A 关于点P 的对称点 巳—a, 2a — 6)在12上，把B 点坐标代入12的方程得—a — 3(2 a—6) + 10= 0,解得a = 4,即点A (4,0)在直线I 上，所以由两点式得直线I 的方程为x + 4y — 4 = 0.(2)法一：在直线I 上任取一点P'(x , y )，其关于点(1,1)的对称点R2 — x,2— y )必在直线 y = 2x + 1 上，••• 2— y = 2(2 — x ) + 1，即 2x — y — 3 = 0. 因此，直线I 的方程为y = 2x — 3.法二：由题意，I 与直线y = 2x + 1平行，设I 的方程为2x — y + c = 0( c 丰1),贝U 点 (1,1)到两平行线的距离相等，• |2 — 1 + c | _ 22+ 1 |2 — 1 + 1| 21，解得 c = — 3.2 + 1 因此所求直线I 的方程为y = 2x — 3. 法三：在直线y = 2x + 1上任取两个点 A (0,1) , B (1,3)，则点A 关于点(1,1)对称 的点M 2,1)，点B 关于点(1,1)对称的点N(1 , — 1).由两点式求出对称直线 MNy + 1 x — 1的方程为 1+^=2—^，即 y =2x —3.]［母题探究］1.在题⑵ 中"将结论”改为"求点 A (1,1)关于直线y = 2x +1的对称点”，则结果如何?［解］设点A (1,1)关于直线y = 2x + 1的对称点为 A (a , b ),2•在题(2)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线 x — y = 0对称”，则结果如何？［解］ 在直线y = 2x + 1上任取两个点A (0,1),耳1,3)，则点A 关于直线x — y = 0的对 称点为M (1,0)，点B 关于直线x — y = 0的对称点为 N (3,1),所以b — 1X 2=— 1 ,解得3a = —5,a —19 b= 5，故点A (1,1)关于直线y =2x + 1的对称点为则AA 的中点为 1+ bT ，3 9、5，5 .y 一1 x 一3根据两点式，得所求直线的方程为^ = ，即x —2y — 1 = 0.0—1 1 —3［规律方法］常见对称问题的求解方法 1中心对称x z = 2a — x , 满足£ , y '= 2b — y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决2轴对称①点 A a , b 关于直线 Ax + By + C = B?=li ，A 1一 B =- 1，a + mb + n A- 2 + B- 2 +C= 0.即转化为垂直与平方问题 ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 ［跟踪训练］⑴ 已知点A (1,3)关于直线y = kx + b 对称的点是 政—2,1)，则直线y = kx + b在x 轴上的截距是 _________ .【导学号：79140269】 (2)(2017 •河北五校联考)直线ax + y + 3a — 1 =0恒过定点 M 则直线2x + 3y — 6 =0 关于M 点对称的直线方程为( A. 2x + 3y — 12= 0 C. 2x — 3y + 12= 0(1) 5 (2) D ［(1)由题意得线段6-3一 11 + 2直线y = kx + b 垂直，故2= k3 5 3 5 5 ,=kx + b 的方程即为 y =— ?x + 4.令y = 0,即一？x + ~ = 0，解得x =石，故直线 y = 5kx + b 在x 轴上的截距为-.6x + 3= 0，(2) 由 ax + y + 3a — 1= 0，可得 a (x + 3) + (y — 1) = 0,令 可得 x =— 3,l y — 1 = 0,y = 1,「. M — 3,1) , M 不在直线 2x + 3y — 6= 0 上，设直线 2x + 3y — 6= 0 关于 M 点| — 6 + 3 — 6| | — 6+ 3 + c |对称的直线方程为 2x + 3y + c = 0( c 工一6)，贝U -------------- = ------------------ ，解得 cp 4+9 p 4+9①点P x , y 关于Q a , b 的对称点P x ', y!的对称点A m, n ，则有n — b I m- a X)B. 2x — 3y — 12 = 0 D. 2x + 3y + 12 = 0AB 的中点一12在直线 y = kx + b 上,直线 AB 与 -k =— 1,3 5/、解得k = — ^, b = 4.所以直线y•-1 + b ,=12或c =-6（舍去），•••所求方程为2X + 3y+ 12= 0，故选D.]2 [由兰=—2,得a= 2.]4. 