2015年四川高考预测试题数学试题(理科)

2015年四川高考预测试题数学试题（理科）满分150分，完卷时间120分钟一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分；每小题只有一个正确选项） 1.}42/{≤≤∈=x N x A ,}032/{2<--∈=x x Z x B 则=B AA ．}32/{<≤x xB ．}32/{≤≤x xC ．}2{D ．}3,2{2．=+=+z i iz则,21 A ．i 31- B ．i 31+ C ．i 31-- D ．i 31+-3．下列命题的说法 错误 的是 ( )A ．若复合命题q p ∧为假命题，则,p q 都是假命题．B ．“1=x ”是“2320x x -+=”的充分不必要条件．C ．对于命题2:,10,p x R x x ∀∈++> 则2:,10p x R x x ⌝∃∈++≤．D ．命题“若2320x x -+=，则1=x ”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” 4．1ln 03===-+x xxy y ax 在与曲线处的切线平行，则a 的值为 A ． a=1 B ．a=-1 C ．a=2 D ．a=1 5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A ．2014B ．2013C ．1008D ．1007 6．是则)(,1cos 2x f x y -=A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 7．函数y ＝(0<a <1)的图象的大致形状是( )8．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ） (A)36种 (B)30 (C)24种 (D)6种9．AD,BE 分别是三角形ABC 的中线，若AD=BE=2，且AD 、EB 的夹角为32π，则∙=A.89； B.49； C.38； D.34。

面积的最大值求三角形交于点与的切线分别作抛物线，过，轴两侧分别在是抛物线是两点已知抛物线ABQ Q l l l l B A AB x B A x y ,,,,6)(,,4.1021212==A227B 8C 312D 18 二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）常数项为63)21.(11x x+ 12．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．13.设2022040x y x y x y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪-≤⎩围成的区域为D ，),(y x P 为D 内的一个动点，则2x y +的取值范围为 .14.汽车从甲地匀速行驶到乙地运输，汽车速度不得超过80km h ，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （单位：km h ）的平方成正比，比例系数为0.1；固定部分为160元，为了使全程运输成本最小，汽车的速度为km h 。

15.已知函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 的导函数'()f x 存在且连续且0x 为'()y f x =的极值点；则称点（0x ，0()f x ）是函数()f x 的拐点。

则下列结论中正确的是: （1）函数sin y x =的拐点为(,0),k k Z π∈;（2）函数41()12xf x e x =-有且仅有两个拐点； （3）若函数3211()4ln 62a f x x x x x +=++有两个拐点，则5a <-； （4）函数()xf x xe =的拐点为（0x ，0()f x ），则存在正数ε使()f x 在区间00(,)x x ε-和区间00(,)x x ε+ 上的增减性相反三、解答题：共6个小题，其中16—19题每小题12分，20题13分，21题14分。

共75分；要求解答时要写出详尽的解答过程。

16.（12分） 在ABC 中，a,b,c,分别为A,B,C 所对应的边，若CcA bB a cos 2cos cos =+（1）求C（2）若)sin ,1(),cos ,433sin 3(2A nB B m =-=，求n m 的取值范围。

17. （12分）自柴静的《穹顶之下》播出以后，全国上下加大了对环境污染的关注，特别是对雾霾的关注，下面是某机构对我国其中九个城市的某项指标的污染指数的调查数据，（数据仅供参考）现有关部门打算选择一些城市进行治理,求:(1) 假设选择5个城市治理。

要求北京必修包含在内，且石家庄不在其中的概率是多少？ (2) 假设从中选择4个城市进行治理，则污染指数大于5.0的城市个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；18.（12分） 已知二次函数x x y +-=2在n S x =处的切线斜率为n a ，并且21,121==b b ，21112+++=n n n b b b （1）求n n b a 和的通项公式； （2）求数列}{nnb a 的前n 项和。

19．（12分）如图一，在四边形PEBC 中，1PC =，CB = 3CPE π∠=，56PCB π∠=，在边PE 上取一点A ，使1PA =（PE 足够长），连结AC AB 、，将PAC ∆与EAB ∆分别沿AC AB 和折起，使平面PAC ⊥平面ABC ,且PE ∥BC （如图二）；过BC 作平面交AP 、AE 分别于点M 、N ．（1）求证：MN ∥PE ；（2）设ANAPλ=，求λ 的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒20. （13分）已知椭圆22221x y a b+=，(0)a b >>，F 为其左焦点，12,A A 分别为其长轴的左右端点，1B 为其短轴的一个端点，若原点O 到直线1FB 的距离3d =，且椭圆的离心率3e =； （1）求椭圆的方程；（2）过1A 斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆交于异于点1A 的点C ，又过2A 作2AD ⊥l 于D 点；ⅰ．若112A D AC =，求直线l 的方程；ⅱ．是否存在实数λ，使1121AODAOCS A D S λ∆∆+为常数？如存在，求出λ的值；如不存在，说明理由。