已知点R —1,1)与点Q3,5)关于直线I对称，则直线I的方程为________________ .x + y —4= 0 ［线段PQ的中点坐标为(1,3),直线PQ的斜率k1= 1 ,二直线I的斜率k2=—1,二直线I的方程为x + y— 4 = 0.］5. _____________________________________________________ 直线1仁x—y + 6 = 0与丨2：3x—3y + 2= 0的距离为______________________________________ .［直线11可化为3x —3y+ 18= 0,贝U 11 / 12，所以这两条直线间的距离 d = |18 —2| ^232+ 32= 3 .]。
2020版高考数学一轮复习课时规范练45点与直线、两条直线的位置关系理北师大版(最新整理)
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课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.(2018湖北稳派教育二联,3）若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a-2）x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为()A。
B.4C.D。
22.直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度,所得到的直线为（)A。
y=-x+B。
y=—x+1C.y=3x-3D.y=x+13.直线ax+4y—2=0与直线2x-5y+b=0垂直，垂足为（1,c),则a+b+c= (）A.-2 B。
-4C.—6D.—84.三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x-y=10相交于一点，则a的值是() A。
—2 B。
-1C.0D.15.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A（3,-1），C（2，-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A。
3x-y—20=0 B。
3x—y—10=0C.3x—y—9=0 D。
3x-y—12=06。
直线x—2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A。
x+2y—1=0 B。
2x+y-1=0C。
2x+y—3=0 D.x+2y-3=07.（2018山东栖霞期末,5)过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是(）A.x+2y-5=0 B。
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：两条直线的位置关系课件北师大版
自主诊断
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
1.当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )
2.若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × )
直线方程必须是一般式
|C 1 -C 2 |
线线距
d= 2 2
两条平行直线 Ax+By+C1=0 与
A +B
Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)间的距离 应用两平行直线的距离公式
时,直线方程必须是一般式,且
可以转化为点到直线的距离
x,y 的对应系数分别对应相等
常用结论
1.五个关于对称的结论
(1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
l1与l2重合⇔k1=k2且b1=b2
l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2
l1:y=k1x+b1
l2:y=k2x+b2
两直线平行时,它们的斜率可能都不存在
l1与l2相交⇔k1≠k2
l1⊥l2⇔ k1k2=-1
当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2
两条直线的方程
位置关系的判定
若 A1,A2,B1,B2,C1,C2 均不为 0,则 l1 与 l2 重合
5 13
A.
26
4 13
B.
13
2 13
C.
13
)
3 13
D.
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2020版高考数学一轮复习教案 第8章_第2节_两条直线的位置关系(含答案解析)
第二节 两条直线的位置关系[考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.2．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组Error!的解．3．三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2[常用结论]1．直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.5．与对称问题相关的两个结论(1)点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)；(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有Error!可求出x ′，y ′.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为.( )|kx 0＋b |1＋k 2(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 的值为( )A. B ．2－22C.－1 D.＋122C [由题意知＝1，∴|a ＋1|＝，又a >0，∴a ＝－1.]|a －2＋3|2223．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3C [直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有＝≠，故m ＝22m m ＋134－2或－3.故选C.]4．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．2 [由题意知a ·1－2(3－a )＝0，解得a ＝2.]5．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________． [先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋＝0，则两平行线间的距离为d ＝＝32412|2－12|2324两条直线的平行与垂直1．(2019·梅州月考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当a ＝1时，显然l 1∥l 2，若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0，所以a ＝1或a ＝－2.所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]2．已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．1或0 [l 1的斜率k 1＝＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝＝.因为3a －01－(－2)－2a －(－1)a －01－2a a l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直1－2a a线l 2为y 轴，A (－2,0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0.][规律方法] 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”易错警示：当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．两条直线的交点与距离问题【例1】 (1)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________.(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．(1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [(1)由Error!得Error!∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0，则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7.∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知＝，|2k －3＋k ＋2|k 2＋1|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－，13∴直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.13当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－，13直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.13当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)，∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.][规律方法] 1.求过两直线交点的直线方程的方法,求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.处理距离问题的两大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求.(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算.(1)当0<k <时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )12A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2) 若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A. B. C. D.951852910295(1)B (2)C [(1)由Error!得Error!又∵0<k <，∴x ＝<0，y ＝>0，故直线l 1：12k k －12k －1k －1kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．(2)因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由3648－125题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ |的最小值为|－24－5|62＋8229102910.]对称问题►考法1 点关于点的对称问题【例2】 (2018·泉州模拟)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．x ＋4y －4＝0 [设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.]►考法2 点关于直线的对称问题【例3】 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )3105A．3B．6 C．2D．2C [直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的62＋2210对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.]►考法3 直线关于直线的对称问题【例4】 (2019·郑州模拟)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0A [设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由Error!得Error!由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.][规律方法] 解决两类对称问题的关键,解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程；(3)直线l 关于(1,2)的对称直线．[解] (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即×3＝－1.①y ′－y x ′－x 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×－＋3＝0.②x ′＋x 2y ′＋y 2由①②得Error!把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 对称的直线方程为－－2＝0，－4x ＋3y －953x ＋4y ＋35化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)，关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴＝1，x ′＝2，＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)．x ′＋02y ′＋32l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)，即3x －y －5＝0.。
高考数学一轮复习 课时作业44 两条直线的位置关系与距离公式 文-人教版高三全册数学试题