21.（14分）已知函数2()ln f x x x =+.（I ）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（1）的条件下，若1a >，3()3xxh x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值； (Ⅲ)设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.2015年四川高考预测试题数学（理科）答案一、单项选择题：（每小题5分，共50分）1-5、CAABA, 6-10、BDBAA二、填空题：（每小题5分，共25分） 11、112 12、32 13. 1[,6]2-14. 40 15. ①③ 三、解答题：（共6小题，满分75分） 16、（1）由已知CcA bB a cos 2cos cos =+（正弦定理划边为角）得21cos =C ，又,0π<<C 所以3π=C ................4分(2）题意得)=+-=A B B n m sin cos 333sin 32)3sin(cos 333sin 32ππ--+-B B B )32sin(212cos 432sin 41π-=+=B B B 320,3ππ<<∴=B C ，πππ<-<-∴323B 123≤<-∴n m..........(12) 17、的分布列为随即变量则的可能取值为）由题意可得：解：（X c c c X p c c c X p c c c X p c c c X p c c c X p X c c p ,1265)4(,6320)3(,2110)2(,6310)1(,1261)0(4,3,2,1,0)2(,14904454914354924254934154944054947================数学期望为：E(X)=9. 18、依题意得),1......(12+-=n n S a 则当2≥n 时，),2.....(1211+-=--n n S a （1）-（2）得n n n n n a S S a a 2)(211-=--=---即311=-n n a a ，又当1=n 时可知311=a故}{n a 是依311=a 为首项，以31为公比的等比数列，则n n a )31(= (3)因为21112+++=n n n b b b 21,121==b b ，所以}1{n b 是以111=b 为首项，以11112=-b b 为公差的等差数列，则n b n =1，故nb n 1=...........(6) 记数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，则nn n b a b ab a T +++=.....2211，由错位相消得 n n n T 3143243+-=.............(12) 19. 【解析】(1) 证明：因为 PE∥CB，所以BC∥平面APE …………… 3分 又依题意平面ABC 交平面APE 于MN ，故MN∥BC，所以 MN∥PE ……………… 5分 (2) 法一：解：由(Ⅰ)知MN∥BC，故C 、B 、M 、N 共面，平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角即N —CB —A ．因为平面PAC⊥平面ABC ，平面PAC ∩ 平面ABC = AC ，且CB⊥AC，所以CB⊥平面PAC ．故CB⊥CN，即知NCA ∠为二面角N —CB —A 的平面角……11分所以45NCA ∠=︒．在△NCA 中运用正弦定理得，sin 4531sin 75AN AC ︒===︒．所以，1ANAPλ==． ……12分 方法二：由已知CA ＝1，90ACB ∠=如图以点C 为原点建立 空间直角坐标系C －xyz ，设PE CB μ=，则(0,0,C ， (1,0,0)A，(0,0)B ，1(,0,2P，1(,2E ．…… 6分 由AM AN AE APλ==，得1(1,,)2M λ-，1(1,0)2N λ-． …… 7分(0,,0)MN =，1(1,,)2CM λ=-，设平面CMN 的法向量1111(,,)n x y z =，则10n MN ⋅=，10n CM ⋅=，可取1(1,0n =，…… 9分 又0n =(0，0，1) 是平面ABC 的一个法向量．由0101|||cos |||||n n n n θ⋅=⋅，以及45θ=︒可得= ……11分即22440λλ+-=．解得1λ（将1λ=-，故1λ=． …………12分20. 解：（1）设222c a b =-，由3e =得：3c a =∴,22a b c == ① 在1FOB ∆中，由等积法得：1122bc a = ② 联立①，②解得1,a b c === 椭圆的方程为：2213x y += …………… 4分 （2）ⅰ．设直线l 的方程为：(y k x =, (,),(,)C C D D C x y D x y 由已知有1(A联立2213(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：2222(13)930k x x k +++-=C x == …………… 5分由已知：D 点的轨迹方程为：223x y +=，联立223(x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得：2222(1)330k x x k +++-=∴1221A D x x k -+=+ …………… 6分由112A D AC =有C 为1AD 的中点 ∴12C A D x x x =+故2222131k k -=++∴222231131k k k k-=++ 解得：1k =± 故直线l的方程为0x y -=或0x y += …………… 8分 ⅱ．由D 点的轨迹方程为：223x y +=得：221223124(3)11k A D k k =⨯-=++ …………… 9分 又1112A OD D S A O y ∆=⋅，1112A OC C S A O y ∆=⋅ 故11A OD DA OCC S y S y ∆∆= 由ⅰ．可解得：D y =C y = …… 11分11222122221212131231111A OD D A OCC S y k k AD S k y k k k λλλλλ∆∆++++=+=+=++++ 要使1121A OD A OCS A D S λ∆∆+为常数，则123λλ+=，解得6λ=故存在实数6λ=，使1121A OD A OCS A D S λ∆∆+为常数，常数为18. …………… 13分解：（Ⅰ）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x'=-=+-=+- 由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+.…… 2分又10,2x x x >+≥x =.故min 1(2)x x+=a ≤分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a <≤令xe t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t a t ==-2()333(H t t a t t '=-=……5分由()0H t '=，得t =t =，34(1,2[1,2]a ∈，①若1t <≤()0,()H t H t '<单调递减；()h x 在也单调递减；2t <≤，则()0,()H tHt '>单调递增. ()h x 在2]也单调递增；故()h x的极小值为2h =-……8分（Ⅲ）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =--结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……10分① ② ③④①—②得2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-，所以02l n2.m n k x m n=--由④得0022.k x x =- 所以2(1)2()ln .1m m m n n m n m n n --==++⑤ ……11分 设(0,1)mu n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+（转化为这个方程是否有解问题）设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+，2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=，即2(1)l n 0.1u u u --<+ 也就是，2(1)ln 1m mnm n n -<+，此式与⑤矛盾.所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴. 14分。