课时作业44 两条直线的位置关系与距离公式 [基础达标]一、选择题1．[2020·某某七校联考]经过点(0,1)与直线2x －y ＋2＝0平行的直线方程是( )A ．2x －y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：设所求直线的方程为2x －y ＋a ＝0，将(0,1)代入直线方程，得－1＋a ＝0，所以a ＝1，故所求直线方程为2x －y ＋1＝0.故选B.答案：B2．[2020·某某省某某市高三大联考]过点(2,1)且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为( )A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －7＝0C ．3x －2y －4＝0D ．3x ＋2y －8＝0解析：由题意，设直线方程为2x ＋3y ＋b ＝0，把(2,1)代入，则4＋3＋b ＝0，即b ＝－7，则所求直线方程为2x ＋3y －7＝0.答案：B3．[2020·某某江门一模]“a ＝2”是“直线ax ＋3y ＋2a ＝0和2x ＋(a ＋1)y －2＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：直线ax ＋3y ＋2a ＝0和2x ＋(a ＋1)y －2＝0平行的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ×a ＋1＝2×3，a ×－2≠2a ×2，即a ＝2或a ＝－3.又“a ＝2”是“a ＝2或a ＝－3”的充分不必要条件，所以“a ＝2”是“直线ax ＋3y ＋2a ＝0和2x ＋(a ＋1)y －2＝0平行”的充分不必要条件，故选A.答案：A4．经过点P (－2，m )和Q (m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是( )A ．4B ．1C ．1或3D ．1或4 解析：由题意，知4－m m －－2＝1，解得m ＝1. 答案：B5．[2020·某某某某模拟]若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823 C. 3 D.833解析：由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0， ∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823， 故选B.答案：B 6．若直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．0或1D ．1或3解析：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－－20－3a＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 答案：D7．[2020·某某凉山模拟]若点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为( )A.79B.13C.79或13 D ．－79或－13解析：由点A 和点B 到直线l 的距离相等，得|6a ＋3＋1|a 2＋1＝|－3a －4＋1|a 2＋1，化简得6a ＋4＝－3a －3或6a ＋4＝3a ＋3，解得a ＝－79或a ＝－13.故选D. 答案：D8．已知点P (－1,1)与点Q (3,5)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y －4＝0D ．x ＋y ＝0解析：线段PQ 的中点坐标为(1,3)，直线PQ 的斜率k PQ ＝1，∴直线l 的斜率k l ＝－1，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0.答案：C9．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，所以l 2的斜率为2.又l 2过点(－1,1)，所以l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理即得：y ＝2x ＋3，令x ＝0，得y ＝3，所以P 点坐标为(0,3)．答案：D10．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0得交点坐标为(2,2)，当直线l 的斜率不存在时，易知不满足题意．∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，∵点(5,1)到直线l 的距离为10， ∴|5k －1＋2－2k |k 2＋－12＝10，解得k ＝3. ∴直线l 的方程为3x －y －4＝0.答案：C二、填空题11．平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程为____________________．解析：设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠－2)，则d ＝|－2－c |32＋42＝1， ∴c ＝3或c ＝－7，即所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0.答案：3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝012．[2020·某某夏津一中月考]过直线2x ＋y －1＝0和直线x －2y ＋2＝0的交点，且与直线3x ＋y ＋1＝0垂直的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0得交点坐标为(0,1)．因为直线3x ＋y ＋1＝0的斜率为－3，所求直线与直线3x ＋y ＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为13，则所求直线的方程为y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.答案：x －3y ＋3＝013．[2020·某某某某模拟]若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点________．解析：由题意知直线l 1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l 2所过定点关于点(2,1)对称的点为(4,0)，故可知直线l 2所过定点为(0,2)．答案：(0,2)14．设直线l 经过点A (－1,1)，则当点B (2，－1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为____________．解析：设点B (2，－1)到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，k l ＝－1k AB ＝32，∴直线l 的方程为y －1＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0. 答案：3x －2y ＋5＝0[能力挑战]15．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)．(1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大．解析：(1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，则点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |，则点P 就是直线AB 与直线l 的交点，又直线AB的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)．。
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课后限时集训(四十四) 两条直线的位置关系
(建议用时：60分钟)
A 组 基础达标
一、选择题
1．已知直线l 的倾斜角为
，直线l 1经过P (－2，)，Q (m,0)两点，且直线l 与l 12π3
3垂直，则实数m 的值为( )
A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－5D [∵直线l 与l 1垂直，∴－·＝－1，∴m ＝－5，故选D ．]33－0－2－m 2．(2019·资阳模拟)点P (2,5)关于直线l ：x ＋y ＋1＝0的对称点的坐标为( )
A ．(6，－3)
B ．(3，－6)
C ．(－6，－3)
D ．(－6,3)
C [设点P (2,5)关于直线l 的对称点的坐标为(x ，y )，
则Error!
∴Error!解得Error!
∴点P (2,5)关于直线l 的对称点的坐标为(－6，－3)，故选C.]
3．(2019·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )
A ．x ＋2y －1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．2x ＋y －3＝0
D ．x ＋2y －3＝0
D [在所求直线上任取一点P (x ，y )，其关于直线x ＝1的对称点为P ′(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，故2－x －2y ＋1＝0，即x ＋2y －3＝0.故选D ．]
4．经过两直线l 1：2x －3y ＋2＝0与l 2：3x －4y －2＝0的交点，且平行于直线4x －2y ＋7＝0的直线方程是( )
A ．x －2y ＋9＝0
B ．4x －2y ＋9＝0
C ．2x －y －18＝0
D ．x ＋2y ＋18＝0
C [由Error!解得Error!所以直线l 1，l 2的交点坐标是(14,10)．设与直线4x －2y ＋7＝0平行的直线l 的方程为4x －2y ＋c ＝0(c ≠7)．因为直线l 过直线l 1，l 2的交点(14,10)，所以c ＝－
36.所以直线l 的方程为4x －2y －36＝0，即2x －y －18＝0.故选C.]
5．(2019·运城二模)在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )
A. B ．102
10C ．5 D ．10
D [由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，
∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D ．]
二、填空题
6．(2019·黄冈模拟)已知直线l 1：mx ＋3y ＋3＝0，l 2：x ＋(m －2)y ＋1＝0，则“m ＝3”是“l 1∥l 2”的________条件．
既不充分也不必要 [若l 1∥l 2，则Error!∴m ＝－1.
∴“m ＝3”是“l 1∥l 2”的既不充分也不必要条件．]
7．已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________．
1 (3,3) [由l 1⊥l 2得a ＋(a －2)＝0，即a ＝1.
∴l 1：x ＋y －6＝0，
l 2：x －y ＝0.
由Error!得Error!
∴P (3,3)．]
8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于________．
[由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，345
它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，
于是Error!解得Error!
故m ＋n ＝.]345
三、解答题
9．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．
[解] 由Error!得Error!所以直线l 1与l 2的交点为(1,2)．显然直线x ＝1不满足P (0,4)到直线l 的距离为2.设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0,4)到直
线l 的距离为2，所以＝2，所以k ＝0或k ＝.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋|－4＋2－k |1＋k 2
432＝0.
10．已知△ABC 的三个顶点是A (1,1)，B (－1,3)，C (3,4)．
(1)求BC 边的高所在直线l 1的方程；
(2)若直线l 2过C 点，且A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．
[解] (1)因为k BC ＝＝，又直线l 1与BC 垂直，所以直线l 1的斜率k ＝－＝－4，4－33＋1141k
BC
所以直线l 1的方程是y ＝－4(x －1)＋1，即4x ＋y －5＝0.
(2)因为直线l 2过C 点且A ，B 到直线l 2的距离相等，
所以直线l 2与AB 平行或过AB 的中点M ，因为k AB ＝
＝－1，所以直线l 2的方程是y ＝3－1－1－1
－(x －3)＋4，即x ＋y －7＝0.
因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)，
所以k CM ＝＝，所以直线l 2的方程是y ＝(x －3)＋4，即2x －3y ＋6＝0.4－23－02323综上，直线l 2的方程是x ＋y －7＝0或2x －3y ＋6＝0.
B 组 能力提升
1．(2019·新余调研)已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ，设直线l 2经过点A ，则当点B (2，－1)到直线l 2的距离最大时，直线l 2的方程为( )
A ．2x ＋3y ＋5＝0
B ．3x －2y ＋5＝0
C ．3x ＋2y ＋5＝0
D ．2x －3y ＋5＝0
B [设A (x 0，y 0)，依题意可得Error!解得Error!即A (－1,1)．设点B (2，－1)到直线l 2的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 2垂直于直线AB ，又－
＝，∴直线l 2的方1
k AB 32程为y －1＝(x ＋1)，即3x －2y ＋5＝0.故选B ．]322．已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )13
A ．2
B ．223
C ．2
D ．257
C [设B 关于直线y ＝x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则Error!解得B ′(2，－1)．由平面几13
何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝＝2.故选C.]
2＋2 2＋ －1－1 253．若直线l 1：y ＝kx －k ＋1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限，则k 的取值范围是( )
A. B ．(12
，1)
(0，12)C. D ．(－12，0)(－1，－12)B [∵l 1，l 2有交点，∴k ≠±1.由Error!可得Error!即直线l 1，l 2的交点坐标为(k k －1，2k －1k －1)
，
∵交点在第二象限，∴Error!得Error!
∴0＜k ＜，故选B ．]12
4．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1,2)，求：
(1)点A 和点C 的坐标；
(2)△ABC 的面积．
[解] (1)由方程组Error!
解得点A (－1,0)．
又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，
故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－(x ＋1)．
已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，
故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．
解方程组Error!得点C 的坐标为(5，－6)．(2)因为B (1,2)，C (5，－6)，所以|BC |＝＝4，点A (－1,0)到直线BC ：y －2＝－2(x －1)的距离为d ＝ 1－5 2＋ 2＋6 25＝，所以△ABC 的面积为×4×＝12.|2× －1 －4|
56512565。